《平均變化率》教案及教案說明

平均變化率

一、教學(xué)目標(biāo)

通過豐富的實(shí)例，讓學(xué)生經(jīng)歷平均變化率概念的形成過程，體會(huì)平均變化率是刻畫變量變化快

慢程度的一種數(shù)學(xué)模型；

理解平均變化率的概念，了解平均變化率的幾何意義，會(huì)計(jì)算函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上的平均變化率；

感受數(shù)學(xué)模型在刻畫客觀世界的作用，進(jìn)一步領(lǐng)會(huì)變量數(shù)學(xué)的思想，提高分析問題、解決問題

的能力。

二、教學(xué)重點(diǎn)平均變化率概念

教學(xué)難點(diǎn)平均變化率概念的形成過程

三、教學(xué)方法與教學(xué)手段

啟發(fā)式教學(xué)與探究式學(xué)習(xí)相結(jié)合。通過生活中的實(shí)例，引導(dǎo)學(xué)生分析和歸納，讓學(xué)生在已

有認(rèn)知結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)上建構(gòu)新知識(shí)，教師在教學(xué)中尤其要關(guān)注“誰在學(xué)？為什么要學(xué)？怎么

學(xué)？”利用多媒體輔助教學(xué)，突出重點(diǎn)、突破難點(diǎn)，提高教學(xué)效率。

四、教學(xué)過程

問題情境，感受概念

情境1GDP“猛增”

胡錦濤同志在黨的十七大報(bào)告中提出：“增強(qiáng)發(fā)展協(xié)調(diào)性，努力實(shí)現(xiàn)經(jīng)濟(jì)又好又快發(fā)展。

轉(zhuǎn)變發(fā)展方式取得重大進(jìn)展，在優(yōu)化結(jié)構(gòu)、提高效益、降低消耗、保護(hù)環(huán)境的基礎(chǔ)上，人均國(guó)

內(nèi)生產(chǎn)總值（GDP）到2020年比2000年翻兩番”。（2000年中國(guó)人均GDP為856美元，2020

年約為3500美元．）

尤其令人振奮的是：十六大以來，我國(guó)國(guó)民經(jīng)濟(jì)保持平穩(wěn)快速發(fā)展，2002年我國(guó)人均GDP

首次超過1000美元，達(dá)到1100美元，在短短的4年內(nèi)于2006年又超過2000美元，達(dá)到2010

美元。我國(guó)已經(jīng)由低收入國(guó)家步入了中等收入國(guó)家行列，標(biāo)志著我國(guó)在向全面建設(shè)小康社會(huì)的

進(jìn)程中又邁出了堅(jiān)實(shí)的一步。

時(shí)間x(年)2000200220062020

人均GDPy(美元)856110020103500

問題1如何從數(shù)學(xué)角度刻畫2002年至2006年這4年我國(guó)人均GDP“猛增”？

情境2房?jī)r(jià)“暴漲”

南京龍江小區(qū)近十來年的房?jī)r(jià)變化如下圖所示：

1

問題2如何從數(shù)學(xué)角度刻畫房?jī)r(jià)“暴漲”？

情境3股指“跳水”

2007年9月25日滬市A股走勢(shì)圖

上證指數(shù)

時(shí)間相差180分鐘

5510

5460

5396

5390

9:30A11:1511:25B時(shí)間

問題3如何從數(shù)學(xué)角度刻畫股指“跳水”？

情境4氣溫“陡升”

現(xiàn)有某市2004年3月和4月某天日最高氣溫記載如下列圖表所示：

時(shí)間t(d)3月18日4月18日4月20日

日最高氣溫T(℃)3.5℃18.6℃33.4℃

T(℃)

C(34,33.4)

30

20

B(32,18.6)

10

A(1,3.5)

2

0210203034t(d)

問題4:如何從數(shù)學(xué)角度刻畫氣溫“陡升”？

建立模型，形成概念

問題5用怎樣的數(shù)學(xué)模型刻畫函數(shù)值變化的快慢程度？

思考1你能給出函數(shù)f(x)在區(qū)間[x，x]上平均變化率的定義嗎？

12

f(x)f(x)

定義函數(shù)f(x)在區(qū)間[x，x]上平均變化率為21。

12xx

21

思考2平均變化率有怎樣的幾何意義？

平均變化率的幾何意義就是函數(shù)f(x)圖象上兩點(diǎn)(x,f(x))、(x,f(x))所在直線的斜率。

1122

探究活動(dòng)，感悟概念

2

活動(dòng)1(1)在經(jīng)營(yíng)某商品中，甲掙到10萬元，乙掙到2萬元，據(jù)此，你能評(píng)價(jià)甲、乙兩人的

經(jīng)營(yíng)成果嗎？

(2)甲、乙兩人投入相同的資金經(jīng)營(yíng)某商品，甲用5年時(shí)間掙到10萬元，乙用5個(gè)月

時(shí)間掙到2萬元，你能評(píng)價(jià)甲、乙兩人的經(jīng)營(yíng)成果嗎？

活動(dòng)2試舉出生活中與平均變化率有關(guān)的例子。

例題講解，運(yùn)用概念

例1某嬰兒從出生到第12個(gè)月的體重變化如圖所示，試分別計(jì)算從出生到第3個(gè)月與第6

個(gè)月到第12個(gè)月該嬰兒體重的平均變化率。

例2已知函數(shù)f(x)=2x+1，g(x)=－2x，分別計(jì)算在區(qū)間[－3，－1]、[0，5]上f(x)及g(x)

