第五章-時(shí)間序列分析-102

第二篇預(yù)測方法與模型預(yù)測是研究客觀事物未來開展方向與趨勢的一門科學(xué)。統(tǒng)計(jì)預(yù)測是以統(tǒng)計(jì)調(diào)查資料為依據(jù)，以經(jīng)濟(jì)、社會(huì)、科學(xué)技術(shù)理論為根底，以數(shù)學(xué)模型為主要手段，對客觀事物未來開展所作的定量推斷和估計(jì)。根據(jù)社會(huì)、經(jīng)濟(jì)、科技的預(yù)測結(jié)論，人們可以調(diào)整開展戰(zhàn)略，制定管理措施，平衡市場供求，進(jìn)行各種各樣的決策。預(yù)測也是制定政策，編制規(guī)劃、方案，具體組織生產(chǎn)經(jīng)營活動(dòng)的科學(xué)根底。20世紀(jì)三四十年代以來，隨著人類社會(huì)生產(chǎn)力水平的不斷提高和科學(xué)技術(shù)的迅猛開展，特別是近年來以計(jì)算機(jī)為主的信息技術(shù)的飛速開展，更進(jìn)一步推動(dòng)了預(yù)測技術(shù)在國民經(jīng)濟(jì)、社會(huì)開展和科學(xué)技術(shù)各個(gè)領(lǐng)域的應(yīng)用。預(yù)測包含定性預(yù)測法、因果關(guān)系預(yù)測法和時(shí)間序列預(yù)測法三類。本篇對定性預(yù)測法不加以介紹，對后兩類方法選擇以下幾種介紹方法的原理、模型的建立和實(shí)際應(yīng)用，分別為：時(shí)間序列分析、微分方程模型、灰色預(yù)測模型、人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)。第五章時(shí)間序列分析在預(yù)測實(shí)踐中，預(yù)測者們發(fā)現(xiàn)和總結(jié)了許多行之有效的預(yù)測理論和方法，但以概率統(tǒng)計(jì)理論為根底的預(yù)測方法目前仍然是最根本和最常用的方法。本章介紹其中的時(shí)間序列分析預(yù)測法。此方法是根據(jù)預(yù)測對象過去的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)找到其隨時(shí)間變化的規(guī)律，建立時(shí)間序列模型，以推斷未來數(shù)值的預(yù)測方法。時(shí)間序列分析在微觀經(jīng)濟(jì)計(jì)量模型、宏觀經(jīng)濟(jì)計(jì)量模型以及經(jīng)濟(jì)控制論中有廣泛的應(yīng)用。第一節(jié)時(shí)間序列簡介所謂時(shí)間序列是指將同一現(xiàn)象在不同時(shí)間的觀測值，按時(shí)間先后順序排列所形成的數(shù)列。時(shí)間序列一般用J,J,…,J，…來表示，可以簡記為｛^｝。它的時(shí)間單位可以是分鐘、1 2 n t時(shí)、日、周、旬、月、季、年等。一、時(shí)間序列預(yù)測法時(shí)間序列預(yù)測法就是通過編制和分析時(shí)間序列，根據(jù)時(shí)間序列所反響出來的開展過程、方向和趨勢，進(jìn)行類推或延伸，借以預(yù)測下一段時(shí)間或以后假設(shè)干年內(nèi)可能到達(dá)的水平。其內(nèi)容包括:收集與整理某種社會(huì)現(xiàn)象的歷史資料；將這些資料進(jìn)行檢查鑒別，排成數(shù)列；分析時(shí)間序列，從中尋找該社會(huì)現(xiàn)象隨時(shí)間變化而變化的規(guī)律，得出一定的模型，以此模型去預(yù)測該社會(huì)現(xiàn)象將來的情況。二、時(shí)間序列數(shù)據(jù)的特點(diǎn)通常，時(shí)間序列經(jīng)過合理的函數(shù)變換后都可以看作是由三個(gè)局部疊加而成，這三個(gè)局部是趨勢項(xiàng)局部、周期項(xiàng)局部和隨機(jī)項(xiàng)局部。趨勢性許多序列的一個(gè)最主要的特征就是存在趨勢。這種趨勢可能是向下的也可能是向上的，也許比擬陡，也許比擬平緩，或者是指數(shù)增長，或者近似線性?？傊?，時(shí)間序列的趨勢性是依據(jù)時(shí)間序列進(jìn)行預(yù)測的本質(zhì)所在。季節(jié)性/周期性當(dāng)數(shù)據(jù)按照月或季觀測時(shí)，通常的情況是這樣的:時(shí)間序列會(huì)呈現(xiàn)出明顯的季節(jié)性。對季節(jié)性也不存在一個(gè)非常精確的定義。通常，當(dāng)某個(gè)季節(jié)的觀測值具有與其它季節(jié)的觀測值明顯不同的特征時(shí)，就稱之為季節(jié)性。異常觀測值異常觀測值指那些嚴(yán)重偏離趨勢范圍的特殊點(diǎn)。異常觀測值的出現(xiàn)往往是由于某些不可抗拒的外部條件的影響。如1958-1960年自然災(zāi)害和1966年左右“文化大革命〃對我國經(jīng)濟(jì)的影響，造成經(jīng)濟(jì)指標(biāo)陡然下降現(xiàn)象；1992年，我國銀行緊縮政策造成的房地產(chǎn)業(yè)泡沫破滅，而使得房地產(chǎn)業(yè)的經(jīng)濟(jì)數(shù)據(jù)發(fā)生突然變化的例子等等。條件異方差性所謂條件異方差性，表現(xiàn)出來就是異常數(shù)據(jù)觀測值成群地出現(xiàn)，故也稱為“波動(dòng)積聚性〃。由于方差是風(fēng)險(xiǎn)的測度，因此波動(dòng)存在的積聚性的預(yù)測對于評估投資決策是很有用的，對于期權(quán)和其它金融衍生產(chǎn)品的買賣決策也是有益的。非線性對非線性的最好定義就是“線性以外的一切〃。非線性常常表現(xiàn)為“機(jī)制轉(zhuǎn)換〃(regimewitches)或者“狀態(tài)依賴(Statependence)。其中狀態(tài)依賴意味著時(shí)間序列的特征依賴于其現(xiàn)時(shí)的狀態(tài);不同的時(shí)刻，其特征不一樣。當(dāng)時(shí)間序列的特征在所有的離散狀態(tài)都不一樣時(shí)，就成為機(jī)制轉(zhuǎn)換特性。三、時(shí)間序列的分類按研究的對象的多少可分為單變量時(shí)間序列和多變量時(shí)間序列。如果所研究的對象是一個(gè)變量，如某個(gè)國家的國內(nèi)生產(chǎn)總值，即為單變量時(shí)間序列。