2023初高中數(shù)學(xué)銜接教材（已整理）

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現(xiàn)有初高中數(shù)學(xué)教材存在以下“脫節(jié)〞：

1、絕對(duì)值型方程和不等式，初中沒有講，高中沒有專門的內(nèi)容卻在使用；2、立方和與差的公式在初中已經(jīng)刪去不講，而高中還在使用；

3、因式分解中，初中主要是限于二次項(xiàng)系數(shù)為1的二次三項(xiàng)式的分解，對(duì)系數(shù)不為1的涉及不多，而且對(duì)三次或高次多項(xiàng)式的分解幾乎不作要求；高中教材中大量化簡(jiǎn)求值都要用到它，如解方程、不等式等；

4、二次根式中對(duì)分子、分母有理化初中不作要求，而分子、分母有理化是高中數(shù)學(xué)中函數(shù)、不等式常用的解題技巧；

5初中教材對(duì)二次函數(shù)的要求較低，學(xué)生處于了解水平。而高中則是貫穿整個(gè)數(shù)學(xué)教材的始終的重要內(nèi)容；配方、作簡(jiǎn)圖、求值域（取值范圍）、解二次不等式、判斷單調(diào)區(qū)間、求最大最小值、研究閉區(qū)間上的函數(shù)最值等等是高中數(shù)學(xué)所必需把握的基此題型和常用方法；

6、二次函數(shù)、二次不等式與二次方程之間的聯(lián)系，根與系數(shù)的關(guān)系（韋達(dá)定理）初中不作要求，此類題目?jī)H限于簡(jiǎn)單的常規(guī)運(yùn)算，和難度不大的應(yīng)用題，而在高中數(shù)學(xué)中，它們的相互轉(zhuǎn)化屢屢頻繁，且教材沒有專門講授，因此也脫節(jié)；

7、圖像的對(duì)稱、平移變換初中只作簡(jiǎn)單介紹，而在高中講授函數(shù)時(shí)，則作為必備的基本知識(shí)要領(lǐng)；

8、含有參數(shù)的函數(shù)、方程、不等式初中只是定量介紹了解，高中則作為重點(diǎn)，并無(wú)專題內(nèi)容在教材中出現(xiàn)，是高考必需考的綜合題型之一；

9、幾何中好多概念（如三角形的五心：重心、內(nèi)心、外心、垂心、旁心）和定理（平行線等分線段定理、平行線分線段成比例定理、射影定理、相交弦定理）初中早就已經(jīng)刪除，大都沒有去學(xué)習(xí)；

10、圓中四點(diǎn)共圓的性質(zhì)和判定初中沒有學(xué)習(xí)。高中則在使用。

另外，象配方法、換元法、待定系數(shù)法、雙十字相乘法分解因式等等等等初中大大淡化，甚至老師根本沒有去延伸挖掘，不利于高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)。

新的課程改革，難免會(huì)導(dǎo)致好多知識(shí)的脫節(jié)和漏洞。本書當(dāng)然也沒有詳盡列舉出來(lái)。我們會(huì)不斷的研究新課程及其體系。將不遺余力地找到新的初高中數(shù)學(xué)教材體系中存在的不足，加以補(bǔ)充和完善。

目錄

第一章數(shù)與式

1.1數(shù)與式的運(yùn)算1.1.1絕對(duì)值1.1.2乘法公式1.1.3二次根式1.1.4分式1.2分解因式

其次章二次方程與二次不等式

2.1一元二次方程2.1.1根的判別式2.1.2根與系數(shù)的關(guān)系

2.2二次函數(shù)

2.2.1二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像和性質(zhì)2.2.2二次函數(shù)的三種表達(dá)方式2.2.3二次函數(shù)的應(yīng)用

2.3方程與不等式

2.3.1二元二次方程組的解法第三章相像形、三角形、圓

3.1相像形

3.1.1平行線分線段成比例定理3.1.2相像三角形形的性質(zhì)與判定

3.2三角形

3.2.1三角形的五心

3.2.2解三角形：鈍角三角函數(shù)、正弦定理和余弦定理及其應(yīng)用

3.3圓

3.3.1直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系：圓冪定理3.3.2點(diǎn)的軌跡

3.3.3四點(diǎn)共圓的性質(zhì)與判定3.3.4直線和圓的方程（選學(xué)）

2

1.1數(shù)與式的運(yùn)算

1.１.1．絕對(duì)值

絕對(duì)值的代數(shù)意義：正數(shù)的絕對(duì)值是它的本身，負(fù)數(shù)的絕對(duì)值是它的相反數(shù)，零的絕對(duì)值仍是零．即

?a,a?0,?|a|??0,a?0,

??a,a?0.?絕對(duì)值的幾何意義：一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值，是數(shù)軸上表示它的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離．兩個(gè)數(shù)的差的絕對(duì)值的幾何意義：a?b表示在數(shù)軸上，數(shù)a和數(shù)b之間的距離．例1解不等式：x?1?x?3＞4．

解法一：由x?1?0，得x?1；由x?3?0，得x?3；①若x?1，不等式可變?yōu)?(x?1)?(x?3)?4，即?2x?4＞4，解得x＜0，又x＜1，∴x＜0；

②若1?x?2，不等式可變?yōu)?x?1)?(x?3)?4，即1＞4，

∴不存在滿足條件的x；

③若x?3，不等式可變?yōu)?x?1)?(x?3)?4，即2x?4＞4，解得x＞4．又x≥3，∴x＞4．

綜上所述，原不等式的解為x＜0，或x＞4．

解法二：如圖1．1－1，x?1表示x軸上坐標(biāo)為x的點(diǎn)P到坐標(biāo)為1的點(diǎn)A之間的距離|PA|，即|PA|＝|x－1|；|x－3|表示x軸上點(diǎn)P到坐標(biāo)為2的點(diǎn)B之間的距離|PB|，即|PB|＝|x－3|．

|x－3|

所以，不等式x?1?x?3＞4的幾何意義即為|PA|＋|PB|＞4．由|AB|＝2，可知

點(diǎn)P在點(diǎn)C(坐標(biāo)為0)的左側(cè)、或點(diǎn)P在點(diǎn)D(坐標(biāo)為4)的右側(cè)．

x＜0，或x＞4．

練習(xí)1．填空：

（1）若x?5，則x=_________；若x??4，則x=_________.

（2）假使a?b?5，且a??1，則b＝________；若1?c?2，則c＝________.2．選擇題：

以下表達(dá)正確的是（）

（A）若a?b，則a?b（B）若a?b，則a?b

3

PxC0A1BD34x|x－1|

圖1．1－1

（C）若a?b，則a?b（D）若a?b，則a??b3．化簡(jiǎn)：|x－5|－|2x－13|（x＞5）．

1.1.2.乘法公式

我們?cè)诔踔幸呀?jīng)學(xué)習(xí)過(guò)了以下一些乘法公式：

（1）平方差公式(a?b)(a?b)?a2?b2；

22?a2?2ab?．b（2）完全平方公式(a?b)我們還可以通過(guò)證明得到以下一些乘法公式：

23?ab?2b)?3a?；b（1）立方和公式(a?b)(a23?ab?2b)?3a?；b（2）立方差公式(a?b)(a222)?a?b?2c2?(ab?bc?；)a（3）三數(shù)和平方公式(a?b?cc3323?a?3ab?3a2b?；b（4）兩數(shù)和立方公式(a?b)33?a?3a2b?3a2b?．b（5）兩數(shù)差立方公式(a?b)

對(duì)上面列出的五個(gè)公式，有興趣的同學(xué)可以自己去證明．例1計(jì)算：(x?1)(x?1)(x2?x?1)(x2?x?1)．

222?解法一：原式=(x2?1)?(x?1)?x??

