壓電材料的變分原理與有限元方法課件

壓電材料的變分原理

和有限元分析方法1前言壓電材料由于其機(jī)電耦合特性，受到使用者的歡迎。當(dāng)將壓電材料應(yīng)用到結(jié)構(gòu)中時(shí)，由于結(jié)構(gòu)形式的多樣性、邊界條件的多樣性和外界激勵(lì)環(huán)境的復(fù)雜性，解析解會(huì)遇到不可克服的困難，因而大多數(shù)情況需要采用數(shù)值的方法來(lái)分析結(jié)構(gòu)和解決問(wèn)題。變分原理是進(jìn)行數(shù)值計(jì)算的基礎(chǔ)，因而研究壓電材料的變分原理為建立壓電材料的有限元模型和方程提供了依據(jù)。2基本方程壓電材料具有力電耦合特性，根據(jù)連續(xù)彈性介質(zhì)理論和電介質(zhì)理論，基于線彈性、小變形假設(shè)，基本方程及條件如下。

(1)運(yùn)動(dòng)方程(2)電學(xué)方程

若不存在自由電荷則等式子于零2.3幾何方程(5)變形方程(6)電場(chǎng)方程2.3邊界條件(7)力學(xué)邊界條件(8)電學(xué)邊界條件在Sσ上在Su上在Sq上在Sv上3力電耦合系統(tǒng)的能量泛函(1)動(dòng)能(2)應(yīng)變能(3)電勢(shì)能5系統(tǒng)廣義泛函由Hamilton原理，系統(tǒng)廣義泛函為：

將上面的本構(gòu)方程、幾何方程帶入得到系統(tǒng)的能量泛函為：能量泛函寫成矩陣形式有：上式即為分析壓電耦合結(jié)構(gòu)、建立各種位移形式的運(yùn)動(dòng)微分方程的變分形式方程。6有限元方法有限元分析，即有限元方法（馮康首次發(fā)現(xiàn)時(shí)稱為基于變分原理的差分方法），是一種用于求解微分方程組或積分方程組數(shù)值解的數(shù)值技術(shù).這一解法基于完全消除微分方程,即將微分方程轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程組(穩(wěn)定情形);或?qū)⑵⒎址匠?組)改寫為常微分方程(組)的逼近,這樣可以用標(biāo)準(zhǔn)的數(shù)值技術(shù)(例如歐拉法,龍格-庫(kù)塔方法等)求解.有限元法最初起源于土木工程和航空工程中的彈性和結(jié)構(gòu)分析問(wèn)題的研究.它的發(fā)展可以追溯到AlexanderHrennikoff(1941)和RichardCourant(1942)的工作.這些先驅(qū)者使用的方法具有很大的差異,但是他們具有共同的本質(zhì)特征:利用網(wǎng)格離散化將一個(gè)連續(xù)區(qū)域轉(zhuǎn)化為一族離散的子區(qū)域,通常叫做元.Hrennikoff的工作離散用類似于格子的網(wǎng)格離散區(qū)域;Courant的方法將區(qū)域分解為有限個(gè)三角形的子區(qū)域,用于求解來(lái)源于圓柱體轉(zhuǎn)矩問(wèn)題的二階橢圓偏微分方程.Courant的貢獻(xiàn)推動(dòng)了有限元的發(fā)展,繪制了早期偏微分方程的研究結(jié)果.從有限元的基本方法派生出來(lái)的方法很多，則稱為三維單元。如有限條法、邊界元法、雜交元法、非協(xié)調(diào)元法和擬協(xié)調(diào)元法等，用以解決特殊的問(wèn)題。6.2有限元列式(四面體單元為例)對(duì)于每一個(gè)單元，機(jī)械應(yīng)變可以表示為：又，位移u、v、w可以用單元節(jié)點(diǎn)位移和形函數(shù)表示：從而可得：對(duì)于每個(gè)單元的x、y、z方向的位移向量表示為：

同樣對(duì)于每個(gè)單元，電場(chǎng)向量可以表示為為：又，電勢(shì)可以用單元節(jié)點(diǎn)電勢(shì)和形函數(shù)表示：從而：上式用矩陣形式表示為：Bφ為包含形函數(shù)微分的矩陣：又：將上兩式代入虛功原理有：對(duì)上面的式子進(jìn)行化簡(jiǎn)，就可用得到單元的有限元方程：式中：對(duì)單元有限元方程進(jìn)行組裝可得壓電材料的整體有限元方程：壓電材料材料參數(shù)的輸入介電常數(shù)是反映材料的介電性質(zhì)，或極化性質(zhì)的，通常用ε來(lái)表示。不同用途的壓電陶瓷元器件對(duì)壓電陶瓷的介電常數(shù)要求不同。例如，壓電陶瓷揚(yáng)聲器等音頻元件要求陶瓷的介電常數(shù)要大，而高頻壓電陶瓷元器件則要求材料的介電常數(shù)要小。壓電陶瓷極化處理之前是各向同性的多晶體，這是沿1(x)、2(y)、3(z)方向的介電常數(shù)是相同的，即只有一個(gè)介電常數(shù)。經(jīng)過(guò)極化處理以后，由于沿極化方向產(chǎn)生了剩余極化而成為各向異性的多晶體。此時(shí)，沿極化方向的介電性質(zhì)就與其他兩個(gè)方向的介電性質(zhì)不同。設(shè)陶瓷的極化方向沿3方向則有關(guān)系