果所研究的對象是多個(gè)變量，如按年、月順序排列的氣溫、氣壓、雨量數(shù)據(jù)，為多變量時(shí)間序列。多變量時(shí)間序列不僅描述了各個(gè)變量的變化規(guī)律，而且還表示了各變量間相互依存關(guān)系的動(dòng)態(tài)規(guī)律性。按時(shí)間的連續(xù)性可將時(shí)間序列分為離散時(shí)間序列和連續(xù)時(shí)間序列。如果某一序列中的每一個(gè)序列值所對應(yīng)的時(shí)間參數(shù)為間斷點(diǎn)，那么該序列就是一個(gè)離散時(shí)間序列。如果某一序列中的每個(gè)序列值所對應(yīng)的時(shí)間參數(shù)為連續(xù)函數(shù)，那么該序列就是一個(gè)連續(xù)時(shí)間序列。按序列的統(tǒng)計(jì)特性可分為平穩(wěn)時(shí)間序列和非平穩(wěn)時(shí)間序列兩類。如果某個(gè)時(shí)間序列的概率分布與時(shí)間t無關(guān)，那么稱該序列為嚴(yán)格的〔狹義的〕平穩(wěn)時(shí)間序列。如果序列的一、二階矩存在，而且對任意時(shí)刻t滿足：〔1〕均值為常數(shù)〔2〕協(xié)方差為時(shí)間間隔的函數(shù)那么稱該序列為寬平穩(wěn)時(shí)間序列，也叫廣義平穩(wěn)時(shí)間序列。反之，不具有平穩(wěn)性，即序列均值不為常數(shù)或協(xié)方差與時(shí)間有關(guān)的序列稱為非平穩(wěn)序列。按序列的分布規(guī)律可分為高斯型時(shí)間序列和非高斯時(shí)間序列。服從高斯分布(正態(tài)分布)的時(shí)間序列叫做高斯時(shí)間序列，否那么叫做非高斯型時(shí)間序列。對于一些非高斯序列，往往可以通過適當(dāng)?shù)淖儞Q，可近似地看成是高斯型時(shí)間序列。四、常用的時(shí)間序列分析法時(shí)間序列分析預(yù)測分為確定性時(shí)序分析預(yù)測方法和隨機(jī)性時(shí)序分析預(yù)測方法兩大類。確定性時(shí)序分析假設(shè)一個(gè)時(shí)間序列的未來值被某一個(gè)數(shù)學(xué)函數(shù)嚴(yán)格確定，例如：y=cos(2兀ft)這種形式，那么稱該時(shí)間序列為確定性的。確定性時(shí)間序列分析模型主要包括：移動(dòng)平均模型、二次滑動(dòng)平均模型、指數(shù)平滑模型、二次指數(shù)平滑模型和三次指數(shù)平滑模型。隨機(jī)時(shí)間序列分析假設(shè)一個(gè)時(shí)間序列的未來值只能用概率分布加以描述，那么稱之為非確定性的時(shí)間序列或稱隨機(jī)時(shí)間序列。隨機(jī)時(shí)間序列分析模型分為三種類型：自回歸模型〔Auto-regressiveModel〕、滑動(dòng)平均模型〔MovingAverageModel〕和自回歸滑動(dòng)平均模型〔Auto-regressiveMovingAverageModel〕。隨機(jī)時(shí)序分析以隨機(jī)過程理論作為其數(shù)學(xué)根底，通過對時(shí)序數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，完成對時(shí)序系統(tǒng)的預(yù)測、建模和控制。五、針對時(shí)間序列數(shù)據(jù)的建模步驟時(shí)間序列模型最主要的特征就是成認(rèn)觀測值之間的依賴關(guān)系和相關(guān)性，它是一種動(dòng)態(tài)模型，能夠應(yīng)用于動(dòng)態(tài)預(yù)測。時(shí)間序列預(yù)測方法的一般步驟為：確定預(yù)測目標(biāo)明確預(yù)測的目標(biāo)是進(jìn)行有效預(yù)測的前提。預(yù)測的目標(biāo)不同，所需的資料和采用的預(yù)測方法也有所不同。有了明確具體的預(yù)測目標(biāo)，才能有的放矢地收集資料。預(yù)測目標(biāo)確實(shí)定應(yīng)盡量明細(xì)化、數(shù)量化，以利于預(yù)測工作的順利開展。收集資料并進(jìn)行數(shù)據(jù)的預(yù)處理準(zhǔn)確調(diào)查的統(tǒng)計(jì)資料是統(tǒng)計(jì)預(yù)測的根底。預(yù)測之前，必須掌握大量的、全面的、準(zhǔn)確有用的數(shù)據(jù)和情況。為保證統(tǒng)計(jì)資料的準(zhǔn)確性，必須對資料進(jìn)行審核、調(diào)整和推算。比方缺損值問題，它破壞了系統(tǒng)運(yùn)行的連續(xù)性，特別是對于時(shí)間序列來說，缺損值違背了時(shí)間序列“順序的重要性〃原那么。嚴(yán)格來說，不能依據(jù)一個(gè)“殘缺〃的序列進(jìn)行分析，即使強(qiáng)制進(jìn)行了分析，其結(jié)果也是無意義的。因此必須對缺損值進(jìn)行預(yù)處理：如缺失較少，且缺失數(shù)據(jù)前后無大的波動(dòng)，那么可用平滑法、開展速度推算法、比例推算法、插值估算法等方式填充數(shù)據(jù)。這些方式既完善了數(shù)據(jù)，也不會(huì)使數(shù)據(jù)信息喪失太多。對于數(shù)據(jù)缺失較多的情況，如時(shí)間序列中連續(xù)一段時(shí)間缺失數(shù)據(jù)，就不能簡單地用平滑的方式填充，因?yàn)檫@樣可能喪失很重要的信息，這種情況下建模毫無意義，只能通過其他途徑重新收集資料。此外，還要對序列中每一個(gè)數(shù)據(jù)的指標(biāo)口徑、計(jì)算范圍、計(jì)算方法、計(jì)量單位等進(jìn)行認(rèn)真檢查，假設(shè)存在不一致，那么要運(yùn)用科學(xué)的方法進(jìn)行調(diào)整，使整個(gè)序列中的每一個(gè)數(shù)據(jù)除時(shí)間屬性不同之外，其所代表的實(shí)際意義完全一致。對資料進(jìn)行初步分析對經(jīng)審核的數(shù)據(jù)應(yīng)進(jìn)行初步分析，畫出統(tǒng)計(jì)圖形，以觀察統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)的性質(zhì)和分布，以此作為選擇適當(dāng)預(yù)測模型的依據(jù)?！?