=(x2?1)(x4?x2?1)

=x6?1．

解法二：原式=(x?1)(x2?x?1)(x?1)(x2?x?1)

=(x3?1)(x3?1)=x6?1．

例2已知a?b?c?4，ab?bc?ac?4，求a2?b2?c2的值．解：a2?b2?c2?(a?b?c)2?2(ab?bc?ac)?8．

練習(xí)1．填空：

121211；a?b?(b?a)（）

942322（2）(4m?)?16m?4m?()；

2222(3)(a?2b?c)?a?4b?c?()．

（1）2．選擇題：

1mx?k是一個(gè)完全平方式，則k等于（）21212122m（A）m（B）m（C）m（D）

416322（2）不管a，b為何實(shí)數(shù)，a?b?2a?4b?8的值（）

（1）若x?2（A）總是正數(shù)（B）總是負(fù)數(shù)

（C）可以是零（D）可以是正數(shù)也可以是負(fù)數(shù)

1.1.3．二次根式

一般地，形如a(a?0)的代數(shù)式叫做二次根式．根號(hào)下含有字母、且不能夠開得盡方的式子稱為無(wú)理式.例如3a?a2?b?2b，a2?b2等是無(wú)理式，而2x2?x2?2xy?y2，a2等是有理式．

2x?1，21．分母（子）有理化

4

把分母（子）中的根號(hào)化去，叫做分母（子）有理化．為了進(jìn)行分母（子）有理化，需要引入有理化因式的概念．兩個(gè)含有二次根式的代數(shù)式相乘，假使它們的積不含有二次根式，我們就說(shuō)這兩個(gè)代數(shù)式互為有理化因式，例如2與2，3a與a，3?6與3?6，23?32與23?32，等等．一般地，ax與x，ax?by與ax?by，ax?b與

ax?b互為有理化因式．

分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根號(hào)的過(guò)程；而分子有理化則是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分子中的根號(hào)的過(guò)程

在二次根式的化簡(jiǎn)與運(yùn)算過(guò)程中，二次根式的乘法可參照多項(xiàng)式乘法進(jìn)行，運(yùn)算中要運(yùn)用公式ab?ab(a?0,b?0)；而對(duì)于二次根式的除法，尋常先寫成分式的形式，然后通過(guò)分母有理化進(jìn)行運(yùn)算；二次根式的加減法與多項(xiàng)式的加減法類似，應(yīng)在化簡(jiǎn)的基礎(chǔ)上去括號(hào)與合并同類二次根式．

2．二次根式a2的意義

a2?a???a,a?0,

?a,a?0.?例1將以下式子化為最簡(jiǎn)二次根式：

（1）12b；（2）a2b(a?0)；（3）4x6y(x?0)．解：（1）12b?23b；

（2）a2b?ab?ab(a?0)；（3）4x6y?2x3y??2x3y(x?0)．

例2計(jì)算：3?(3?3)．

3?33?(3?3)＝(3?3)(3?3)33?39?33(3?1)＝63?1＝．

23?1133?13?3＝)解法二：3?(3＝＝＝＝．

23?13(3?1)(3?1)(3?1)3?3例3試比較以下各組數(shù)的大?。?/p>

2（1）12?11和11?10；（2）和22－6.

6?4解法一：3?(3?3＝)3＝解：（1）∵12?11?11?12?11(12?11)(12?11)1，??112?1112?1111?110?1，10(1?110)(?1110)?11?101?1又12?11?11?10，∴12?11＜11?10．

10?5

22－6(22－6)(22+6)2??,122+622+6又4＞22，

∴6＋4＞6＋22，

2∴＜22－6.6?4例4化簡(jiǎn)：(3?2)2023?(3?2)2023．（2）∵22－6?解：(3?2)2023?(3?2)2023

?＝(3?2)?(3?2)?(3?2)＝??(3?2)?(3?2)?＝12023?(3?2)＝3?2．

202320232023?(3?2)

例5化簡(jiǎn)：（1）9?45；（2）x2?1?2(0?x?1)．x2解：（1）原式?5?45?4?(5)2?2?2?5?22?(2?5)2?2?5?5?2．

11（2）原式=(x?)2?x?，

xx11∵0?x?1，∴?1?x，所以，原式＝?x．

xx3?23?2例6已知x?，求3x2?5xy?3y2的值．,y?3?23?23?23?2解：∵x?y???(3?2)2?(3?2)2?10，

3?23?23?23?2??1，3?23?2∴3x2?5xy?3y2?3(x?y)2?11xy?3?102?11?289．

xy?練習(xí)1．填空：（1）1?3＝_____；

1?32（2）若(5?x)(x?3)?(x?3)5?x，則x的取值范圍是_____；（3）424?654?396?2150?_____；（4）若x?2．選擇題：

5x?1?x?1x?1?x?1，則??________．2x?1?x?1x?1?x?1xx成立的條件是（）?x?2x?2（A）x?2（B）x?0（C）x?2（D）0?x?2

等式a2?1?1?a23．若b?，求a?b的值．

a?14．比較大?。?－35－4（填“＞〞，或“＜〞）．

1.1.４．分式

6

1．分式的意義

形如

AAA的式子，若B中含有字母，且B?0，則稱為分式．當(dāng)M≠0時(shí)，分式具有以下性質(zhì)：BBBAA?MAA?M；．??BB?MBB?M上述性質(zhì)被稱為分式的基本性質(zhì)．

2．繁分式am?n?p像b，這樣，分子或分母中又含有分式的分式叫做繁分式．

2mc?dn?p5x?4AB??例1若，求常數(shù)A,B的值．

x(x?2)xx?2ABA(x?2)?Bx(A?B)x?2A5x?4???解：∵?，

xx?2x(x?2)x(x?2)x(x?2)?A?B?5,∴?解得A?2,B?3．

2A?4,?111??例2（1）試證：（其中n是正整數(shù)）；

n(n?1)nn?1111（2）計(jì)算：；???1?22?39?101111????．（3）證明：對(duì)任意大于1的正整數(shù)n，有

2?33?4n(n?1)211(n?1)?n1??（1）證明：∵?，

nn?1n(n?1)n(n?1)111??∴（其中n是正整數(shù)）成立．

n(n?1)nn?1（2）解：由（1）可知

1111111119?(1?)?(?)??(?)?1?＝．???1?22?39?10223910101011111111111???（3）證明：∵＝(?)?(?)??(?，)＝?2?33?4n(n?1)2334nn?12n?11

又n≥2，且n是正整數(shù)，∴一定為正數(shù)，

n＋11111???∴＜2．2?33?4n(n?1)c例3設(shè)e?，且e＞1，2c2－5ac＋2a2＝0，求e的值．

a2

解：在2c－5ac＋2a2＝0兩邊同除以a2，得2e2－5e＋2＝0，∴(2e－1)(e－2)＝0，

1

∴e＝2＜1，舍去；或e＝2．∴e＝2．

練習(xí)7

1．填空題：對(duì)任意的正整數(shù)n，2．選擇題：

111?(?)；

n(n?2)nn?22x?y2x?，則＝（）若x?y3y（A）１（B）54（C）45（D）65

3．正數(shù)x,y滿足x2?y2?2xy，求x?yx?y的值．

4．計(jì)算11111?2?2?3?3?4?...?99?100．

習(xí)題1．1

A組

1．解不等式：

(1)x?1?3；(2)x?3?x?2?7；(3)x?1?x?1?6．

２．已知x?y?1，求x3?y3?3xy的值．3．填空：

（1）(2?3)18(2?3)19＝________；

（2）若(1?a)2?(1?a)2?2，則a的取值范圍是________；（3）11?2?12?3?13?4?14?5?15?6?________．

B組

1．填空：

（1）a?12，b?13，則3a2?ab3a2?5ab?2b2?________；（2）若x?xy?2y?0，則

x2?3xy?y222x2?y2?____；2．已知：x?11y2,y?3，求x?y?yx?y的值．C組

1．選擇題：

（1）若?a?b?2ab??b??a，則（（A）a?b（B）a?b（C）a?b?0（D）b?a?0

（2）計(jì)算a?1a等于（（A）?a（B）a（C）??a（D）?a

2．解方程2(x2?11x2)?3(x?x)?1?0．

3．計(jì)算：111?3?2?4?13?5??19?11．4．試證：對(duì)任意的正整數(shù)n，有11?2?3?12?3?4??1n(n?1)(n?2)＜1

