培養(yǎng)具有數(shù)學修養(yǎng)的通識人才

培養(yǎng)具有數(shù)學修養(yǎng)的通識人才摘要：本文介紹了學校培養(yǎng)具有數(shù)學修養(yǎng)通識人才的實踐活動，對通識教育模式進行了探討。關(guān)鍵詞：通識教育；數(shù)學文化；數(shù)學建模一、開設(shè)數(shù)學模型系列課程，培養(yǎng)學生理論聯(lián)系實際的能力大學生在進入大學之前，已經(jīng)學過10多年的數(shù)學，除了應用題外，很少接觸實際問題，特別是進入大學以后，高等數(shù)學的內(nèi)容及思維方式與初等數(shù)學有很大的差別，不論對數(shù)學類的學生還是非數(shù)學類的學生，都會造成較大的困難。與此同時，學生在學習時也往往不知道所學的內(nèi)容到底有什么用，如何運用。因此，講授一些具有實際應用背景的例子，對引發(fā)學生學習數(shù)學的興趣，自覺地學習數(shù)學是有很大的裨益的。隨著科技發(fā)展和社會進步，數(shù)學越來越深入和廣泛地在自然科學、工程技術(shù)和社會科學的各個領(lǐng)域中得到應用，并在有些領(lǐng)域中發(fā)揮了關(guān)鍵的作用。因此，我校1982年就在國內(nèi)高校中率先開設(shè)了“數(shù)學模型”課程。在30多年中的建設(shè)過程中，我們始終堅持“培養(yǎng)具有創(chuàng)新意識和理論聯(lián)系實際能力的優(yōu)秀人才”的指導思想，堅持不懈地推進教學改革，形成了完整的數(shù)學模型系列課程，包括“數(shù)學模型”、“數(shù)學建模與實驗”以及與之相聯(lián)系的創(chuàng)新實踐活動。通過這些課程，培養(yǎng)學生分析問題、解決問題的能力，使他們具備一定的理論聯(lián)系實際的能力。同時我們還為全校學生開設(shè)了“數(shù)學模型概論”公選課。在“文科高等數(shù)學”課程中增加了相當數(shù)量的數(shù)學建模的內(nèi)容，使非數(shù)學類的學生也能掌握一些數(shù)學建模的思想與方法。二、開設(shè)通識教育核心課程，普及數(shù)學文化，提高學生的數(shù)學修養(yǎng)近年來我校探索實施通識教育，將其作為教學改革

的一個重要舉措。通過開設(shè)通識教育核心課程，做到學識的傳授與人格的熏陶并重，使每個受教育的學生了解自我與社會的需要，在融洽的人際關(guān)系中，選擇學習內(nèi)容，培養(yǎng)高雅素質(zhì)及高尚人格，成為學術(shù)與品德兼?zhèn)?、熱愛社會、具有包容的胸襟、尊重他人尊嚴與價值的完整的人。同時具備將來就業(yè)或轉(zhuǎn)業(yè)的基本學識與基本才能，能自我調(diào)適與自我判斷，以適應當今科技快速進步的時代。復旦大學實施通識教育主要有兩大舉措：一是積極探索通識教育管理、運行新模式；二是建立通識教育核心課程體系。與之相配合，我們?yōu)槲睦韺W院的學生開設(shè)了通識教育核心課程“現(xiàn)實世界的數(shù)學視角與思維”。這門課程通過用數(shù)學的視角對社會的某些側(cè)面進行觀察和對一些重要的社會和科技活動進行定量的思維，并通過介紹科技、經(jīng)濟、金融和管理中的數(shù)學模型與應用案例，向?qū)W生揭示數(shù)學的重要性，宣傳數(shù)學思想，普及數(shù)學文化，提高學生的數(shù)學素養(yǎng)。我們希望通過這門課程傳達給學生以下主要思想和觀念：（1）數(shù)學是科技發(fā)展的強大動力?？档拢↖mmanuelKant，德國哲學家，1724—1804）說過：“自然科學的發(fā)展，取決于其方法、內(nèi)容與數(shù)學結(jié)合的程度，數(shù)學成為打開知識大門的金鑰匙，成為科學的皇后?！睌?shù)學被公認為“科學的語言”、“思維的工具”。數(shù)學對科技發(fā)展所起的作用是難以估量的。（2）數(shù)學本身是一種文化，它對人類的精神文明做出了巨大的貢獻?！皵?shù)學是人類理性活動的偉大創(chuàng)造。數(shù)學是一種精神，一種理性的精神，使人類思維得以運用到最完善的程度。作為理性精神的化身，數(shù)學滲透到以前由權(quán)威、習慣、風俗統(tǒng)治的領(lǐng)域，取代它們成為思想和行動的指南。