電磁場與電磁波的基本原理演示文稿

電磁場與電磁波的基本原理演示文稿現(xiàn)在是1頁\一共有206頁\編輯于星期四（優(yōu)選）電磁場與電磁波的基本原理.現(xiàn)在是2頁\一共有206頁\編輯于星期四1―1電磁場的基本方程一、電磁場中的基本場矢量電磁場中的基本場矢量有四個:電場強度E,電位移矢量D,磁感應(yīng)強度B和磁場強度H。

(一)電場強度E場中某點的電場強度E定義為單位正電荷在該點所受的力,即

(1―1―1)現(xiàn)在是3頁\一共有206頁\編輯于星期四在上式中q為檢驗電荷的電量,它必須足夠小,不致會影響原來的電場。F為q所受到的電場力。在國際單位制(SI)中,力F的單位為牛頓(N),電量q的單位為庫侖(C),電場強度E的單位為伏/米(V/m)。

現(xiàn)在是4頁\一共有206頁\編輯于星期四(二)電位移矢量D如果電解質(zhì)中存在電場,則電介質(zhì)中分子將被極化,極化的程度用極化強度P來表示。此時電介質(zhì)中的電場必須用電位移矢量D來描寫。它定義為

式中ε0為真空或空氣的介電常數(shù),ε0=885×10-12法拉/米(F/m)。在SI單位制中,D的單位為庫侖/米2(C/m2)。(1―1―2)現(xiàn)在是5頁\一共有206頁\編輯于星期四對于線性媒質(zhì)中某點的電極化強度P正比于該點的電場強度E。在各向同性媒質(zhì)中某點的P和E方向相同,即

式中χe為電極化率,它是沒有量綱的純數(shù),不同的介質(zhì)就有不同的χe。將式(1―1―3)代入式(1―1―2)得

(1―1―3)(1―1―4)現(xiàn)在是6頁\一共有206頁\編輯于星期四式中ε=ε0(1+χe)稱為介質(zhì)的介電常數(shù),而εr=1+χe稱為介質(zhì)的相對介電常數(shù)。對于各向異性介質(zhì),P的方向和E方向不一定相同,D的方向和E的方向也不一定相同,即χe和ε為張量。

(三)磁感應(yīng)強度B磁感應(yīng)強度B是描寫磁場性質(zhì)的基本物理量。它表示運動電荷在磁場中某點受洛侖茲力的大小。假如,一個速度為v的電荷q在磁場中運動經(jīng)過該點崐時,運動電荷q受到磁場力F的作用,則該點的磁感應(yīng)強度B定義為

(1―1―5)現(xiàn)在是7頁\一共有206頁\編輯于星期四(四)磁場強度H如果磁介質(zhì)中有磁場,則磁介質(zhì)被磁化。描寫磁介質(zhì)磁化的程度用磁化強度M來表示。此時磁介質(zhì)中的磁場必須引入磁場強度H來描寫,它定義為

(1―1―6)式中μ0為真空或空氣的磁導率μ0=4π×10-7亨利/米(H/m)。M和H的單位為安培/米(A/m)。在各向同性媒質(zhì)中M和H方向相同。即有(1―1―7)現(xiàn)在是8頁\一共有206頁\編輯于星期四將式(1―1―7)代入式(1―1―6),得

B=μ0(H+M)=μ0(1+χm)H=μ0μrH=μH(1―1―8)

式中χm稱為媒質(zhì)的磁極化率,它是一個沒有量綱的純數(shù)。μ=μ0(1+χm)稱為媒質(zhì)的磁導率。μr=1+χm稱為相對磁導率。對于各向異性媒質(zhì),B和H及M和H方向不一定相同,即μ和χm均為張量?，F(xiàn)在是9頁\一共有206頁\編輯于星期四二、全電流定律在普通物理中,曾經(jīng)討論了恒流磁場中的安培環(huán)路定律,即為上式表明,磁場強度H沿任一閉合回路的環(huán)流等于此閉合回路所包圍的傳導電流的代數(shù)和。那么這個定律是否適用于非恒流磁場呢?(1―1―9)現(xiàn)在是10頁\一共有206頁\編輯于星期四我們來分析電容器充放電的情況,如圖1―1―1所示,在任何時刻穿過金屬導體任一個橫截面的電流總是相等的,但在電容器的兩塊極板間的傳導電流等于零。因此,就整個電路而言,傳導電流是不連續(xù)的,此時應(yīng)用安培環(huán)路定律現(xiàn)在是11頁\一共有206頁\編輯于星期四圖1―1―1現(xiàn)在是12頁\一共有206頁\編輯于星期四如取S1面,則有

如取S2面,則有(1―1―10)(1―1―11)上式結(jié)果表明,在非恒流的磁場中,H的環(huán)流與閉合回路l為邊界的曲面有關(guān),選取不同的曲面,環(huán)流值就不同。這說明非恒流磁場中安培環(huán)路定律不再適用。后來麥克斯韋提出了位移電流的假設(shè),修正了安培環(huán)路定律,使它適用于非恒流磁場。

現(xiàn)在是13頁\一共有206頁\編輯于星期四當電容器充、放電時,電容器極板上的電荷量q和電荷密度ρS均隨時間變化。流向極板的電流i=dq/dt,而其電流密度為Jd=dρS/dt。在兩極板間的電位移矢量D和穿過整個極板間截面的電位移通量φD=SD均隨時間變化。電位矢量D的大小等于極板上電荷密度ρS,而電位移通量φD等于極板上的總電量φD=SρS。因此電位移矢量D和電位移通量隨時間的變化率分別為

(1―1―12)現(xiàn)在是14頁\一共有206頁\編輯于星期四可見,極板間的電位移通量隨時間的變化率dφD/dt在數(shù)值上等于極板間的電流id、而極板間電位移矢量隨時間的變化率dD/dt,在數(shù)值上等于板內(nèi)的電流密度Jd。在電容器充電時,dD/dt的方向和D的方向相同;而放電時,dD/dt的方向和D的方向相反。因極板間不可能存在傳導電流,因此,我們稱dφD/dt為位移電流,dD/dt為位移電流密度。即

(1―1―13)現(xiàn)在是15頁\一共有206頁\編輯于星期四引入位移電流以后,極板間的位移電流和電容器外的傳導電流形成了全電流i,構(gòu)成了電流的連續(xù)性。此時安培環(huán)路定律可以修正為

(1―1―14)式中Jc和Jd分別為傳導電流密度和位移電流密度,ic和id分別為傳導電流和位移電流。

現(xiàn)在是16頁\一共有206頁\編輯于星期四三、電磁感應(yīng)定律由全電流定律可知,變化的電場會產(chǎn)生磁場,那么變化的磁場能否產(chǎn)生電場呢?通過各種實驗證明:變化的磁場也會產(chǎn)生電場。當穿過線圈所包圍面積的磁通量隨時間變化時,線圈內(nèi)會產(chǎn)生感應(yīng)電動勢,如圖1―1―2所示。它的大小等于磁通量隨時間的變化率,它的方向是阻止磁通變化的方向。用數(shù)學式子表示為