4

．

1.2因式分解

8

））因式分解的主要方法有：十字相乘法、提取公因式法、公式法、分組分解法，另外還應(yīng)了解求根法及待定系數(shù)法．

1．十字相乘法

例1分解因式：

（1）x2－3x＋2；（2）x2＋4x－12；（3）x2?(a?b)xy?aby2；（4）xy?1?x?y．解：（1）如圖1．1－1，將二次項(xiàng)x2分解成圖中的兩個(gè)x的積，再將常數(shù)項(xiàng)2分解成－1與－2的乘積，而圖中的對(duì)角線上的兩個(gè)數(shù)乘積的和為－3x，就是x2－3x＋2中的一次項(xiàng)，所以，有

x2－3x＋2＝(x－1)(x－2)．

1xx1－2－1－ay－1

1xx16－2－by－2

圖1．1－1圖1．1－3圖1．1－4圖1．1－2

說(shuō)明：今后在分解與本例類似的二次三項(xiàng)式時(shí)，可以直接將圖1．1－1中的兩個(gè)x用1來(lái)表示（如圖1．1－2所示）．

（2）由圖1．1－3，得

x2＋4x－12＝(x－2)(x＋6)．（3）由圖1．1－4，得

x2?(a?b)xy?aby2＝(x?ay)(x?by)x－1（4）xy?1?x?y＝xy＋(x－y)－1

y1

＝(x－1)(y+1)（如圖1．1－5所示）．

圖1．1－5

課堂練習(xí)

一、填空題：

1、把以下各式分解因式：

（1）x?5x?6?__________________________________________________。（2）x?5x?6?__________________________________________________。（3）x?5x?6?__________________________________________________。（4）x?5x?6?__________________________________________________。（5）x??a?1?x?a?__________________________________________________。

22222（6）x?11x?18?__________________________________________________。（7）6x?7x?2?__________________________________________________。（8）4m?12m?9?__________________________________________________。（9）5?7x?6x?__________________________________________________。（10）12x?xy?6y?__________________________________________________。2、x?4x???x?3??x??

22222223、若x?ax?b??x?2??x?4?則a?，b?。二、選擇題：（每題四個(gè)答案中只有一個(gè)是正確的）

21、在多項(xiàng)式（1）x?7x?6（2）x?4x?3（3）x?6x?8（4）x?7x?10（5）x?15x?44中，有一致因式的是（）A、只有（1）（2）B、只有（3）（4）C、只有（3）（5）D、（1）和（2）；（3）和（4）；（3）和（5）

2、分解因式a?8ab?33b得（）

a?3?B、?a?11b??a?3b?C、?a?11b??a?3b?D、?a?11b??a?3b?A、?a?11??3、?a?b??8?a?b??20分解因式得（）

22222222a?b?2?B、?a?b?5??a?b?4?A、?a?b?10??

9

a?b?10?D、?a?b?4??a?b?5?C、?a?b?2??4、若多項(xiàng)式x?3x?a可分解為?x?5??x?b?，則a、b的值是（）

2A、a?10，b?2B、a?10，b??2C、a??10，b??2D、a??10，b?2

x?b?其中a、b為整數(shù)，則m的值為（）5、若x?mx?10??x?a??2A、3或9B、?3C、?9D、?3或?9

三、把以下各式分解因式

1、6?2p?q??11?q?2p??32、a?5ab?6ab

2423、2y?4y?64、b?2b?8

23222．提取公因式法

例2分解因式：

（1）a2?b?5??a?5?b?（2）x3?9?3x2?3x解：（1）．a(chǎn)2?b?5??a?5?b?=a(b?5)(a?1)

（2）x3?9?3x2?3x=(x3?3x2)?(3x?9)=x2(x?3)?3(x?3)=(x?3)(x2?3)．或

x3?9?3x2?3x＝(x3?3x2?3x?1)?8＝(x?1)3?8＝(x?1)3?23

＝[(x?1)?2][(x?1)2?(x?1)?2?22]＝(x?3)(x2?3)課堂練習(xí)：

一、填空題：

1、多項(xiàng)式6xy?2xy?4xyz中各項(xiàng)的公因式是_______________。2、m?x?y??n?y?x???x?y??__________________。3、m?x?y??n?y?x???x?y??____________________。

222224、m?x?y?z??n?y?z?x???x?y?z??_____________________。5、m?x?y?z??x?y?z??x?y?z??______________________。6、?13abx?39abx分解因式得_____________________。7．計(jì)算99?99=二、判斷題：（正確的打上“√〞，錯(cuò)誤的打上“×〞）

1、2ab?4ab?2ab?a?b?…………（）

222632522、am?bm?m?m?a?b?……………（）3、?3x?6x?15x??3xx?2x?5……………（）4、x?xnn?132?2??xn?1?x?1?………………（）

3：公式法

例3分解因式：（1）?a4?16（2）?3x?2y???x?y?解：(1)?a4?16=42?(a2)2?(4?a2)(4?a2)?(4?a2)(2?a)(2?a)

22(2)?3x?2y???x?y?=(3x?2y?x?y)(3x?2y?x?y)?(4x?y)(2x?3y)

課堂練習(xí)

2210

3．已知a2?8a?16?|b?1|?0，當(dāng)k取何值時(shí)，方程kx2＋ax＋b＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根？4．已知方程x2－3x－1＝0的兩根為x1和x2，求(x1－3)(x2－3)的值．

習(xí)題2.1A組

1．選擇題:

（1）已知關(guān)于x的方程x2＋kx－2＝0的一個(gè)根是1，則它的另一個(gè)根是（）（A）－3（B）3（C）－2（D）2（2）以下四個(gè)說(shuō)法：

①方程x2＋2x－7＝0的兩根之和為－2，兩根之積為－7；②方程x2－2x＋7＝0的兩根之和為－2，兩根之積為7；

③方程3x2－7＝0的兩根之和為0，兩根之積為?④方程3x2＋2x＝0的兩根之和為－2，兩根之積為0．

其中正確說(shuō)法的個(gè)數(shù)是（）（A）1個(gè)（B）2個(gè)（C）3個(gè)（D）4個(gè)

（3）關(guān)于x的一元二次方程ax2－5x＋a2＋a＝0的一個(gè)根是0，則a的值是（）

（A）0（B）1（C）－1（D）0，或－1

2．填空:

（1）方程kx2＋4x－1＝0的兩根之和為－2，則k＝．

（2）方程2x2－x－4＝0的兩根為α，β，則α2＋β2＝．

（3）已知關(guān)于x的方程x2－ax－3a＝0的一個(gè)根是－2，則它的另一個(gè)根是．（4）方程2x2＋2x－1＝0的兩根為x1和x2，則|x1－x2|＝．

3．試判定當(dāng)m取何值時(shí)，關(guān)于x的一元二次方程m2x2－(2m＋1)x＋1＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根？有兩個(gè)

相等的實(shí)數(shù)根？沒有實(shí)數(shù)根？

4．求一個(gè)一元二次方程，使它的兩根分別是方程x2－7x－1＝0各根的相反數(shù)．

B組

1．選擇題:

若關(guān)于x的方程x2＋(k2－1)x＋k＋1＝0的兩根互為相反數(shù)，則k的值為()

（A）1，或－1（B）1（C）－1（D）02．填空:

（1）若m，n是方程x2＋2023x－1＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則m2n＋mn2－mn的值等于．

（2）假使a，b是方程x2＋x－1＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，那么代數(shù)式a3＋a2b＋ab2＋b3的值是．3．已知關(guān)于x的方程x2－kx－2＝0．

（1）求證：方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；

（2）設(shè)方程的兩根為x1和x2，假使2(x1＋x2)＞x1x2，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．4．一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的兩根為x1和x2．求：（1）|x1－x2|和