作為一種寶貴的、無可比擬的人類成就，數(shù)學在使人賞心悅目和提供審美價值方面，毫不遜色于蔡志杰，復旦大學數(shù)學科學學院教授；曹沅，復旦大學數(shù)學科學學院教授；譚永基，復旦大學數(shù)學科學學院教授。15任何一種文化門類?！保巳R因，F(xiàn)elixChristianKlein，德國數(shù)學家，1849—1925）（3）數(shù)學是各類優(yōu)秀人才必備的素質(zhì)。有人問首位諾貝爾物理學獎獲得者倫琴（WilhelmConradR?ntgen，德國物理學家，1845—1923）“科學家需要什么修養(yǎng)”，他的回答是：“第一是數(shù)學，第二是數(shù)學，第三還是數(shù)學?！保?）定量化思想是最重要的數(shù)學思想之一?！敖茖W在實用和理論方面最激動人心的成就，主要是通過熟練地運用日積月累的定量的、描述的知識才獲得的，……，近代科學的歷史，就是逐漸擯棄上帝和惡魔，從而將關(guān)于光、聲、力、化學過程以及其他概念模糊思想轉(zhuǎn)變?yōu)閿?shù)量關(guān)系的歷史。”（克萊因）英國數(shù)學家和哲學家懷特海（AlfredNorthWhitehead，1861—1947）說：“如果文明繼續(xù)發(fā)展，那么在今后兩千年，人類思想中壓倒一切的新特點就是數(shù)學悟性要占統(tǒng)治地位?！痹谡冀y(tǒng)治地位的數(shù)學悟性中，定量化思想是不可或缺的部分。（5）數(shù)學建模在定量化和數(shù)學應用中起著十分重要的作用?？茖W家們認為：“當前最令人興奮的發(fā)展是在社會科學和生物科學中數(shù)學模型的構(gòu)造?！保ò瑐惗喔?，CarlBarnettAllendoerfer，美國數(shù)學家，1911—1974）“甚至一個粗糙的數(shù)學模型也能幫助我們更好地理解一個實際的情況，因為我們在試圖建立數(shù)學模型時被迫考慮了各種邏輯可能性，不含混地定義了所有的概念，并區(qū)分了重要和次要的因素……?！保▊愐粒珹lfredRenyi，匈牙利數(shù)學家，1921—1970）數(shù)學模型是使用數(shù)學解決實際問題的第一步，并貫穿在解決問題的全過程之中。為達到以上目的，我們在課程中包括了以下主要內(nèi)容：緒論發(fā)展與變化數(shù)據(jù)與規(guī)律計劃與規(guī)劃競爭與博弈風險與決策優(yōu)選與優(yōu)化調(diào)查與統(tǒng)計模擬與仿真模式與分類我們設(shè)計了分量較重的緒論，圖文并茂地講解數(shù)學發(fā)展的簡史和宣揚數(shù)學思想。但是我們認為僅靠泛泛而談或講歷史故事遠達不到宣傳數(shù)學思想的目的。因此我16

們選擇上述在社會生活中一些重要的問題和方面，用淺顯的數(shù)學工具，給出數(shù)學模型和數(shù)學方法，透過這些實例，看到數(shù)學的思想和數(shù)學的作用。下面我們舉一個例子，說明我們是如何實現(xiàn)課程設(shè)計的目的和要求。在“發(fā)展與變化”一章中，我們首先向?qū)W生闡明發(fā)展變化無所不在，數(shù)學是發(fā)現(xiàn)變化規(guī)律的重要手段，數(shù)列是刻畫離散變化的工具、差分方程是刻畫發(fā)展變化規(guī)律的主要數(shù)學模型之一，并適當為學生復習和補充有關(guān)數(shù)列的知識（考慮到選課學生中眾多的文科學生）。為了提高學生的興趣，我們引入了一個簡單的金融問題——房貸問題。我們知道房屋貸款有兩種還款模式：等額本金還款、等額本息還款。等額本金還款較為簡單，可以構(gòu)造一個遞推公式加以解決：Ak1xkAr1nn實際上這是一個等差數(shù)列。每個月本金都減少固定的An，因而利息相應地減少固定的Anr，即xk1xkAnr。而等額本息還款稍顯復雜。設(shè)每月總還款額為x，第k月還款后剩余本金為xk，則xk1xk(xrxk)(1r)xkx這樣，就構(gòu)成一個一階線性常系數(shù)的差分方程，求解得xkx0(1r)k(1rr)k1x一階差分方程需要一個初始條件，這里給出x0=A，即開始貸款額為A，這樣xkA(1r)k(1rr)k1x為解出x，還缺少一個條件，如果貸款期限為n個月，那么xn=0，由此解得x Ar n1(1r)這個例子一方面給出了差分方程的一個應用，另一方面，也使學生知道在實際應用中如何根據(jù)實際情況給出必須的條件，從而得到最終的結(jié)果。