13《函數的奇偶性與單調性教案》(新人教A版必修1)

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高中數學備課組日期學生狀況：教師陳瑋祺上課時間班級高一學生主課題:函數的奇偶性與單調性教學目的：1．理解函數的奇偶性與單調性的定義；2．把握函數的奇偶性與單調性的性質；3.會判斷一個函數的奇偶性與單調性；4.能夠利用函數的奇偶性與單調性解答相關的函數問題。教學重點：對函數的奇偶性和單調性性質的理解和運用教學難點：函數的奇偶性和單調性的綜合運用教學內容.版權所有@高考資源網

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知識精要1．奇函數（1）定義對于定義域D關于原點對稱的函數y=f(x)，若任意x?D，都有f(x)=-f(-x)成立，則我們稱f(x)為奇函數。（2）判斷方法①根據定義判斷②f(x)+f(-x)=0③f(-x)/f(x)=-1（f(x)?0）④圖像：奇函數的圖像關于原點對稱（3）一個重要性質：若x=0在奇函數f(x)的定義域內，則必有f(x)=0。2.偶函數（1）定義對于定義域D關于原點對稱的函數y=f(x)，若任意x?D，都有f(x)=f(-x)成立，則我們稱f(x)為偶函數。（2）判斷方法①根據定義判斷②f(x)-f(-x)=0③f(-x)/f(x)=1（f(x)?0）④圖像：偶函數的圖像關于y軸對稱（注：對于定義域D關于原點對稱的函數f(x)，若任意x?D，均有f(x)=0，則f(x)為既奇又偶函數。）3.函數的單調性（1）定義：函數y=f(x)，定義域為D，若任意x1f(x2)成立，則f(x)為單調遞減函數。（2）判斷步驟①設x10,判斷f(x)的單調性。解析：當a>0且b>0時，y1=a·2單調遞增，y2=b·3單調遞增，所以f(x)=a·2+b·3單調遞增。當a0，得a=1當x?1時，f(x)+g(x)=x-1+x+2x+1=x+3x,在[1,+∞)遞增。222當x高考資源網（）您身邊的高考專家

x?logax，在x∈(0,1/2)上恒成立，求a的取值范圍。例7.不等式a?1時logax?0，原不等式顯然不成立。解析：由于x∈(0,1/2)，所以若2y?logax在(0,1/2)上單調遞減。故a∈(0,1)，此時11111144a?loga??logaa，求出得：?a，即16242所以a∈[1/16,1)題型5：奇偶性與單調性的綜合運用例8.已知y=f(x)為奇函數，在（0，+∞）上f(x)0。任取x10,1－x1x2>0，∴又(x2－x1)－(1－x2x1)=(x2－1)(x1+1)0,1?x2x1x2?x1x?x13a2－2a+1.解之，得0－時，f(x)>0.求證：f(x)是單調遞增函數。22.版權所有@高考資源網

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解析：證明：設x1＜x2,則x2－x1－>－,由題意f(x2－x1－)>0,∵f(x2)－f(x1)=f［(x2－x1)+x1］－f(x1)=f(x2－x1)+f(x1)－1－f(x1)=f(x2－x1)－1=f(x2－x1)+f(－12121211)－1=f［(x2－x1)－］>0,22∴f(x)是單調遞增函數.自我測試：1.以下函數中的奇函數是()x?1A.f(x)=(x－1)1?x2??x?x(x?0)C.f(x)=?2???x?x(x?0)lg(1?x2)B.f(x)=2|x?2|?2D.f(x)=1?sinx?cosx1?cosx?sinx2.函數f(x)=1?x2?x?11?x?x?12的圖象()B.關于y軸對稱D.關于直線x=1對稱A.關于x軸對稱C.關于原點對稱3.函數f(x)?3?2x?x2的遞增區(qū)間是————————————————————————。4.已知f(x)?x?ax?bx?8，且f(-2)=10，則f(2)=．25.已知y?f(x)是定義在R上的奇函數，當x?0時，f(x)?x?2x?1，求f(x)53在R上的表達式．.版權所有@高考資源網

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f(x)?x2?2x?16.函數f(x)的定義域是R，對任意的實數x，y都有f(x)?f(y)?f(x?y)，當x?0，f(x)?0，判斷函數的奇偶性與單調性．exa?7.設a>0,f(x)=是R上的偶函數，aex（1）求a的值；（2）證明：f(x)在(0，+∞)上是增函數。自測題答案與解析：22?(x?0)?(x?0)?x?x??(x?x)1.f(－x)=?=－f(x)，故f(x)為奇函數.??22?(x?0)?(x?0)??x?x??(?x?x)答案：C2.計算得f(－x)=－f(x),所以f(x)是奇函數，圖象關于原點對稱.3.在定義域[0,+∞）上單調遞增，在（-∞，-1]上單調遞增，在（-1，+∞）上單調遞減。所以復合之后，原函數在[0,+∞)上是單調遞減函數。4.將等式右邊的-8移到等式左邊之后，右邊就成了奇函數。然后利用奇函數的f(-x)=-f(x)計算。答案：f(2)=-26.版權所有@高考資源網

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f1(x)?xf2(x)?3?2x?x2??(x?1)2?4高考資源網（）您身邊的高考專家

5.奇函數滿足f(-x)=-f(x)，x>0時的解析式是，可以得出x0，可得f(x+y)-f(x)=f(y)>0。所以f(x)是單調遞增函數。2exa1?x?x+aex7.（1）依題意，對一切x∈R,有f(x)=f(－x),即aeae1x11)(e－x)=0.因此，有a－=0,即a2=1,又a>0,∴a=1eaa111（2）設0＜x1＜x2,則f(x1)－f(x2)=ex1?ex2?x?x?(ex2?ex1)(x?x?1)e1e2e12整理得(a－?e(ex1x2?x11?ex1?x2?1)x?xe12由x1>0,x2>0,x2>x1,∴ex2?x1?1>0,1－ex1?x2＜0,∴f(x1)－f(x2)＜0,即f(x1)＜f(x2)∴f(x)在(0,+∞)上是增函數.版權所有@高考資源網

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