第五章-時間序列分析-102

第二篇預測方法與模型預測是研究客觀事物未來開展方向與趨勢的一門科學。統(tǒng)計預測是以統(tǒng)計調(diào)查資料為依據(jù)，以經(jīng)濟、社會、科學技術(shù)理論為根底，以數(shù)學模型為主要手段，對客觀事物未來開展所作的定量推斷和估計。根據(jù)社會、經(jīng)濟、科技的預測結(jié)論，人們可以調(diào)整開展戰(zhàn)略，制定管理措施，平衡市場供求，進行各種各樣的決策。預測也是制定政策，編制規(guī)劃、方案，具體組織生產(chǎn)經(jīng)營活動的科學根底。20世紀三四十年代以來，隨著人類社會生產(chǎn)力水平的不斷提高和科學技術(shù)的迅猛開展，特別是近年來以計算機為主的信息技術(shù)的飛速開展，更進一步推動了預測技術(shù)在國民經(jīng)濟、社會開展和科學技術(shù)各個領(lǐng)域的應用。預測包含定性預測法、因果關(guān)系預測法和時間序列預測法三類。本篇對定性預測法不加以介紹，對后兩類方法選擇以下幾種介紹方法的原理、模型的建立和實際應用，分別為：時間序列分析、微分方程模型、灰色預測模型、人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)。第五章時間序列分析在預測實踐中，預測者們發(fā)現(xiàn)和總結(jié)了許多行之有效的預測理論和方法，但以概率統(tǒng)計理論為根底的預測方法目前仍然是最根本和最常用的方法。本章介紹其中的時間序列分析預測法。此方法是根據(jù)預測對象過去的統(tǒng)計數(shù)據(jù)找到其隨時間變化的規(guī)律，建立時間序列模型，以推斷未來數(shù)值的預測方法。時間序列分析在微觀經(jīng)濟計量模型、宏觀經(jīng)濟計量模型以及經(jīng)濟控制論中有廣泛的應用。第一節(jié)時間序列簡介所謂時間序列是指將同一現(xiàn)象在不同時間的觀測值，按時間先后順序排列所形成的數(shù)列。時間序列一般用J,J,…,J，…來表示，可以簡記為｛^｝。它的時間單位可以是分鐘、1 2 n t時、日、周、旬、月、季、年等。一、時間序列預測法時間序列預測法就是通過編制和分析時間序列，根據(jù)時間序列所反響出來的開展過程、方向和趨勢，進行類推或延伸，借以預測下一段時間或以后假設(shè)干年內(nèi)可能到達的水平。其內(nèi)容包括:收集與整理某種社會現(xiàn)象的歷史資料；將這些資料進行檢查鑒別，排成數(shù)列；分析時間序列，從中尋找該社會現(xiàn)象隨時間變化而變化的規(guī)律，得出一定的模型，以此模型去預測該社會現(xiàn)象將來的情況。二、時間序列數(shù)據(jù)的特點通常，時間序列經(jīng)過合理的函數(shù)變換后都可以看作是由三個局部疊加而成，這三個局部是趨勢項局部、周期項局部和隨機項局部。趨勢性許多序列的一個最主要的特征就是存在趨勢。這種趨勢可能是向下的也可能是向上的，也許比擬陡，也許比擬平緩，或者是指數(shù)增長，或者近似線性?？傊瑫r間序列的趨勢性是依據(jù)時間序列進行預測的本質(zhì)所在。季節(jié)性/周期性當數(shù)據(jù)按照月或季觀測時，通常的情況是這樣的:時間序列會呈現(xiàn)出明顯的季節(jié)性。對季節(jié)性也不存在一個非常精確的定義。通常，當某個季節(jié)的觀測值具有與其它季節(jié)的觀測值明顯不同的特征時，就稱之為季節(jié)性。異常觀測值異常觀測值指那些嚴重偏離趨勢范圍的特殊點。異常觀測值的出現(xiàn)往往是由于某些不可抗拒的外部條件的影響。如1958-1960年自然災害和1966年左右“文化大革命〃對我國經(jīng)濟的影響，造成經(jīng)濟指標陡然下降現(xiàn)象；1992年，我國銀行緊縮政策造成的房地產(chǎn)業(yè)泡沫破滅，而使得房地產(chǎn)業(yè)的經(jīng)濟數(shù)據(jù)發(fā)生突然變化的例子等等。條件異方差性所謂條件異方差性，表現(xiàn)出來就是異常數(shù)據(jù)觀測值成群地出現(xiàn)，故也稱為“波動積聚性〃。由于方差是風險的測度，因此波動存在的積聚性的預測對于評估投資決策是很有用的，對于期權(quán)和其它金融衍生產(chǎn)品的買賣決策也是有益的。非線性對非線性的最好定義就是“線性以外的一切〃。非線性常常表現(xiàn)為“機制轉(zhuǎn)換〃(regimewitches)或者“狀態(tài)依賴(Statependence)。其中狀態(tài)依賴意味著時間序列的特征依賴于其現(xiàn)時的狀態(tài);不同的時刻，其特征不一樣。當時間序列的特征在所有的離散狀態(tài)都不一樣時，就成為機制轉(zhuǎn)換特性。三、時間序列的分類按研究的對象的多少可分為單變量時間序列和多變量時間序列。如果所研究的對象是一個變量，如某個國家的國內(nèi)生產(chǎn)總值，即為單變量時間序列。果所研究的對象是多個變量，如按年、月順序排列的氣溫、氣壓、雨量數(shù)據(jù)，為多變量時間序列。多變量時間序列不僅描述了各個變量的變化規(guī)律，而且還表示了各變量間相互依存關(guān)系的動態(tài)規(guī)律性。按時間的連續(xù)性可將時間序列分為離散時間序列和連續(xù)時間序列。如果某一序列中的每一個序列值所對應的時間參數(shù)為間斷點，那么該序列就是一個離散時間序列。如果某一序列中的每個序列值所對應的時間參數(shù)為連續(xù)函數(shù)，那么該序列就是一個連續(xù)時間序列。按序列的統(tǒng)計特性可分為平穩(wěn)時間序列和非平穩(wěn)時間序列兩類。如果某個時間序列的概率分布與時間t無關(guān)，那么稱該序列為嚴格的〔狹義的〕平穩(wěn)時間序列。如果序列的一、二階矩存在，而且對任意時刻t滿足：〔1〕均值為常數(shù)〔2〕協(xié)方差為時間間隔的函數(shù)那么稱該序列為寬平穩(wěn)時間序列，也叫廣義平穩(wěn)時間序列。反之，不具有平穩(wěn)性，即序列均值不為常數(shù)或協(xié)方差與時間有關(guān)的序列稱為非平穩(wěn)序列。按序列的分布規(guī)律可分為高斯型時間序列和非高斯時間序列。服從高斯分布(正態(tài)分布)的時間序列叫做高斯時間序列，否那么叫做非高斯型時間序列。對于一些非高斯序列，往往可以通過適當?shù)淖儞Q，可近似地看成是高斯型時間序列。四、常用的時間序列分析法時間序列分析預測分為確定性時序分析預測方法和隨機性時序分析預測方法兩大類。確定性時序分析假設(shè)一個時間序列的未來值被某一個數(shù)學函數(shù)嚴格確定，例如：y=cos(2兀ft)這種形式，那么稱該時間序列為確定性的。確定性時間序列分析模型主要包括：移動平均模型、二次滑動平均模型、指數(shù)平滑模型、二次指數(shù)平滑模型和三次指數(shù)平滑模型。隨機時間序列分析假設(shè)一個時間序列的未來值只能用概率分布加以描述，那么稱之為非確定性的時間序列或稱隨機時間序列。