這個問題還可以根據(jù)貨幣的時間價值，用初等數(shù)學的方法得到。第k月還款額為x，到貸款期限n月時的實際價值為x(1+r)n–k，初始時刻貸款總額為A，到貸款期限n月時的實際價值為A(1+r)n，因此nx(1r)nkA(1r)nk1左邊實際上是等比級數(shù)之和，為x(1r)n1r由此得到xAr1(1r)n從這個例子看出，同一個問題可以用多種方法加以解決，思路不同，解決方案亦不相同，但條條大路通羅馬。我們還給出離散的人口模型，以此鞏固差分方程的應用。假設(shè)人口的年增長率為常數(shù)，則xk1(1r)xkb其中xk為k年末人口數(shù)，r為年自然增長率，b為年遷入人口數(shù)。這個模型與等額本息還款問題的模型完全相同，只要將x改為–b即可，其解為xkx0(1r)k(1rr)k1b若不考慮遷入，即b=0，此時人口是指數(shù)增長的。用早期世界人口增長數(shù)據(jù)可驗證這個模型是對的。但隨著時間的增長，用這個公式給出的人口可以無限增長，這顯然是不合理的。分析原因后看到這個模型的不合理之處在于沒有考慮可供養(yǎng)人口的資源的限制。于是基于這一考慮，改進引入Logistic模型rxx1rxM其中M是資源可以供養(yǎng)的最大人口數(shù)。這是一個非線性差分方程，求解較為困難，將之化為線性差分方程111rxk11rxkM這是關(guān)于1的一階線性常系數(shù)差分方程，求解此方程得到xkxk1111r)k(1Mx0M將其與美國20世紀50年代以前的數(shù)據(jù)比較，發(fā)現(xiàn)符合得很好。但20世紀60年代后，模型有缺陷需進一步修改。這個例子告訴學生如何建立數(shù)學模型。通常是從最簡單的情況入手，建立簡單的數(shù)學模型。然后在此基礎(chǔ)上，考慮增加新的影響因素，建立較為復雜的模型。另一方面，對于非線性問題通常都很難求解，一種方法是想辦法將其化為線性問題來求解。

對不同層次的學生可以采用不同的模型，講述不同深度的數(shù)學內(nèi)容。例如，對數(shù)學系的學生，在講授人口問題時，可以采用另一個Logistic模型rxkx1rxkM這一模型會產(chǎn)生混沌現(xiàn)象，這樣，可以將學生帶入非線性科學領(lǐng)域，盡早接觸現(xiàn)代數(shù)學的內(nèi)容。三、深入進行教學方法改革，充分發(fā)揮學生主體作用在以往的課堂教學中，特別是數(shù)學課的教學中，主要采用教師課堂講授的形式。這種單一的教學形式造成了學生在教學中處于完全被動的狀態(tài)，影響了學生的學習積極性和教學效果。為了使學生更好地掌握課堂教授的內(nèi)容，我們十分注重教學互動，充分發(fā)揮學生在教學中的主體和能動作用。我們在課堂上穿插一些課堂練習，讓學生自己動手完成一些較為簡單的問題。這些問題雖然也可以用課堂講授的方式，但是由學生自己完成，從中找到解決問題的方法，使學生懂得如何使用學習到的數(shù)學知識解決實際問題。這對學生的提高會更大。在“數(shù)學建模與實驗”課程中，針對學生的特點和課程的性質(zhì)，我們采用了研究生學習階段普遍使用的討論班的上課形式，為學生提供了一個相互交流的平臺，也使教學方式更加生動活潑。在課程中，由教師主持，提供給學生閱讀材料，主要是歷屆全國和美國大學生數(shù)學建模競賽的優(yōu)秀論文。這些材料有相當?shù)纳疃群碗y度，其中大部分知識學生還沒有學過。老師推薦一些數(shù)學方面的參考書籍，指導同學們詳細閱讀數(shù)學建模的有關(guān)資料和素材中的內(nèi)容。要求同學們首先讀懂材料上的內(nèi)容，自己動手實現(xiàn)其中的算法，驗證材料中的結(jié)果，然后結(jié)合自己的想法，指出材料中的數(shù)學方法和相應的算法可能出現(xiàn)的錯誤，并對之作出改進，撰寫讀書報告，然后在課堂上進行講解。學生在講解時，將有關(guān)內(nèi)容制成PPT形式，利用多媒體工具進行講解。有的同學還會針對講解的內(nèi)容，利用Java等軟件制作動畫演示，直觀地展示計算結(jié)果，解釋有關(guān)現(xiàn)象。