7；35．關(guān)于x的方程x2＋4x＋m＝0的兩根為x1，x2滿足|x1－x2|＝2，求實(shí)數(shù)m的值．

C組

1．選擇題：

（1）已知一個(gè)直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)恰好是方程2x2－8x＋7＝0的兩根，則這個(gè)直角三角形的斜邊

長(zhǎng)等于（）

（A）3（B）3（C）6（D）9（2）若x1，x2是方程2x2－4x＋1＝0的兩個(gè)根，則

x1?x2；（2）x13＋x23．2（3）假使關(guān)于x的方程x2－2(1－m)x＋m2＝0有兩實(shí)數(shù)根α，β，則α＋β的取值范圍為

（）（A）α＋β≥

x1x2?的值為（）x2x13（A）6（B）4（C）3（D）

211（B）α＋β≤（C）α＋β≥1（D）α＋β≤12216

（4）已知a，b，c是ΔABC的三邊長(zhǎng)，那么方程cx2＋(a＋b)x＋

c＝0的根的狀況是()4（A）沒有實(shí)數(shù)根（B）有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根（C）有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根（D）有兩個(gè)異號(hào)實(shí)數(shù)根

2．填空：若方程x2－8x＋m＝0的兩根為x1，x2，且3x1＋2x2＝18，則m＝．3．已知x1，x2是關(guān)于x的一元二次方程4kx2－4kx＋k＋1＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根．

（1）是否存在實(shí)數(shù)k，使(2x1－x2)(x1－2x2)＝－

3成立？若存在，求出k的值；若不存在，說(shuō)明理由；2xxx（2）求使1?2－2的值為整數(shù)的實(shí)數(shù)k的整數(shù)值；（3）若k＝－2，??1，試求?的值．

x2x2x12m2?0．4．已知關(guān)于x的方程x?(m?2)x?4（1）求證：無(wú)論m取什么實(shí)數(shù)時(shí)，這個(gè)方程總有兩個(gè)相異實(shí)數(shù)根；

（2）若這個(gè)方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根x1，x2滿足|x2|＝|x1|＋2，求m的值及相應(yīng)的x1，x2．5．若關(guān)于x的方程x2＋x＋a＝0的一個(gè)大于1、零一根小于1，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

2．2二次函數(shù)

2.2.1二次函數(shù)y＝ax＋bx＋c的圖象和性質(zhì)

情境設(shè)置：可先讓學(xué)生通過(guò)具體實(shí)例摸索二次函數(shù)的圖象，如作圖（1）y?x(2)y??x(3)y?x?2x?3

問題1函數(shù)y＝ax2與y＝x2的圖象之間存在怎樣的關(guān)系？為了研究這一問題，我們可以先畫出y＝2x2，y＝

222

2

＝x2的圖象之間的關(guān)系，推導(dǎo)出函數(shù)y＝ax2與y＝x2的圖象之間所存在的關(guān)系．

先畫出函數(shù)y＝x2，y＝2x2的圖象．先列表：xx22x2………－3918－248－112000112248391812

x，y＝－2x2的圖象，通過(guò)這些函數(shù)圖象與函數(shù)y2……從表中不難看出，要得到2x2的值，只要把相應(yīng)的x2的值擴(kuò)大兩倍就可以了．再描點(diǎn)、連線，就分別得到了函數(shù)y＝x2，y＝2x2的圖象（如圖2－1所示），從圖2－1我們可以得到

22

這兩個(gè)函數(shù)圖象之間的關(guān)系：函數(shù)y＝2x的圖象可以由函數(shù)y＝x的圖象各點(diǎn)的縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的兩倍得到．

同學(xué)們也可以用類似于上面的方法畫出函數(shù)y＝

數(shù)y＝x2的圖象之間的關(guān)系．

通過(guò)上面的研究，我們可以得到以下結(jié)論：

二次函數(shù)y＝ax2(a≠0)的圖象可以由y＝x2的圖象各點(diǎn)的縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的a倍得到．在二次函數(shù)y＝ax2(a≠0)中，二次項(xiàng)系數(shù)a決定了圖象的開口方向和在同一個(gè)坐標(biāo)系中的開口的大?。?/p>

問題2函數(shù)y＝a(x＋h)2＋k與y＝ax2的圖象之間存在怎樣的關(guān)系？

同樣地，我們可以利用幾個(gè)特別的函數(shù)圖象之間的關(guān)系來(lái)研究它們之間的關(guān)系．同學(xué)們可以作出函數(shù)y＝2(x＋1)2＋1與y＝2x2的圖象（如圖2－2所示），從

2

函數(shù)的同學(xué)我們不難發(fā)現(xiàn)，只要把函數(shù)y＝2x的圖象向左平移一個(gè)單位，再向上平移一個(gè)單位，就可以得到函數(shù)y＝2(x＋1)2＋1的圖象．這兩個(gè)函數(shù)圖象之間具有“形狀一致，位置不同〞的特點(diǎn)．

類似地，還可以通過(guò)畫函數(shù)y＝－3x2，y＝－3(x－1)2＋1的圖象，研究它們圖象之間的相互關(guān)系．

17

12

x，y＝－2x2的圖象，并研究這兩個(gè)函數(shù)圖象與函2yy＝2(x＋1)2＋1y＝2(x＋1)2y＝2x2－1O圖2.2-2

x通過(guò)上面的研究，我們可以得到以下結(jié)論：

二次函數(shù)y＝a(x＋h)2＋k(a≠0)中，a決定了二次函數(shù)圖象的開口大小及方向；h決定了二次函數(shù)圖象的左右平移，而且“h正左移，h負(fù)右移〞；k決定了二次函數(shù)圖象的上下平移，而且“k正上移，k負(fù)下移〞．

2

由上面的結(jié)論，我們可以得到研究二次函數(shù)y＝ax＋bx＋c(a≠0)的圖象的方法：

所以，y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的圖象可以看作是將函數(shù)y＝ax2的圖象作左右平移、上下平移得到的，于是，二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)具有以下性質(zhì)：

b2b2bb2

由于y＝ax＋bx＋c＝a(x＋x)＋c＝a(x＋x＋2)＋c－

4a4aaab2b2?4ac)??a(x?，2a4a2

2

b4ac?b2,)，對(duì)稱軸為直線x（1）當(dāng)a＞0時(shí)，函數(shù)y＝ax＋bx＋c圖象開口向上；頂點(diǎn)坐標(biāo)為(?2a4abbbb＝－；當(dāng)x＜?時(shí)，y隨著x的增大而減??；當(dāng)x＞?時(shí)，y隨著x的增大而增大；當(dāng)x＝?2a2a2a2a4ac?b2時(shí)，函數(shù)取最小值y＝．

4ab4ac?b22

,)，對(duì)稱軸為（2）當(dāng)a＜0時(shí)，函數(shù)y＝ax＋bx＋c圖象開口向下；頂點(diǎn)坐標(biāo)為(?2a4abbb直線x＝－；當(dāng)x＜?時(shí)，y隨著x的增大而增大；當(dāng)x＞?時(shí)，y隨著x的增大而減??；當(dāng)x

2a2a2a4ac?b2b＝?時(shí)，函數(shù)取最大值y＝．

4a2a2

上述二次函數(shù)的性質(zhì)可以分別通過(guò)圖2．2－3和圖2．2－4直觀地表示出來(lái)．因此，在今后解決二次

函數(shù)問題時(shí)，可以借助于函數(shù)圖像、利用數(shù)形結(jié)合的思想方法來(lái)解決問題．

b4ac?b2yyA(?y,)b2y＝x22a4ay＝2xx＝－2aOxOxb4ac?b2b,)A(?x＝－x2a4aO2a圖2.2-4圖2.2-3圖2.2-1

例1求二次函數(shù)y＝－3x2－6x＋1圖象的開口方向、對(duì)稱軸、頂點(diǎn)坐標(biāo)、最大值（或最小值），并指出當(dāng)x取何值時(shí)，y隨x的增大而增大（或減?。?？并畫出該函數(shù)的圖象．