〕觀察統(tǒng)計(jì)圖形是否具有大的波動(dòng)，如果存在，可能是數(shù)據(jù)采樣時(shí)的誤差，也可能是某些經(jīng)濟(jì)、政治等偶然性因素的沖擊。特別是在國際期貨、現(xiàn)貨市場上，這種偶然性更是經(jīng)常發(fā)生，使得期貨市場呈現(xiàn)較大波動(dòng)，現(xiàn)貨市場也隨之波動(dòng)。這種沖擊或誤差造成的結(jié)果可能是結(jié)構(gòu)性突變，在統(tǒng)計(jì)圖形上就表現(xiàn)為突然的持續(xù)上漲或下降。不管是什么原因引起的，如果建模時(shí)忽略結(jié)構(gòu)性突變，可能會(huì)得到虛假的結(jié)論，即偽結(jié)論?！?〕觀察其統(tǒng)計(jì)圖形的大致走勢，是否具有趨勢性、季節(jié)性、周期性或隨機(jī)性的特征，以初步判斷這個(gè)序列適用哪種時(shí)序預(yù)測模型。選擇預(yù)測方法一方面，通過對資料數(shù)據(jù)的整理、分析，清楚地了解到預(yù)測對象的變化情況；另一方面通過對各種時(shí)序預(yù)測方法在適宜性、費(fèi)用和精確度方面的綜合衡量，我們就可以選擇出適當(dāng)?shù)念A(yù)測方法。預(yù)測和結(jié)果評價(jià)進(jìn)行預(yù)測時(shí)，不能簡單地依靠某一理論或套用某一模型加以預(yù)測，要綜合考慮各方面的情況，因?yàn)閷?shí)際情況錯(cuò)綜復(fù)雜，影響因素眾多。借助于經(jīng)驗(yàn)判斷、邏輯推理、統(tǒng)計(jì)分析等方面的預(yù)測判斷，能夠使預(yù)測的結(jié)果更為合理，從而得出最后的預(yù)測結(jié)果。對預(yù)測結(jié)果的評價(jià)主要是通過對預(yù)測誤差的分析進(jìn)行的。分析預(yù)測的誤差時(shí)要考慮以下兩種情況：一是理論預(yù)測誤差，即在選用預(yù)測方案之前，利用數(shù)學(xué)統(tǒng)計(jì)模型所估計(jì)的理論預(yù)測值，與同期的實(shí)際觀察值相比而產(chǎn)生的誤差，然后分析、改良，選擇較為適宜的數(shù)學(xué)統(tǒng)計(jì)模型。二是實(shí)際預(yù)測誤差，即在選用預(yù)測方案之后，追蹤、檢查預(yù)測方案的結(jié)果是否符合實(shí)際的情況，分析預(yù)測誤差的大小以及所造成的原因，總結(jié)經(jīng)驗(yàn)教訓(xùn)，進(jìn)一步改良今后的預(yù)測工作。對預(yù)測結(jié)果的評價(jià)，主要從統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)和直觀判斷兩個(gè)方面著手來判斷預(yù)測結(jié)果的可信度、是否跟實(shí)際情況相吻合等，然后根據(jù)對預(yù)測結(jié)果的分析與評價(jià)，確定最終的預(yù)測值。六、時(shí)間序列的優(yōu)、缺點(diǎn)優(yōu)點(diǎn)〔1〕時(shí)間序列預(yù)測法只需要一個(gè)變量在不同時(shí)刻的觀測值即可建模，因而得到廣泛應(yīng)用?！?〕時(shí)間序列預(yù)測法沒有過于嚴(yán)格的假定條件?！?〕應(yīng)用隨機(jī)時(shí)間序列分析時(shí)，無需一開始就假設(shè)一個(gè)固定的模式，而是先假設(shè)一個(gè)試用模式，然后根據(jù)誤差等各種信息來判斷初步假設(shè)的模式是否恰當(dāng)。如果恰當(dāng)，那么進(jìn)行預(yù)測；如不恰當(dāng)，那么修正模型。反復(fù)這個(gè)過程，可在根本模式方面獲得一個(gè)最優(yōu)預(yù)測模型，使誤差為最小。所以隨機(jī)時(shí)間序列預(yù)測方法特別適合于處理復(fù)雜的時(shí)間序列，以及存在多種模式的預(yù)測情況，它能利用一套明確規(guī)定的準(zhǔn)那么來處理這些復(fù)雜的模式?！?〕時(shí)間序列是一種精確度很高的短期預(yù)測方法，而且既可以做點(diǎn)預(yù)測，也可以做區(qū)間預(yù)測。缺點(diǎn)事實(shí)上，大多經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象的變化開展是千變?nèi)f化的，在一個(gè)較長時(shí)間內(nèi)外界影響因素變化的可能性較大，而時(shí)間序列分析預(yù)測法是根據(jù)預(yù)測對象過去和現(xiàn)在的開展變化規(guī)律和趨勢來預(yù)測未來的，所以它只能在較短時(shí)間內(nèi)做出有效預(yù)測。預(yù)測的超前時(shí)間一般不應(yīng)超過時(shí)間序列歷史區(qū)間的十五分之一。也就是說，假設(shè)時(shí)間序列采集的歷史統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)的時(shí)間區(qū)間是五年，那么最多只能在此后三到四個(gè)月內(nèi)做出較為有效的預(yù)測，并且預(yù)測時(shí)間越長，預(yù)測誤差越大。第二節(jié)移動(dòng)平均模型移動(dòng)平均法就是根據(jù)歷史統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)的變化規(guī)律，使用最近時(shí)期數(shù)據(jù)的平均數(shù)，利用上一個(gè)或幾個(gè)時(shí)期的數(shù)據(jù)產(chǎn)生下一期的預(yù)測值。移動(dòng)平均法是一種常用確實(shí)定性時(shí)間序列預(yù)測法，本節(jié)主要介紹一次移動(dòng)平均預(yù)測法和加權(quán)一次移動(dòng)平均預(yù)測法。一、簡單一次移動(dòng)平均預(yù)測法序列J,J,,J是預(yù)測前的實(shí)際數(shù)據(jù)組成的時(shí)間序列。如果過早的數(shù)據(jù)已失去意義，1 2 n不能反映當(dāng)前數(shù)據(jù)的規(guī)律，那么可以用一次移動(dòng)平均法來作預(yù)測。即保存最近一個(gè)時(shí)間區(qū)間內(nèi)的數(shù)據(jù)，用其算術(shù)平均數(shù)作為預(yù)測值。

