數(shù)學(xué)建模灰色預(yù)測法課件

在預(yù)測分析中，最基本的預(yù)測模型為線性回歸方程，針對一些規(guī)律性較強(qiáng)的數(shù)據(jù)，該模型能作出精確的預(yù)測，但在實(shí)際中，我們得到的常是一些離散的，規(guī)律性不強(qiáng)的數(shù)據(jù)，為解決此類問題，線性的方法就不適用了，此時(shí)，就需要采用灰色預(yù)測的方1灰色預(yù)測理論2GM(1,1)模型3GM(1,1)殘差模型及GM(n,h)模型

灰色預(yù)測法回總目錄1灰色預(yù)測理論一、灰色預(yù)測的概念（1）灰色系統(tǒng)、白色系統(tǒng)和黑色系統(tǒng)

白色系統(tǒng)是指一個(gè)系統(tǒng)的內(nèi)部特征是完全已知的，即系統(tǒng)的信息是完全明確的。回總目錄回本章目錄灰色預(yù)測法是一種對含有不確定因素的系

統(tǒng)進(jìn)行預(yù)測的方法?；疑A(yù)測是對既含有已知信息又含有不確定

信息的系統(tǒng)進(jìn)行預(yù)則，就是對在一定范圍內(nèi)

變化的、與時(shí)間有關(guān)的灰色過程進(jìn)行預(yù)測。（2）灰色預(yù)測法回總目錄回本章目錄灰色預(yù)測通過鑒別系統(tǒng)因素之間發(fā)展趨勢的相異程度，即進(jìn)行關(guān)聯(lián)分析，并對原始數(shù)據(jù)進(jìn)行生成處理來尋找系統(tǒng)變動的規(guī)律，生成有較強(qiáng)規(guī)律性的數(shù)據(jù)序列，然后建立相應(yīng)的微分方程模型，從而預(yù)測事物未來發(fā)展趨勢的狀況?；乜偰夸浕乇菊履夸浕疑A(yù)測法用等時(shí)距觀測到的反映預(yù)測對象特征的一系列數(shù)量值構(gòu)造灰色預(yù)測模型，預(yù)測未來某一時(shí)刻的特征量，或達(dá)到某一特征量的時(shí)間?；乜偰夸浕乇菊履夸洠?）灰色預(yù)測的四種常見類型?灰色時(shí)間序列預(yù)測即用觀察到的反映預(yù)測對象特征的時(shí)間序列來構(gòu)造灰色預(yù)測模型，預(yù)測未來某一時(shí)刻的特征量，或達(dá)到某一特征量的時(shí)間。

?畸變預(yù)測即通過灰色模型預(yù)測異常值出現(xiàn)的時(shí)刻，預(yù)測異常值什么時(shí)候出現(xiàn)在特定時(shí)區(qū)內(nèi)?；乜偰夸浕乇菊履夸?/p>

系統(tǒng)預(yù)測

通過對系統(tǒng)行為特征指標(biāo)建立一組相互關(guān)聯(lián)的灰色預(yù)測模型，預(yù)測系統(tǒng)中眾多變量間的相互協(xié)調(diào)關(guān)系的變化。

拓?fù)漕A(yù)測

將原始數(shù)據(jù)做曲線，在曲線上按定值尋找該定值發(fā)生的所有時(shí)點(diǎn)，并以該定值為框架構(gòu)成時(shí)點(diǎn)數(shù)列，然后建立模型預(yù)測該定值所發(fā)生的時(shí)點(diǎn)。回總目錄回本章目錄二、生成列設(shè)已知數(shù)據(jù)變量組成序列X(0)，則我們可得到數(shù)據(jù)序列為了弱化原始時(shí)間序列的隨機(jī)性，在建立灰色預(yù)測模型之前，需先對原始時(shí)間序列進(jìn)行數(shù)據(jù)處理，經(jīng)過數(shù)據(jù)處理后的時(shí)間序列即稱為生成列?；乜偰夸浕乇菊履夸浝奂拥囊?guī)則:將原始序列的第一個(gè)數(shù)據(jù)作為生成列的第一個(gè)數(shù)據(jù)，將原始序列的第二個(gè)數(shù)據(jù)加到原始序列的第一個(gè)數(shù)據(jù)上，其和作為生成列的第二個(gè)數(shù)據(jù)，將原始序列的第三個(gè)數(shù)據(jù)加到生成列的第二個(gè)數(shù)據(jù)上，其和作為生成列的第三個(gè)數(shù)據(jù)，按此規(guī)則進(jìn)行下去，便可得到生成列?；乜偰夸浕乇菊履夸浻浽紩r(shí)間序列為：生成列為：上標(biāo)1表示一次累加，同理，可作m次累加：回總目錄回本章目錄對非負(fù)數(shù)據(jù)，累加次數(shù)越多則隨機(jī)性弱化越多，累加次數(shù)足夠大后，可認(rèn)為時(shí)間序列已由隨機(jī)序列變?yōu)榉请S機(jī)序列。一般隨機(jī)序列的多次累加序列，大多可用指數(shù)曲線逼近?；乜偰夸浕乇菊履夸浫㈥P(guān)聯(lián)度