的平均變化率。

反饋練習(xí)，鞏固概念

一運(yùn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)的位移S與時(shí)間t滿足S(t)=t2，分別計(jì)算S(t)在下列區(qū)間上的平均變化率。

(位移單位為m,時(shí)間單位為s)

(1)[1，3]；(2)[1，2]；(3)[1，1.1]；(4)[1，1.001]；

(5)[1，1.0001]；(6)[0.999，1]；(7)[0.99，1]；(8)[0.9，1]。

思考3如何刻畫t=1這一時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的快慢程度呢？

回顧反思，理解概念

f(x)f(x)

定義：函數(shù)f(x)在區(qū)間[x，x]上的平均變化率為21。

12xx

21

五、分層作業(yè)

必做作業(yè)第7頁2，3題

選做作業(yè)我們都吹過氣球回憶一下吹氣球的過程,可以發(fā)現(xiàn),隨著氣球內(nèi)空氣容量的增加,

氣球的半徑增加越來越慢.從數(shù)學(xué)角度,如何描述這種現(xiàn)象呢?

思考作業(yè)一運(yùn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)的位移S與時(shí)間t滿足S(t)=t2,如何刻畫t=1這一時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的快

慢程度呢？

(位移單位為m,時(shí)間單位為s)

六、板書設(shè)計(jì)

平均變化率

一、問題情境例1列式

1.GDP“猛增”2.房?jī)r(jià)“暴漲”3.股指“跳水”4.氣溫“陡升”解：

二、建立概念3

三、應(yīng)用拓展

程，在此基礎(chǔ)上，可以幫助學(xué)生克服思維障礙。

六、回顧反思，感悟升華

【教學(xué)安排】開放式小結(jié)

【設(shè)計(jì)意圖】

通過開放式小結(jié)，使學(xué)生學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)習(xí)的主動(dòng)性。這個(gè)小結(jié)意在提煉今天這節(jié)課的主要內(nèi)

容，通過回顧反思，關(guān)注了學(xué)生的情感態(tài)度價(jià)值觀，也梳理了學(xué)生學(xué)習(xí)的情意過程。

七、教學(xué)效果分析：

微積分的創(chuàng)立是數(shù)學(xué)發(fā)展中的里程碑，它的發(fā)展和廣泛應(yīng)用開創(chuàng)了數(shù)學(xué)的新時(shí)代，為研究變量和

函數(shù)提供了重要的方法和手段。由于新教材不介紹極限的形式化定義及相關(guān)知識(shí)，而是按照“平均變

化率－瞬時(shí)變化率－導(dǎo)數(shù)的概念—導(dǎo)數(shù)的幾何意義”這樣的順序來安排，用形象直觀的“逼近”方法

定義導(dǎo)數(shù)。學(xué)生通過大量實(shí)例，經(jīng)歷由平均變化率到瞬時(shí)變化率刻畫現(xiàn)實(shí)問題的過程，理解導(dǎo)數(shù)概念。

作為本章的起始課，“平均變化率”這一課學(xué)生學(xué)得怎樣，將對(duì)后續(xù)學(xué)習(xí)微積分產(chǎn)生重大影響。

本節(jié)課通過4個(gè)情境、3個(gè)思考、2個(gè)活動(dòng)、3個(gè)例題、1個(gè)練習(xí)構(gòu)成一個(gè)及時(shí)反饋的學(xué)習(xí)體系，

不斷調(diào)整和改善學(xué)生的學(xué)習(xí)進(jìn)程。從問題情境出發(fā)到數(shù)學(xué)概念的建立，通過應(yīng)用再拓展概念，從而更

深層次的理解概念，體現(xiàn)了從傳統(tǒng)的講授式教學(xué)向探究式教學(xué)的轉(zhuǎn)變，從而使學(xué)生經(jīng)歷、體驗(yàn)、感悟

概念，達(dá)到教學(xué)目的。本課中，教師精選了大量豐富多彩的的問題情景，緊密聯(lián)系生活實(shí)際，內(nèi)容的

選擇和呈現(xiàn)關(guān)注現(xiàn)實(shí)意義和學(xué)生的經(jīng)驗(yàn)及興趣，使學(xué)生體會(huì)“平均變化率”知識(shí)的發(fā)生、發(fā)展過程，

加深了學(xué)生對(duì)“平均變化率”的感受和理解。

本課中，教師對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)的評(píng)估上追求評(píng)價(jià)主體