隨機時間序列分析模型分為三種類型：自回歸模型〔Auto-regressiveModel〕、滑動平均模型〔MovingAverageModel〕和自回歸滑動平均模型〔Auto-regressiveMovingAverageModel〕。隨機時序分析以隨機過程理論作為其數(shù)學根底，通過對時序數(shù)據(jù)進行分析，完成對時序系統(tǒng)的預測、建模和控制。五、針對時間序列數(shù)據(jù)的建模步驟時間序列模型最主要的特征就是成認觀測值之間的依賴關(guān)系和相關(guān)性，它是一種動態(tài)模型，能夠應用于動態(tài)預測。時間序列預測方法的一般步驟為：確定預測目標明確預測的目標是進行有效預測的前提。預測的目標不同，所需的資料和采用的預測方法也有所不同。有了明確具體的預測目標，才能有的放矢地收集資料。預測目標確實定應盡量明細化、數(shù)量化，以利于預測工作的順利開展。收集資料并進行數(shù)據(jù)的預處理準確調(diào)查的統(tǒng)計資料是統(tǒng)計預測的根底。預測之前，必須掌握大量的、全面的、準確有用的數(shù)據(jù)和情況。為保證統(tǒng)計資料的準確性，必須對資料進行審核、調(diào)整和推算。比方缺損值問題，它破壞了系統(tǒng)運行的連續(xù)性，特別是對于時間序列來說，缺損值違背了時間序列“順序的重要性〃原那么。嚴格來說，不能依據(jù)一個“殘缺〃的序列進行分析，即使強制進行了分析，其結(jié)果也是無意義的。因此必須對缺損值進行預處理：如缺失較少，且缺失數(shù)據(jù)前后無大的波動，那么可用平滑法、開展速度推算法、比例推算法、插值估算法等方式填充數(shù)據(jù)。這些方式既完善了數(shù)據(jù)，也不會使數(shù)據(jù)信息喪失太多。對于數(shù)據(jù)缺失較多的情況，如時間序列中連續(xù)一段時間缺失數(shù)據(jù)，就不能簡單地用平滑的方式填充，因為這樣可能喪失很重要的信息，這種情況下建模毫無意義，只能通過其他途徑重新收集資料。此外，還要對序列中每一個數(shù)據(jù)的指標口徑、計算范圍、計算方法、計量單位等進行認真檢查，假設(shè)存在不一致，那么要運用科學的方法進行調(diào)整，使整個序列中的每一個數(shù)據(jù)除時間屬性不同之外，其所代表的實際意義完全一致。對資料進行初步分析對經(jīng)審核的數(shù)據(jù)應進行初步分析，畫出統(tǒng)計圖形，以觀察統(tǒng)計數(shù)據(jù)的性質(zhì)和分布，以此作為選擇適當預測模型的依據(jù)?！?〕觀察統(tǒng)計圖形是否具有大的波動，如果存在，可能是數(shù)據(jù)采樣時的誤差，也可能是某些經(jīng)濟、政治等偶然性因素的沖擊。特別是在國際期貨、現(xiàn)貨市場上，這種偶然性更是經(jīng)常發(fā)生，使得期貨市場呈現(xiàn)較大波動，現(xiàn)貨市場也隨之波動。這種沖擊或誤差造成的結(jié)果可能是結(jié)構(gòu)性突變，在統(tǒng)計圖形上就表現(xiàn)為突然的持續(xù)上漲或下降。不管是什么原因引起的，如果建模時忽略結(jié)構(gòu)性突變，可能會得到虛假的結(jié)論，即偽結(jié)論?！?〕觀察其統(tǒng)計圖形的大致走勢，是否具有趨勢性、季節(jié)性、周期性或隨機性的特征，以初步判斷這個序列適用哪種時序預測模型。選擇預測方法一方面，通過對資料數(shù)據(jù)的整理、分析，清楚地了解到預測對象的變化情況；另一方面通過對各種時序預測方法在適宜性、費用和精確度方面的綜合衡量，我們就可以選擇出適當?shù)念A測方法。預測和結(jié)果評價進行預測時，不能簡單地依靠某一理論或套用某一模型加以預測，要綜合考慮各方面的情況，因為實際情況錯綜復雜，影響因素眾多。借助于經(jīng)驗判斷、邏輯推理、統(tǒng)計分析等方面的預測判斷，能夠使預測的結(jié)果更為合理，從而得出最后的預測結(jié)果。對預測結(jié)果的評價主要是通過對預測誤差的分析進行的。分析預測的誤差時要考慮以下兩種情況：一是理論預測誤差，即在選用預測方案之前，利用數(shù)學統(tǒng)計模型所估計的理論預測值，與同期的實際觀察值相比而產(chǎn)生的誤差，然后分析、改良，選擇較為適宜的數(shù)學統(tǒng)計模型。二是實際預測誤差，即在選用預測方案之后，追蹤、檢查預測方案的結(jié)果是否符合實際的情況，分析預測誤差的大小以及所造成的原因，總結(jié)經(jīng)驗教訓，進一步改良今后的預測工作。對預測結(jié)果的評價，主要從統(tǒng)計檢驗和直觀判斷兩個方面著手來判斷預測結(jié)果的可信度、是否跟實際情況相吻合等，然后根據(jù)對預測結(jié)果的分析與評價，確定最終的預測值。六、時間序列的優(yōu)、缺點優(yōu)點〔1〕時間序列預測法只需要一個變量在不同時刻的觀測值即可建模，因而得到廣泛應用。〔2〕時間序列預測法沒有過于嚴格的假定條件?！?〕應用隨機時間序列分析時，無需一開始就假設(shè)一個固定的模式，而是先假設(shè)一個試用模式，然后根據(jù)誤差等各種信息來判斷初步假設(shè)的模式是否恰當。如果恰當，那么進行預測；如不恰當，那么修正模型。反復這個過程，可在根本模式方面獲得一個最優(yōu)預測模型，使誤差為最小。所以隨機時間序列預測方法特別適合于處理復雜的時間序列，以及存在多種模式的預測情況，它能利用一套明確規(guī)定的準那么來處理這些復雜的模式?！?〕時間序列是一種精確度很高的短期預測方法，而且既可以做點預測，也可以做區(qū)間預測。缺點事實上，大多經(jīng)濟現(xiàn)象的變化開展是千變?nèi)f化的，在一個較長時間內(nèi)外界影響因素變化的可能性較大，而時間序列分析預測法是根據(jù)預測對象過去和現(xiàn)在的開展變化規(guī)律和趨勢來預測未來的，所以它只能在較短時間內(nèi)做出有效預測。預測的超前時間一般不應超過時間序列歷史區(qū)間的十五分之一。也就是說，假設(shè)時間序列采集的歷史統(tǒng)計數(shù)據(jù)的時間區(qū)間是五年，那么最多只能在此后三到四個月內(nèi)做出較為有效的預測，并且預測時間越長，預測誤差越大。第二節(jié)移動平均模型移動平均法就是根據(jù)歷史統(tǒng)計數(shù)據(jù)的變化規(guī)律，使用最近時期數(shù)據(jù)的平均數(shù)，利用上一個或幾個時期的數(shù)據(jù)產(chǎn)生下一期的預測值。移動平均法是一種常用確實定性時間序列預測法，本節(jié)主要介紹一次移動平均預測法和加權(quán)一次移動平均預測法。一、簡單一次移動平均預測法序列J,J,,J是預測前的實際數(shù)據(jù)組成的時間序列。如果過早的數(shù)據(jù)已失去意義，1 2 n不能反映當前數(shù)據(jù)的規(guī)律，那么可以用一次移動平均法來作預測。即保存最近一個時間區(qū)間內(nèi)的數(shù)據(jù)，用其算術(shù)平均數(shù)作為預測值。