（5.2.1）設(shè)時(shí)間序列為｛yt｝，取移動(dòng)平均的項(xiàng)數(shù)為n，那么第t+（5.2.1）八 y+y++y1寸y=M(1)=—t 1—1 1—n+1=―乙yn nj=1 J其中：七表示第t期實(shí)際值；§表示第t+1期預(yù)測值〔t>0〕。t+1預(yù)測標(biāo)準(zhǔn)誤差為：（5.2.2）上式中，N為時(shí)間序列｛y｝所含原始數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)。當(dāng)預(yù)測目標(biāo)的根本趨勢是在某一水平上上下波動(dòng)時(shí)，可用一次移動(dòng)平均法建立預(yù)測模型，即用最近n期序列值的平均值作為未來各期的預(yù)測結(jié)果。項(xiàng)數(shù)n的數(shù)值，要根據(jù)時(shí)間序列的特點(diǎn)而定，不宜過大或過小。n過大會(huì)降低移動(dòng)平均數(shù)的敏感性，影響預(yù)測的準(zhǔn)確性；n過小，移動(dòng)平均數(shù)易受隨機(jī)變動(dòng)的影響，難以反映實(shí)際趨勢。一般取n的大小能包含季節(jié)變動(dòng)和周期變動(dòng)的時(shí)期為好，這樣可消除它們的影響。對于沒有季節(jié)變動(dòng)和周期變動(dòng)的時(shí)間序列，項(xiàng)數(shù)n的取值要視歷史數(shù)據(jù)的趨勢類型而定。一般來說，如果歷史數(shù)據(jù)的類型呈水平型的開展趨勢，那么項(xiàng)數(shù)n的數(shù)值可取較大的數(shù)；如果歷史數(shù)據(jù)的類型呈上升〔或下降〕的開展趨勢，那么項(xiàng)數(shù)n的數(shù)值應(yīng)取較小的數(shù)，這樣能夠取得較好的預(yù)測結(jié)果。例1表5—1第二行為某種商品一月到十二月的實(shí)際銷售量。假定未來的銷售情況與近期銷售情況有關(guān)，而與較遠(yuǎn)時(shí)間的銷售情況聯(lián)系不大，試用一次移動(dòng)平均法預(yù)測下一年一月份的銷售量。表5—1 某種商品的實(shí)際銷售量單位：件月份 123456789 1011 12實(shí)際 _ _ __ 一15001725 15101720133015351740181017601930銷售20001858三個(gè)月1578165215201528153516951770平滑值18331897五個(gè)月15571564156716271635平滑值17551848解用三個(gè)月移動(dòng)平均預(yù)測下一年一月份的銷售量為x13=氣2+氣］+氣°=1858+2000+1930?1929x13=__3~~10 3用五個(gè)月移動(dòng)平均值預(yù)測下一年一月份的銷售量為八x+x+x+x+x1858+2000+1930+1760+1810…°x= h 10 9 = 澆187213 5 5由于五個(gè)月移動(dòng)平均值對十二月份的銷售量擬合較好〔參照表5-1最后一列〕，可以認(rèn)為預(yù)測值1872比1929準(zhǔn)確。二、加權(quán)一次移動(dòng)平均預(yù)測法簡單一次移動(dòng)平均預(yù)測法，是把參與平均的數(shù)據(jù)在預(yù)測中所起的作用同等看待，但實(shí)際中參與平均的各期數(shù)據(jù)所起的作用往往是不同的。為此，需要采用加權(quán)移動(dòng)平均法進(jìn)行預(yù)測，加權(quán)一次移動(dòng)平均預(yù)測法是其中比擬簡單的一種。計(jì)算公式如下：八Wy+Wy+ +Wyy=—1―t 2―t n―tn+1=LWy:W V5.2.3Jt+1 W+W+…+W it—i+1, i1 2 n i=1 i=1其中：yt表示第t期的實(shí)際值；y表示第t+1期預(yù)測值;t+1W表示權(quán)數(shù)；in表示移動(dòng)平均的項(xiàng)數(shù)。預(yù)測標(biāo)準(zhǔn)誤差的計(jì)算公式與簡單一次移動(dòng)平均預(yù)測法的相同。例2某企業(yè)1-11月份的銷售收入時(shí)間序列如表5—2中的第2列所示。取n=3，并取權(quán)數(shù)W=3,W2=2,W3=1，試用加權(quán)一次移動(dòng)平均預(yù)測法預(yù)測12月份的銷售收入。解八Wy+Wy+Wy3x606.9+2x574.6+1x533.8y=巳土S= =584.0嗎+W2+W3 3+2+1其余依次類推，那么八Wy+Wy+Wy 3x1102.7+2x1015.1+1x963.9y=———= 3——2~1 =1050.41 2 3其預(yù)測標(biāo)準(zhǔn)誤差為=100.1e .'80180.7=100.1S =11—3故第12月份銷售收入的預(yù)測值為1050.4元。其它月份的預(yù)測值見表5—2。單位：萬元月份t銷售收入yt三個(gè)月加權(quán)移動(dòng)平均預(yù)測值yt+1yt+1-yt+1rav[yt+1-yt+J1234561034789101112Z移動(dòng)平均法適合于短期預(yù)測。這種方法的優(yōu)點(diǎn)就在于簡單方便，但是對于波動(dòng)較大的時(shí)序數(shù)據(jù)，預(yù)測的精度不高，誤差很大。一般來說歷史數(shù)據(jù)對未來值的影響是隨著時(shí)間間隔的增長而遞減的，或者數(shù)據(jù)的變化呈現(xiàn)某種周期性或季節(jié)性等特性，所以移動(dòng)平均法權(quán)重的賦予方式就會(huì)使計(jì)算結(jié)果產(chǎn)生很大的誤差。第三節(jié)指數(shù)平滑模型與移動(dòng)平均預(yù)測法不同，指數(shù)平滑法采用了更切合實(shí)際的方法，即對各期觀測值依時(shí)間順序進(jìn)行加權(quán)平均作為預(yù)測值。本節(jié)主要介紹一次指數(shù)平滑法和二次指數(shù)平滑法。一、一次指數(shù)平滑法一次指數(shù)平滑法是利用前一時(shí)刻的數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)測的方法。它適用于變化比擬平穩(wěn)，增長或下降趨勢不明顯的時(shí)間序列數(shù)據(jù)的下一期的預(yù)測。其模型是J廣ky^1+(1-k)y,1 G.3.1)其中：y表示第t-1期實(shí)際值；t-1yt表示第t期預(yù)測值；k稱為平滑系數(shù)，0<k<1。G.3.1)式說明只需前一時(shí)期的觀測值及預(yù)測值即可預(yù)測本期值。每期預(yù)測值雖然只用了上期的觀測值和預(yù)測值，但實(shí)際上包含了以前各個(gè)時(shí)刻數(shù)據(jù)的影響。從而，指數(shù)平均法可看成是移動(dòng)平均法的推廣。平滑系數(shù)k的取值對預(yù)測值的影響是很大的，但目前還沒有一個(gè)很好的統(tǒng)一選值方法，一般是根據(jù)經(jīng)驗(yàn)來確定的。當(dāng)時(shí)間序列數(shù)據(jù)是水平型的開展趨勢類型，k可取較小的值，一般在0~0.3之間；當(dāng)時(shí)間序列數(shù)據(jù)是上升〔或下降〕的開展趨勢類型，k應(yīng)取較大的值，一般在0.6~1之間。在進(jìn)行實(shí)際預(yù)測時(shí)，可選不同的k值進(jìn)行比擬，從中選擇一個(gè)比擬適宜的。

