東北大學(xué)歷年期末高等數(shù)學(xué)試題

本文格式為Word版，下載可任意編輯——東北大學(xué)歷年期末高等數(shù)學(xué)試題八、高等數(shù)學(xué)試題2023/1/10

一、填空題（此題20分，每題4分）

?x?a?1．已知lim???9，則a?

x???x?a??2?，x?12．設(shè)函數(shù)f(x)??1?x2，當(dāng)a=,b=時，f(x)在x=1處可導(dǎo)。

??ax?b，x?13．方程x?x?1?0共有個正根。

4．當(dāng)x?時，曲線y?ax2?bx?c的曲率最大。

?7x5．

?02xsinxdx?。

二、選擇題（本大題24分，共有6小題，每題4分）

1．以下結(jié)論中，正確的是（）

（A）若limx2n?a，limx2n?1?a，則limxn?a；

n??n??n??（B）發(fā)散數(shù)列必然無界；

（C）若limx3n?1?a，limx3n?1?a，則limxn?a；

n??n??n??（D）有界數(shù)列必然收斂。

2．函數(shù)f(x)在x?x0處取得極大值，則必有（）。（A）f?(x0)?0；（B）f??(x0)?0；

（C）f?(x0)?0或f?(x0)不存在；（D）f?(x0)?0且f??(x0)?0。3．函數(shù)F(x)??af(t)dt在[a，b]上可導(dǎo)的充分條件是：f(x)在[a，b]上（）

??x（A）有界；（B）連續(xù)；（C）有定義；（D）僅有有限個休止點。

sinx42(sin3x?cos4x)dx，P?2(x2sin3x?cos4x)dx，則必有關(guān)系式cosxdxN?4．設(shè)M??2，???????2?1?x222（）

（A）N?P?M；（B）N?M?P；（C）M?P?N；（D）P?M?N。

5．設(shè)y?f(x)在x?x0的某鄰域內(nèi)具有三階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，假使f?(x0)?f??(x0)?0，而f???(x0)?0，則必有（）。

（A）x0是極值點，(x0，f(x0))不是拐點；（B）x0是極值點，(x0，f(x0))不一定是拐點；（C）x0不是極值點，(x0，f(x0))是拐點；（D）x0不是極值點，(x0，f(x0))不是拐點。

?x?3y?4z??與平面?：4x?2y?2z?3的位置關(guān)系是（）?2?73（A）L與?平行但L不在?上；（B）L與?垂直相交；（C）L在?上；（D）L與?相交但不垂直。

6．直線L：6．微分方程y???5y??6y?xe2x?e3x的特解形式為（）

(A)y*?x(ax?b)e2x?cxe3x；（B）y*?ae2x?b(x?c)e3x；

（C）y*?(ax?b)e2x?ce3x；(D)y*?(ax?b)e2x?cxe3x三、計算以下各題（每題7分，共28分）1．計算

?04x?22x?1dx.

2．求

?xdx2x?4x?5?x?ln(1?t2)d2y3．設(shè)?，求。2dx?y?t?arctant4．求lim?x?x2ln(1??x???1?)?。x?四、解答以下各題（每題7分，共21分）

1．在半徑為R的球內(nèi)嵌入有最大體積的圓柱體，求此時圓柱體體積的最大值以及底半徑與高的值。

x2y22．計算由橢圓2?2?1所圍成的圖形的面積以及此圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周而形成的旋轉(zhuǎn)體的體積。

ab3*．在由平面2x?y?3z?2?0和平面5x?5y?4z?3?0所決定的平面束內(nèi)求兩個相互垂直的平面，其中一個經(jīng)過點M0(4,?3,1)。

3．在曲線上每一點M(x,y)處切線在y軸上的截距為2xy2，且曲線過點M0(1,2)。求此曲線方程。

11五、（7分）設(shè)函數(shù)f(x)在?0，3?上連續(xù)，在（0，3）內(nèi)可導(dǎo)，且有?xf(x)dx?f(3)。試證：必有??(?0,3)使

30f?(?)??f(?)?。

答案一、1.ln3；2.a=-1,b=2；3.1；4.?b；5.1.2a二、1.A；2.C；3.B；4.D；5.C；6.A.