ε11=ε22≠ε33

即經(jīng)過(guò)極化后的壓電陶瓷具有兩個(gè)介電常數(shù)ε11和ε33介電系數(shù)矩陣(介電常數(shù))用MP命令(MainMenu>Preprocessor>MaterialProps>MaterialModels>Electromagnetics>RelativePermittivity>Orthotropic)定義PERX、PERY和PERZ。這些常數(shù)分別表示的是介電系數(shù)矩陣

[ε]s（上標(biāo)“s”表示常數(shù)值是在常應(yīng)變條件下計(jì)得到的）的對(duì)角分量ε11,ε22,ε33。大多數(shù)已公布的壓電材料的[e]矩陣數(shù)據(jù)都是基于IEEE標(biāo)準(zhǔn)按照x,y,z,yz,xz,xy的順序，而ANSYS的輸入數(shù)據(jù)是按照x,y,z,xy,yz,xz的順序。也就是說(shuō)，輸入該參數(shù)時(shí)必須通過(guò)改變剪切項(xiàng)的行數(shù)據(jù)以轉(zhuǎn)換到ANSYS數(shù)據(jù)格式。Ansys中e矩陣的輸入剛度矩陣和柔度矩陣的輸入與其它材料相同。7.1ANSYS中PLANE13單元ANSYS中PLANE13單元為4節(jié)點(diǎn)四邊形單元，每個(gè)節(jié)點(diǎn)最多有4個(gè)自由度，該單元也可以退化為3節(jié)點(diǎn)三角形單元。在用于純結(jié)構(gòu)分析時(shí)，具有大變形和應(yīng)力剛度能力。當(dāng)PLANE13單元用于模擬壓電傳感器/致動(dòng)器時(shí)，在非退化狀態(tài)下該單元為具有12個(gè)自由度的四邊形單元，每個(gè)節(jié)點(diǎn)包含兩個(gè)位移(x方向和y方向)自由度和一個(gè)壓電自由度，單元形狀和節(jié)點(diǎn)信息如下圖所示PLANE13單元7.1ANSYS中PLANE13單元7.1ANSYS中PLANE13單元單元節(jié)點(diǎn)位移向量為：將單元內(nèi)部任意點(diǎn)的位移和電壓用節(jié)點(diǎn)位移向量表示為：7.1ANSYS中PLANE13單元其中，u為沿x軸方向位移，v為沿y軸方向位移，φ為節(jié)點(diǎn)電壓自由度，單元形狀函數(shù)Ni為式中，s、t∈[-1,1]，為單元的正則化自然坐標(biāo)。7.1ANSYS中PLANE13單元根據(jù)線彈性應(yīng)變位移物理方程可得單元內(nèi)部應(yīng)變與單元節(jié)點(diǎn)位移的關(guān)系式分別為：其中7.1ANSYS中PLANE13單元單元應(yīng)變可簡(jiǎn)化為同理根據(jù)電壓電場(chǎng)關(guān)系可得電場(chǎng)強(qiáng)度與單元節(jié)點(diǎn)電壓的關(guān)系式為：7.1ANSYS中PLANE13單元其中對(duì)于壓電平面問(wèn)題，通常壓電材料的極化方向?yàn)檠睾穸葃方向極化，假定壓電層中電壓在厚度y方向?yàn)榫€性分布，單元內(nèi)部的電場(chǎng)強(qiáng)度為常數(shù)，設(shè)壓電層厚度為tp，則可得電場(chǎng)強(qiáng)度Ee為：7.2ANSYS中SOLID5單元SOLID5單元為8節(jié)點(diǎn)六面體實(shí)體耦合壓電場(chǎng)單元，每個(gè)節(jié)點(diǎn)最多有6個(gè)自由度，當(dāng)將SOLID5單元用于模擬壓電傳感器/致動(dòng)器時(shí)，該單元為具有32個(gè)自由度的實(shí)體單元，每個(gè)節(jié)點(diǎn)包含三個(gè)位移(

x方向、y方向和z方向)自由度和一個(gè)壓電自由度，單元形狀和節(jié)點(diǎn)信息如下圖

所示。SOLID5單元7.2ANSYS中SOLID5單元單元節(jié)點(diǎn)位移向量為：將單元內(nèi)部任意點(diǎn)的位移和電壓用節(jié)點(diǎn)位移向量表示為：其中，u為沿x軸方向位移，v為沿y軸方向位移，φ為節(jié)點(diǎn)電壓自由度，單元形狀函數(shù)Ni如下：7.2ANSYS中SOLID5單元式中：s、t∈[-1,1]，為單元的正則化自然坐標(biāo).根據(jù)線彈性應(yīng)變位移物理方程可得單元內(nèi)部應(yīng)變與單元節(jié)點(diǎn)位移的關(guān)系式分別為：其中7.2ANSYS中SOLID5單元7.2ANSYS中SOLID5單元單元應(yīng)變可簡(jiǎn)化為同理根據(jù)電壓電場(chǎng)關(guān)系可得電場(chǎng)強(qiáng)度與單元節(jié)點(diǎn)電