(年月日兩直線的位置關系、夾角公式及點線距離)高二數(shù)學TTT學案王建華

--#-/11精銳教育學科教師輔導講義講義編號 學員編號： 年級：高二 課時數(shù)：3學員姓名： 輔導科目：數(shù)學 學科教師：課 題T兩直線位置關系 T兩直線夾角公式 T點到直線距離授課時間教學內(nèi)容兩直線位置關系知識導入一、兩直線位置關系平面上兩條直線有幾種位置關系？各有什么幾何特征？解答：兩條直線有三種位置關系：相交、平行、重合。從幾何特征上看：相交o有唯一的公共點；平行o沒有公共點；重合o至少有兩個公共點，進而有無數(shù)個公共點。在直角坐標系中，這三種位置關系在直線方程上是怎樣體現(xiàn)的呢？一般地，設兩條直線的方程分別為l：ax+by+c—0（a,b不全為零）①1111 11l：ax+by+c—0（a,b不全為零）②2 2 2 2 2 2兩條相交直線的交點坐標思考并回答：如何求直線l、l的交點？1 2由直線與直線方程的對應關系，若兩條直線相交，由于交點同時在兩條直線上，則交點的坐標一定是兩個方程聯(lián)立起來組成的方程組；反之，若兩個二元一次方程有公共解，那么以這解為坐標的點必是兩條直線的交點。二、兩條直線的位置關系與方程組的解的個數(shù)之間的關系直線l、l的三種位置關系：相交、平行、重合，對于直線l、l的方程聯(lián)立的方程組是：有唯一解、無解、無數(shù)1 2 1 2多個解。因此我們可以通過討論方程組的解的個數(shù)得出直線l、l的位置關系。1 2ab 一cb a一c回憶解方程組的過程，計算由方程的系數(shù)構成的行列式：D―1 J，D— 1 J，D—1 1則ab x一cb ya一c2 2 2 2 2 2fDcabc. . . .x—方 f DD）當D―11中0時，方程組I有唯一的解為＜ D，此時l、l相交于一點，交點坐標是不,-y。ab D 1 2 IDD）2 2 y— 、 7〔Dab當D—1 1—0且D,D中至少有一個不為零時，方程組I無解，此時l、l沒有公共點，直線l與l平行。ab xy 1 2 1 22 2當D—D—D—0時，方程組I有無窮多個解，此時l、l有無數(shù)多個公共點，即直線l與l重合。x y 1 2 1 2結論：兩條直線的位置關系與其方程的系數(shù)之間的關系：①l與l相交o方程組I有唯一解oD豐0即ab豐ab；12 12 21

②l與l平行O方程組I無解OD=0且D,D中至少有一個不為零;1 2 兀y③l與l重合o方程組I有無窮多解OD=D=D=0。1 2 兀yb71b71=0時，bl與l2平行或重合，即D=a1a2b1=0是l與l平行的必要非充分條件。換言之，b 1 22ab=ab等l〃l；若兩條直線不重合，則ab=abOllTOC\o"1-5"\h\z21 12 1 2 12 21 1 2三、向量分析兩直線位置關系從向量的角度，兩條直線的三種位置關系有怎樣的體現(xiàn)呢?l與l的一個方向向量分別是d=(b,-a)d=(b，—a)；一個法向量分別是n=(a,b)n=(a,b)，則l與1 2 1 1 1 2 2 2 1 1 1 2 2 2 1l2有如下關系:①l和l相交Od不平行dOd不垂直nOab-ab中0；特別地，直線l±lOd±dOaa+bb=0；1 2 1 2 12 12k I Ilnd平行dOd垂直n2 1 2 1 2Od垂直n1 2四、三種位置關系可以用直線的斜率表示嗎？由于不是所有的直線都有斜率，因此需要按“斜率存在、斜率不存在”分類討論。若11和12都沒有斜率，則l1與12平行或重合。若l和l中有一條沒有斜率而另一條斜率為，則l±l。1 2 1 2若兩直線的斜率都存在，直線方程可以化為l：y=kx+d,l：y=kX+d，則有：1 1 1 2 2 2①llok=k且d中d；\o"CurrentDocument"1 2 12 12②l和l重合Ok=k且d=d；12 12 12③l和l相交Ok豐k；12 1 2特別地，直線l±l的充要條件是k?k=-1。1 2 1 2說明判斷直線位置關系的方法并不唯一，可以從行列式、向量、斜率三個不同角度考慮，使用時要注意方法上的選擇。一般情況，采用計算行列式的方法比較單純，這種方法更具一般性，便于使用。典型例題【例1】已知兩條直線l1：x+my+6=0，l2：(m-2)x+3y+2m=0。當m為何值時，(與l2：(1)相交，(2)平行，(3)重合【例2】求經(jīng)過原點且經(jīng)過直線l1:X-2y+2=0與直線l2:2X-y-2=0的交點的直線方程【例3】已知直線(y=-3x-3與l2：2X+5+1)y+1=0，求實數(shù)°的值，使直線4與l2平行【例4】若三條直線l：3x-y+2=0，l：2x+y+3=0，l：mx+y=0，當m為何值時，三條直線不能構1 2 3成三角形？【例5】設直線的方程為(2m+1)x+(3m-2)y-18m+5=0，求證：不論m為何值，所給的直線經(jīng)過一定點課堂檢測1等腰三角形一腰所在的直線l的方程是x-2y-2=0，底邊所在的直線l的方程是x+y-1=0，點(-2,0)在另1 2一腰上，求這腰所在直線l的方程3