（5.2.1）設(shè)時間序列為｛yt｝，取移動平均的項數(shù)為n，那么第t+（5.2.1）八 y+y++y1寸y=M(1)=—t 1—1 1—n+1=―乙yn nj=1 J其中：七表示第t期實際值；§表示第t+1期預測值〔t>0〕。t+1預測標準誤差為：（5.2.2）上式中，N為時間序列｛y｝所含原始數(shù)據(jù)的個數(shù)。當預測目標的根本趨勢是在某一水平上上下波動時，可用一次移動平均法建立預測模型，即用最近n期序列值的平均值作為未來各期的預測結(jié)果。項數(shù)n的數(shù)值，要根據(jù)時間序列的特點而定，不宜過大或過小。n過大會降低移動平均數(shù)的敏感性，影響預測的準確性；n過小，移動平均數(shù)易受隨機變動的影響，難以反映實際趨勢。一般取n的大小能包含季節(jié)變動和周期變動的時期為好，這樣可消除它們的影響。對于沒有季節(jié)變動和周期變動的時間序列，項數(shù)n的取值要視歷史數(shù)據(jù)的趨勢類型而定。一般來說，如果歷史數(shù)據(jù)的類型呈水平型的開展趨勢，那么項數(shù)n的數(shù)值可取較大的數(shù)；如果歷史數(shù)據(jù)的類型呈上升〔或下降〕的開展趨勢，那么項數(shù)n的數(shù)值應取較小的數(shù)，這樣能夠取得較好的預測結(jié)果。例1表5—1第二行為某種商品一月到十二月的實際銷售量。假定未來的銷售情況與近期銷售情況有關(guān)，而與較遠時間的銷售情況聯(lián)系不大，試用一次移動平均法預測下一年一月份的銷售量。表5—1 某種商品的實際銷售量單位：件月份 123456789 1011 12實際 _ _ __ 一15001725 15101720133015351740181017601930銷售20001858三個月1578165215201528153516951770平滑值18331897五個月15571564156716271635平滑值17551848解用三個月移動平均預測下一年一月份的銷售量為x13=氣2+氣］+氣°=1858+2000+1930?1929x13=__3~~10 3用五個月移動平均值預測下一年一月份的銷售量為八x+x+x+x+x1858+2000+1930+1760+1810…°x= h 10 9 = 澆187213 5 5由于五個月移動平均值對十二月份的銷售量擬合較好〔參照表5-1最后一列〕，可以認為預測值1872比1929準確。二、加權(quán)一次移動平均預測法簡單一次移動平均預測法，是把參與平均的數(shù)據(jù)在預測中所起的作用同等看待，但實際中參與平均的各期數(shù)據(jù)所起的作用往往是不同的。為此，需要采用加權(quán)移動平均法進行預測，加權(quán)一次移動平均預測法是其中比擬簡單的一種。計算公式如下：八Wy+Wy+ +Wyy=—1―t 2―t n―tn+1=LWy:W V5.2.3Jt+1 W+W+…+W it—i+1, i1 2 n i=1 i=1其中：yt表示第t期的實際值；y表示第t+1期預測值;t+1W表示權(quán)數(shù)；in表示移動平均的項數(shù)。預測標準誤差的計算公式與簡單一次移動平均預測法的相同。例2某企業(yè)1-11月份的銷售收入時間序列如表5—2中的第2列所示。取n=3，并取權(quán)數(shù)W=3,W2=2,W3=1，試用加權(quán)一次移動平均預測法預測12月份的銷售收入。解八Wy+Wy+Wy3x606.9+2x574.6+1x533.8y=巳土S= =584.0嗎+W2+W3 3+2+1其余依次類推，那么八Wy+Wy+Wy 3x1102.7+2x1015.1+1x963.9y=———= 3——2~1 =1050.41 2 3其預測標準誤差為=100.1e .'80180.7=100.1S =11—3故第12月份銷售收入的預測值為1050.4元。其它月份的預測值見表5—2。單位：萬元月份t銷售收入yt三個月加權(quán)移動平均預測值yt+1yt+1-yt+1rav[yt+1-yt+J1234561034789101112Z移動平均法適合于短期預測。這種方法的優(yōu)點就在于簡單方便，但是對于波動較大的時序數(shù)據(jù)，預測的精度不高，誤差很大。一般來說歷史數(shù)據(jù)對未來值的影響是隨著時間間隔的增長而遞減的，或者數(shù)據(jù)的變化呈現(xiàn)某種周期性或季節(jié)性等特性，所以移動平均法權(quán)重的賦予方式就會使計算結(jié)果產(chǎn)生很大的誤差。第三節(jié)指數(shù)平滑模型與移動平均預測法不同，指數(shù)平滑法采用了更切合實際的方法，即對各期觀測值依時間順序進行加權(quán)平均作為預測值。本節(jié)主要介紹一次指數(shù)平滑法和二次指數(shù)平滑法。一、一次指數(shù)平滑法一次指數(shù)平滑法是利用前一時刻的數(shù)據(jù)進行預測的方法。它適用于變化比擬平穩(wěn)，增長或下降趨勢不明顯的時間序列數(shù)據(jù)的下一期的預測。其模型是J廣ky^1+(1-k)y,1 G.3.1)其中：y表示第t-1期實際值；t-1yt表示第t期預測值；k稱為平滑系數(shù)，0<k<1。G.3.1)式說明只需前一時期的觀測值及預測值即可預測本期值。每期預測值雖然只用了上期的觀測值和預測值，但實際上包含了以前各個時刻數(shù)據(jù)的影響。從而，指數(shù)平均法可看成是移動平均法的推廣。平滑系數(shù)k的取值對預測值的影響是很大的，但目前還沒有一個很好的統(tǒng)一選值方法，一般是根據(jù)經(jīng)驗來確定的。當時間序列數(shù)據(jù)是水平型的開展趨勢類型，k可取較小的值，一般在0~0.3之間；當時間序列數(shù)據(jù)是上升〔或下降〕的開展趨勢類型，k應取較大的值，一般在0.6~1之間。在進行實際預測時，可選不同的k值進行比擬，從中選擇一個比擬適宜的。