在實(shí)際預(yù)測時(shí)，還要確定初始值。一般來說，如果只有一期數(shù)據(jù)或少量數(shù)據(jù)，沒有其它任何信息，可以取序列的第一個(gè)數(shù)據(jù)為初值；如果數(shù)據(jù)較多，可以取前幾期的數(shù)據(jù)或前一半的數(shù)據(jù)的平均值作為初值;也可以用專家估計(jì)方法或其它預(yù)測方法預(yù)測出的第一期數(shù)據(jù)作為初值；如對初值的選取把握不大，開始時(shí)可選取較大的知以減輕預(yù)測值對初值的依賴，過一段時(shí)間后再把k值降下來。例1某倉庫2002年1月至12月鉆頭的實(shí)際使用量如表5-3所示，要求對2003年1月鉆頭需求量進(jìn)行預(yù)測。表5-3鉆頭實(shí)際用量表單位：個(gè)月份123456 7 891011 12使用量273533373538 48 41434937 40解假設(shè)取上年度〔2001年〕鉆頭使用的實(shí)際平均值35作為2002年1月份的初始預(yù)測值，即寧廣35；取不同平滑系數(shù)k=0.2、0.5、0.8，每個(gè)月的預(yù)測數(shù)據(jù)如表5-4所示。表5-4鉆頭實(shí)際用量—預(yù)測用量對照日期實(shí)際用量預(yù)測值k=0.2k=0.5k=0.82002年1月273535352002年2月35312002年3月33332002年4月37332002年5月35352002年6月38352002年7月482002年8月412002年9月4342002年10月492002年11月372002年12月402003年1月二、二次指數(shù)平滑法二次指數(shù)平滑預(yù)測法是對一次指數(shù)平滑值再作一次指數(shù)平滑來進(jìn)行預(yù)測的一種方法，但第t+1期預(yù)測值并非第t期的二次指數(shù)平滑值，而是采用以下計(jì)算公式進(jìn)行預(yù)測：（5.3.2）叩="+(1-k)項(xiàng)（5.3.2）<S⑵=kS⑴+(1-k)S⑵t t t-1§ =a+bTVt+T tt其中：S⑴表示第t期的一次指數(shù)平滑值；tS⑵表示第t期的二次指數(shù)平滑值；t七表示第t期實(shí)際值；§*t表示第t+T期預(yù)測值；k表示平滑系數(shù)；a=2S（1）-S（2）b=-^SQ）—S（2））^ 1—k* * 。初值S⑴S（2）的取值方法與y的取法相同。0、 0 1例2表5—5中第2列數(shù)據(jù)是某股票在8個(gè)連續(xù)交易日的收盤價(jià)，試用二次指數(shù)平滑法預(yù)測第9個(gè)交易日的收盤價(jià)。〔S0D=S02）=七，k=0.4〕表5—5某股票價(jià)格 單位：元ty*S⑴S(2)Ayt+1-yt+1rav[y*+1-y*+J2009Z解利用公式G.3.2）計(jì)算得到的一、二次平滑值如表5—5第3、4列所示。因此a=2S⑴—S（2）=2x17.18—16.98=17.388k（8 ）04b-S⑴-S（2））= .X（17.18-16.98）^0.138 1一k8 8 1一0.4于是，有y=a+bT=17.38+0.13T8+T 8 8取T=1，得到y(tǒng)=a+bT=17.38+0.13=17.51〔元〕8+1 8 8故而得到第9個(gè)交易日收盤價(jià)的預(yù)測值為17.51元。第四節(jié)隨機(jī)時(shí)間序列模型隨機(jī)時(shí)間序列模型是一種精確度較高的短期預(yù)測方法。其根本思想是：某些時(shí)間序列是依賴于時(shí)間*的一組隨機(jī)變量，構(gòu)成該序列的單個(gè)序列值雖然具有不確定性，但整個(gè)序列的變化卻有一定的規(guī)律性，可以用相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型近似描述。通過對該數(shù)學(xué)模型的分析研究，能夠更本質(zhì)地認(rèn)識(shí)時(shí)間序列的結(jié)構(gòu)與特征，到達(dá)最小方差意義下的最優(yōu)預(yù)測。本節(jié)將對隨機(jī)

