汽車結(jié)構(gòu)有限元分析第二講有限元基礎(chǔ)理論課件

第二講有限元基礎(chǔ)理論

及平面問題有限元方法

課件僅作為學(xué)習(xí)交流之用，不能用于商業(yè)用途講述以下問題------1.有限元與力學(xué)關(guān)系2.回顧---材料力學(xué)研究對象與研究方法3.強(qiáng)度問題、剛度問題、穩(wěn)定性問題4.點的應(yīng)力狀態(tài)---空間問題5.廣義Hooke定律6.彈性力學(xué)的基本方程7.彈性力學(xué)問題分類8.三大方程、三類問題、三種解法9.平面問題10.平面問題的有限元方法1.有限元與力學(xué)關(guān)系彈性力學(xué)與理論力學(xué)區(qū)別：理論力學(xué)研究對象是質(zhì)點、質(zhì)點系與剛體（質(zhì)點系力學(xué)與剛體力學(xué)）。材料力學(xué)與彈性力學(xué)研究變形體。力學(xué)分支眾多：材料力學(xué)、結(jié)構(gòu)力學(xué)、彈性力學(xué)、板殼力學(xué)、塑性力學(xué)、斷裂力學(xué)、損傷力學(xué)、復(fù)合材料力學(xué)、結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性理論、振動理論、流體力學(xué)、結(jié)構(gòu)動力學(xué)等;有限元方法是以力學(xué)理論為基礎(chǔ)，是一種現(xiàn)代數(shù)值計算方法，是一種解決工程實際問題的數(shù)值計算工具，是現(xiàn)代設(shè)計與分析方法的支柱！平截面假設(shè)

初始與梁的中性軸垂直的平面,在變形后仍垂直于軸線,并且在垂直軸線方向上無變形；

梁的基本方程：

3.研究工程結(jié)構(gòu)在使用狀態(tài)下的安全性、可靠性、使用性等，實現(xiàn)結(jié)構(gòu)的功能與性能。

強(qiáng)度問題(應(yīng)力值不超過許用值)；

剛度問題(變形不太大)；

穩(wěn)定性問題（不失穩(wěn)）；

振動問題（量值在限制范圍）；

碰撞問題（安全生存空間）；

……4.點的應(yīng)力狀態(tài)---空間問題6.彈性力學(xué)的基本方程---三大方程物理方程x=2Gx+

xy=Gxyy=2Gy+

yz=Gyzz=2Gz+

zx=Gzx

平衡方程幾何方程5.各向同性彈性體廣義Hooke定律彈性力學(xué)有15個基本方程：3個平衡方程；6個幾何方程；6個本構(gòu)方程；15個基本未知量：3個位移分量；6個應(yīng)力分量；6個應(yīng)變分量；*加適當(dāng)邊界條件。彈性力學(xué)問題分類---三類邊界問題靜力邊界問題

位移邊界問題混合邊界問題由位移表示的平衡微分方程其中是Lplace算子靜力邊界條件使用位移表示位移邊界條件9.平面問題平面應(yīng)變物體是一柱體，軸向方向很長所有外力（體積力和面力）都平行于橫截面作用，且沿軸線大小不變平面應(yīng)力沿z方向的厚度t均勻且很小所有外力均作用在板的周邊和板內(nèi)，平行于板面作用，且沿厚度不變平面應(yīng)力特點（1）應(yīng)力在z=的面上各點沒有任何應(yīng)力z=zx=zy=0

在面內(nèi)：x、y、xy

0

（2）應(yīng)變

xz=yz=0（3)位移u=u(x,y)v=v(x,y)w0平面問題平衡微分方程平面問題幾何方程10.

有限元方法

概念平面問題的有限元法用彈性力學(xué)經(jīng)典解法解決實際問題的主要困難在于求解偏微分方程的復(fù)雜性，而有限元方法則將原來連續(xù)的彈性體離散化，其中最簡單的就是采用三角形單元對彈性體進(jìn)行劃分。

