復(fù)雜系統(tǒng)里的一些基本數(shù)學(xué)工具

復(fù)雜系統(tǒng)里的一些基本數(shù)學(xué)工具第1頁，共15頁，2023年，2月20日，星期四3.1經(jīng)典統(tǒng)計(jì)系綜先從經(jīng)典統(tǒng)計(jì)出發(fā)：給定系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)狀態(tài)可用系統(tǒng)的廣義坐標(biāo)q和與之共軛的廣義動(dòng)量p來確定。對(duì)由N個(gè)粒子組成的系統(tǒng)，可記為(q1,q2,…qN;p1,p2,…pN)=(p,q)，其中(qi,pi)為第i個(gè)粒子的坐標(biāo)和動(dòng)量。(p,q)是6N維的相空間(Γ空間)的一個(gè)代表點(diǎn)，稱為相點(diǎn)，它代表系統(tǒng)的一個(gè)微觀狀態(tài)。代表點(diǎn)在?？臻g的運(yùn)動(dòng)反映系統(tǒng)微觀狀態(tài)的演化。系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)函數(shù)或力學(xué)量：表征系統(tǒng)的狀態(tài)，并能加以觀測(cè)的量，它是q,p的函數(shù)，可記為b(q,p)。其中，表征系統(tǒng)能量的動(dòng)力學(xué)函數(shù)H(q,p)非常重要，稱為哈密頓量(Hamiltonian)。系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程（哈密頓正則方程）：任意力學(xué)量b(q,p)的運(yùn)動(dòng)方程:上面后兩式稱為力學(xué)量b和H的泊松符號(hào)(Poissonbracket)。第2頁，共15頁，2023年，2月20日，星期四統(tǒng)計(jì)系綜：統(tǒng)計(jì)物理認(rèn)為系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)狀態(tài)遵從統(tǒng)計(jì)規(guī)律性（對(duì)比牛頓力學(xué)的確定性）。即在一定的宏觀條件下，某一時(shí)刻系統(tǒng)以一定的概率處于某一狀態(tài)或某種狀態(tài)范圍內(nèi)。并假設(shè)，宏觀量是相應(yīng)微觀量對(duì)系統(tǒng)可能處的所有動(dòng)力學(xué)狀態(tài)的統(tǒng)計(jì)平均值。如何獲得統(tǒng)計(jì)平均值？大量的重復(fù)測(cè)量！統(tǒng)計(jì)系綜：由大量處于相同宏觀條件下，性質(zhì)完全相同而各處于某一微觀狀態(tài)、并各自獨(dú)立的系統(tǒng)的集合。系綜在相空間里的幾何表示是無數(shù)多個(gè)相點(diǎn)的集合。密度函數(shù)D(q,p,t)：相點(diǎn)(q,p)附近單位相體積元內(nèi)相點(diǎn)的數(shù)目。特別地，概率密度函數(shù)ρ(q,p,t)滿足歸一化條件（D=Nρ,N為總粒子數(shù)）：第3頁，共15頁，2023年，2月20日，星期四劉維爾定理系綜的概率密度函數(shù)在運(yùn)動(dòng)中不變，即在體積元dΩ=dqdp里，經(jīng)過時(shí)間dt后，代表點(diǎn)的增加為而通過平面qi(對(duì)應(yīng)的面積為dA=dq1…dqi-1dqi+1dqfdp1…dpf)進(jìn)入的代表點(diǎn)為

通過平面qi+dqi走出的代表點(diǎn)為：因此凈進(jìn)入的代表點(diǎn)數(shù)為：考慮所有qi,pi我們發(fā)現(xiàn)利用正則方程及其推論：我們發(fā)現(xiàn)（劉維爾定理）：第4頁，共15頁，2023年，2月20日，星期四3.2量子統(tǒng)計(jì)系綜由N個(gè)粒子組成的系統(tǒng)的狀態(tài)用波函數(shù)來描寫：ψ(q1,q2,…,qN,t)，時(shí)刻t在(q1,q2,…,qN)找到該N個(gè)粒子的概率為純粹系綜和混合系綜：純粹系綜：每次測(cè)量，系綜中N個(gè)粒子都處于同一態(tài)|ψ>，可以用單一態(tài)矢量來描寫：