解：∵y＝－3x2－6x＋1＝－3(x＋1)2＋4，∴函數(shù)圖象的開口向下；A(－1,4)y對(duì)稱軸是直線x＝－1；頂點(diǎn)坐標(biāo)為(－1，4)；

當(dāng)x＝－1時(shí)，函數(shù)y取最大值y＝4；

當(dāng)x＜－1時(shí)，y隨著x的增大而增大；當(dāng)x＞－1時(shí)，y隨著x的增大而減??；

D(0,1)采用描點(diǎn)法畫圖，選頂點(diǎn)A(－1，4))，與x軸交于點(diǎn)B(23?3,0)和323?3,0)，與y軸的交點(diǎn)為D(0，1)，過(guò)這五點(diǎn)畫出圖象（如圖2－5C(?3

18

COBx＝－1圖2.2－5x所示）．

說(shuō)明：從這個(gè)例題可以看出，根據(jù)配方后得到的性質(zhì)畫函數(shù)的圖象，可以直接選出關(guān)鍵點(diǎn)，減少了選點(diǎn)的盲目性，使畫圖更簡(jiǎn)便、圖象更確切．

2

函數(shù)y＝ax＋bx＋c圖象作圖要領(lǐng)：

（1）確定開口方向：由二次項(xiàng)系數(shù)a決定

（2）確定對(duì)稱軸：對(duì)稱軸方程為x??b2a2

（3）確定圖象與x軸的交點(diǎn)狀況，①若△>0則與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，可由方程x＋bx＋c=0求

2

出②①若△=0則與x軸有一個(gè)交點(diǎn)，可由方程x＋bx＋c=0求出③①若△

二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的圖象與x軸交點(diǎn)個(gè)數(shù)．

當(dāng)拋物線y＝ax2＋bx＋c(a≠0)與x軸相交時(shí)，其函數(shù)值為零，于是有ax2＋bx＋c＝0．①

并且方程①的解就是拋物線y＝ax2＋bx＋c(a≠0)與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)（縱坐標(biāo)為零），于是，不難發(fā)現(xiàn)，

拋物線y＝ax2＋bx＋c(a≠0)與x軸交點(diǎn)個(gè)數(shù)與方程①的解的個(gè)數(shù)有關(guān)，而方程①的解的個(gè)數(shù)又與方程①的根的判別式Δ＝b2－4ac有關(guān)，由此可知，拋物線y＝ax2＋bx＋c(a≠0)與x軸交點(diǎn)個(gè)數(shù)與根的判別式Δ＝b2－4ac存在以下關(guān)系：

（1）當(dāng)Δ＞0時(shí)，拋物線y＝ax2＋bx＋c(a≠0)與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)；反過(guò)來(lái)，若拋物線y＝ax2＋bx＋c(a≠0)與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，則Δ＞0也成立．

（2）當(dāng)Δ＝0時(shí)，拋物線y＝ax2＋bx＋c(a≠0)與x軸有一個(gè)交點(diǎn)（拋物線的頂點(diǎn)）；反過(guò)來(lái)，若拋物線y＝ax2＋bx＋c(a≠0)與x軸有一個(gè)交點(diǎn)，則Δ＝0也成立．

（3）當(dāng)Δ＜0時(shí)，拋物線y＝ax2＋bx＋c(a≠0)與x軸沒有交點(diǎn)；反過(guò)來(lái)，若拋物線y＝ax2＋bx＋c(a≠0)與x軸沒有交點(diǎn)，則Δ＜0也成立．

于是，若拋物線y＝ax2＋bx＋c(a≠0)與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)A(x1，0)，B(x2，0)，則x1，x2是方程ax2＋bx＋c＝0的兩根，所以

bcbc，x1x2＝，即＝－(x1＋x2)，＝x1x2．a(chǎn)aaabc2所以，y＝ax2＋bx＋c＝a(x?x?)=a[x2－(x1＋x2)x＋x1x2]＝a(x－x1)(x－x2)．

aax1＋x2＝?由上面的推導(dǎo)過(guò)程可以得到下面結(jié)論：

若拋物線y＝ax2＋bx＋c(a≠0)與x軸交于A(x1，0)，B(x2，0)兩點(diǎn)，則其函數(shù)關(guān)系式可以表示為y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．這樣，也就得到了表示二次函數(shù)的第三種方法：

3．交點(diǎn)式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，其中x1，x2是二次函數(shù)圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)．

今后，在求二次函數(shù)的表達(dá)式時(shí)，我們可以根據(jù)題目所提供的條件，選用一般式、頂點(diǎn)式、交點(diǎn)式這三種表達(dá)形式中的某一形式來(lái)解題．

例1已知某二次函數(shù)的最大值為2，圖像的頂點(diǎn)在直線y＝x＋1上，并且圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（3，－1），求二次函數(shù)的解析式．

分析：在解本例時(shí)，要充分利用題目中所給出的條件——最大值、頂點(diǎn)位置，從而可以將二次函數(shù)設(shè)成頂點(diǎn)式，再由函數(shù)圖象過(guò)定點(diǎn)來(lái)求解出系數(shù)a．

解：∵二次函數(shù)的最大值為2，而最大值一定是其頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)，

∴頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)為2．

又頂點(diǎn)在直線y＝x＋1上，所以，2＝x＋1，∴x＝1．∴頂點(diǎn)坐標(biāo)是（1，2）．

設(shè)該二次函數(shù)的解析式為y?a(x?2)2?1(a?0)，∵二次函數(shù)的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)（3，－1），

2∴?1?a(3?2)?1，解得a＝－2．∴二次函數(shù)的解析式為y??2(x?2)2?1，即y＝－2x2＋8x－7．

說(shuō)明：在解題時(shí)，由最大值確定出頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)，再利用頂點(diǎn)的位置求出頂點(diǎn)坐標(biāo)，然后設(shè)出二次函數(shù)的頂點(diǎn)式，最終解決了問題．因此，在解題時(shí)，要充分挖掘題目所給的條件，并巧妙地利用條件簡(jiǎn)捷地解決問題．

例2已知二次函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)(－3，0)，(1，0)，且頂點(diǎn)到x軸的距離等于2，求此二次函數(shù)的表達(dá)式．

分析一：由于題目所給的條件中，二次函數(shù)的圖象所過(guò)的兩點(diǎn)實(shí)際上就是二次函數(shù)的圖象與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，于是可以將函數(shù)的表達(dá)式設(shè)成交點(diǎn)式．

解法一：∵二次函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)(－3，0)，(1，0)，∴可設(shè)二次函數(shù)為y＝a(x＋3)(x－1)(a≠0)，

21

展開，得y＝ax2＋2ax－3a，

?12a2?4a2??4a，頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)為

4a由于二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)到x軸的距離2，∴|－4a|＝2，即a＝?1．2所以，二次函數(shù)的表達(dá)式為y＝

12313x?x?，或y＝－x2?x?．2222分析二：由于二次函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)(－3，0)，(1，0)，所以，對(duì)稱軸為直線x＝－1，又由頂點(diǎn)到x軸

的距離為2，可知頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)為2，或－2，于是，又可以將二次函數(shù)的表達(dá)式設(shè)成頂點(diǎn)式來(lái)解，然后再利用圖象過(guò)點(diǎn)(－3，0)，或(1，0)，就可以求得函數(shù)的表達(dá)式．解法二：∵二次函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)(－3，0)，(1，0)，

∴對(duì)稱軸為直線x＝－1．又頂點(diǎn)到x軸的距離為2，∴頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)為2，或－2．