在實際預測時，還要確定初始值。一般來說，如果只有一期數(shù)據(jù)或少量數(shù)據(jù)，沒有其它任何信息，可以取序列的第一個數(shù)據(jù)為初值；如果數(shù)據(jù)較多，可以取前幾期的數(shù)據(jù)或前一半的數(shù)據(jù)的平均值作為初值;也可以用專家估計方法或其它預測方法預測出的第一期數(shù)據(jù)作為初值；如對初值的選取把握不大，開始時可選取較大的知以減輕預測值對初值的依賴，過一段時間后再把k值降下來。例1某倉庫2002年1月至12月鉆頭的實際使用量如表5-3所示，要求對2003年1月鉆頭需求量進行預測。表5-3鉆頭實際用量表單位：個月份123456 7 891011 12使用量273533373538 48 41434937 40解假設(shè)取上年度〔2001年〕鉆頭使用的實際平均值35作為2002年1月份的初始預測值，即寧廣35；取不同平滑系數(shù)k=0.2、0.5、0.8，每個月的預測數(shù)據(jù)如表5-4所示。表5-4鉆頭實際用量—預測用量對照日期實際用量預測值k=0.2k=0.5k=0.82002年1月273535352002年2月35312002年3月33332002年4月37332002年5月35352002年6月38352002年7月482002年8月412002年9月4342002年10月492002年11月372002年12月402003年1月二、二次指數(shù)平滑法二次指數(shù)平滑預測法是對一次指數(shù)平滑值再作一次指數(shù)平滑來進行預測的一種方法，但第t+1期預測值并非第t期的二次指數(shù)平滑值，而是采用以下計算公式進行預測：（5.3.2）叩="+(1-k)項（5.3.2）<S⑵=kS⑴+(1-k)S⑵t t t-1§ =a+bTVt+T tt其中：S⑴表示第t期的一次指數(shù)平滑值；tS⑵表示第t期的二次指數(shù)平滑值；t七表示第t期實際值；§*t表示第t+T期預測值；k表示平滑系數(shù)；a=2S（1）-S（2）b=-^SQ）—S（2））^ 1—k* * 。初值S⑴S（2）的取值方法與y的取法相同。0、 0 1例2表5—5中第2列數(shù)據(jù)是某股票在8個連續(xù)交易日的收盤價，試用二次指數(shù)平滑法預測第9個交易日的收盤價?！睸0D=S02）=七，k=0.4〕表5—5某股票價格 單位：元ty*S⑴S(2)Ayt+1-yt+1rav[y*+1-y*+J2009Z解利用公式G.3.2）計算得到的一、二次平滑值如表5—5第3、4列所示。因此a=2S⑴—S（2）=2x17.18—16.98=17.388k（8 ）04b-S⑴-S（2））= .X（17.18-16.98）^0.138 1一k8 8 1一0.4于是，有y=a+bT=17.38+0.13T8+T 8 8取T=1，得到y(tǒng)=a+bT=17.38+0.13=17.51〔元〕8+1 8 8故而得到第9個交易日收盤價的預測值為17.51元。第四節(jié)隨機時間序列模型隨機時間序列模型是一種精確度較高的短期預測方法。其根本思想是：某些時間序列是依賴于時間*的一組隨機變量，構(gòu)成該序列的單個序列值雖然具有不確定性，但整個序列的變化卻有一定的規(guī)律性，可以用相應的數(shù)學模型近似描述。通過對該數(shù)學模型的分析研究，能夠更本質(zhì)地認識時間序列的結(jié)構(gòu)與特征，到達最小方差意義下的最優(yōu)預測。本節(jié)將對隨機