在討論班進行過程中，老師和其他同學可以隨時提問，進行互相討論，最后再由老師作出點評，幫助同學們掌握其中的主要方法和難點，在互動的教學過程中，更好地掌握材料中的內(nèi)容?！皵?shù)學建模與實驗”課程是在本科二年級下和三年級上開設(shè)的，在讀與寫的過程中，學生們自然會遇到相當多的尚未學過的專業(yè)知識，也會17遇到某些不熟悉的其他專業(yè)領(lǐng)域的內(nèi)容，我們就鼓勵和指導學生如何從圖書館和網(wǎng)上尋找相關(guān)的背景資料和數(shù)學書籍，自學某些課程，使學生們養(yǎng)成學而不厭、鍥而不舍、自立自強的好習慣。通過這一課程的學習，普遍提高了學生們的專業(yè)素質(zhì)和分析問題、解決問題的能力。這一上課形式也受到了同學們的熱烈歡迎，同學們在課堂上踴躍發(fā)言，進行熱烈的討論，使得對問題的理解、方法的掌握都更加透徹。四、努力加強教學形式延伸，注重培養(yǎng)學生創(chuàng)新意識學生要具備用數(shù)學方法和手段解決實際問題的能力，單單從課堂上和書本里學習是遠遠不夠的，還需要有機會從社會實踐中汲取營養(yǎng)。我們長期堅持學生結(jié)合課程學習進行社會實踐，并將應用數(shù)學方向的畢業(yè)實習作為數(shù)學建模課程的延伸，帶領(lǐng)同學們到實際單位去參觀實習，結(jié)合有關(guān)實際課題，在老師的指導下進行研究，完成同學的畢業(yè)論文。在社會實踐中聘請實際單位的專業(yè)人員為學生講課，講授數(shù)學和數(shù)學模型在其單位中發(fā)揮的巨大作用。通過這些實習和研究活動，使同學們真刀實槍地進行實踐，切實地感受到了數(shù)學的用武之地，真正地參與了重要科研項目的攻關(guān)，而不僅僅是紙上談兵，使同學們應用數(shù)學解決實際問題的能力大大提高。我們還積極鼓勵學生參加國際工業(yè)應用數(shù)學研討會（StudyGroup）。國際工業(yè)應用數(shù)學研討會為工業(yè)企業(yè)界與中外應用數(shù)學界提供了一個聯(lián)系平臺，通常為期5天。第一天由工業(yè)企業(yè)界的人士介紹各自的問題背景和需要解決的問題。在之后的3天時間里，與會者分組，就自

己感興趣的問題，與工業(yè)企業(yè)界的人士進行充分的討論，提出解決的方案，建立相應的數(shù)學模型并進行試算。最后一天，各小組分別介紹自己的研究成果，有興趣者在會后作深入的研究。我們帶領(lǐng)優(yōu)秀的本科生參加這類活動，在研討會中發(fā)揮了很大的作用，有的還在最后一天代表所在小組用流利的英語作最后的總結(jié)報告，得到了與會專家的高度評價。很多學生還積極參加學校的各種科創(chuàng)活動，如“曦源”項目、“望道”計劃、“莙政”計劃等。通過這些項目的研究，學生們親身體驗數(shù)學建模的整個過程，了解、熟悉科研過程，為他們今后進一步的深造打下基礎(chǔ)。在各種實踐活動中，涌現(xiàn)出許多優(yōu)秀學生，他們在很多項目的開發(fā)中起到了積極的作用，為項目的完成、鑒定甚至獲獎作出了貢獻。每年都有優(yōu)秀的畢業(yè)論文涌現(xiàn)出來。事實證明，學生參加科研工作，既充實了科研隊伍的力量，更使學生受到了很好的鍛煉，培養(yǎng)了理論聯(lián)系實際和從事科研工作的意識和能力。我們還鼓勵學生組織課外科技活動。由我院團學聯(lián)發(fā)起組織的“大學生數(shù)學建模邀請賽”（原稱“華東杯數(shù)學建模競賽”）已連續(xù)舉辦了14屆，從開始的地區(qū)性賽事發(fā)展為全國性的賽事。這是由學生自行組織的，我們老師負責出題和閱卷，而報名、征題、收卷、頒獎等活動都由學生自己完成。這對培養(yǎng)和促進學生的自立自強作用明顯。我院學生還自發(fā)組織了“數(shù)學建模協(xié)會”，吸引了一大批對數(shù)學建模有興趣的同學積極參加。我們也經(jīng)常與學生座談，舉辦講座，激發(fā)了同學們運用數(shù)學解決實際問題的濃厚興趣。[責任編輯：文和平]18培養(yǎng)具有數(shù)學修養(yǎng)的通識人才作者：蔡志杰，曹沅，HYPERLINK"/Paper.aspx?q=Creator%3a%22%e8%b0%ad%e6%b0%b8%e5%9f%ba%22+DB