于是可設(shè)二次函數(shù)為y＝a(x＋1)2＋2，或y＝a(x＋1)2－2，由于函數(shù)圖象過(guò)點(diǎn)(1，0)，

∴0＝a(1＋1)2＋2，或0＝a(1＋1)2－2．

∴a＝－

11，或a＝．2211(x＋1)2＋2，或y＝(x＋1)2－2．22所以，所求的二次函數(shù)為y＝－說(shuō)明：上述兩種解法分別從與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)及頂點(diǎn)的坐標(biāo)這兩個(gè)不同角度，利用交點(diǎn)式和頂點(diǎn)式來(lái)

解題，在今后的解題過(guò)程中，要擅長(zhǎng)利用條件，選擇恰當(dāng)?shù)姆椒▉?lái)解決問題．

例3已知二次函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)(－1，－22)，(0，－8)，(2，8)，求此二次函數(shù)的表達(dá)式．解：設(shè)該二次函數(shù)為y＝ax2＋bx＋c(a≠0)．

由函數(shù)圖象過(guò)點(diǎn)(－1，－22)，(0，－8)，(2，8)，可得

??22?a?b?c,???8?c,?8?4a?2b?c,?解得a＝－2，b＝12，c＝－8．

所以，所求的二次函數(shù)為y＝－2x2＋12x－8．

通過(guò)上面的幾道例題，同學(xué)們能否歸納出：在什么狀況下，分別利用函數(shù)的一般式、頂點(diǎn)式、交點(diǎn)式來(lái)求二次函數(shù)的表達(dá)式？

練習(xí)1．選擇題:

（1）函數(shù)y＝－x2＋x－1圖象與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)是（）（A）0個(gè)（B）1個(gè)（C）2個(gè)（D）無(wú)法確定

1

（2）函數(shù)y＝－(x＋1)2＋2的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（）

2

（A）(1，2)（B）(1，－2)（C）(－1，2)（D）(－1，－2)2．填空：

（1）已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)與x軸交于點(diǎn)(－1，0)和(2，0)，則該二次函數(shù)的解析式可設(shè)為y＝a

(a≠0)．

（2）二次函數(shù)y＝－x2+23x＋1的函數(shù)圖象與x軸兩交點(diǎn)之間的距離為．3．根據(jù)以下條件，求二次函數(shù)的解析式．

（1）圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1，－2)，(0，－3)，(－1，－6)；（2）當(dāng)x＝3時(shí)，函數(shù)有最小值5，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1，11)；

（3）函數(shù)圖象與x軸交于兩點(diǎn)(1－2，0)和(1＋2，0)，并與y軸交于(0，－2)．

22

2.2.3二次函數(shù)的簡(jiǎn)單應(yīng)用

一、函數(shù)圖象的平移變換與對(duì)稱變換1．平移變換

問題1在把二次函數(shù)的圖象進(jìn)行平移時(shí)，有什么特點(diǎn)？依據(jù)這一特點(diǎn)，可以怎樣來(lái)研究二次函數(shù)的圖象平移？我們不難發(fā)現(xiàn)：在對(duì)二次函數(shù)的圖象進(jìn)行平移時(shí)，具有這樣的特點(diǎn)——只改變函數(shù)圖象的位置、不改變其形狀，因此，在研究二次函數(shù)的圖象平移問題時(shí)，只需利用二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)式研究其頂點(diǎn)的位置即可．例1求把二次函數(shù)y＝x2－4x＋3的圖象經(jīng)過(guò)以下平移變換后得到的圖象所對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式：（1）向右平移2個(gè)單位，向下平移1個(gè)單位；（2）向上平移3個(gè)單位，向左平移2個(gè)單位．分析：由于平移變換只改變函數(shù)圖象的位置而不改變其形狀（即不改變二次項(xiàng)系數(shù)），所以只改變二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)位置（即只改變一次項(xiàng)和常數(shù)項(xiàng)），所以，首先將二次函數(shù)的解析式變形為頂點(diǎn)式，然后，再依據(jù)平移變換后的二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)位置求出平移后函數(shù)圖像所對(duì)應(yīng)的解析式．解：二次函數(shù)y＝2x2－4x－3的解析式可變?yōu)閥＝2(x－1)2－1，其頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1，－1)．（1）把函數(shù)y＝2(x－1)2－1的圖象向右平移2個(gè)單位，向下平移1個(gè)單位后，其函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)是(3，－2)，所以，平移后所得到的函數(shù)圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式就為y＝2(x－3)2－2．（2）把函數(shù)y＝2(x－1)2－1的圖象向上平移3個(gè)單位，向左平移2個(gè)單位后，其函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)是(－1，2)，所以，平移后所得到的函數(shù)圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式就為y＝2(x＋1)2＋2．

問題2在把二次函數(shù)的圖象關(guān)于與坐標(biāo)軸平行的直線進(jìn)行對(duì)稱變換時(shí)，有什么特點(diǎn)？依據(jù)這一特點(diǎn)，可以怎樣來(lái)研究二次函數(shù)的圖象平移？我們不難發(fā)現(xiàn)：在把二次函數(shù)的圖象關(guān)于與坐標(biāo)軸平行的直線進(jìn)行對(duì)稱變換時(shí)，具有這樣的特點(diǎn)——只改變函數(shù)圖象的位置或開口方向、不改變其形狀，因此，在研究二次函數(shù)圖象的對(duì)稱變換問題時(shí)，關(guān)鍵是要抓住二次函數(shù)的頂點(diǎn)位置和開口方向來(lái)解決問題．例2求把二次函數(shù)y＝2x2－4x＋1的圖象關(guān)于以下直線對(duì)稱后所

y得到圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式：

x＝－1（1）直線x＝－1；（2）直線y＝1．解：（1）如圖2．2－7，把二次函數(shù)y＝2x2－4x＋1的圖象關(guān)于直線x＝－1作對(duì)稱變換后，只改變圖象的頂點(diǎn)位置，不改變其形狀．由于y＝2x2－4x＋1＝2(x－1)2－1，可知，函數(shù)y＝2x2－4x＋1圖Ox象的頂點(diǎn)為A(1,－1)，所以，對(duì)稱后所得到圖象的頂點(diǎn)為A1(－3，1)，A(1,－1)A1(－3,－1)2

所以，二次函數(shù)y＝2x－4x＋1的圖象關(guān)于直線x＝－1對(duì)稱后所得到圖象的函數(shù)解析式為y＝2(x＋3)2－1，即y＝2x2＋12x＋17．y圖2.2－72B(1，3)（2）如圖2．2－8，把二次函數(shù)y＝2x－4x＋1的圖象關(guān)于直線x

＝－1作對(duì)稱變換后，只改變圖象的頂點(diǎn)位置和開口方向，不改變其形狀．由于y＝2x2－4x＋1＝2(x－1)2－1，可知，函數(shù)y＝2x2－4x＋1圖象的頂點(diǎn)為A(1,y＝－1)，所以，對(duì)稱后所得到圖象的頂點(diǎn)為B(1，3)，且開口向下，所以，二次函數(shù)y1＝2x2－4x＋1的圖象關(guān)于直線y＝1對(duì)稱后所得到圖象的函數(shù)解析式為y＝－2(x－1)2

Ox＋3，即y＝－2x2＋4x＋1．

A(1,－1)

練習(xí)1．選擇題：圖2.2－8

2

把函數(shù)y＝－(x－1)＋4的圖象向左平移2個(gè)單位，向下平移3個(gè)單位，所得圖象對(duì)應(yīng)的解析式為（）

（A）y＝(x＋1)2＋1（B）y＝－(x＋1)2＋1（C）y＝－(x－3)2＋4（D）y＝－(x－3)2＋1

2．對(duì)稱變換

23

2某商場(chǎng)銷售一批名脾襯衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，為了擴(kuò)大銷售，增加盈利，盡快減少庫(kù)存，商場(chǎng)決定采取適當(dāng)?shù)慕祪r(jià)措施．經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)每件襯衫降價(jià)1元，商場(chǎng)平均每天可多售出2件：(1)若商場(chǎng)平均每天要盈利1200元，每件襯衫要降價(jià)多少元，(2)每件襯衫降價(jià)多少元時(shí)，商場(chǎng)平均每天盈利最多?