時間序列分析的三種模型的模型識別及參數(shù)估計作簡要的介紹。一'自回歸模型假設(shè)時間序列yt為它的前期值和隨機項的線性函數(shù)，表示為y=甲y+甲y+…+甲y+日t1t—1 2t—2 pt—p t那么稱該時間序列｛y｝為自回歸序列，該模型為p階自回歸模型〔Auto-regressiveModel〕，t記為AR（p）。其中：參數(shù)甲],%,-,甲為自回歸參數(shù)，是模型的待估參數(shù)；隨機項已是白噪聲序列〔旦是互相獨立的并且服從均值為 0、方差為52的正態(tài)分布〕；并且隨機項旦與t |1 ty,y，…,y 不相關(guān)。t—1t—2 t—p，t t—1y=中By+中B，t t—1y=中By+中B2yh 中Bpy+Rt1t2t ptt其中進一步有（5.4.2）其中進一步有By=y，B2y=y，…，Bpy=y

t t—1 t t—2 t t—p—甲B—中B2 ^Bp>y=^中（B）=1—中B—中B2 中Bp（5.4.3（5.4.3）平（B）y,=氣對自回歸序列考慮其平穩(wěn)性條件，可以從最簡單的一階自回歸序列進行分析。假設(shè)一階自回歸序列的模型為y=甲y+旦，同樣y=甲y+旦，迭代下去有t t—1t t—1 t—2 t—1y=日+甲日+甲2日+甲3日…對于一階自回歸序列來講，假設(shè)系數(shù)中的絕對值H<1，那么稱這個序列是漸進平穩(wěn)的。對于。階自回歸序列來講，如果是平穩(wěn)時間序列，它要求滯后算子多項式中（B）的特征方程1—甲Z—中Z2 中zp=0的所有根的絕對值皆大于1。即p階自回歸序列的漸平穩(wěn)條件為|z|>1。二、滑動〔移動〕平均模型假設(shè)時間序列｛yt｝中的yt為它前期的誤差和隨機項的線性函數(shù)，可以表示為y=日-。日-。日 0日 （5.4.4）tt1t—1 2t—2 qt—q那么稱該時間序列｛yt｝為滑動平均序列，該模型為q階滑動〔移動〕平均模型〔MovingAverageModel〕，記為MA（q）。參數(shù)0「02,—,0為滑動平均參數(shù)，是模型的待估參數(shù)。G.4.5）引入滯后算子B，同樣（5.4.4）G.4.5）1—0]B—02B2 0Bqh=y令0(B)=1-0B-0B2 0Bq那么模型可寫為 qj=0(B川 (5.4.6)為使得MA(q)過程可以轉(zhuǎn)換成一個自回歸過程:需要0-1(B)收斂。而0-1(B)收斂的充分必要條件是0(B)的特征方程1-0z-0Z2 0zq=0的所有根的絕對值皆大于1,即|z|>1。這個條件是MA(q)序列的必須滿足的可逆性條件，而且當這個可逆性條件滿足時，有限階自回歸序列等價于某個無限階移動平均序列。三、自回歸滑動平均模型假設(shè)時間序列3」中七為它的當前值與前期的誤差和隨機項的線性函數(shù)，那么可以表示為j=甲j+甲j+…+甲j+p-0p-0p 0p (5.4.7)t1 t-1 2 t-2 p t—p t1 t-1 2 t-2 q t-q那么稱該時間序列｛jt｝為自回歸滑動平均序列。又由于模型包含P項自回歸模型和q項滑動平均模型，因此該模型稱為自回歸滑動平均模型〔Auto-regressiveMovingAverageMode〕，記為ARMA(p,q)。參數(shù)甲，甲，…,甲為自回歸參數(shù)，0,0,-",0為滑動平均參數(shù)，是模1 2 /P、 1 2q型的待估參數(shù)。引入滯后算子B，(5.4.7)式可以表示為甲(B)j=0(B)p (5.4.8)對于ARMA(p,q)模型，其平穩(wěn)性條件同AR(p)和MA(q)。四、隨機時間序列分析模型〔AR,MA,ARMA〕的識別自回歸滑動平均模型〔ARMA〕是隨機時間序列分析模型的普遍形式，自回歸模型〔AR〕和滑動平均模型〔MA〕是它的特殊情況。關(guān)于這幾類模型的研究，是時間序列的重點內(nèi)容，本節(jié)主要介紹模型的識別的方法和進行模型參數(shù)估計時常用的一些方法。1.自相關(guān)函數(shù)和偏相關(guān)函數(shù)對于ARMA模型，在進行參數(shù)估計之前，需要進行模型的識別。識別的根本的任務是找出ARMA(p,q)、AR(p)、MA(q)模型的具體特征，最主要的是確定模型的階，即ARMA(p,q)中的p和q，AR(p)中的p以及MA(q)中的q。識別的方法是利用時間序列樣本的自相關(guān)函數(shù)和偏相關(guān)函數(shù)?！?〕AR(p)的自相關(guān)函數(shù)模型(5.4.1)j=甲j+甲j+…+甲j+Pt 1t-1 2t-2 pt-p t的自協(xié)方差函數(shù)為疽El'+=甲r+甲r+…+甲r1k-1 2k-2 pk一p