(1―1―15)現(xiàn)在是17頁\一共有206頁\編輯于星期四圖1―1―2現(xiàn)在是18頁\一共有206頁\編輯于星期四感應(yīng)電勢的存在,使得線圈中產(chǎn)生感應(yīng)電流,即說明線圈中存在電場,促使電子作規(guī)則運動,從而形成感應(yīng)電流。這個電場不是由電荷產(chǎn)生的,而是由磁通的變化產(chǎn)生的,故稱它為感應(yīng)電場,感應(yīng)電場沿著任意的封閉曲線的積分應(yīng)等于感應(yīng)電勢,用數(shù)學式子表示即為

(1―1―16)由此得出一個結(jié)論:隨時間變化的磁場會產(chǎn)生電場,而且磁通量的時間變化率愈大,則感應(yīng)電動勢愈大、電場愈強;反之則愈弱。同時,穿過一個曲面S的磁通量為

現(xiàn)在是19頁\一共有206頁\編輯于星期四式中S面是以封閉曲線l為周界的任意曲面。

將上式代入(1―1―16)式,就有(1―1―17)(1―1―18)現(xiàn)在是20頁\一共有206頁\編輯于星期四以上結(jié)論是由實驗得到的,即假設(shè)S面的周界l一定是個導體線圈。而麥克斯韋把這個實驗定律推廣到包括真空在內(nèi)的任意介質(zhì)中,即認為變化磁場引起的感應(yīng)電場的現(xiàn)象不僅發(fā)生在導體回路中,而且在一切介質(zhì)中,只要有變化的磁場就會產(chǎn)生感應(yīng)電場。

麥克斯韋對安培環(huán)路定律和磁感應(yīng)定律所作的推廣,通過大量的實驗證明是正確的。現(xiàn)在是21頁\一共有206頁\編輯于星期四四、高斯定律在普通物理中討論了靜電場的高斯定律,即(1―1―19)式中V是封閉曲面S所包圍的體積,∑q為封閉曲面S所包圍的自由電荷電量的代數(shù)和,ρ為S曲面所包圍的自由電荷的體密度。

現(xiàn)在是22頁\一共有206頁\編輯于星期四五、磁通連續(xù)性原理在普通物理中討論了恒流磁場的磁通連續(xù)性原理,即

它表示磁感應(yīng)線永遠是閉合的。如果在磁場中取一個封閉面,那么進入閉合面的磁感應(yīng)線等于穿出閉合面的磁感應(yīng)線,這個原理可推廣到任意磁場,即不僅適用于恒流磁場,而且適用于時變磁場。

(1―1―20)現(xiàn)在是23頁\一共有206頁\編輯于星期四六、麥克斯韋方程組(一)麥克斯韋方程組的積分形式麥克斯韋方程是電磁場的基本方程,是麥克斯韋在他提出位移電流的假設(shè)下,全面總結(jié)電場產(chǎn)生磁場和磁場產(chǎn)生電場的現(xiàn)象后提出來的。將式(1―1―14)、(1―1―18)、(1―1―19)和式(1―1―20)組合在一起就稱為麥克斯韋方程組的積分形式。即

現(xiàn)在是24頁\一共有206頁\編輯于星期四(1―1―21)現(xiàn)在是25頁\一共有206頁\編輯于星期四上述方程組中D和E#,J和E及B和H的關(guān)系,決定于媒質(zhì)特性。對于各向同性媒質(zhì),則有

(1―1―22)麥克斯韋方程組描寫了D、E、B和H幾個場矢量之間的基本關(guān)系,因此它是研究和分析電磁場和電磁波的依據(jù)?，F(xiàn)在是26頁\一共有206頁\編輯于星期四(二)麥克斯韋方程組的微分形式麥克斯韋方程組的積分形式是討論場中某一個區(qū)域內(nèi)場矢量之間的關(guān)系的方程。在討論實際問題時,經(jīng)常需要知道場中某一點場矢量之間的關(guān)系,此時不能應(yīng)用麥克斯韋方程組的積分形式來求解,而必須采用麥克斯韋方程組的微分形式。將麥克斯韋方程的積分形式轉(zhuǎn)化為微分形式,既可以用矢量分析的方法進行推導,也可以利用物理概念進行分析。這里我們采用矢量分析的方法進行討論。

應(yīng)用矢量分析中的散度定理,即現(xiàn)在是27頁\一共有206頁\編輯于星期四可將式(1―1―21)的第1和第2式分別變?yōu)閼?yīng)用矢量分析中的斯托克斯定理,即

可將式(1―1―21)的第三和第四式分別變?yōu)?/p>

現(xiàn)在是28頁\一共有206頁\編輯于星期四現(xiàn)歸納如下:

(1―1―23)麥克斯韋方程的微分形式,只有兩個旋度式是獨立的,兩個散度式子可以利用電荷守恒定律從兩個旋度式子導出。

現(xiàn)在是29頁\一共有206頁\編輯于星期四七、電磁場的邊界條件在討論電磁場的實際問題時,經(jīng)常會遇到兩種不同媒質(zhì)特性的分界面。在分界面上電磁場的分布規(guī)律稱為邊界條件。由于界面上的媒質(zhì)特性是不連續(xù)的,故不能采用麥克斯韋方程組的微分形式,而只能采用麥克斯韋方程的積分形式來進行分析。(一)邊界上的電場強度E和磁場強度H電磁感應(yīng)定律的積分形式為

(1―1―24)現(xiàn)在是30頁\一共有206頁\編輯于星期四為了要求邊界上的電場強度E,把上式左邊的積分的閉合回路取在媒質(zhì)的分界面的兩邊,并使Δl1和Δl2與分界面平行且相等,矩形的兩短邊Δh垂直于分界面且無限縮短并趨向于零,如圖1―1―3所示。那么,式(1―1―24)的左邊積分為

圖1―1―3現(xiàn)在是31頁\一共有206頁\編輯于星期四而式(1―1―24)的右邊積分當Δh→0(ΔS→0)時,由于B/t不可能為無限大,故右邊積分為零。即得到

(1―1―25)此式表明,不同媒質(zhì)分界面上的電場強度的切線分量是連續(xù)的。全電流定律的積分形式為

(1―1―26)采用前面相同的方法,則上式左邊的積分為

現(xiàn)在是32頁\一共有206頁\編輯于星期四對于一般媒質(zhì),因Jc和D/t均為有限值,故當ΔS→0時,式(1―1―26)右邊積分等于零。于是得到磁場強度的邊界條件為即不同媒質(zhì)分界面上,磁場強度的切線分量是連續(xù)的。如果媒質(zhì)2為理想導體(σ2為無限大),在分界面處電流密度Jc趨向于無限大,且有則式(1―1―26)的右邊可以表示為

(1―1―27)現(xiàn)在是33頁\一共有206頁\編輯于星期四由此可以得到式中Jl為理想導體表面的面電流的線密度,它的方向與磁場強度相垂直,單位為A/m。如圖1―1―4所示。