時(shí)間序列分析的三種模型的模型識(shí)別及參數(shù)估計(jì)作簡要的介紹。一'自回歸模型假設(shè)時(shí)間序列yt為它的前期值和隨機(jī)項(xiàng)的線性函數(shù)，表示為y=甲y+甲y+…+甲y+日t1t—1 2t—2 pt—p t那么稱該時(shí)間序列｛y｝為自回歸序列，該模型為p階自回歸模型〔Auto-regressiveModel〕，t記為AR（p）。其中：參數(shù)甲],%,-,甲為自回歸參數(shù)，是模型的待估參數(shù)；隨機(jī)項(xiàng)已是白噪聲序列〔旦是互相獨(dú)立的并且服從均值為 0、方差為52的正態(tài)分布〕；并且隨機(jī)項(xiàng)旦與t |1 ty,y，…,y 不相關(guān)。t—1t—2 t—p，t t—1y=中By+中B，t t—1y=中By+中B2yh 中Bpy+Rt1t2t ptt其中進(jìn)一步有（5.4.2）其中進(jìn)一步有By=y，B2y=y，…，Bpy=y

t t—1 t t—2 t t—p—甲B—中B2 ^Bp>y=^中（B）=1—中B—中B2 中Bp（5.4.3（5.4.3）平（B）y,=氣對自回歸序列考慮其平穩(wěn)性條件，可以從最簡單的一階自回歸序列進(jìn)行分析。假設(shè)一階自回歸序列的模型為y=甲y+旦，同樣y=甲y+旦，迭代下去有t t—1t t—1 t—2 t—1y=日+甲日+甲2日+甲3日…對于一階自回歸序列來講，假設(shè)系數(shù)中的絕對值H<1，那么稱這個(gè)序列是漸進(jìn)平穩(wěn)的。對于。階自回歸序列來講，如果是平穩(wěn)時(shí)間序列，它要求滯后算子多項(xiàng)式中（B）的特征方程1—甲Z—中Z2 中zp=0的所有根的絕對值皆大于1。即p階自回歸序列的漸平穩(wěn)條件為|z|>1。二、滑動(dòng)〔移動(dòng)〕平均模型假設(shè)時(shí)間序列｛yt｝中的yt為它前期的誤差和隨機(jī)項(xiàng)的線性函數(shù)，可以表示為y=日-。日-。日 0日 （5.4.4）tt1t—1 2t—2 qt—q那么稱該時(shí)間序列｛yt｝為滑動(dòng)平均序列，該模型為q階滑動(dòng)〔移動(dòng)〕平均模型〔MovingAverageModel〕，記為MA（q）。參數(shù)0「02,—,0為滑動(dòng)平均參數(shù)，是模型的待估參數(shù)。G.4.5）引入滯后算子B，同樣（5.4.4）G.4.5）1—0]B—02B2 0Bqh=y令0(B)=1-0B-0B2 0Bq那么模型可寫為 qj=0(B川 (5.4.6)為使得MA(q)過程可以轉(zhuǎn)換成一個(gè)自回歸過程:需要0-1(B)收斂。而0-1(B)收斂的充分必要條件是0(B)的特征方程1-0z-0Z2 0zq=0的所有根的絕對值皆大于1,即|z|>1。這個(gè)條件是MA(q)序列的必須滿足的可逆性條件，而且當(dāng)這個(gè)可逆性條件滿足時(shí)，有限階自回歸序列等價(jià)于某個(gè)無限階移動(dòng)平均序列。三、自回歸滑動(dòng)平均模型假設(shè)時(shí)間序列3」中七為它的當(dāng)前值與前期的誤差和隨機(jī)項(xiàng)的線性函數(shù)，那么可以表示為j=甲j+甲j+…+甲j+p-0p-0p 0p (5.4.7)t1 t-1 2 t-2 p t—p t1 t-1 2 t-2 q t-q那么稱該時(shí)間序列｛jt｝為自回歸滑動(dòng)平均序列。又由于模型包含P項(xiàng)自回歸模型和q項(xiàng)滑動(dòng)平均模型，因此該模型稱為自回歸滑動(dòng)平均模型〔Auto-regressiveMovingAverageMode〕，記為ARMA(p,q)。參數(shù)甲，甲，…,甲為自回歸參數(shù)，0,0,-",0為滑動(dòng)平均參數(shù)，是模1 2 /P、 1 2q型的待估參數(shù)。引入滯后算子B，(5.4.7)式可以表示為甲(B)j=0(B)p (5.4.8)對于ARMA(p,q)模型，其平穩(wěn)性條件同AR(p)和MA(q)。四、隨機(jī)時(shí)間序列分析模型〔AR,MA,ARMA〕的識(shí)別自回歸滑動(dòng)平均模型〔ARMA〕是隨機(jī)時(shí)間序列分析模型的普遍形式，自回歸模型〔AR〕和滑動(dòng)平均模型〔MA〕是它的特殊情況。關(guān)于這幾類模型的研究，是時(shí)間序列的重點(diǎn)內(nèi)容，本節(jié)主要介紹模型的識(shí)別的方法和進(jìn)行模型參數(shù)估計(jì)時(shí)常用的一些方法。1.自相關(guān)函數(shù)和偏相關(guān)函數(shù)對于ARMA模型，在進(jìn)行參數(shù)估計(jì)之前，需要進(jìn)行模型的識(shí)別。識(shí)別的根本的任務(wù)是找出ARMA(p,q)、AR(p)、MA(q)模型的具體特征，最主要的是確定模型的階，即ARMA(p,q)中的p和q，AR(p)中的p以及MA(q)中的q。識(shí)別的方法是利用時(shí)間序列樣本的自相關(guān)函數(shù)和偏相關(guān)函數(shù)?！?〕AR(p)的自相關(guān)函數(shù)模型(5.4.1)j=甲j+甲j+…+甲j+Pt 1t-1 2t-2 pt-p t的自協(xié)方差函數(shù)為疽El'+=甲r+甲r+…+甲r1k-1 2k-2 pk一p

從而有自相關(guān)函數(shù)P=二=pP+甲P+…+甲P

kr1k-1 2k-2 pk-p從而有自相關(guān)函數(shù)0（5.4.9）AR(p)序列的自相關(guān)函數(shù)是非截尾序列，或稱為拖尾序列，所謂的拖尾型是指咨趨于無窮大時(shí)Pk呈負(fù)指數(shù)衰減趨于零。換句話說AR(p)序列的自相關(guān)函數(shù)不能在某一步之后為零，而是按負(fù)指數(shù)率衰減。自相關(guān)函數(shù)的拖尾現(xiàn)象是AR(p（5.4.9）由(5.4.9)，利用Pk=Pk，得到如下方程組：P=甲+甲P+…+甲P1 1 21 pp-1P=甲P+甲P+…+P（5.4.10）P=甲P+甲P=甲P+甲P+…+P（5.4.10）此方程組被稱為Yule—Walker方程組。假設(shè)模型參數(shù)甲］，甲2，…，甲，可求P,P，…,P，然后遞推下去，可求得P(k>p)；反過來，假設(shè)P,P，…,P"，模型參12 p k 12 p數(shù)通過求解方程組得到甲］,%,-,*?！?〕MA(q)的自相關(guān)函數(shù)模型(5.4.4)y=日—0日—0日—??,—0日tt1t—1 2t—2 qt—q自相關(guān)函數(shù)為P二」Io

kP二」Io

kr k0l0+991k+1+...+99）（+92+92+...+92）q-kq. 1 2 qk=01<k<qk>q（5.4.11）由此可見，當(dāng)k>q時(shí)，yt與y*k不相關(guān)，并且Pk=0，這種現(xiàn)象稱為截尾。換句話說，可以根據(jù)自相關(guān)系數(shù)是否從某一點(diǎn)開始一直為零來判斷MA(q)模型的階。〔3〕ARMA(p,q)的自相關(guān)函數(shù)ARMA(p,q)的自相關(guān)函數(shù)可以看作MA(q)的自相關(guān)函數(shù)和AR(p)的自相關(guān)函數(shù)的混合。當(dāng)p=0時(shí)，它具有截尾性質(zhì)；當(dāng)q=0時(shí)，它具有拖尾性質(zhì)，當(dāng)p、q都不為零時(shí)，它具有拖尾性質(zhì)。經(jīng)過推導(dǎo)得到ARMA(p,q)的自協(xié)方差函數(shù)為r=甲r+甲r+ 甲rk1k-12k-2 pk-p+r(k)-9r(k-1) 9r(k-q)y日 1y日 qy日

