《平均變化率》教案及教案說明

平均變化率

一、教學目標

通過豐富的實例，讓學生經(jīng)歷平均變化率概念的形成過程，體會平均變化率是刻畫變量變化快

慢程度的一種數(shù)學模型；

理解平均變化率的概念，了解平均變化率的幾何意義，會計算函數(shù)在某個區(qū)間上的平均變化率；

感受數(shù)學模型在刻畫客觀世界的作用，進一步領會變量數(shù)學的思想，提高分析問題、解決問題

的能力。

二、教學重點平均變化率概念

教學難點平均變化率概念的形成過程

三、教學方法與教學手段

啟發(fā)式教學與探究式學習相結合。通過生活中的實例，引導學生分析和歸納，讓學生在已

有認知結構的基礎上建構新知識，教師在教學中尤其要關注“誰在學？為什么要學？怎么

學？”利用多媒體輔助教學，突出重點、突破難點，提高教學效率。

四、教學過程

問題情境，感受概念

情境1GDP“猛增”

胡錦濤同志在黨的十七大報告中提出：“增強發(fā)展協(xié)調性，努力實現(xiàn)經(jīng)濟又好又快發(fā)展。

轉變發(fā)展方式取得重大進展，在優(yōu)化結構、提高效益、降低消耗、保護環(huán)境的基礎上，人均國

內生產(chǎn)總值（GDP）到2020年比2000年翻兩番”。（2000年中國人均GDP為856美元，2020

年約為3500美元．）

尤其令人振奮的是：十六大以來，我國國民經(jīng)濟保持平穩(wěn)快速發(fā)展，2002年我國人均GDP

首次超過1000美元，達到1100美元，在短短的4年內于2006年又超過2000美元，達到2010

美元。我國已經(jīng)由低收入國家步入了中等收入國家行列，標志著我國在向全面建設小康社會的

進程中又邁出了堅實的一步。

時間x(年)2000200220062020

人均GDPy(美元)856110020103500

問題1如何從數(shù)學角度刻畫2002年至2006年這4年我國人均GDP“猛增”？

情境2房價“暴漲”

南京龍江小區(qū)近十來年的房價變化如下圖所示：

1

問題2如何從數(shù)學角度刻畫房價“暴漲”？

情境3股指“跳水”

2007年9月25日滬市A股走勢圖

上證指數(shù)

時間相差180分鐘

5510

5460

5396

5390

9:30A11:1511:25B時間

問題3如何從數(shù)學角度刻畫股指“跳水”？

情境4氣溫“陡升”

現(xiàn)有某市2004年3月和4月某天日最高氣溫記載如下列圖表所示：

時間t(d)3月18日4月18日4月20日

日最高氣溫T(℃)3.5℃18.6℃33.4℃

T(℃)

C(34,33.4)

30

20

B(32,18.6)

10

A(1,3.5)

2

0210203034t(d)

問題4:如何從數(shù)學角度刻畫氣溫“陡升”？

建立模型，形成概念

問題5用怎樣的數(shù)學模型刻畫函數(shù)值變化的快慢程度？

思考1你能給出函數(shù)f(x)在區(qū)間[x，x]上平均變化率的定義嗎？

12

f(x)f(x)

定義函數(shù)f(x)在區(qū)間[x，x]上平均變化率為21。

12xx

21

思考2平均變化率有怎樣的幾何意義？

平均變化率的幾何意義就是函數(shù)f(x)圖象上兩點(x,f(x))、(x,f(x))所在直線的斜率。

1122

探究活動，感悟概念

2

活動1(1)在經(jīng)營某商品中，甲掙到10萬元，乙掙到2萬元，據(jù)此，你能評價甲、乙兩人的

經(jīng)營成果嗎？

(2)甲、乙兩人投入相同的資金經(jīng)營某商品，甲用5年時間掙到10萬元，乙用5個月

時間掙到2萬元，你能評價甲、乙兩人的經(jīng)營成果嗎？

活動2試舉出生活中與平均變化率有關的例子。

例題講解，運用概念

例1某嬰兒從出生到第12個月的體重變化如圖所示，試分別計算從出生到第3個月與第6

個月到第12個月該嬰兒體重的平均變化率。

例2已知函數(shù)f(x)=2x+1，g(x)=－2x，分別計算在區(qū)間[－3，－1]、[0，5]上f(x)及g(x)