22111?t22三、1.；2.ln(x?4x?5)?2arctan(x?2)?C；3.；4..

3224t四、1.H?13R,r?44?6R；2.?ab2；R，Vmax?3333九、高等數(shù)學(xué)試題2023/1/10

一、選擇題（本大題24分，共有6小題，每題4分）1．以下結(jié)論中，正確的是[]

（A）有界數(shù)列必收斂；（B）單調(diào)數(shù)列必收斂；（C）收斂數(shù)列必有界；（D）收斂數(shù)列必單調(diào)。2.設(shè)函數(shù)f(x)在U(x0，?)內(nèi)有定義，對于下面三條性質(zhì)：

①f(x)在x0點連續(xù)；②f(x)在x0點可導(dǎo)；③f(x)在x0點可微.若用“P?Q〞表示由性質(zhì)P推出性質(zhì)Q，則應(yīng)有[]

(A)②?③?①；(B)②?①?③；(C)③?①?②；(D)①?②?③。3.曲線y?x[]3?x(A)既有水平漸近線，又有垂直漸近線；(B)僅有水平漸近線；(C)僅有垂直漸近線；(D)無任何漸近線。

4.設(shè)函數(shù)f(x)在[a,b]上有定義，則

?baf(x)dx存在的必要條件是[]

(A)f(x)在[a,b]上可導(dǎo)；(B)f(x)在[a,b]上連續(xù)；(C)f(x)在[a,b]上有界；(D)f(x)在[a,b]上單調(diào)。5.y=y(x)是微分方程y?+3y?=e2x的解，且y?(x0)=0，則必有[](A)y(x)在x0某鄰域內(nèi)單調(diào)增加；(B)y(x)在x0某鄰域內(nèi)單調(diào)減少；(C)y(x)在x0取極大值；(D)y(x)在x0取微小值.

6.若f(x)的導(dǎo)函數(shù)是sinx，則f(x)有一個原函數(shù)是[]

(A)1?sinx;(B)1?sinx;(C)1?cosx;(D)1?cosx.

二、填空題（將正確答案填在橫線上，本大題共9小題,每題4分,共36分）

1.lim(x??x?1x)?________．2.f(x)?x?1111?x的可去休止點是x?__________.

11____.4.?xe?xdx的值是_________.3.設(shè)y?arctan,則dy?__________0x5.limtanx?x?2??________．6.x?0時，xsinx~x,則??________.

x?0x2sinx7.

???0?x?2t?t2dx?____________.8.設(shè)?3(x?2)(x?3)?y?3t?td2y,則2?____________.

dx9.微分方程dy1?y??4滿足條件y(1)?1的特解是y?_________________.dxxx2arctanxdx.三、(8分)計算不定積分?21?x四、(8分)求曲線y?x?6x?12x?4的升降區(qū)間,凹凸區(qū)間及拐點.五、(8分)求微分方程y???3y??2y?3xe2?x32y的通解.

六、(10分)在[0，1]上給定函數(shù)y?x，問t為何值時,如下圖陰影部分的面積S1與S2的和最小，何時最大？并求此時兩圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體的體積。

y?x2t2S1AS210tx七、(6分)設(shè)f(x)在[a,b]上連續(xù),且不恒為常數(shù)又f(x)在(a,b)內(nèi)可微,

且f(a)?f(b).試證:???(a,b)使f?(?)?0.

一、1．(C)2.(A)3.(A)4.(C).5.(D)6.(B)

2二、1.e2.x?03.dy??121dx1?4.5.2e31?x53d2y36.??.7.ln8.?.9.y?x(1?4lnx)

22dx24(1?t)?????9*.a?b?i?5j?3k

三、xarctanx?11ln(1?x2)?(arctanx)2?C22四、(??,??)內(nèi)為上升曲線.所以凸區(qū)間為(??,2]?凹區(qū)間為[2,??)?拐點為(2,12).

