華中師范大學(xué) 復(fù)變2003 –2004B卷

/華中師范大學(xué)2003–2004學(xué)年第二學(xué)期期末考試試卷（B卷)（答）課程名稱復(fù)變函數(shù)課程編號(hào)4２111２00任課教師題型判斷題敘述題解答題證明題總分分值18１250201０0得分得分評(píng)閱人一、判斷題（判斷正確、錯(cuò)誤，并改正。共６題，共6×3＝18分）1、點(diǎn)集且是區(qū)域.(×）點(diǎn)集且不是區(qū)域2、函數(shù)在z平面上處處連續(xù),也處處可微。（×）函數(shù)在z平面上處處連續(xù)，但處處不可微３、(其中r大于零）（×）（其中r大于零）４、z＝０為的一級(jí)極點(diǎn).（√)５、若為的可去奇點(diǎn),則.(×）若為的可去奇點(diǎn),則不一定成立.６、若在區(qū)域D內(nèi)解析，且在Ｄ內(nèi)有界，則在D內(nèi)恒為常數(shù)。(×)若在區(qū)域D內(nèi)解析，且在D內(nèi)有界，則在D內(nèi)不一定恒為常數(shù)。得分評(píng)閱人二、敘述題（共4題，共４×3=12分）1、函數(shù)在閉區(qū)域上解析。函數(shù)在閉區(qū)域上解析是指在包含的更大的區(qū)域內(nèi)解析。2、柯西積分公式.設(shè)在圍線或復(fù)圍線C圍成的區(qū)域D內(nèi)解析,在上連續(xù)，則對(duì)任意,總有。3、解析函數(shù)的唯一性。解析函數(shù)完全由它在其解析區(qū)域內(nèi)的某收斂點(diǎn)列上的取值唯一確定(其中收斂點(diǎn)仍屬于其解析區(qū)域)。4、殘數(shù)定理或殘數(shù)定理的推廣。（任寫對(duì)一個(gè)即可）得分評(píng)閱人三、解答題(共5題，共5×１0=50分）１、討論在復(fù)平面上的連續(xù)性、可微性和解析性。解令，顯然在復(fù)平面上的連續(xù)性,從而在復(fù)平面上的連續(xù)性…………。.（2分）又在復(fù)平面上具有一階連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，且，，,要使可微，只須,故僅在直線上可微，………．（8分）但在復(fù)平面上處處不解析?！＃?０分）2、求的值,并利用它計(jì)算。解由柯西積分公式得…………。（4分)令，則所以即…………(10分）３、求函數(shù)分別內(nèi)的羅朗展式。解因……………….．(4分）所以當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，……。(10分)4、指出下列函數(shù)在擴(kuò)充平面上的孤立奇點(diǎn)（要指出類型）,并求在各孤立奇點(diǎn)處的殘數(shù)(1）=;(2)=。解（1）=的孤立奇點(diǎn)為,其中為二級(jí)極點(diǎn)，為可去奇點(diǎn)．……………。（2分），，又++所以…………….（5分）(2）的孤立奇點(diǎn)為，且所以為二級(jí)極點(diǎn),為本性奇點(diǎn),……………（10分）５、利用殘數(shù)計(jì)算下列實(shí)積分（1)(2)解……。.（2分）令，則．……（５分)(2)……………。(2分)而所以…………….（５分)得分評(píng)閱人四、證明題（共2題，共2×１0=20分)證明：若為整函數(shù)，且的實(shí)部有下界，則恒為常數(shù).證由題設(shè)…….(2分）記,則也為整函數(shù),且所以由劉維爾定理得為常數(shù)，從而恒為常數(shù)。……………（１0分)2、若在單位圓內(nèi)解析,在上連續(xù)，且在上,，則在內(nèi)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，并求出此零點(diǎn)。(其中)證記，，……………．(4分）由題