關(guān)聯(lián)度分析是分析系統(tǒng)中各因素關(guān)聯(lián)程度的方法，在計(jì)算關(guān)聯(lián)度之前需先計(jì)算關(guān)聯(lián)系數(shù)。（1）關(guān)聯(lián)系數(shù)設(shè)則關(guān)聯(lián)系數(shù)定義為：回總目錄回本章目錄式中：

為第k個(gè)點(diǎn)ρ稱為分辨率，0<ρ<1,一般取ρ=0.5；

對單位不一，初值不同的序列，在計(jì)算相關(guān)系數(shù)前應(yīng)首先進(jìn)行初始化，即將該序列所有數(shù)據(jù)分別除以第一個(gè)數(shù)據(jù)。的絕對誤差；和為兩級最小差；為兩級最大差；回總目錄回本章目錄（2）關(guān)聯(lián)度和的關(guān)聯(lián)度為：回總目錄回本章目錄解答：以為參考序列求關(guān)聯(lián)度。

第一步：初始化，即將該序列所有數(shù)據(jù)分別除以第一個(gè)數(shù)據(jù)。得到：回總目錄回本章目錄第二步：求序列差第三步：求兩極差回總目錄回本章目錄第四步：計(jì)算關(guān)聯(lián)系數(shù)取ρ=0.5，有：

從而：

回總目錄回本章目錄在建立模型前必須對數(shù)列X(0)

進(jìn)行準(zhǔn)光滑性檢驗(yàn),由ρ(t)=X(0)(t)/X(1)(t-1),若對t>3有ρ(t)<0.5,則其滿足準(zhǔn)光滑條件;然后檢驗(yàn)數(shù)列X(1))是否具有準(zhǔn)指數(shù)規(guī)律,由

σ(1)(t)=X(1)(t)/X(1)(t-1),若對t有σ(1)(t)∈[1,1+δ],其中δ常取0.5,則準(zhǔn)指數(shù)規(guī)律滿足,可對X(1)

建立GM(1,1)模型,否則需繼續(xù)累加。2GM(1,1)模型一、GM（1，1）模型的建立

設(shè)時(shí)間序列有n個(gè)觀察值，通過累加生成新序列

則GM（1，1）模型相應(yīng)的微分方程為：

其中：α稱為發(fā)展灰數(shù)；μ稱為內(nèi)生控制灰數(shù)?；乜偰夸浕乇菊履夸?/p>

對其做累減還原，即可得到原始數(shù)列的灰色預(yù)測模型為:由灰色預(yù)測方法原理,-a主要控制系統(tǒng)發(fā)展態(tài)勢的大小,即反映預(yù)測的發(fā)展態(tài)勢,被稱為發(fā)展系數(shù);u的大小反映了數(shù)據(jù)變化的關(guān)系,被稱為灰色作用量,其中:①當(dāng)-a<0.3時(shí),GM(1,1)模型可用于中長期預(yù)測;②當(dāng)0.3<-a<0.5時(shí),GM(1,1)模型可用于短期預(yù)測,中長期預(yù)測慎用;③當(dāng)0.5<-a<1時(shí),應(yīng)采用GM(1,1)改進(jìn)模型,包括GM(1,1)殘差修正模型;④當(dāng)-a>1時(shí),不宜采用GM(1,1)模型,可考慮其他預(yù)測方法?；疑A(yù)測檢驗(yàn)一般有殘差檢驗(yàn)、關(guān)聯(lián)度檢二、模型檢驗(yàn)（1）殘差檢驗(yàn)按預(yù)測模型計(jì)算并將累減生成然后計(jì)算原始序列與的絕對誤差序列及相對誤差序列。驗(yàn)和后驗(yàn)差檢驗(yàn)?；乜偰夸浕乇菊履夸?/p>