的平均變化率。

反饋練習，鞏固概念

一運動質點的位移S與時間t滿足S(t)=t2，分別計算S(t)在下列區(qū)間上的平均變化率。

(位移單位為m,時間單位為s)

(1)[1，3]；(2)[1，2]；(3)[1，1.1]；(4)[1，1.001]；

(5)[1，1.0001]；(6)[0.999，1]；(7)[0.99，1]；(8)[0.9，1]。

思考3如何刻畫t=1這一時刻質點運動的快慢程度呢？

回顧反思，理解概念

f(x)f(x)

定義：函數(shù)f(x)在區(qū)間[x，x]上的平均變化率為21。

12xx

21

五、分層作業(yè)

必做作業(yè)第7頁2，3題

選做作業(yè)我們都吹過氣球回憶一下吹氣球的過程,可以發(fā)現(xiàn),隨著氣球內空氣容量的增加,

氣球的半徑增加越來越慢.從數(shù)學角度,如何描述這種現(xiàn)象呢?

思考作業(yè)一運動質點的位移S與時間t滿足S(t)=t2,如何刻畫t=1這一時刻質點運動的快

慢程度呢？

(位移單位為m,時間單位為s)

六、板書設計

平均變化率

一、問題情境例1列式

1.GDP“猛增”2.房價“暴漲”3.股指“跳水”4.氣溫“陡升”解：

二、建立概念3

三、應用拓展

程，在此基礎上，可以幫助學生克服思維障礙。

六、回顧反思，感悟升華

【教學安排】開放式小結

【設計意圖】

通過開放式小結，使學生學會學習，培養(yǎng)學習的主動性。這個小結意在提煉今天這節(jié)課的主要內

容，通過回顧反思，關注了學生的情感態(tài)度價值觀，也梳理了學生學習的情意過程。

七、教學效果分析：

微積分的創(chuàng)立是數(shù)學發(fā)展中的里程碑，它的發(fā)展和廣泛應用開創(chuàng)了數(shù)學的新時代，為研究變量和

函數(shù)提供了重要的方法和手段。由于新教材不介紹極限的形式化定義及相關知識，而是按照“平均變

化率－瞬時變化率－導數(shù)的概念—導數(shù)的幾何意義”這樣的順序來安排，用形象直觀的“逼近”方法

定義導數(shù)。學生通過大量實例，經(jīng)歷由平均變化率到瞬時變化率刻畫現(xiàn)實問題的過程，理解導數(shù)概念。

作為本章的起始課，“平均變化率”這一課學生學得怎樣，將對后續(xù)學習微積分產(chǎn)生重大影響。

本節(jié)課通過4個情境、3個思考、2個活動、3個例題、1個練習構成一個及時反饋的學習體系，

不斷調整和改善學生的學習進程。從問題情境出發(fā)到數(shù)學概念的建立，通過應用再拓展概念，從而更

深層次的理解概念，體現(xiàn)了從傳統(tǒng)的講授式教學向探究式教學的轉變，從而使學生經(jīng)歷、體驗、感悟

概念，達到教學目的。本課中，教師精選了大量豐富多彩的的問題情景，緊密聯(lián)系生活實際，內容的

選擇和呈現(xiàn)關注現(xiàn)實意義和學生的經(jīng)驗及興趣，使學生體會“平均變化率”知識的發(fā)生、發(fā)展過程，

加深了學生對“平均變化率”的感受和理解。

本課中，教師對學生學習的評估上追求評價主體