這里是純態(tài)態(tài)矢量。混合系綜：每次測(cè)量，系統(tǒng)以一定的概率可處于多個(gè)態(tài)上?；旌舷稻C是由若干純態(tài)混合來描寫，即

參加混合的態(tài)：

各態(tài)混合的概率：P1,P2,,…,Pi,…且

幾個(gè)例子：1.考慮位置空間x，找到粒子處于x的概率密度為：純粹系綜：各間有干涉?；旌舷稻C：各間沒有干涉。

第5頁，共15頁，2023年，2月20日，星期四2.算符的平均值：考慮算符，其平均值為：純粹系綜：各間有干涉?；旌舷稻C：各間沒有干涉。統(tǒng)計(jì)算符統(tǒng)計(jì)算符對(duì)應(yīng)于經(jīng)典統(tǒng)計(jì)物理里的概率密度函數(shù)，其在任意表象中的矩陣形式稱為密度矩陣。對(duì)混合系綜，我們定義統(tǒng)計(jì)算符為：若

為完全正交歸一的基矢（），我們有：第6頁，共15頁，2023年，2月20日，星期四特點(diǎn)：若是正交歸一的態(tài)矢量，則是統(tǒng)計(jì)算符的本征矢，這時(shí)密度矩陣為ρij=Piδij.統(tǒng)計(jì)算符的求和中若只有一項(xiàng)i不為零，我們回到了純粹系綜。因此我們上面的定義對(duì)兩種系綜都成立。統(tǒng)計(jì)算符的跡為1，與表象無關(guān)。即：統(tǒng)計(jì)算符平方的跡對(duì)混合系綜小于1，對(duì)純粹系綜等于1。統(tǒng)計(jì)算符是厄密算符，故其本征值為實(shí)數(shù)。求統(tǒng)計(jì)算符的兩個(gè)例子：見楊展如書第8-9頁。系綜的熵算符：熵算符的定義為，而系綜的熵由此為：上式最后一個(gè)等式我們已取為的正交歸一的本征態(tài)矢量。這稱作vonNeumann熵。第7頁，共15頁，2023年，2月20日，星期四量子統(tǒng)計(jì)里的劉維爾定理我們可以采用兩種繪景：薛定鄂繪景：態(tài)矢量顯含時(shí)間，而算符不顯含時(shí)間；海森堡繪景：態(tài)矢量不顯含時(shí)間，而算符顯含時(shí)間。用哪個(gè)？注意到，我們采用薛定鄂繪景。此時(shí)：由薛定鄂方程為系統(tǒng)的哈密頓算符，可得所以這就是量子劉維爾方程，其中為量子泊松符號(hào)。第8頁，共15頁，2023年，2月20日，星期四劉維爾方程的形式解：我們可以定義演變算符：，則代入到劉維爾方程中我們發(fā)現(xiàn)若H不顯含t，則

密度算符的形式解為：

如用能量表象的完備正交矢展開，我們發(fā)現(xiàn)：統(tǒng)計(jì)平衡時(shí)（定態(tài)），統(tǒng)計(jì)算符不隨時(shí)間變化，這時(shí)統(tǒng)計(jì)算符和系統(tǒng)的哈密頓算符對(duì)易。若無簡(jiǎn)并，則統(tǒng)計(jì)算符是哈密頓算符的任意函數(shù)；若有簡(jiǎn)并，密度算符是哈密頓算符和所有與哈密頓算符對(duì)易的算符的函數(shù)。反之，若統(tǒng)計(jì)算符是哈密頓算符的任意函數(shù)，則其不隨時(shí)間變化！第9頁，共15頁，2023年，2月20日，星期四3.3幾種平衡態(tài)量子統(tǒng)計(jì)系綜考慮一個(gè)由封閉的、能量孤立的系統(tǒng)組成的系綜。系統(tǒng)體積為V，總粒子數(shù)為N。而能量有微小變化（在E到E+ΔE之間）。等概率假設(shè):孤立系達(dá)到平衡態(tài)時(shí)，系統(tǒng)處于任一可能狀態(tài)的概率相等。