其中/X[0 k>0匕（k）=E"七k2甲 k<0Ip-k所以，當(dāng)k>q時(shí)，r二甲r+甲rH 甲rk 1k-12k-2 pk-p（5.4.12）ARMA（p,q）的自相關(guān)函數(shù)為（5.4.12）p=L=pp+甲p+…+甲pkr1k-1 2k-2 pk-p0可見，ARMA（p,q）的自相關(guān)函數(shù)Pk，當(dāng)k>q時(shí)，僅依賴于模型參數(shù)甲］,%，…,甲，以及Pk1，Pk2，…,Pkp?！?〕偏相關(guān)函數(shù)所謂偏相關(guān)函數(shù)，是隨機(jī)序列模型的另一個(gè)統(tǒng)計(jì)特征，它是在序列值七-1,七-2,…,七-k-1的條件下，關(guān)于七,y『k之間關(guān)系的度量。下面以AR（p）為例認(rèn)識(shí)偏相關(guān)函數(shù)的定義。假定先以AR（k-1）去擬合一個(gè)序列，然后又用AR（k）去擬合，后者比前者增加了一個(gè)滯后變量y_。如果中持表示后者的自回歸系數(shù)，那么相應(yīng)于滯后變量y的系數(shù)就是平，稱為偏自相關(guān)系數(shù)。根據(jù)AR（p）的拖尾性t-k kk質(zhì)以及偏自相關(guān)系數(shù)的含義，可以采用方差最小原那么來求得偏自相關(guān)系數(shù)m 當(dāng)1<j<p，k=p,p+1,…^=\j,kj［。當(dāng)j>p由此得到AR（p）的主要特征是k>p時(shí)，Pkk=0，既是Pkk在p以后截尾。對于ARMA（p,q）與MA（q）模型，可以證明它們的偏相關(guān)函數(shù)是拖尾的。2.模型的識(shí)別〔1〕AR（p）模型的識(shí)別。假設(shè)y,的偏自相關(guān)函數(shù)Pkk在p以后截尾，即k>p時(shí)，平以二0，而且它的自相關(guān)函數(shù)Pk是拖尾的，那么此序列是適合自回歸模型的序列?！?〕MA（q）模型的識(shí)別。假設(shè)隨機(jī)序列的自相關(guān)函數(shù)截尾，即自q以后P廣0，k>q，而它的偏相關(guān)函數(shù)是拖尾的，那么此序列是適合滑動(dòng)平均模型的序列?！?〕ARMA（p,q）模型的識(shí)別。假設(shè)隨機(jī)序列的自相關(guān)函數(shù)和偏相關(guān)函數(shù)都是拖尾的，那么此序列是適合自回歸滑動(dòng)平均模型的序列。至于模型中p和q的識(shí)別，那么要從低階開始逐步試探，直到定出適宜的模型為止。五、隨機(jī)時(shí)間序列分析模型〔AR,MA,ARMA〕的參數(shù)估計(jì)經(jīng)過模型識(shí)別，確定了時(shí)間序列分析模型的模型結(jié)構(gòu)，接著就可以對模型進(jìn)行參數(shù)估計(jì)。AR（p）、MA（q）、ARMA（p,q）模型參數(shù)的估計(jì)方法較多，大體上分為三類：最小二乘估

計(jì)、矩估計(jì)和利用自相關(guān)函數(shù)直接估計(jì)。下面有選擇地加以介紹。1.AR(p)的最小二乘估計(jì)假設(shè)模型(5.4.1)的參數(shù)估計(jì)值P,P,????已經(jīng)得到，有12 p△+△+|L1t-2yt=P1yt1+P_yt-2殘差的平方和為頂△2

=乙口t頂△2

=乙口tt=p+1方Pt=p+11yt—1t-2A2p't一。j（5.4.13）根據(jù)最小二乘原理，所要求的參數(shù)估計(jì)值P一,P_,.pp應(yīng)該使得(5413)到達(dá)極小。所以它們應(yīng)該是以下方程組的解:j=1,2,…,pt=p+1r t=p+1r ,△\L1yt一"2-t—2△-Ppt-pJy--j=0 jT，2,…,p（5.4.14）解該方程組，就可得到待估參數(shù)的估計(jì)值。2.MA0)模型的矩估計(jì)將MA(q)模型的自協(xié)方差函數(shù)中的各個(gè)量用估計(jì)值代替，得到,2A1—9+00+...+0 0k1k+k1k+1kk62（1+c2+°2+...+C四22（5.4.15）12k0利用實(shí)際時(shí)間序列提供的信息，首先求得自協(xié)方差函數(shù)的估計(jì)值，于是(5.4.15)是一個(gè)包含(q+1)個(gè)待估參數(shù)估計(jì)值9『92,.,0q,62的非線性方程組，可以用直接法或迭代法求解。常用的迭代法有線性迭代法和Newton-Raphsan迭代法。具體的求解過程不再贅述，讀者可參考其它時(shí)間序列分析的教科書。3.ARMA(p,q)模型的矩估計(jì)在ARMA(p,q)中共有(p+q+1)個(gè)待估參數(shù)P,P，…,P與9,0,…,0以及62，12p12q |1其估計(jì)量計(jì)算步驟及公式如下：〔1〕估計(jì)P],P2，…,Pp

八中八中A1中2:=APAqPq+1:APq—1APq……APq—p+1PAq一p—1AP"Aq+2?APAP…APpLp」Lq+p—1q+p—2quq+p-1（5.4.16）其中P.是樣本的自相關(guān)函數(shù)的估計(jì)值，由觀測數(shù)據(jù)計(jì)算得到?！?〕改寫模型，求°,0，…,0及n2的估計(jì)值12qR將模型(5.4.7)改寫為j一甲j一甲j 甲j=日一0日一0日 0日t1 t—1 2 t—2 p t—p t1 t—1 2 t—2 q t—q令? △ △ △J=J一甲J一甲J 甲Jtt1t—12t—2 pt—p于是上式可以寫成J=R-0R-0R-,,,一0Rtt1t—12t—2 qt—q構(gòu)成一個(gè)MA（q）模型。按照估計(jì)MA（q）模型參數(shù)的估計(jì)方法，可以得到0,0,…,0及。212q |1的估計(jì)值。第五節(jié)隨機(jī)時(shí)間序列模型應(yīng)用時(shí)間序列模型的應(yīng)用是廣泛的，下面通過一個(gè)例子探討如何利用樣本建立時(shí)間序列模型，并通過時(shí)間序列模型對某種經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象進(jìn)行分析和預(yù)測。一、時(shí)間序列模型的計(jì)算公式TOC\o"1-5"\h\z設(shè)有模型J，如果J(/)表示在J,J，…的條件下，對J作出的預(yù)測值，稱它為l步t t tt—1 t+l預(yù)測，其l步預(yù)測誤差為：u(l)=J—J(l)t t+l t并且最優(yōu)的預(yù)測值就是其條件期望值：J=J(l)=E(jJ,j，…,J)t+l t t+ltt—1 1假設(shè)有一平穩(wěn)可逆的ARMA(p,q)模型，它可以表示為三種等價(jià)形式：8(l)J=0(l)u (5.5.1)j=w(l)u (5.5.2)u=兀(l)j (5.5.3)其中：w(l)=8-1(l)0(l)=1+工Wlj；jj=1兀(l)=0-1(l)8(l)=1一切兀lj。j=1如果考慮向前l(fā)步預(yù)測，也就是說用第t期及前期的序列觀測值，即jt,Jt—］，…對未來時(shí)