2.3.1二元二次方程組、簡(jiǎn)單的二元二次方程組的解法

一、知識(shí)概述1、二元二次方程

含有兩個(gè)未知數(shù)，并且含有未知數(shù)的項(xiàng)的最高次數(shù)是2的整式方程叫二元二次方程．

關(guān)于x、y的二元二次方程的一般形式為ax2＋bxy＋cy2＋dx＋ey＋f=0(a、b、c至少有一個(gè)不為0)，其中ax2、bxy、cy2叫做二次項(xiàng)，a、b、c分別是二次項(xiàng)的系數(shù)；dx、ey叫做一次項(xiàng)，d、e分別是一次項(xiàng)的系數(shù)；f叫做常數(shù)項(xiàng)．

例，xy=1，x2－y=0，x－y－2xy=－3都是二元二次方程；x－y=1，x2y=0都不是二元二次方程．2、二元二次方程組

由一個(gè)二元一次方程和一個(gè)二元二次方程組組成的方程組，或者由兩個(gè)二元二次方程組成的方程組叫二元二次方程組．

3、解二元二次方程組的思想和方法

解二元二次方程組的基本思想是“轉(zhuǎn)化〞，將二元轉(zhuǎn)化為一元，將二次轉(zhuǎn)化為一次，轉(zhuǎn)化的基本方法是“消元〞和“降次〞．因此，把握好消元和降次的一些方法和技巧是解二元二次方程組的關(guān)鍵．二、重點(diǎn)、難點(diǎn)和疑點(diǎn)突破

1、由一個(gè)二元一次方程和一個(gè)二元二次方程組成的方程組的解法(簡(jiǎn)稱“二·一〞型方程組)(1)代入消元法(即代入法)代入法是解“二·一〞型方程組的一般方法，具體步驟是：

①先將方程組中的二元一次方程變形，用含有一個(gè)未知數(shù)的代數(shù)式表示另一個(gè)未知數(shù)；②把所得的代數(shù)式代入另一個(gè)方程中，使其轉(zhuǎn)化為一個(gè)一元二次方程或一元一次方程；③解所得的一元二次方程或一元一次方程，求出一個(gè)未知數(shù)的值；

④把所求的未知數(shù)的值代入第一步所得的關(guān)系中求出另一個(gè)未知數(shù)的值；⑤寫出方程組的解．(2)逆用根與系數(shù)關(guān)系定理法

對(duì)“二·一〞型二元二次方程組成的形如的方程組，可以根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，把x、y看成一元二次方程z2-az＋b=0的兩個(gè)根，解這個(gè)方程，求得的z1和z2的值，就是x，y的值，當(dāng)x1=z1時(shí)，y1=z2；當(dāng)x2=z2時(shí)，y2=z1，所以原方程組的解是兩組“對(duì)稱解〞．2、對(duì)“二·一〞型的二元二次方程組的解的狀況的判別“二·一〞型的二元二次方程組的實(shí)數(shù)解有三種狀況：有一解、兩解和沒有解．把一元一次方程代入二元二次方程，消去一個(gè)未知數(shù)之后，得到一個(gè)一元二次方程．由根的判別式可知，解的狀況可能是有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解，兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)解或無(wú)實(shí)數(shù)解，這樣的二元二次方程組的解也就相應(yīng)地有三種狀況．簡(jiǎn)言之，有一個(gè)二元一次方程的二元二次方程組的實(shí)數(shù)解的狀況，一般可通過(guò)一元二次方程的根的判別式來(lái)判斷．3、“二·二〞型方程組的解法解“二·二〞型方程組的基本思想仍是“轉(zhuǎn)化〞，轉(zhuǎn)化的方法是“降次〞、“消元〞．它的一般解法是：(1)當(dāng)方程組中只有一個(gè)可分解為兩個(gè)二元一次方程的方程時(shí)，可將分解得到的兩個(gè)二元一次方程分別與原方程組中的另一個(gè)二元二次方程組成兩個(gè)“二·一〞型方程組，解這兩個(gè)“二·一〞型方程組，所得的解都是原方程組的解．

24

(2)當(dāng)方程組中兩個(gè)二元二次方程都可分解為兩個(gè)二元一次方程時(shí)，將第一個(gè)二元二次方程分解所得到的每一個(gè)二元一次方程分別與其次個(gè)二元二次方程分解所得的每一個(gè)二元一次方程組成方程組，可得到四個(gè)二元一次方程組，解這四個(gè)二元一次方程組，所得的解都是原方程組的解．4、“二·二〞型方程組的解的狀況

由同一個(gè)二元二次方程化成的兩個(gè)二元一次方程一般不能組成方程組．

值得注意的是“二·一〞型方程組最多有兩個(gè)解；“二·二〞型方程組最多有四個(gè)解．解方程組時(shí)，既不要漏解，也不要增解．三、解題方法技巧點(diǎn)撥1、“二·一〞型二元二次方程組的解

例1、解方程組分析：

此方程組含有一個(gè)二元一次方程，所以可用代入法解，這是第一種解法；假使把①變形為(x＋y)2=4，得x＋y=2或x＋y=－2，則原方程組可變形為兩個(gè)二元一次方程組元一次方程組所得的解都是原方程組的解，這是其次種解法．解法1：

由②得x=2y＋5③

將③代入①，得(2y＋5)2＋2y(2y＋5)＋y2=4．整理，得3y2＋10y＋7=0．

．解這兩個(gè)二

點(diǎn)評(píng)：解“二·一〞型二元二次方程組，一般常采用前一種解法，即先代入消元，再分解降次(或用公式法)求解．本例的其次種解法是一種特別解法，它只適合一些特別形式的方程組．

分解：

細(xì)心觀測(cè)這個(gè)方程組，不難發(fā)現(xiàn)，此方程組除可用代入法解外，還可聯(lián)系通過(guò)構(gòu)造一個(gè)以x，y為根的一元二次方程來(lái)求解．解法1：

25

由①得y=8－x．③

把③代入②，整理得x2－8x＋12=0．解得x1=2，x2=6．

把x1=2代入③，得y1=6．把x1=6代入③，得y2=2．

解法2：

根據(jù)韋達(dá)定理可知，x，y是一元二次方程z2－8z＋12=0的兩個(gè)根，解這個(gè)方程，得z1=2，z2=6．

點(diǎn)悟：“代入法〞是解由一個(gè)二元一次方程和一個(gè)二元二次方程組成的二元二次方程組的一般方法，適用范圍廣；“逆用韋達(dá)定理法〞雖然簡(jiǎn)便，但它只適用于以兩數(shù)和與兩根積的形式給出的方程組，適用范圍比較?。?/p>

2、只有一個(gè)方程可分解降次的方程組的解法

例3、解方程組分析：

觀測(cè)方程②，把(x－y)看成整體，那么方程②就可以看作是關(guān)于(x－y)的一元二次方程，且可分解為(x－y－3)(x－y＋1)=0，由此可得到兩個(gè)二元一次方程x－y－3=0和x－y＋1=0．這兩個(gè)二元一次方程分別和方程①組成兩個(gè)方程組：

分別解這兩個(gè)方程組，就可得到原方程組的解．解：

由②得(x－y－3)(x－y＋1)=0．∴x－y－3=0或x－y＋1=0．∴原方程組可化為兩個(gè)方程組：

3、兩個(gè)方程都可以分解降次的方程組的解法

例4、解方程組

分析：方程①的右邊為零，而左邊可以因式分解，從而可達(dá)到降次的目的，方程②左邊是完全平方式，右邊是1，將其兩邊開平方，也可以達(dá)到降次的目的．解：由①得(x－4y)(x＋y)=0∴x－4y=0或x＋y=0由②得(x＋2y)2=1