(1―1―28)圖1―1―4現(xiàn)在是34頁\一共有206頁\編輯于星期四(二)邊界上的電通密度D和磁通密度B高斯定律的積分形式為

在分界面的兩邊作一個小的封閉圓柱體,如圖1―1―5所示。ΔS1和ΔS2分別為圓柱體的頂面和底面且相等,即ΔS1=ΔS2=ΔS,它們分別與分界面平行且無限接近,使圓柱面的側(cè)面很小并趨近于零,則穿過圓柱體側(cè)面的電通量可以略去不計。故式(1―1―29)的左邊積分為

(1―1―29)現(xiàn)在是35頁\一共有206頁\編輯于星期四圖1―1―5現(xiàn)在是36頁\一共有206頁\編輯于星期四若分界面上不存在自由電荷,則式(1―1―29)右邊積分為零,于是得到界面上無自由電荷時的電通密度的邊界條件為(1―1―30)

即表明在無自由電荷的分界面上,電通密度的法向分量是連續(xù)的。若分界面上存在自由電荷時,并設(shè)電荷的面密度ρS,則由高斯定律可以得到(1―1―31)現(xiàn)在是37頁\一共有206頁\編輯于星期四磁通連續(xù)性定理的積分形式為采用上面相同的方法,便可得到(1―1―32)即分界面上磁感應(yīng)強度的法向分量永遠連續(xù)。因此電磁場的邊界條件可歸納如下:(1―1―33)

現(xiàn)在是38頁\一共有206頁\編輯于星期四八、交變電磁場的能量及能流電磁場中能量守恒定律可由麥克斯韋方程導得,下面寫出具體推導過程。麥克斯韋方程的兩個旋度式為應(yīng)用矢量恒等式

(1―1―35)

現(xiàn)在是39頁\一共有206頁\編輯于星期四將式(1―1―34)代入上式,便得到

(1―1―36)

對于各向同性媒質(zhì),則有下列關(guān)系:

(1―1―37)

將式(1―1―37)代入式(1―1―36)便得到

現(xiàn)在是40頁\一共有206頁\編輯于星期四將上式對電磁場空間中任取一個封閉面S所包圍的體積V作體積分,則有

應(yīng)用散度定理上式變?yōu)?/p>

(1―1―38)

現(xiàn)在是41頁\一共有206頁\編輯于星期四1―2靜電場一、靜電場的基本方程從麥克斯韋方程組知道,電場和磁場是不可分割的統(tǒng)一整體。但在某些特殊情況下,電場和磁場可以單獨地表現(xiàn)出來。例如,對于觀察者來說在靜止不動的電荷周圍,只能發(fā)現(xiàn)電場;在靜止不動的永久磁鐵周圍,只能發(fā)現(xiàn)磁場。因此,我們就有可能將電場和磁場分開來加以研究?，F(xiàn)在是42頁\一共有206頁\編輯于星期四靜電場是電磁現(xiàn)象中的一種特殊情況,即電荷相對觀察者來說是靜止不動的,因此靜電場是不隨時間變化的。這樣麥克斯韋方程組的微分形式可簡化為(1―2―1)

現(xiàn)在是43頁\一共有206頁\編輯于星期四上式表明電場和磁場是相互獨立的,可以分開來加以討論。于是靜電場的基本方程為(1―2―2)因此,靜電場是無旋場,即靜電場所在的空間電場強度的旋度處處為零;靜電場又是一個有源場,即電通密度矢量來自空間電荷分布。

現(xiàn)在是44頁\一共有206頁\編輯于星期四二、高斯定律由靜電場的基本方程知道,靜電場是一個有源場,即把它寫成積分形式,即為靜電場的高斯定律(1―2―3)

即在靜電場中穿過任意閉合曲面的電位移通量等于閉合曲面內(nèi)所包圍的自由電荷電量的代數(shù)和。這是靜電場的一個重要性質(zhì)?，F(xiàn)在是45頁\一共有206頁\編輯于星期四在一般情況下,當給定電荷分布時,不能直接應(yīng)用高斯定律來求電位移矢量D。因為它只給出D沿閉合面的通量,根據(jù)通量一般無法求出任意一點的D。但當電荷是按一定的對稱性分布時,我們只要選擇一個合適的高斯面,使得高斯面上各點的D值相等,且D的方向永遠和高斯面相垂直。在這種情況下,應(yīng)用高斯定律就很方便地求得靜電場中某點的電場強度?，F(xiàn)在是46頁\一共有206頁\編輯于星期四例題1―2―1設(shè)電荷均勻分布在半徑為a的介質(zhì)球內(nèi),其體電荷密度為ρ,求該電荷產(chǎn)生的電場分布。球內(nèi)的介電常數(shù)為ε,球外為ε0。解:由于電荷分布是球?qū)ΨQ分布,因此可應(yīng)用高斯定律來求解。只要以球心為圓心,以距球心距離r為半徑作一個高斯面,在這個高斯面上的電位移矢量處處相等,且方向垂直于高斯面。因此在各個區(qū)域內(nèi),離球心為r處的電場強度分別為:(1)在球內(nèi)(r≤a)現(xiàn)在是47頁\一共有206頁\編輯于星期四圖1―2―1

現(xiàn)在是48頁\一共有206頁\編輯于星期四(2)在球外(r＞a)

得現(xiàn)在是49頁\一共有206頁\編輯于星期四三、電位、電位梯度(一)電位由靜電場的基本方程可知,靜電場是個無旋場。根據(jù)矢量分析,任何一個無旋矢量場均可用一個標量場來表示。即因此,靜電場同樣可用一個標量的電位函數(shù)來描寫。它具有明確的物理意義,它和電場力對電荷所作的功有關(guān)。現(xiàn)在是50頁\一共有206頁\編輯于星期四根據(jù)電場強度E的定義,E表示單位正電荷在場中所受的電場力。當單位正電荷在電場力的作用下,由A點經(jīng)過l到B點,則電場力對單位正電荷所作的功為(1―2―4)

由于靜電場是無旋場,故有

(1―2―5)現(xiàn)在是51頁\一共有206頁\編輯于星期四此式表明,單位正電荷在電場力的作用下移動一個閉合回路,則電場力對單位正電荷所作的功為零。例如,對于如圖1―2―2所示的閉合路徑ANBMA,則有(1―2―6)

現(xiàn)在是52頁\一共有206頁\編輯于星期四圖1―2―2

現(xiàn)在是53頁\一共有206頁\編輯于星期四由此可見,在靜電場中當電荷在電場力的作用下發(fā)生位移時,電場力對電荷所作的功僅和電荷位移的起點和終點的坐標有關(guān),而和電荷位移的路徑無關(guān)。因此式(1―2―4)可以表示(1―2―7)

把單位正電荷從A點移到B點,電場力所作的功稱為A點到B點的電位差。即(1―2―8)現(xiàn)在是54頁\一共有206頁\編輯于星期四如果我們選擇場中某點P作為參考零電位點,即令其電位為零,則有