、直線l過點M(0,-2)且與直線l:x+y—3=0和l:x—2y+4=0分別交于點P,Q，若M恰為線段PQ的中點，1 2求直線l的方程7已知三角形ABC的頂點A(3,-1)AB邊的中線所在的直線方程為6x+10y-59=0，/B的平分線所在直線的方程為x-4y+10=0，求BC邊所在直線的方程兩條直線夾角公式知識導入平面上兩條直線l和l相交構成四個角，它們是兩組互補的對頂角，我們規(guī)定兩條相交直線所成的銳角或直角1 2 八兀為兩條直線的夾角。如果兩條直線平行或重合，規(guī)定它們的夾角為0因此，兩條直線的夾角的取值范圍是0,-，而兩條相交直線夾角的取值范圍是(0,[]。 /7a

當給出兩條直線的方程時，它們的相對位置就確定了，它們的夾角也隨之確定，那么，如何根據(jù)直線方程求兩直線的夾角呢?設兩條直線的方程分別為ll：ax+by+c=01111（〃1/1不全為零）（a2,b2不全為零）設l與l的夾角為a，l與l的一方向向量分別為d｝與d2，其夾角為0，且d（b,-a）d（b，—a），1 2 1 2 12 111 2 2 2當0￡［0,彳］時，則a=0如圖甲所示；當0e（5,兀］時，則a=K-0，如圖乙所示。1212TOC\o"1-5"\h\z特別地，當且僅當aa+bb=0時l與l的夾角為g，即l與l垂直。也就是說：l1l0d垂直12 12 1 2 2 1 2 1 2 1don垂直noaa+bb=0其中nn分別為l與l的一個法向量2 1 2 12 12 1 2 1 2典型例題一，? 3”10 .【例1】已知直線l過點P（-4,1），且與直線m：3x-y【例1】已知直線l過點P（-4,1），【例2】：已知AABC的三個頂點為A（2,1）,B（6,1）,C（5,5）求AABC中/A的大??； 求/A的平分線所在直線的方程。【例3】等腰三角形的一個腰所在直線l的方程是x-2y-2=0，底邊所在直線l的方程是x+y-1=0，點（-2,0）1 2在另一腰上，求這條腰所在直線l的方程。3【例4】已知直線l滿足性質(zhì)如果任意一點（x,y）在直線l上，那么點（x+3y,8x-y）也在直線l上，求直線l的方程。課堂檢測1、直線kx-y=k-1與ky—x=2k的交點位于第二象限，那么k的取值范圍是（）A、k>1 B、0<k<- C、k<- D、-<k<1TOC\o"1-5"\h\z2 2 22設兩條平行線分別經(jīng)過點（3 ）和（，），它們之間的距離為，則（ ）<< << << WW、若從點（，）向直線l作垂線，垂足為點（-1,），則直線l的方程為（ ）x+y-5=0 x+y+5=0x-y-5=0 x-y+5=0

、過原點作直線l的垂線，若垂足為(-2,3)，則直線l的方程是、已知直線mx+4y-2=0與直線2x—5y+n=0垂直，垂足為(1,p)，則m—n+p的值為、求與直線2x+3y+5=0平行，且在兩坐標軸上的截距之和為5的直線l的方程。6點到直線距離知識導入()點到直線的距離點P點P(x0，y0)到直線l:Ax+By+C=0的距離d=點在直線的同側或異側的問題Ax+點在直線的同側或異側的問題Ax+By+C另§= 0 ‘0 .AA2+B2，當兩點在直線l的同側，則它們的§同號；當兩點在直線l的異側，則它們的§異號。()平行直線間的距離:若兩條平行線直線li若兩條平行線直線li：“J+biy+「0,l2：=0的距離d=典型例題【例1】 若三角形的三個頂點A（0,3）B（3,0）C（5,7），則AABC的面積是【例2】已知點P（x,J）在直線l：3x+4y-10=0上，O為原點，則當|。尸|最小時，點P的坐標是（）'68) 八D、A、—,— B、D、k55)[例】求與直線l：5x-12y+6=0平行且到l的距離為的直線方程?！纠?】已知直線l經(jīng)過點P（5,10），且原點到它的距離為5,則直線l的方程為。課堂檢測i設°￡[0，2兀），則點p（1,1）到直線x?c0se+y?sine=2的最大距離是 。2、已知直線l：y=k（x+1）+2,且與以點A（-2,-3）和B（4,0）為端點的線段恒相交，則直線l的斜率的取值范圍是 .3、求過點P（1,2）且被兩平行直線l1：4x+3y+1=0與l2：4x+3y+6=0截得的線段長為v'2的直線方程。4、點P（3,2）至直線3x-4y-5=0的距離為5、兩平行直線2x-y+1=0和4x-2y-3=0之間的距離為6、與兩直線x—2y+4=0和x—2y—6=0平行且距離相等的直線方程是7、若e^L兀,兀］，點P(1,1)到直線xcos9+ysin9=2的最大距離為d，則d的值( )A、—J2+2B、％：2+2C、4 D、不存在8、求過點P(0,2)且與點A(1，1)，B(—3,1)等距離的直線l方程。9、如圖，已知正方形ABCD的中心為E(—1,0),一邊AB所在的直線方程為x+3y-