并假設(shè)(5.5.4)TOC\o"1-5"\h\z刻t+/的序列七+z的值進(jìn)行估計(jì)。假設(shè)以時(shí)刻t為起點(diǎn)，l步的預(yù)測值為*(/)寧(l)=CJ+CJ+CJ+…t 0t1t-1 2t-并假設(shè)(5.5.4)顯然這種預(yù)測是線性的，選擇系數(shù)C，j=0,1,2,…使得預(yù)測誤差￡(l)=y-y(l)的方j(luò) t t+l t差到達(dá)最小，即使E(s2(l))=E[y-y(l)]2到達(dá)最小。于是就稱y(l)為線性最小方差預(yù)/ 、/t、 t+l t t測。由式6.5.2)和(5.5.4)有y(l)**〃+w*u +w*u+…t ltl+1t-1 l+2t-2這樣 E(s2(l))=E[u+乙Wu 一乙w*u]2t t+l jt+l一j l+jt一jTOC\o"1-5"\h\zj=1 j=0=(1+W2+…+W2)b2+]E(W -W*)2b21 l-1 u j+1 l+j uj=0由上式知當(dāng)W*=W.(j=0,1,2…)時(shí)，預(yù)測誤差的方差最小，且有j+l j+lE(s2(l))=(1+W2+...+W2)b2由此可以看出預(yù)測誤差同預(yù)測的起點(diǎn)無關(guān)，而是隨l增大而增大。這樣預(yù)測值可表示為:y(l)=wu+wu+wu+…=乙Wut lt l+1t-1 l+2t-2 l+jt-jj=0利用條件期望的根本性質(zhì)，不難推導(dǎo)出ARMA(p,q)模型的預(yù)測的更簡明的公式。譬如:一步預(yù)測公式：y(1)=E(y|y,y，…,y)+ut「￡0j=1=E(2L+ut「￡0j=1=E(2L?ytj+1j=1y+u|y,y，…,y)jt一j+1 t+1tt-1 1=6y+6y+ $y -O'u-O'u O'u1t2t-1 pt-p+1 1t2t-1 qt-q+1其中u,u_］，…是可計(jì)算的觀測殘差。二步預(yù)測公式：y(2)=E(y|y,y，…,y)t t+2tt-1 1=6y(1)+6y+ 6y -O'u O'u1t 2t pt-p+2 2t qt-q+2類似的可以求出3步直至l步預(yù)測公式。l步預(yù)測公式為：y(l)=6y(l-1)+—6y -§u—O'u (5.5.5)t 1t pt-p+l lt qt-q+l特別是當(dāng)/>p,l>q時(shí)，那么式（5.5.5）就為y(i)=6y(特別是當(dāng)/>p,l>q時(shí)，那么式（5.5.5）就為y(i)=6y(i—1)+…+6y(i—p)t 1t pt二、時(shí)間序列模型的應(yīng)用例1ARMA〔1，1〕模型預(yù)測值的計(jì)算。假設(shè)模型為y=8y+u—0u (5.5.6)t+1 1t t+1 1ty的現(xiàn)在值y和t時(shí)刻以前的值y，…,y，求一步預(yù)測值y(1)和二步預(yù)測值y(2)。t t t—1 1 t解根據(jù)上面的公式，我們有y⑴=E(y|y,y，…,y)

t t+1tt—1 1=eGy+u—0u\y,y，…,y)1t t+1 1Ctt—1 1(5.5.7)利用y在t時(shí)刻的值y以及t時(shí)刻以前的值y，…,y通過所給定的模型（5.5.6）來計(jì)t t t—1 1算u。由于所給的模型滿足平穩(wěn)可逆條件，所以8,0分別在平穩(wěn)與可逆域內(nèi)。為了求出ut 1 1的表達(dá)式，將所給的模型改寫成為（u 一y）=0（u一y）+（0—8）yt+1 t+1 tt 1 1t(5.5.8)從而有氣一y=0.(u-y)+(0-8)yt1 t—1 t—1 1 1 t—1=0[0(u —y)+(0—8)y ]+(0—8)y11 t—2 t—2 1 1 t—2 1 1 t—1由于0]|<1，所以當(dāng)七=01-10(u—y)+(0—8)*101-1-jyt0 t0 1 1 jj=t0上式右邊第一項(xiàng)趨于零，這樣得到t—t01t-1-jy11 1jj=—3(5.5.9)將式（5.5.9）代入式G.5.7）得到y(tǒng),(1)=81yt—01yt-01(01—81)如01t-1-jy,j=—3(5.5.10)=(8—0)￡0t一jy.j=—3公式（5.5.10）可以修改為逆推方程的形式y(tǒng)⑴=(8―。)(y+E。*-jy)

t iit ijj=—?=(8-0)(y+0舊0t-1-jy^)j=-8=01yt-1(1)+(81-01)yt (5.5.11)這里yt-1(i)是在時(shí)刻t—i時(shí)一步預(yù)測。同理可求二步預(yù)測值yt(2)。例2我們考察某種商品的銷售情況，假設(shè)某種商品銷售量已進(jìn)入穩(wěn)定狀態(tài)期，銷量的數(shù)據(jù)記錄可以認(rèn)為是一個(gè)平穩(wěn)隨機(jī)序列?，F(xiàn)利用50個(gè)月的銷售記錄，通過整理得到月平均銷售量為30萬件，月銷售量與平均值的差〔簡稱“月銷售量距平〃〕的數(shù)據(jù)如表5—6所示。表5—6月銷售量與平均銷售量的差單位：萬件序號(hào)t月銷量距平Y(jié)t序號(hào)t月銷量距平Y(jié)t序號(hào)t月銷量距平Y(jié)t序號(hào)t月銷量距平Y(jié)tII427402I5284i3I629424I730435I83i446I93245720334682i34479223548I0233649ii243750I22538I32639解利用表5—6中的數(shù)據(jù)建立時(shí)間序列模型，并且利用它來作預(yù)測分析。首先根據(jù)自相關(guān)函數(shù)和偏相關(guān)函數(shù)的計(jì)算公式估算由表5—6中數(shù)據(jù)作為樣本序列的自相關(guān)函數(shù)值和偏相關(guān)函數(shù)值。計(jì)算結(jié)果如表5-7所示。表5-7自相關(guān)函數(shù)和偏相關(guān)函數(shù)k8kkApkk8kkApkI728394I05ii12由表5-7可看出，pk的值隨著k的增大而變小，呈衰減的趨勢，也就是逐漸收斂于零，所以，可以認(rèn)為它是拖尾的。而虹在k大于2以后，在零的附近波動(dòng)，而且|>MR0.28的點(diǎn)一個(gè)也沒有，因而可以認(rèn)為8以后是截尾的。kkv50 kk根據(jù)AR模型的識(shí)別準(zhǔn)那么，由上述樣本數(shù)據(jù)我們可以判斷該序列是AR(2)序列。其模型的形式為yt=8]yt1+巾2yt2+￡,現(xiàn)在對參數(shù)8,8作出估計(jì)，由式G.4.16)有1 2[8+0.9(f)=0.91I。%+82=0.84解此方程組得8”=0.7538，8”=0.158TOC\o"1-5"\h\z1 2這樣由一步預(yù)測公式得到一步預(yù)測方程為y⑴=0.7538y+0.158yt t t—1二步預(yù)測方程為y(2)=0.7538y⑴+0.158yt t t三步預(yù)測方程為y(3)=0.7538y