(1―2―9)因此,場中任意一點的電位是單位正電荷在電場力的作用下從該點移到參考零電位點電場力所作的功?，F(xiàn)在是55頁\一共有206頁\編輯于星期四由上面的分析可知,電位是標量,它的計算要比電場強度矢量的計算方便得多,因此,我們常采用電位來描寫電場。當電荷分布已知時,可以求出場中任一點的電位。例如,求點電荷產(chǎn)生電場中的電位。如果取距點電荷距離為rp的一點作為參考點,則距點電荷距離為r一點的電位為現(xiàn)在是56頁\一共有206頁\編輯于星期四(1―2―10)現(xiàn)在是57頁\一共有206頁\編輯于星期四如取rp=∞,則C=0。對于體、面及線電荷密度分別為ρV、ρS及ρl的電荷分布時,則空間任一點的電位分別為(1―2―11)現(xiàn)在是58頁\一共有206頁\編輯于星期四式中r為源點到場點的距離,C決定于參考點的位置。在電場中將相同電位的各個點聯(lián)成一個面稱為等位面。在等位面上移動電荷,電場力既不對電荷作功,電荷也不會獲得能量。即E·dl=0(1―2―12)

這表明電場強度矢量必與等位面相正交。而且由于場中任意點都有一個確定的電位值,因此,等位面絕不會相交。現(xiàn)在是59頁\一共有206頁\編輯于星期四(二)電位梯度雖然利用標量電位求解靜電場比較方便,但描寫電場的基本物理量還是電場強度矢量。因此有必要找到空間某一點電位φ和電場強度矢量E的關(guān)系。如圖1―2―3所示的兩個等位面φA和φB無限靠近,它們之間的電位差為dφ,則可見,當E和dl方向相同時,則dφ＜0,即沿著電場方向電位是降低的,故有現(xiàn)在是60頁\一共有206頁\編輯于星期四現(xiàn)在是61頁\一共有206頁\編輯于星期四式中E′是E在dl方向上的投影,φ/l是電位對l的方向?qū)?shù)。(1―2―13)

現(xiàn)在是62頁\一共有206頁\編輯于星期四因此,電場強度E沿著任意l方向的投影等于該方向上電位的方向?qū)?shù)的負值。如果選取dl方向使電位沿著這方向增加最快,即φ/l具有正的最大值。則(φ/l)max等于電場強度E的數(shù)值,而dl的方向和E的方向相反。由矢量分析知道,大小等于(φ/l)max,方向為使φ/l獲得最大增量的方向的矢量,稱為標量函數(shù)φ的梯度,用符號gradφ或φ表示。即(1―2―14)現(xiàn)在是63頁\一共有206頁\編輯于星期四四、電位的泊松方程和拉普拉斯方程對于靜電場的求解,一般采用電位函數(shù)作為輔助量,并導出標量電位的微分方程;然后解標量電位方程求出電位分布;最后根據(jù)電位和電場強度的關(guān)系式,求出電場強度的分布。下面我們來推導標量電位微分方程。對式(1―2―14)兩邊取散度,并應(yīng)用兩個關(guān)系式,便得

(1―2―15)現(xiàn)在是64頁\一共有206頁\編輯于星期四上式稱為標量電位的泊松方程。即在有電荷分布空間中的電位滿足泊松方程。而對于沒有電荷分布的空間,即ρ=0,則式(1―2―15)變?yōu)樯鲜椒Q為拉普拉斯方程。即表明在沒有電荷分布的空間中的電位滿足拉普拉斯方程。式中為二階微分算符,在各種坐標系中φ有不同的表達式。見附錄一。

(1―2―16)

現(xiàn)在是65頁\一共有206頁\編輯于星期四例題1―2―2如圖1―2―4所示的金屬球殼,其內(nèi)殼半徑為a,外殼半徑為b(球殼厚度可不計)。設(shè)內(nèi)球殼電位為Ua,外球殼電位為Ub,求球殼間的電位分布及崐電場強度分布。解:由于球殼內(nèi)無電荷分布,故電位滿足拉普拉斯方程。在球坐標中:

現(xiàn)在是66頁\一共有206頁\編輯于星期四圖1―2―4現(xiàn)在是67頁\一共有206頁\編輯于星期四由于電位分布是球?qū)ΨQ的,即φ/θ=φ/φ=0,因此上式簡化為

上式對r兩次積分,得到

式中常數(shù)C1和C2可由邊界條件來確定,其邊界條件為現(xiàn)在是68頁\一共有206頁\編輯于星期四將此邊界條件代入上式,解得在球坐標中現(xiàn)在是69頁\一共有206頁\編輯于星期四五、靜電場的邊界條件在兩種介質(zhì)的介電常數(shù)分別為ε1和ε2的分界面上,由于介質(zhì)性質(zhì)的變化,電場也會相應(yīng)發(fā)生變化。在分界面兩側(cè)的介質(zhì)中場量之間的關(guān)系稱為分界面上的邊界條件。靜電場的邊界條件可由靜電場的基本方程導出,也可以直接從電磁場的邊界條件得到。即有現(xiàn)在是70頁\一共有206頁\編輯于星期四(1―2―17)可見,在兩種不同介質(zhì)的分界面上電場強度的法向分量總是不連續(xù)的,其原因在于介質(zhì)分界面上存在束縛電荷。其束縛電荷的密度為(1―2―18)現(xiàn)在是71頁\一共有206頁\編輯于星期四根據(jù)上述邊界條件,可以求出沒有電荷分布的分界面上電場強度矢量方向的改變情況。假設(shè)ε1介質(zhì)中的電場E1與分界面的法線成θ1的夾角,而ε2介質(zhì)中電場E2與分界面的法線成θ2的夾角,崐則由式(1―2―17)可方便得到(1―2―19)現(xiàn)在是72頁\一共有206頁\編輯于星期四圖1―2―5現(xiàn)在是73頁\一共有206頁\編輯于星期四六、電容兩導體電容的定義為:當兩導體帶有異性電荷時,電量Q與兩導體間的電位差之比,即(1―2―20)導體電容是與導體的形狀、尺寸和周圍介質(zhì)的分布有關(guān)的常數(shù)。如果把其中一個導體移到無限遠處,則兩導體間的電位差即為另一個導體的電位,此時兩導體的電容即為孤立導體的電容。其電容量為該導體的電量Q與電位φ之比現(xiàn)在是74頁\一共有206頁\編輯于星期四例題1―2―3已知同軸線內(nèi)外導體半徑分別為a和b,內(nèi)外導體間填充介電常數(shù)為ε的介質(zhì)。求同軸線單位長度上的分布電容。解:設(shè)同軸線內(nèi)外導體單位長度上所帶的電荷量分別為+ρl和-ρl,應(yīng)用高斯定律很易求得介質(zhì)內(nèi)的電場強度E為(1―2―21)現(xiàn)在是75頁\一共有206頁\編輯于星期四于是內(nèi)外導體之間的電位差為故單位長度上的電容為

現(xiàn)在是76頁\一共有206頁\編輯于星期四有兩個導體以上的系統(tǒng)稱為多導體系統(tǒng)。這系統(tǒng)中的每個導體所帶的電量都會影響所有導體的電位。在線性介質(zhì)中、應(yīng)用疊加原理可得到每個導體的電位和各個導體所帶的電荷量的關(guān)系。假設(shè)N個導體所帶的電量分別為q1、q2、q3…、qN,N個導體的電位分別為φ1、φ2、φ3、…、φN,則有(1―2―22)