從而有自相關(guān)函數(shù)P=二=pP+甲P+…+甲P

kr1k-1 2k-2 pk-p從而有自相關(guān)函數(shù)0（5.4.9）AR(p)序列的自相關(guān)函數(shù)是非截尾序列，或稱為拖尾序列，所謂的拖尾型是指咨趨于無窮大時Pk呈負指數(shù)衰減趨于零。換句話說AR(p)序列的自相關(guān)函數(shù)不能在某一步之后為零，而是按負指數(shù)率衰減。自相關(guān)函數(shù)的拖尾現(xiàn)象是AR(p（5.4.9）由(5.4.9)，利用Pk=Pk，得到如下方程組：P=甲+甲P+…+甲P1 1 21 pp-1P=甲P+甲P+…+P（5.4.10）P=甲P+甲P=甲P+甲P+…+P（5.4.10）此方程組被稱為Yule—Walker方程組。假設(shè)模型參數(shù)甲］，甲2，…，甲，可求P,P，…,P，然后遞推下去，可求得P(k>p)；反過來，假設(shè)P,P，…,P"，模型參12 p k 12 p數(shù)通過求解方程組得到甲］,%,-,*。〔2〕MA(q)的自相關(guān)函數(shù)模型(5.4.4)y=日—0日—0日—??,—0日tt1t—1 2t—2 qt—q自相關(guān)函數(shù)為P二」Io

kP二」Io

kr k0l0+991k+1+...+99）（+92+92+...+92）q-kq. 1 2 qk=01<k<qk>q（5.4.11）由此可見，當k>q時，yt與y*k不相關(guān)，并且Pk=0，這種現(xiàn)象稱為截尾。換句話說，可以根據(jù)自相關(guān)系數(shù)是否從某一點開始一直為零來判斷MA(q)模型的階?！?〕ARMA(p,q)的自相關(guān)函數(shù)ARMA(p,q)的自相關(guān)函數(shù)可以看作MA(q)的自相關(guān)函數(shù)和AR(p)的自相關(guān)函數(shù)的混合。當p=0時，它具有截尾性質(zhì)；當q=0時，它具有拖尾性質(zhì)，當p、q都不為零時，它具有拖尾性質(zhì)。經(jīng)過推導得到ARMA(p,q)的自協(xié)方差函數(shù)為r=甲r+甲r+ 甲rk1k-12k-2 pk-p+r(k)-9r(k-1) 9r(k-q)y日 1y日 qy日

其中/X[0 k>0匕（k）=E"七k2甲 k<0Ip-k所以，當k>q時，r二甲r+甲rH 甲rk 1k-12k-2 pk-p（5.4.12）ARMA（p,q）的自相關(guān)函數(shù)為（5.4.12）p=L=pp+甲p+…+甲pkr1k-1 2k-2 pk-p0可見，ARMA（p,q）的自相關(guān)函數(shù)Pk，當k>q時，僅依賴于模型參數(shù)甲］,%，…,甲，以及Pk1，Pk2，…,Pkp?！?〕偏相關(guān)函數(shù)所謂偏相關(guān)函數(shù)，是隨機序列模型的另一個統(tǒng)計特征，它是在序列值七-1,七-2,…,七-k-1的條件下，關(guān)于七,y『k之間關(guān)系的度量。下面以AR（p）為例認識偏相關(guān)函數(shù)的定義。假定先以AR（k-1）去擬合一個序列，然后又用AR（k）去擬合，后者比前者增加了一個滯后變量y_。如果中持表示后者的自回歸系數(shù)，那么相應于滯后變量y的系數(shù)就是平，稱為偏自相關(guān)系數(shù)。根據(jù)AR（p）的拖尾性t-k kk質(zhì)以及偏自相關(guān)系數(shù)的含義，可以采用方差最小原那么來求得偏自相關(guān)系數(shù)m 當1<j<p，k=p,p+1,…^=\j,kj［。當j>p由此得到AR（p）的主要特征是k>p時，Pkk=0，既是Pkk在p以后截尾。對于ARMA（p,q）與MA（q）模型，可以證明它們的偏相關(guān)函數(shù)是拖尾的。2.模型的識別〔1〕AR（p）模型的識別。假設(shè)y,的偏自相關(guān)函數(shù)Pkk在p以后截尾，即k>p時，平以二0，而且它的自相關(guān)函數(shù)Pk是拖尾的，那么此序列是適合自回歸模型的序列?！?〕MA（q）模型的識別。假設(shè)隨機序列的自相關(guān)函數(shù)截尾，即自q以后P廣0，k>q，而它的偏相關(guān)函數(shù)是拖尾的，那么此序列是適合滑動平均模型的序列。〔3〕ARMA（p,q）模型的識別。假設(shè)隨機序列的自相關(guān)函數(shù)和偏相關(guān)函數(shù)都是拖尾的，那么此序列是適合自回歸滑動平均模型的序列。至于模型中p和q的識別，那么要從低階開始逐步試探，直到定出適宜的模型為止。五、隨機時間序列分析模型〔AR,MA,ARMA〕的參數(shù)估計經(jīng)過模型識別，確定了時間序列分析模型的模型結(jié)構(gòu)，接著就可以對模型進行參數(shù)估計。AR（p）、MA（q）、ARMA（p,q）模型參數(shù)的估計方法較多，大體上分為三類：最小二乘估