在建立模型后,還必須對模型進(jìn)行精度檢驗(yàn),其檢驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)見表1。表1精度檢驗(yàn)等級參照表

精度等級相對誤差Δ一級(優(yōu))0.01二級(良)0.05三級(合格)0.1四級(不適用)0.2（2）關(guān)聯(lián)度檢驗(yàn)根據(jù)前面所述關(guān)聯(lián)度的計(jì)算方法算出與原始序列的關(guān)聯(lián)系數(shù)，然后計(jì)算出關(guān)聯(lián)度，根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，當(dāng)ρ=0.5時(shí)，關(guān)聯(lián)度大于0.6便滿意了。回總目錄回本章目錄（3）后驗(yàn)差檢驗(yàn)a.計(jì)算原始序列標(biāo)準(zhǔn)差:回總目錄回本章目錄b.計(jì)算絕對誤差序列的標(biāo)準(zhǔn)差：c.計(jì)算后驗(yàn)差比值：回總目錄回本章目錄d.計(jì)算小誤差概率：令:，則：P>0.95>0.80>0.70≤0.70C<0.35<0.50<0.65≥0.65

好合格勉強(qiáng)合格不合格回總目錄回本章目錄3基于灰色預(yù)測的等維灰數(shù)遞補(bǔ)模型

從灰色預(yù)測模型公式中可以看出，它是一個(gè)指數(shù)增長的模型，在進(jìn)行預(yù)測時(shí)，最近一年的預(yù)測結(jié)果應(yīng)該是很精確的，但對后續(xù)幾年的預(yù)測誤差會逐漸增大，為了提高預(yù)測模型的廣泛適用性，我們做出了如下的改進(jìn)：對原灰色模型等維灰數(shù)遞補(bǔ)，即構(gòu)造等維灰數(shù)遞補(bǔ)模型。GM(1,1)模型中具有預(yù)測意義的數(shù)據(jù)僅僅是數(shù)據(jù)X(n)以后的前幾個(gè)數(shù)據(jù)，隨著時(shí)間的推移，老的數(shù)據(jù)越來越不適應(yīng)新的情況，所以，要在原數(shù)據(jù)的基礎(chǔ)上每次增加一個(gè)新信息時(shí)，就去掉一個(gè)老信息。這種新數(shù)據(jù)補(bǔ)充、老數(shù)據(jù)去除的數(shù)據(jù)列，由于其維數(shù)不變，因而叫等維信息數(shù)據(jù)列，相應(yīng)的模型叫等維灰數(shù)遞補(bǔ)模型，或叫新陳代謝模型。設(shè)原始數(shù)列為:置入新信息X(0)(n+1),去掉老信息X(0)(1),可構(gòu)成新數(shù)列:利用這一新數(shù)列建立的GM(1,1)模型,即為等維信息GM(1,1)模型。

由于在實(shí)際中，信息處于不斷的變化之中,具有很大的隨機(jī)性,雖然歷史信息對預(yù)測時(shí)刻的具體值有一定的相關(guān)性和影響,但與預(yù)測時(shí)刻更接近的信息對于該時(shí)刻的預(yù)測結(jié)果更有價(jià)值。鑒于這種情況,可先用已知數(shù)列建立的GM(1,1)模型預(yù)測一個(gè)值,然后補(bǔ)充一個(gè)新信息數(shù)據(jù)到已知數(shù)列中,同時(shí)去掉最老的一個(gè)數(shù)據(jù),使序列等維,接著再建立GM(1,1)模型,這樣逐個(gè)滾動預(yù)測,依次遞補(bǔ),直到完成預(yù)測目標(biāo)為止，這樣我們再對具體問題進(jìn)行預(yù)測,就可以得到更為精確的結(jié)果。10.3GM(1,1)殘差模型及GM(n,h)模型一、殘差模型若用原始經(jīng)濟(jì)時(shí)間序列模型檢驗(yàn)不合格或精度不理想時(shí)，要對建立的GM（1，1）模型進(jìn)行殘差修正或提高模型的預(yù)