現(xiàn)在是77頁\一共有206頁\編輯于星期四上式中pij都是常數(shù),稱為電位系數(shù),具有相同下標的稱為自電位系數(shù),具有不同下標的稱為互電位系數(shù),每個電位系數(shù)與導體的形狀、相對位置以及介質(zhì)特性有關(guān),而與導體所帶的電量無關(guān)。當各個導體的電位已知時,則可從式(1―2―22)解出各個導體所帶的電量為(1―2―23)現(xiàn)在是78頁\一共有206頁\編輯于星期四式中βij稱為靜電感應(yīng)系數(shù),具有相同下標的稱為自靜電感應(yīng)系數(shù),具有不同下標的稱為互靜電感應(yīng)系數(shù)。由式(1―2―23)可以得到βij的定義。例如(1―2―24)(1―2―25)

現(xiàn)在是79頁\一共有206頁\編輯于星期四可見,β11為除導體1以外其余導體都接地時,導體1上的電荷量和自身電位之比值。βij為除導體j以外其余導體都接地時導體i上電荷量和導體j的電位之比值。可以證明互感應(yīng)系數(shù)具有互易特性,即βij=βji(1―2―26)

我們令Cij=-βij,Ckk=βk1+βk2+…+βkN,則式(1―2―23)可改寫為現(xiàn)在是80頁\一共有206頁\編輯于星期四式中Cij稱為部分電容,具有相同下標的稱為自部分電容,具有不同下標的稱為互部分電容。從式(1―2―27)可以看出(1―2―27)

(1―2―28)(1―2―29)

現(xiàn)在是81頁\一共有206頁\編輯于星期四即C11為所有導體都和導體Ⅰ相聯(lián)時,導體Ⅰ上的電荷量與其自身的電位之比值,如圖1―2―6(a)所示。而C12為除導體Ⅱ以外所有導體都接地時,導體Ⅰ上所帶的電荷量與導體Ⅰ和Ⅱ之間的電位差的比值。如圖1―2―6(b)所示。現(xiàn)在是82頁\一共有206頁\編輯于星期四圖1―2―6現(xiàn)在是83頁\一共有206頁\編輯于星期四圖1―2―7現(xiàn)在是84頁\一共有206頁\編輯于星期四必須指出,在多導體系中,任意兩個導體之間的互部分電容Cij(或任一導體對地的自部分電容)與前面定義的兩導體間的電容不同,Cij和其它部分電容組成的等效電容才是多導體中兩個導體間的電容。三個導體和大地的等效電容的示意圖如圖1―2―7所示?，F(xiàn)在是85頁\一共有206頁\編輯于星期四

1―3恒流電場

一、恒流電場的基本方程恒流電場是指不隨時間變化的電流所產(chǎn)生的電場。恒流電場中電荷是不斷運動的,微觀上來說是不規(guī)則的,但宏觀上來說,電荷分布在任何時間是不變的。因此,恒流電場的性質(zhì)和靜電場是可以比擬的。現(xiàn)在是86頁\一共有206頁\編輯于星期四如果導電媒質(zhì)外部電介質(zhì)中沒有電荷分布,則麥克斯韋方程可簡化為(1―3―1)

即恒定電流在導體外部產(chǎn)生的電場和沒有電荷分布空間的靜電場具有相同的性質(zhì),電場也是無旋場?，F(xiàn)在是87頁\一共有206頁\編輯于星期四為了保持電流恒定不變,導電媒質(zhì)中任何一個體積V內(nèi)的電荷量必須不隨時間變化。此時電荷運動達到動態(tài)平衡,即任何時刻流入體積內(nèi)的電荷量等于從該體積內(nèi)流出的電荷量。換言之,從包圍此體積的閉合面穿出的J的通量為零。又因為從閉合面流出的電流等于單位時間內(nèi)體積中電荷的減少量。故有由散度定理得

(1―3―2)

(1―3―3)現(xiàn)在是88頁\一共有206頁\編輯于星期四因上式與體積V的選擇無關(guān),故被積函數(shù)應(yīng)等于零,即(1―3―4)上式即為恒流電場下導電媒質(zhì)中的電流連續(xù)性原理的微分形式。導電媒質(zhì)中電流密度與電場強度之間的關(guān)系為(1―3―5)

現(xiàn)在是89頁\一共有206頁\編輯于星期四上式為歐姆定律的微分形式。σ為導電媒質(zhì)的電導率,單位為S/m。于是得到導電媒質(zhì)中的電場的基本方程為(1―3―6)

現(xiàn)在是90頁\一共有206頁\編輯于星期四二、恒流電場的邊界條件由于在電導率分別為σ1和σ2的分界面上有電荷的積聚,故電流要發(fā)生突變。根據(jù)恒流場在導電媒質(zhì)中的基本方程可導出恒流電場的邊界條件。由于導電媒質(zhì)中恒流電場的基本方程式和無電荷分布區(qū)域的靜電場基本方程形式完全相同,由此導出的邊界條件也相仿。這里不作推導,僅給出結(jié)果如下:

(1―3―7)

現(xiàn)在是91頁\一共有206頁\編輯于星期四上式表明:在兩種導電媒質(zhì)的分界面上,電流密度的法向分量連續(xù);電場強度的切向分量連續(xù);電流密度矢量與分界面的法線之間的夾角的正切之比等于兩導電媒質(zhì)的電導率之比。在導電媒質(zhì)與電介質(zhì)的分界面上,由于電介質(zhì)完全不導電即σ2=0,則必有J2=0,并得到Jn2=Jn1=0,即表明導電媒質(zhì)中不可能存在電流密度的法向分量,電流線必與界面重合?，F(xiàn)在是92頁\一共有206頁\編輯于星期四三、恒流電場與靜電場的比擬從前面分析知道,導電媒質(zhì)中的恒流電場和沒有電荷分布的介質(zhì)中的靜電場的基本方程是相似的。而且可以證明兩種情況下的電位均滿足拉普拉斯方程。將兩種場的基本方程重寫如下,以資比較。

靜電場恒流場

基本方程

現(xiàn)在是93頁\一共有206頁\編輯于星期四邊界條件由此可見,導電媒質(zhì)中J和介質(zhì)中D相對應(yīng);導電媒質(zhì)的電導率σ和電介質(zhì)的介電常數(shù)ε相對應(yīng)。現(xiàn)在是94頁\一共有206頁\編輯于星期四由于導電媒質(zhì)中恒流電場與電介質(zhì)中靜電場相似,因此電導的計算與電容相似。如果兩電極形狀和邊界條件均相同,則兩電極間的電導G與電容C之間存在下列關(guān)系:

因此,只要將電容的計算公式中的ε換成σ,就可以得到電導的計算公式。電導的倒數(shù)即為電阻。下面舉例說明。(1―3―8)現(xiàn)在是95頁\一共有206頁\編輯于星期四例題1―3―1同軸線的內(nèi)外半徑分別為a和b。內(nèi)外導體間的介質(zhì)的電導率為σ,因而內(nèi)外導體間有漏電流。試求單位長度上內(nèi)外導體間的漏電阻。如圖1―3―1所示。解:這里采用靜電比擬的方法求解十分方便,由例題1―2―3求得同軸線單位長度上電容計算公式為現(xiàn)在是96頁\一共有206頁\編輯于星期四現(xiàn)在是97頁\一共有206頁\編輯于星期四由于兩者邊界條件相同,只要用σ來代替上式中ε,即可得到同軸線到漏電導的計算公式為故漏電阻為

現(xiàn)在是98頁\一共有206頁\編輯于星期四

1―4恒流磁場

一、恒流磁場的基本方程恒定電流產(chǎn)生的磁場稱為恒流磁場,即空間電流的分布狀態(tài)是不隨時間變化的,因此恒流磁場也是不隨時間變化的,描寫磁場的物理量磁感應(yīng)強度B和磁場強度H僅是空間坐標的函數(shù)。由麥克斯韋方程可以得到恒流磁場的基本方程為現(xiàn)在是99頁\一共有206頁\編輯于星期四由方程看出,恒流磁場和恒流電場不同,恒流磁場是有旋場,即在有電流分布的空間任意點磁場強度H的旋度等于該處的電流密度。恒流磁場又是無源場,磁感應(yīng)強度的散度處處為零,即磁感應(yīng)線是無頭無尾的封閉線。但在無電流分布的空間中的恒流磁場的方程為(1―4―1)

(1―4―2)

現(xiàn)在是100頁\一共有206頁\編輯于星期四二、矢量磁位在靜電場中,引入了標量電位函數(shù)的物理量。由于磁場是有旋場,因而在有電流分布的空間不存在一個梯度的負值處處等于磁場強度的標量位函數(shù)。因此在磁場中,必須引入一個矢量磁位函數(shù)。由畢奧—沙瓦定律可以發(fā)現(xiàn),磁感應(yīng)強度可以用另一個矢量的旋度來表示。畢奧—沙瓦定律為

(1―4―3)現(xiàn)在是101頁\一共有206頁\編輯于星期四式中J為源點的電流密度,r為源點到場點的距離,B為場點產(chǎn)生的磁感應(yīng)強度。利用矢量等式因為是對場點的微分運算,而J是源點的函數(shù),因此×J=0,故有現(xiàn)在是102頁\一共有206頁\編輯于星期四因此式(1―4―3)可以改寫為

因為J是源點坐標的函數(shù),故對場點坐標算符×可以移到積分號外面,故有由此可見,場點的磁感應(yīng)強度B可以用另一個矢量的旋度來表示。令該矢量為矢量磁位A。即(1―4―4)(1―4―5)現(xiàn)在是103頁\一共有206頁\編輯于星期四A是個矢量,在直角坐標中三個分量分別與電流密度J的三個分量有關(guān),即(1―4―6)

現(xiàn)在是104頁\一共有206頁\編輯于星期四如果電流分布在表面S上和細導線回路中則矢量磁位分別為(1―4―7)

在靜電場中,當給定體電荷密度ρ時,場中某點的電位為(1―4―8)(1―4―9)現(xiàn)在是105頁\一共有206頁\編輯于星期四將式(1―4―6)和式(1―4―8)相比較,可以得出結(jié)論:A的每一個分量必滿足下列泊松方程:(1―4―10)

當然,矢量磁位A也一定滿足泊松方程(1―4―11)現(xiàn)在是106頁\一共有206頁\編輯于星期四例題1―4―1用矢量磁位計算如圖1―4―1所示的同軸線中的磁感應(yīng)強度B。解:采用圓柱坐標系,其拉普拉斯算符為因J=azJz,故有A=azAz。又因場分布具有軸對稱性,且假設(shè)同軸線為無限長,則有現(xiàn)在是107頁\一共有206頁\編輯于星期四

故式(1―4―10)變?yōu)?/p>

將上式兩邊積分兩次,便得

現(xiàn)在是108頁\一共有206頁\編輯于星期四圖1―4―1現(xiàn)在是109頁\一共有206頁\編輯于星期四下面分別對三個區(qū)域進行求解,三個區(qū)域中的Az、Jz、Bφ及積分常數(shù)分別用下標1、2和3表示。當r≤r1時,因在r=0處,A1應(yīng)為有限值,則必有C1=0,故當r1≤r≤r2時,Jz=J2=0故現(xiàn)在是110頁\一共有206頁\編輯于星期四當r≤r1時,當r1≤r≤r2時,當r2≤r≤r3時,式中的積分常數(shù)由邊界條件求得

在r=r1處,現(xiàn)在是111頁\一共有206頁\編輯于星期四得即得現(xiàn)在是112頁\一共有206頁\編輯于星期四必須指出,由于磁場是有旋場,因而在有電流分布的空間不可能存在一個標量函數(shù),即磁場不是一個位場。而在沒有電流分布的空間內(nèi),磁場強度的旋度為零,故在無電流分布的空間內(nèi)的磁場也可應(yīng)用標量位函數(shù)來進行分析,和靜電場相似,我們令(1―4―12)

式中φm為標量磁位,標量磁位也滿足拉普拉斯方程,即(1―4―13)

現(xiàn)在是113頁\一共有206頁\編輯于星期四因此對于沒有電流分布空間內(nèi)的磁場的求解,只要解標量磁位的拉普拉斯方程,并結(jié)合邊界條件求出合適的解φm,然后再由式(1―4―12)求出磁場強度H。現(xiàn)在是114頁\一共有206頁\編輯于星期四三、恒流磁場的邊界條件磁場在不同媒質(zhì)分界面上的邊界條件同樣可由電磁場邊界條件式(1―1―33)得到(1―4―14)若分界面上沒有面電流分布時,則有(1―4―15)現(xiàn)在是115頁\一共有206頁\編輯于星期四現(xiàn)在是116頁\一共有206頁\編輯于星期四圖1-4-3現(xiàn)在是117頁\一共有206頁\編輯于星期四即在沒有電流分布的分界面上磁場強度的切線分量和磁感應(yīng)強度的法向分量均連續(xù)。由式(1―4―15)可以導出磁場在沒有電流分布的分界面上的折射規(guī)律為(1―4―16)當μ1＞μ2時,則θ1＞θ2。圖1―4―2給出了μ1＞μ2的情況。由式(1―4―15)看出,當μ1>>μ2時,即使θ1取得很大,θ2還是很小?，F(xiàn)在是118頁\一共有206頁\編輯于星期四四、電感在靜電場中我們定義電荷和電壓的比值為電容;在恒流磁場中,我們定義穿過閉合回路磁通與該回路中的電流的比值為電感。電感可分自感和互感。自感又可分內(nèi)自感和外自感。下面我們分別討論之。(一)自感設(shè)有一閉合回路中通有電流I,穿過該閉合回路的磁通為φm,則該回路的自感為(1―4―17)現(xiàn)在是119頁\一共有206頁\編輯于星期四現(xiàn)有如圖1―4―3所示的單匝線圈中通有電流I,則穿過該線圈的磁通可由矢量磁位的閉合積分求得。即(1―4―18)