五、y?C1e六、t??x3?C2e?2x?e?x(x2?3x).

213,S(t)最小所求體積為=?216

十、高等數(shù)學(xué)試題2023/1/14

一、選擇題（本大題20分，共有5小題，每題4分）1．設(shè)數(shù)列{xn}收斂，{yn}發(fā)散，則必有[]成立。（A）limxnyn存在；（B）limn??n??ynx存在；（C）lim(xn?yn)不存在；（D）limn存在。

n??n??yxnn?1?ex?1,x?0,?2,x?0,則x=0是f(x)的[]。2.設(shè)f(x)???1?1?xsin,x?0,x?(A)可去休止點；(B)騰躍休止點；(C)無窮休止點；(D)連續(xù)點。

3.設(shè)x在點x0處有增量?x，函數(shù)y=f(x)在x0處有增量?y，又f?(x0)?0,則當(dāng)?x?0時，?y是該點微分dy的[](A)高階無窮??；(B)等價無窮?。?C)低階無窮??；(D)同階但不是等價無窮小。

4.設(shè)f(x)在(??,+?)上二階可導(dǎo)且為奇函數(shù)，又在(0,+?)上f?(x0)>0，f??(x0)>0，則在(??,0)上必有[](A)f?(x0)0,f??(x0)>0；(C)f?(x0)0；(D)f?(x0)>0,f??(x0)?>?；(B)?>?>?；(C)?>?>?；(D)?>?>?.

二、填空題（將正確答案填在橫線上，本大題共6小題,每題4分,共24分）

1.lim(1?sin3x)x?012x?________．2.方程x5–5x–1=0在(1,2)內(nèi)共有______個根.

?3.

??(x2?27?1)sin2xdx?_________.

4.

arctanx?x(1?x)dx?________．5.球體半徑的增長率為0.02m/s，當(dāng)半徑為2m時，球體體積的增長率為_________.

6.微分方程y??+2y??3y=0的通解為y=_________.三、計算題(6分?4=24分)

?x?lntd2y1.設(shè)?,求2.3dxt?1?y?t2.求lim?1??1??.x?0x2xtanx??3.求

?x24?x2dx.

4．求微分方程(x–y)ydx–x2dy=0的通解.

四、(10分)設(shè)y=xe?x(0?x0,f?(b)>0,試證：???(a,b)，使f??(?)=0.答案：一、1．(C)2.(A)3.(B)4.(D).5.(A)二、1.e2.13.

32?4.(arctanx)2?C5.0.32?6.C1e?3x+C2ex.2x1x12三、1.9.2..3.2arcsin?x4?x?C.4.x?Cey.

322四、極大值y(1)?123??513??2?,拐點?2,2?，面積A??2，體積V??2?4?。eee4?ee??e?五、y?2x.22x?1?x3,??3六、a=2,b=?1,?(x)???x2?x?1,?3?x?1.

x?1

十、高等數(shù)學(xué)試題2023/1/14

一．單項選擇題（此題共4小題，每題4分，共計16分）

?n2?nn為奇數(shù)??n1．?dāng)?shù)列f(n)??，當(dāng)n??時，f(n)是[]．

?1n為偶數(shù)??n(A)無窮大；(B)無界但非無窮大；(C)無窮??；(D)有界但非無窮?。?．設(shè)y?cos(2x?(A)2ncos[2x??4)，則y(n)?[]．

2n?1n??]；(B)2ncos[2x?]；44n?2n?1]；(D)cos[2x??]．(C)cos[2x?243．設(shè)F(x)??x?2?xesintsintdt，則F(x)為[]．

(A)正常數(shù)；(B)負(fù)常數(shù)；(C)恒為零(D)不為常數(shù)．