平衡時(shí)統(tǒng)計(jì)算符和哈密頓量對(duì)易，因此在能量表象里ρnm=Pnδnm。若總狀態(tài)數(shù)為Ω(E)，由等概率假設(shè)有任何一個(gè)物理量的平均值為：

特別地，系統(tǒng)的熵為：3.3.1微正則系綜第10頁，共15頁，2023年，2月20日，星期四微正則系綜的極值性質(zhì)：對(duì)由孤立系組成的系綜中，系統(tǒng)狀態(tài)在ΔE內(nèi)的一切可能分布里，微正則分布對(duì)應(yīng)的熵最大（熵增加原理）！證：由于對(duì)所有x>0有：ln(x)>1-1/x，設(shè)是任一個(gè)可能的統(tǒng)計(jì)算符，是微正則分布對(duì)應(yīng)的統(tǒng)計(jì)算符，令，我們發(fā)現(xiàn)：上式兩邊取跡后易知：3.3.2正則系綜考慮一個(gè)封閉系統(tǒng)，它可以與外界交換能量，但不能交換粒子?？稍O(shè)想為與外界大熱源接觸而達(dá)到統(tǒng)計(jì)平衡的系統(tǒng)。平衡時(shí)有確定的粒子數(shù)N，確定的溫度T和確定的體積V。設(shè)系統(tǒng)和熱源組成的復(fù)合系統(tǒng)的總能量為E0，系統(tǒng)處于能量Es（E0>>Es）。這時(shí)熱源可處于能量為Er=E0-Es的任何一個(gè)狀態(tài)，由等概率假設(shè)得：但因此第11頁，共15頁，2023年，2月20日，星期四歸一化后我們發(fā)現(xiàn)：這里Z是配分函數(shù)其中s對(duì)所有粒子數(shù)為N和體積為V的微觀狀態(tài)求和。考慮能量的本征矢，統(tǒng)計(jì)算符可表示為：配分函數(shù)可寫為：任一動(dòng)力學(xué)量的平均值為：自由能定義為：正則系綜的極值性質(zhì)：在具有相同平均能量的所有可能的分布里，正則分布的熵最大（熵增加原理）。證：設(shè)是任一個(gè)可能的統(tǒng)計(jì)算符，是正則分布對(duì)應(yīng)的統(tǒng)計(jì)算符。故有：利用此式即容易得證：第12頁，共15頁，2023年，2月20日，星期四3.3.3巨正則系綜考慮一個(gè)開放系統(tǒng)，它可以與外界交換能量和交換粒子?？稍O(shè)想為與外界大熱源和大粒子源接觸而達(dá)到統(tǒng)計(jì)平衡的系統(tǒng)。平衡時(shí)有確定的化學(xué)勢(shì)μ，確定的溫度T和確定的體積V。設(shè)系統(tǒng)和熱源即粒子源組成的復(fù)合系統(tǒng)的總粒子數(shù)為N，總能量為E，系統(tǒng)的粒子數(shù)為Nn（N>>Nn），處于能量En（E>>En）。這時(shí)熱源可處于粒子數(shù)為Nr=N-Nn，能量為Er=E-En的任何一個(gè)狀態(tài)，由等概率假設(shè)得：但因此歸一化后有：這里Ξ是巨配分函數(shù)，它常寫為：這里是粒子數(shù)為N的正則配分函數(shù)，是易逸度。第13頁，共15頁，2023年，2月20日，星期四考慮能量為E，粒子數(shù)為N的完備本征矢，類似前面的情形容易發(fā)現(xiàn)巨正則系綜的統(tǒng)計(jì)算符為：巨配分函數(shù)可寫為：物理量的平均值為：熱力學(xué)勢(shì)定義為：巨正則系綜的極值性質(zhì)：在具有相同平均能量和平均粒子