對于細導線我們假設(shè)電流集中于導線的軸線l1上,則矢量磁位A為(1―4―19)將上式代入式(1―4―18)得

(1―4―20)現(xiàn)在是120頁\一共有206頁\編輯于星期四上式為二重積分,式中r為dl1與dl2間的距離,故單匝線圈的自感為(1―4―21)

對于多匝線圈,且假定各個線圈緊密繞在同一個位置,此時產(chǎn)生磁場的電流可以看成是NI(N為線圈的匝數(shù)),則穿過線圈每匝的磁通為(1―4―22)

現(xiàn)在是121頁\一共有206頁\編輯于星期四由于通過每一匝線圈的磁通都相同,故N匝線圈穿過的總磁通為Ψ=Nφ。因此多匝線圈的自感為(1―4―23)式中L為相同尺寸單匝線圈的自感。多匝線圈的自感與匝數(shù)平方成正比?，F(xiàn)在是122頁\一共有206頁\編輯于星期四假設(shè)載流導線所構(gòu)成的回路尺寸遠比導線的截面尺寸大,則導線內(nèi)部的磁場可以認為和無限長直導線內(nèi)部的磁場相同。并假設(shè)導線的截面積為圓形,其半徑為R,導線材料的磁導率為μ,如圖1―4―4所示。下面討論它的內(nèi)自感。應(yīng)用安培定律,求得導線內(nèi)部距軸線r處的磁通密度為(1―4―24)現(xiàn)在是123頁\一共有206頁\編輯于星期四因為磁通密度線是以軸為圓心,r為半徑的圓,則在r處穿過dr厚度、l長度截面的磁通為這些磁通僅和(r/R)2I的電流相交鏈,因此和這部分電流相交鏈的磁鏈為故總的磁鏈為

(1―4―25)

現(xiàn)在是124頁\一共有206頁\編輯于星期四因此長度為l的圓形截面導線的內(nèi)電感為(1―4―26)

單位長度上的內(nèi)自感為(1―4―27)上式表明,單位長度上的內(nèi)電感和導線的截面尺寸無關(guān),僅和導線的磁導率有關(guān)。磁導率愈大,內(nèi)自感愈大?，F(xiàn)在是125頁\一共有206頁\編輯于星期四圖1―4―4現(xiàn)在是126頁\一共有206頁\編輯于星期四(二)互電感

當兩個閉合回路靠得比較近時,如圖1―4―5所示,一個回路中通有電流I1時,則在第二個回路l2中產(chǎn)生的交鏈磁鏈為(1―4―28)式中A21是I1在第二回路處產(chǎn)生的矢量磁位。即(1―4―29)現(xiàn)在是127頁\一共有206頁\編輯于星期四圖1―4―5現(xiàn)在是128頁\一共有206頁\編輯于星期四將上式代入式(1―4―28)得

(1―4―30)

則回路l1對回路l2的互感為(1―4―31)

可以證明:M21=M12=M。現(xiàn)在是129頁\一共有206頁\編輯于星期四式(1―4―21)和式(1―4―31)相比較可知導線回路的外自感就等于導線幾何軸線l1構(gòu)成的回路與內(nèi)側(cè)邊線l2構(gòu)成回路間的互感。例題1―4―2設(shè)雙線傳輸線間的距離為D,兩導線的半徑均為r(D>>r)。求每單位長度的外自感。解:如圖1―4―6所示。假設(shè)A和B兩導線中的電流分別為I和-I,則根據(jù)安培定律,可求得在垂直于兩導線的平面上,且與導線A相距為x處的磁通密度為

現(xiàn)在是130頁\一共有206頁\編輯于星期四現(xiàn)在是131頁\一共有206頁\編輯于星期四圖1―4―6與單位長度傳輸線相交鏈的磁通為

于是,單位長度的電感為

現(xiàn)在是132頁\一共有206頁\編輯于星期四1―5平面電磁波一、理想介質(zhì)中的均勻平面波所謂理想介質(zhì)是指線性、均勻、各向同性的非導電媒質(zhì)。在理想介質(zhì)的無源區(qū)域(即ρ=0,J=0)中的麥克斯韋方程為(1―5―1)現(xiàn)在是133頁\一共有206頁\編輯于星期四將上式第一式兩邊取旋度,即將式(1―5―1)的第二式代入上式,得到利用矢量恒等式又因于是得到(1―5―2)現(xiàn)在是134頁\一共有206頁\編輯于星期四同理,將式(1―5―1)的第二式兩邊取旋度,采用上面相同的方法得到

(1―5―3)式(1―5―2)和式(1―5―3)為理想介質(zhì)中電場和磁場的波動方程。這個方程為矢量波動方程,若取直角坐標系,則分別可以定出x、y和z方向三個標量波動方程。但由于討論的電磁波為均勻平面波,波陣面內(nèi)各點場強相等,若假設(shè)電磁波的傳播方向為z方向,橫向電場取向為x方向,則橫向磁場取向定為y方向,即Ey=Hx=0。而且有現(xiàn)在是135頁\一共有206頁\編輯于星期四對于時變電磁場若要滿足上式則必有Hz=0和Ez=0?？梢娫跓o限大理想介質(zhì)中的平面波沒有電磁場的縱向分量,這種電磁波稱為橫電磁波或TEM波。于是兩個矢量波動方程簡化為以下兩個標量波動方程并將上式代入式(1―5―1)第一和第二式分別得到和現(xiàn)在是136頁\一共有206頁\編輯于星期四對于正弦變化的均勻平面波,上式用復數(shù)表示,即為復數(shù)形式的波動方程。又稱亥姆霍茨方程。即(1―5―4)

(1―5―5)現(xiàn)在是137頁\一共有206頁\編輯于星期四若令ω2με=k2,則(1―5―6)如果只考慮向正z軸方向傳播的波時,式(1―5―6)波動方程解的復數(shù)形式為將上式寫成瞬時形式為

(1―5―7)現(xiàn)在是138頁\一共有206頁\編輯于星期四圖1―5―1現(xiàn)在是139頁\一共有206頁\編輯于星期四上式表明,理想介質(zhì)中的均勻平面波沿著電磁波的傳播方向振幅不變、相位不斷滯后。如圖1―5―1所示。等相位面移動的速度為電磁波的相速度。電磁波的等相位方程為ωt-kz=常數(shù)上式對t微分,即可求得電磁波的相速度為

(1―5―8)

現(xiàn)在是140頁\一共有206頁\編輯于星期四并等于媒質(zhì)中的光速。相速、頻率和波長的關(guān)系為(1―5―9)可見媒質(zhì)中電磁波的波長也和媒質(zhì)特性有關(guān)。Λ0為自由空氣中的波長,亦稱為工作波長。電場強度和磁場強度的關(guān)系,可由麥克斯韋方程的旋度式得到(1―5―10)

