高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題及參考

高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題及參照高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題及參照高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題及參照高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽一、填空題（此題滿分60分，前4小題每題7分，后4小題每題8分）B11.如圖,正六邊形A1B1C1D1E1F1的邊長(zhǎng)為1,它的6條對(duì)角線又圍成一個(gè)正六邊形A2B2C2D2E2F2,這樣連續(xù)下去,

A1A2F1F2B2E2則所有這些六邊形的面積和是.C12.已知正整數(shù)a1,a2,,a10知足:aj3,a,1ij102i則a10的最小可能值是.

C2D2D1

E13.若tantantan17，6cotcotcot4,5cotcotcotcotcotcot17，則5tan.4．已知對(duì)于x的方程lgkx2lgx1僅有一個(gè)實(shí)數(shù)解，

ADF則實(shí)數(shù)k的取值范圍是.

BE

C5．如圖，AEF是邊長(zhǎng)為x的正方形ABCD的內(nèi)接三角形，已知AEF90，AEa,EFb,ab，則x.6．方程2m3n3n12m13的非負(fù)整數(shù)解m,n.7．一個(gè)口袋里有5個(gè)大小同樣的小球，其中兩個(gè)是紅色的，兩個(gè)是白色的，一個(gè)是黑色的，依次從中摸出5個(gè)小球，相鄰兩個(gè)小球的顏色均不同樣的概率是.（用數(shù)字作答）8．?dāng)?shù)列an定義如下：a11,a22,an2n1an1n1,2,.若2n2nan,n2am20112，則正整數(shù)m的最小值為.2012二、解答題9．（此題滿分14分）如圖，在平行四邊形ABCD中，ABx，BC1，對(duì)角線AC與BD的夾角BOC45，記直線AB與CD的距離為h(x)．求h(x)的表達(dá)式，并寫出x的取值范圍．DC10．（此題滿分14分）給定實(shí)數(shù)a1，求函數(shù)OAB(asinx)(4sinx)f(x)的最小值．1sinx11．（此題滿分16分）正實(shí)數(shù)x,y,z知足9xyzxyyzzx4，求證：4（1）xyyzzx3；（2）xyz2．12．（此題滿分16分）給定整數(shù)n(3)，記f(n)為會(huì)合1,2,,2n1的知足以下兩個(gè)條件的子集A的元素個(gè)數(shù)的最小值：(a)1A,2n1A；A中的元素（除1外）均為A中的另兩個(gè)（能夠同樣）元素的和．1）求f(3)的值；（2）求證：f(100)108．上海市高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽答案1、932、9243、114、,045、a22,26、3,0,a2(ab)2728402559OB2OC21(AB2BC2)1(x21)222OBCBC2OB2OC22OBOCcosBOCOB2OC22OBOC1OBOCx21522SABCD4SOBC41OBOCsinBOC22OBOCx212ABh(x)x212x21h(x)2x10x210x1OB2OC22OBOC11)2x21(x2222x11x21h(x)x211x21142x10(asinx)(4sinx)3(a1)f(x)1sinxa21sinx1sinx1a703(a1)233(a1)f(x)1sinxa223(a1)a21sinxsinx3(a1)11,1fmin(x)23(a1)a26a73(a1)2y3(a1)3“”tt0,3(a1)fmin(x)f(1)23(a1)a25(a1)2223(a1)a2,1a7;fmin(x)3145(a1),7.a23xyyzzx111t333xyyzzx2xyz3(xy)(yz)(zx)24349xyzxyyzzx9t33t2所以3t23t23t20，而3t23t20，所以3t20，即t2，3進(jìn)而xyyzzx4（10分）3．（2）又由于(xyz)23(xyyzzx)，所以(xyz)24，故xyz2．（16分）12．解（1）設(shè)會(huì)合A1,2,,231，且A知足(a),(b)．則1A,7A．由于1,m,7m2,3,,6不知足(b)，故3．又1,2,3,7,1,2,4,7,1,2,5,7,1,2,6,7,1,3,4,7,1,3,5,7,1,3,6,7,1,4,5,7,1,4,6,7,1,5,6,7都不知足(b)，故A4．而會(huì)合1,2,4,6,7知足(a),(b)，所以f(3)5．（6分）（2）第一證明f(n1)f(n)2,n3,4,．①事實(shí)上，若A1,2,,2n1，知足(a),(b)，且A的元素個(gè)數(shù)為f(n)．令BA2n12,2n11，由于2n122n1，Bf(n)22n122(2n1),2n111(2n12)B1,2,,2n11B(a),(b)f(n1)Bf(n)210f(2n)f(n)n1,n3,4,A1,2,,2n1(a),(b)Af(n)BA2(2n1),22(2n1),,2n(2n1),22n12(2n1)22(2n1)2n(2n1)22n1B1,2,,22n1Bf(n)n12k1(2n1)2k(2n1)2k(2n1),k0,1,,n122n1