計、矩估計和利用自相關(guān)函數(shù)直接估計。下面有選擇地加以介紹。1.AR(p)的最小二乘估計假設(shè)模型(5.4.1)的參數(shù)估計值P,P,????已經(jīng)得到，有12 p△+△+|L1t-2yt=P1yt1+P_yt-2殘差的平方和為頂△2

=乙口t頂△2

=乙口tt=p+1方Pt=p+11yt—1t-2A2p't一。j（5.4.13）根據(jù)最小二乘原理，所要求的參數(shù)估計值P一,P_,.pp應該使得(5413)到達極小。所以它們應該是以下方程組的解:j=1,2,…,pt=p+1r t=p+1r ,△\L1yt一"2-t—2△-Ppt-pJy--j=0 jT，2,…,p（5.4.14）解該方程組，就可得到待估參數(shù)的估計值。2.MA0)模型的矩估計將MA(q)模型的自協(xié)方差函數(shù)中的各個量用估計值代替，得到,2A1—9+00+...+0 0k1k+k1k+1kk62（1+c2+°2+...+C四22（5.4.15）12k0利用實際時間序列提供的信息，首先求得自協(xié)方差函數(shù)的估計值，于是(5.4.15)是一個包含(q+1)個待估參數(shù)估計值9『92,.,0q,62的非線性方程組，可以用直接法或迭代法求解。常用的迭代法有線性迭代法和Newton-Raphsan迭代法。具體的求解過程不再贅述，讀者可參考其它時間序列分析的教科書。3.ARMA(p,q)模型的矩估計在ARMA(p,q)中共有(p+q+1)個待估參數(shù)P,P，…,P與9,0,…,0以及62，12p12q |1其估計量計算步驟及公式如下：〔1〕估計P],P2，…,Pp

八中八中A1中2:=APAqPq+1:APq—1APq……APq—p+1PAq一p—1AP"Aq+2?APAP…APpLp」Lq+p—1q+p—2quq+p-1（5.4.16）其中P.是樣本的自相關(guān)函數(shù)的估計值，由觀測數(shù)據(jù)計算得到?！?〕改寫模型，求°,0，…,0及n2的估計值12qR將模型(5.4.7)改寫為j一甲j一甲j 甲j=日一0日一0日 0日t1 t—1 2 t—2 p t—p t1 t—1 2 t—2 q t—q令? △ △ △J=J一甲J一甲J 甲Jtt1t—12t—2 pt—p于是上式可以寫成J=R-0R-0R-,,,一0Rtt1t—12t—2 qt—q構(gòu)成一個MA（q）模型。按照估計MA（q）模型參數(shù)的估計方法，可以得到0,0,…,0及。212q |1的估計值。第五節(jié)隨機時間序列模型應用時間序列模型的應用是廣泛的，下面通過一個例子探討如何利用樣本建立時間序列模型，并通過時間序列模型對某種經(jīng)濟現(xiàn)象進行分析和預測。一、時間序列模型的計算公式TOC\o"1-5"\h\z設(shè)有模型J，如果J(/)表示在J,J，…的條件下，對J作出的預測值，稱它為l步t t tt—1 t+l預測，其l步預測誤差為：u(l)=J—J(l)t t+l t并且最優(yōu)的預測值就是其條件期望值：J=J(l)=E(jJ,j，…,J)t+l t t+ltt—1 1假設(shè)有一平穩(wěn)可逆的ARMA(p,q)模型，它可以表示為三種等價形式：8(l)J=0(l)u (5.5.1)j=w(l)u (5.5.2)u=兀(l)j (5.5.3)其中：w(l)=8-1(l)0(l)=1+工Wlj；jj=1兀(l)=0-1(l)8(l)=1一切兀lj。j=1如果考慮向前l(fā)步預測，也就是說用第t期及前期的序列觀測值，即jt,Jt—］，…對未來時