∴x＋2y=1或x＋2y=－1．

26

原方程可化為以下四個(gè)方程組

點(diǎn)評(píng)：不要把同一個(gè)二元二次方程分解出來(lái)的兩個(gè)二元一次方程組成方程組，這樣會(huì)出現(xiàn)增解問題，同時(shí)也要注意防止漏解現(xiàn)象．4、已知解的狀況，確定字母系數(shù)

例5、k為何值時(shí)，方程組(1)有一個(gè)實(shí)數(shù)解，并求出此解；(2)有兩個(gè)實(shí)數(shù)解；(3)沒有實(shí)數(shù)解．分析：

所考知識(shí)點(diǎn)：二元二次方程組的解法及根的判別式，先用代入法消去未知數(shù)y，可得到關(guān)于x的一元二次方程，再根據(jù)根的判別式來(lái)探討．解：

將①代入②，整理得k2x2＋(2k－4)x＋1=0③△=(2k－4)2－4×k2×1=－16(k－1)．

點(diǎn)悟：解這種題型的規(guī)律是一般將方程組轉(zhuǎn)化為一元二次方程后，利用△=0，△＞0，△＜0來(lái)探討的．

解題易錯(cuò)點(diǎn)是一元二次方程中x2的系數(shù)k2不等于0簡(jiǎn)單被忽略．

練習(xí)解方程組

27

22??3x?2xy?y?0（1）?；

2??(x?y)?3(x?y)?18?0

22??x?2xy?y?4（2）?

2??(x?y)?5x?5y?6

2.3.2一元二次不等式的解法

1、一元二次方程、一元二次不等式與二次函數(shù)的關(guān)系2、一元二次不等式的解法步驟一元二次不等式ax?bx?c?0或ax?bx?c?0?a?0?的解集：

222設(shè)相應(yīng)的一元二次方程ax?bx?c?0?a?0?的兩根為x1、x2且x1?x2，??b?4ac，則不等式的解的各種狀況如下表：??0??0??02二次函數(shù)y?ax2?bx?cy?ax2?bx?cy?ax2?bx?cy?ax2?bx?c（a?0）的圖象一元二次方程有兩相等實(shí)根無(wú)實(shí)根ax2?bx?c?0有兩相異實(shí)根?a?0?的根(a?0)的解集ax2?bx?c?0(a?0)的解集x1,x2(x1?x2)bx1?x2??2a2ax2?bx?c?0?xx?x或x?x?1?b??xx???2a???R??xx1?x?x2?例1解不等式：（1）x2＋2x－3≤0；（2）x－x2＋6＜0；（3）4x2＋4x＋1≥0；（4）x2－6x＋9≤0；（5）－4＋x－x2＜0．

例2解關(guān)于x的不等式x?x?a(a?1)?0

28

2解：原不等式可以化為：(x?a?1)(x?a)?0

1

則x?a或x?1?a21121若a??(a?1)即a?則(x?)?0x?,x?R

2221若a??(a?1)即a?則x?a或x?1?a

2若a??(a?1)即a?

22例3已知不等式ax?bx?c?0(a?0)的解是x?2,或x?3求不等式bx?ax?c?0的解．

解：由不等式ax?bx?c?0(a?0)的解為x?2,或x?3，可知

2a?0，且方程ax2?bx?c?0的兩根分別為2和3，

bc∴??5,?6，

aabc即??5,?6．

aa2由于a?0，所以不等式bx?ax?c?0可變?yōu)?/p>

b2cx?x??0，

aa2即－5x?x?6?0,

整理，得5x?x?6?0,22

所以，不等式bx?ax?c?0的解是

6

x＜－1，或x＞．

5

說(shuō)明：本例利用了方程與不等式之間的相互關(guān)系來(lái)解決問題．

練習(xí)

1．解以下不等式：

（1）3x2－x－4＞0；（2）x2－x－12≤0；（3）x2＋3x－4＞0；（4）16－8x＋x2≤0．

22

2.解關(guān)于x的不等式x＋2x＋1－a≤0（a為常數(shù)）．

作業(yè)：

1)或xa

aa2

2.假使方程ax＋bx＋b＝0中，a＜0，它的兩根x1，x2滿足x1＜x2，那么不等式ax2＋bx＋b＜0的解是______.

3．解以下不等式：

（1）3x2－2x＋1＜0；（2）3x2－4＜0；

1.若0

29

（3）2x－x2≥－1；（4）4－x2≤0．

(5)4+3x－2x2≥0;(6)9x2－12x>－4;

4．解關(guān)于x的不等式x2－(1＋a)x＋a＜0（a為常數(shù)）．

5．關(guān)于x的不等式ax?bx?c?0的解為x??2或x??求關(guān)于x的不等式ax?bx?c?0的解．

2212

3．1相像形

3.1.1．平行線分線段成比例定理

在解決幾何問題時(shí)，我們常涉及到一些線段的長(zhǎng)度、長(zhǎng)度比的問題.在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究中，我們發(fā)現(xiàn)平行線常能產(chǎn)生一些重要的長(zhǎng)度比.

在一張方格紙上，我們作平行線l1,l2,l3（如圖3.1-1），直線a交l1,l2,l3于點(diǎn)A,B,C，AB?2,BC?3，另作直線b交l1,l2,l3于點(diǎn)A',B'C,，不難發(fā)現(xiàn)

A'B'AB2??.B'C'BC3我們將這個(gè)結(jié)論一般化，歸納出平行線分線段成比例定理：

三條平行線截兩條直線，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例.如圖3.1-2，l1//l2//l3，有

ABDEAB3.1-1DE圖

.當(dāng)然，也可以得出.在運(yùn)用該定理解決問題的過(guò)程中，=?BCEFACDF我們一定要注意線段之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，是“對(duì)應(yīng)〞線段成比例.

例1如圖3.1-2，l1//l2//l3，且AB=2,BC=3,DF=4,求DE,EF.解Ql1//l2//l3\\,ABDE2==,BCEF328312DE?DF?,EF?DF?.

2?352?35圖3.1-2

例2在ABC中，D,E為邊AB,AC上的點(diǎn)，DE//BC，

ADAEDE??.ABACBC證明（1）DE//BC,??ADE??ABC,?AED??ACB,

ADAEDE??.?ADE∽ABC，?ABACBC證明（2）如圖3.1-3，過(guò)A作直線l//BC，l//DE//BC,

求證：

30

?ADAE.?ABAC過(guò)E作EF//AB交AB于D，得BDEF，因而DE?BF.

AEBFDEEF//AB,???.

ACBCBCADAEDE???.ABACBC圖3.1-3

從上例可以得出如下結(jié)論：

平行于三角形的一邊的直線截其它兩邊（或兩邊的延長(zhǎng)線），所得的對(duì)應(yīng)線段成比例.

平行于三角形的一邊，并且和其它兩邊相交的直線，所截得的三角形的三邊與原三角形的三邊對(duì)應(yīng)成比例.

例3已知ABC，D在AC上，AD:DC?2:1，能否在AB上找到一點(diǎn)E，使得線段EC的中點(diǎn)在BD上.

解假設(shè)能找到，如圖3.1-4，設(shè)EC交BD于F，則F為EC的中點(diǎn)，作EG//AC交BD于G.EG//AC,EF?FC，

?EGF?CDF，且EG?DC，

1BEEG1?EG//AD,BEGBAD，且??,

2BAAD2圖3.1-4

?E為AB的中點(diǎn).

可見，當(dāng)E為AB的中點(diǎn)時(shí)，EC的中點(diǎn)在BD上.

我們?cè)诿饕恍┐嬖谛詥栴}時(shí)，往往先假設(shè)其存在，再解之，有解則存在，無(wú)解或矛盾則不存在.例4在VABC中，AD為DBAC的平分線，求證：證明過(guò)C作CE//AD，交BA延長(zhǎng)線于E，

ABBD.=ACDCBABD=.AEDCQAD平分衆(zhòng)BAC,?BAD?DAC,由AD//CE知?BAD行E,DAC=?ACE,

ABBD\\?E?ACE,即AEAC,\\.=AC