把整個求解區(qū)域分成許多個有限小區(qū)域，這些小區(qū)域稱之為單元。在每個單元上構(gòu)造近似位移函數(shù)，即進(jìn)行所謂的分片插值。在每一個單元上求勢能。將所有單元上的勢能加起來得彈性體的總勢能。最后應(yīng)用最小勢能原理求解單元節(jié)點位移。對每個三角形單元選擇最簡單的線性函數(shù)為位移模式，單元中任一點的位移可以通過3個結(jié)點的位移進(jìn)行插值運(yùn)算，這樣整個區(qū)域中無限多個未知位移量就可以用有限個節(jié)點來表示，從而避免了求解覆蓋整個區(qū)域的位移函數(shù)的困難。平面問題的有限元法，不僅可用來解決實際問題，而且通過其相對簡單的概念，可以詳細(xì)了解用有限元法對一般彈性體進(jìn)行應(yīng)力分析的基本原理和方法步驟，了解有限元法的性能特點，使用中應(yīng)注意的問題，從而為學(xué)習(xí)后續(xù)各章節(jié)打下基礎(chǔ)。

下面就以平面三角形單元闡明有限元的基本概念一種簡單的線性位移函數(shù)為：式中、…、為6個待定常數(shù)，可以由單元的節(jié)點位移確定。設(shè)節(jié)點的坐標(biāo)分別為(，)、（，）、（，），其節(jié)點位移為，，將它們代入上式得：聯(lián)立求解上述公式左邊的6個方程，可以求出待定常數(shù):

整理后得：單元形函數(shù)函數(shù)表示單元內(nèi)部的位移分布形態(tài)，故可稱為單元的形態(tài)函數(shù)，簡稱為形函數(shù)。

得到由節(jié)點位移表達(dá)單元內(nèi)任一點位移的插值公式，即位移模式的另一形式。單元應(yīng)變和應(yīng)力

單元節(jié)點力列陣：

單元節(jié)點虛位移列陣：

單元內(nèi)部引起的虛應(yīng)變：

根據(jù)虛功原理：外力虛功等于內(nèi)力虛功。所以節(jié)點力在節(jié)點的虛位移上所作的虛功應(yīng)等于單元內(nèi)部應(yīng)力在虛應(yīng)變上所作的虛功。這就是單元保持平衡狀態(tài)所必須滿足的條件，即單元的平衡條件。單元剛度矩陣

利用虛功方程來建立剛度方程，其實質(zhì)就是單元的平衡方程。單元剛度矩陣具有以下性質(zhì)：

(1)單元剛度矩陣中每個元素有明確的物理意義。其物理意義是單位節(jié)點位移分量所引起的節(jié)點力。例如，是表示當(dāng)單元第n個自由度產(chǎn)生單位位移而其它自由度固定時，在第m個自由度產(chǎn)生的節(jié)點力。

是對稱矩陣。其元素之間有如下關(guān)系：，這個特性是由彈性力學(xué)中功的互等定理所決定的。（3）是奇異矩陣。其每一行每一列元素之和均為零，物理意義就是：在無約束的條件下，單元可作剛體運(yùn)動。根據(jù)行列式性質(zhì)，可知值也為零。

解題步驟與算例

(1)首先繪出結(jié)構(gòu)幾何簡圖，在此基礎(chǔ)上將結(jié)構(gòu)離散化。平面問題采用三角形單元(其他形狀單元以后講述)，所以其離散就是將計算對象劃分成許多三角形單元。包括：進(jìn)行節(jié)點編號、單元編號，任選一直角坐標(biāo)系，定出所有節(jié)點的坐標(biāo)值等等。確定載荷和邊界約束條件，將各單元所受的非節(jié)點載荷，包括體力、面力以及可能有的集中力按虛功等效原則移置到節(jié)點上，并將各節(jié)點上的這些載荷（包括直接作用在節(jié)點上的集中載荷）分別按相同方向疊加等。

(2)其次進(jìn)行單元分析、組集總剛度矩陣、求單元應(yīng)力和節(jié)點應(yīng)力。前處理—計算—后處理平面問題的離散化

單元類型的選擇

單元的大小

單元有密有疏

不同厚度或不同材料處，應(yīng)取作為單元的邊界線

平面問題的有限元法，不僅有實際意義，而且通過其相對簡單的概念，可以詳細(xì)了解用有限元法對一般彈性體進(jìn)行應(yīng)力分析的基本原理和方法步驟，了解有限元法的性能特點，使用中應(yīng)注意的問題，從而為學(xué)習(xí)以后各章打下基礎(chǔ)。有限元解法的三個主要步驟就是：離