并假設(shè)(5.5.4)TOC\o"1-5"\h\z刻t+/的序列七+z的值進行估計。假設(shè)以時刻t為起點，l步的預測值為*(/)寧(l)=CJ+CJ+CJ+…t 0t1t-1 2t-并假設(shè)(5.5.4)顯然這種預測是線性的，選擇系數(shù)C，j=0,1,2,…使得預測誤差￡(l)=y-y(l)的方j(luò) t t+l t差到達最小，即使E(s2(l))=E[y-y(l)]2到達最小。于是就稱y(l)為線性最小方差預/ 、/t、 t+l t t測。由式6.5.2)和(5.5.4)有y(l)**〃+w*u +w*u+…t ltl+1t-1 l+2t-2這樣 E(s2(l))=E[u+乙Wu 一乙w*u]2t t+l jt+l一j l+jt一jTOC\o"1-5"\h\zj=1 j=0=(1+W2+…+W2)b2+]E(W -W*)2b21 l-1 u j+1 l+j uj=0由上式知當W*=W.(j=0,1,2…)時，預測誤差的方差最小，且有j+l j+lE(s2(l))=(1+W2+...+W2)b2由此可以看出預測誤差同預測的起點無關(guān)，而是隨l增大而增大。這樣預測值可表示為:y(l)=wu+wu+wu+…=乙Wut lt l+1t-1 l+2t-2 l+jt-jj=0利用條件期望的根本性質(zhì)，不難推導出ARMA(p,q)模型的預測的更簡明的公式。譬如:一步預測公式：y(1)=E(y|y,y，…,y)+ut「￡0j=1=E(2L+ut「￡0j=1=E(2L?ytj+1j=1y+u|y,y，…,y)jt一j+1 t+1tt-1 1=6y+6y+ $y -O'u-O'u O'u1t2t-1 pt-p+1 1t2t-1 qt-q+1其中u,u_］，…是可計算的觀測殘差。二步預測公式：y(2)=E(y|y,y，…,y)t t+2tt-1 1=6y(1)+6y+ 6y -O'u O'u1t 2t pt-p+2 2t qt-q+2類似的可以求出3步直至l步預測公式。l步預測公式為：y(l)=6y(l-1)+—6y -§u—O'u (5.5.5)t 1t pt-p+l lt qt-q+l特別是當/>p,l>q時，那么式（5.5.5）就為y(i)=6y(特別是當/>p,l>q時，那么式（5.5.5）就為y(i)=6y(i—1)+…+6y(i—p)t 1t pt二、時間序列模型的應用例1ARMA〔1，1〕模型預測值的計算。假設(shè)模型為y=8y+u—0u (5.5.6)t+1 1t t+1 1ty的現(xiàn)在值y和t時刻以前的值y，…,y，求一步預測值y(1)和二步預測值y(2)。t t t—1 1 t解根據(jù)上面的公式，我們有y⑴=E(y|y,y，…,y)

t t+1tt—1 1=eGy+u—0u\y,y，…,y)1t t+1 1Ctt—1 1(5.5.7)利用y在t時刻的值y以及t時刻以前的值y，…,y通過所給定的模型（5.5.6）來計t t t—1 1算u。由于所給的模型滿足平穩(wěn)可逆條件，所以8,0分別在平穩(wěn)與可逆域內(nèi)。為了求出ut 1 1的表達式，將所給的模型改寫成為（u 一y）=0（u一y）+（0—8）yt+1 t+1 tt 1 1t(5.5.8)從而有氣一y=0.(u-y)+(0-8)yt1 t—1 t—1 1 1 t—1=0[0(u —y)+(0—8)y ]+(0—8)y11 t—2 t—2 1 1 t—2 1 1 t—1由于0]|<1，所以當七=01-10(u—y)+(0—8)*101-1-jyt0 t0 1 1 jj=t0上式右邊第一項趨于零，這樣得到t—t01t-1-jy11 1jj=—3(5.5.9)將式（5.5.9）代入式G.5.7）得到y(tǒng),(1)=81yt—01yt-01(01—81)如01t-1-jy,j=—3(5.5.10)=(8—0)￡0t一jy.j=—3公式（5.5.10）可以修改為逆推方程的形式y(tǒng)⑴=(8―。)(y+E。*-jy)

t iit ijj=—?=(8-0)(y+0舊0t-1-jy^)j=-8=01yt-1(1)+(81-01)yt (5.5.11)這里yt-1(i)是在時刻t—i時一步預測。同理可求二步預測值yt(2)。例2我們考察某種商品的銷售情況，假設(shè)某種商品銷售量已進入穩(wěn)定狀態(tài)期，銷量的數(shù)據(jù)記錄可以認為是一個平穩(wěn)隨機序列?，F(xiàn)利用50個月的銷售記錄，通過整理得到月平均銷售量為30萬件，月銷售量與平均值的差〔簡稱“月銷售量距平〃〕的數(shù)據(jù)如表5—6所示。表5—6月銷售量與平均銷售量的差單位：萬件序號t月銷量距平Y(jié)t序號t月銷量距平Y(jié)t序號t月銷量距平Y(jié)t序號t月銷量距平Y(jié)tII427402I5284i3I629424I730435I83i446I93245720334682i34479223548I0233649ii243750I22538I32639解利用表5—6中的數(shù)據(jù)建立時間序列模型，并且利用它來作預測分析。首先根據(jù)自相關(guān)函數(shù)和偏相關(guān)函數(shù)的計算公式估算由表5—6中數(shù)據(jù)作為樣本序列的自相關(guān)函數(shù)值和偏相關(guān)函數(shù)值。計算結(jié)果如表5-7所示。表5-7自相關(guān)函數(shù)和偏相關(guān)函數(shù)k8kkApkk8kkApkI728394I05ii12由表5-7可看出，pk的值隨著k的增大而變小，呈衰減的趨勢，也就是逐漸收斂于零，所以，可以認為它是拖尾的。而虹在k大于2以后，在零的附近波動，而且|>MR0.28的點一個也沒有，因而可以認為8以后是截尾的。kkv50 kk根據(jù)AR模型的識別準那么，由上述樣本數(shù)據(jù)我們可以判斷該序列是AR(2)序列。其模型的形式為yt=8]yt1+巾2yt2+￡,現(xiàn)在對參數(shù)8,8作出估計，由式G.4.16)有1 2[8+0.9(f)=0.91I。%+82=0.84解此方程組得8”=0.7538，8”=0.158TOC\o"1-5"\h\z1 2這樣由一步預測公式得到一步預測方程為y⑴=0.7538y+0.158yt t t—1二步預測方程為y(2)=0.7538y⑴+0.158yt t t三步預測方程為y(3)=0.7538y