現(xiàn)在是141頁\一共有206頁\編輯于星期四對于勻均平面電磁波,上式變?yōu)槠鋸蛿?shù)形式為

(1―5―11)比值η稱為理想介質(zhì)中的均勻平面電磁波的波阻抗。它完全決定于媒質(zhì)特性參量。在空氣媒質(zhì)中的波阻抗為(1―5―12)現(xiàn)在是142頁\一共有206頁\編輯于星期四由此可見,理想介質(zhì)中的波阻抗是個實數(shù),表明空間某一點的電場和磁場在時間上是同相的。下面討論理想介質(zhì)中平面電磁波的能流密度矢量,即復數(shù)坡印亭矢量。根據(jù)定義:(1―5―13)現(xiàn)在是143頁\一共有206頁\編輯于星期四例題1―5―1頻率為3GHz的平面電磁波,在理想介質(zhì)(εr=21,μr=1)中傳播。計算該平面波的相位常數(shù)、相速度、相波長和波阻抗。若Ex0=01V/m,計算磁場強度及能流密度矢量。解:相位常數(shù)現(xiàn)在是144頁\一共有206頁\編輯于星期四相波長波阻抗磁場強度在y方向,其振幅為能流密度矢量為

現(xiàn)在是145頁\一共有206頁\編輯于星期四二、導電媒質(zhì)中的平面波具有一定電導率的媒質(zhì)稱為導電媒質(zhì)。電磁波在這種媒質(zhì)中傳播會產(chǎn)生傳導電流。于是全電流定律微分形式的復數(shù)表達式為(1―5―14)式中=ε-j(σ/ω)稱為復介電常數(shù),它是復數(shù)。采用與推導理想介質(zhì)中波動方程相同方法,可以得到導電媒質(zhì)中的波動方程為(1―5―15)現(xiàn)在是146頁\一共有206頁\編輯于星期四上式和理想媒質(zhì)中平面電磁波的波動方程相比,形式完全相似,所不同的僅是導電媒質(zhì)中的介電常數(shù)是個復數(shù)。對于電場取向為x方向的均勻平面電磁波,則波動方程可簡化為(1―5―16)現(xiàn)在是147頁\一共有206頁\編輯于星期四(1―5―17)(1―5―18)α為衰減常數(shù)

如果只考慮向正z方向傳播時,式(1―5―16)波動方程的解為(1―5―19)

現(xiàn)在是148頁\一共有206頁\編輯于星期四上面結(jié)果表明:導電媒質(zhì)中均勻平面波,沿著波的傳播方向振幅按指數(shù)衰減,導電媒質(zhì)的電導率σ愈大,頻率愈高,則振幅衰減愈快;而且波的相位常數(shù)是頻率的函數(shù),因此相速度也是頻率的函數(shù),這種電磁波稱為色散波。導電媒質(zhì)中的波阻抗是個復數(shù),即

(1―5―20)

現(xiàn)在是149頁\一共有206頁\編輯于星期四(一)σ<<ωε的情況將用二項式定理展開,并略去高次項,得(1―5―21)(1―5―23)

用相同方法,將波阻抗簡化為(1―5―23)現(xiàn)在是150頁\一共有206頁\編輯于星期四(二)σ>>ωε的情況對于σ>>ωε的良導體,傳導電流遠大于位移電流,則和可簡化為(1―5―24)現(xiàn)在是151頁\一共有206頁\編輯于星期四而(1―5―25)現(xiàn)在是152頁\一共有206頁\編輯于星期四由此可見,當電磁波進入良導體以后,很快就衰減完。因此高頻電磁波只能存在于良導體表面的一薄層內(nèi),這種電磁波趨向于導體表面的效應(yīng)稱為趨膚效應(yīng)。通常用透入深度δ表示電磁波在導體內(nèi)的衰減快慢或電磁波在導體內(nèi)的穿透能力。透入深度δ定義為進入良導體的電磁波場強衰減到原值的1/e所穿透的距離。根據(jù)定義,則有Ex0e-αδ=(1/e)Ex0,即(1―5―26)現(xiàn)在是153頁\一共有206頁\編輯于星期四下面討論導電媒質(zhì)中的能流密度矢量。因E和H不同相,且E超前H一個相角φ。假設(shè)E的相角為零,則H的相角為-φ,即(1―5―27)現(xiàn)在是154頁\一共有206頁\編輯于星期四功率流密度的平均值為

式中φ為波阻抗的相角,即電場強度超前磁場強度的相位角。對于良導體φ=π/4。導電媒質(zhì)中的均勻平面波的電場和磁場的分布規(guī)律如圖1―5―2所示。可見導電媒質(zhì)中均勻平面波的振幅沿傳播方向按指數(shù)衰減;相位沿傳播方向不斷落后;在時間相位上電場強度超前磁場強度一個小于π/4的相角。(1―5―28)

現(xiàn)在是155頁\一共有206頁\編輯于星期四圖1―5―2現(xiàn)在是156頁\一共有206頁\編輯于星期四三、電磁波的極化電磁波的極化是指電場強度矢量在空間的取向。在討論沿z方向傳播的均勻平面波時,若電場只有Ex分量,則電磁波的極化方向為x方向;若電場只有Ey分量,則電磁波的極化方向為y方向。一般情況下,電場Ex和Ey都可能存在,且這兩個分量的振幅和相位不一定相同。設(shè)兩個分量的瞬時值為(1―5―29)現(xiàn)在是157頁\一共有206頁\編輯于星期四(一)線極化波如果兩個分量相位相同(或相反),即φx=φy=φ,則任何瞬間合成的電場強度大小為(1―5―30)合成電場強度與x軸正方向的夾角為(1―5―31)可見,合成電場強度的大小隨時間變化,而方向始終不變,電場矢量的端點在空間所描繪出來的軌跡為一直線,這種電磁波稱為線極化波,如圖1―5―3所示。現(xiàn)在是158頁\一共有206頁\編輯于星期四圖1―5―3現(xiàn)在是159頁\一共有206頁\編輯于星期四(二)圓極化波如果電場強度的兩個分量的振幅相等,相位相差π/2,即Ex0=Ey0,φx-φy=±π/2。此時兩個分量的瞬時值為則合成場強的大小為

(1―5―32)現(xiàn)在是160頁\一共有206頁\編輯于星期四合成場強的方向與x軸的夾角有如下關(guān)系:(1―5―33)由此可見,合成電場強度的振幅不隨時間變化,而合成電場強度的方向以角頻率ω在xoy平面上作旋轉(zhuǎn)。即電強度矢量端點的軌跡是一個圓,稱為圓極化波。當合成場E的旋轉(zhuǎn)方向與電磁波的傳播方向符合右螺旋關(guān)系時,這個圓極化波稱為右旋圓極化波(如E1);反之稱為左旋圓極化波(如E2)。如圖1―5―4所示?，F(xiàn)在是161頁\一共有206頁\編輯于星期四(三)橢圓極化波如果電場強度的兩個分量的相位差既不為0、π,又不為π/2,即φx-φy≠0、π、±π/2的一般情況。通過數(shù)學演算,從解析幾何可知合成電場強度E的端點軌跡為一個橢圓,故稱為橢圓極化波。和圓極化波相同,可分右旋橢圓極化波和左旋橢圓極化波。如圖1―5―5所示。

線極化波和圓極化波都可以看成是橢圓極化波的特例。任一線極化波又可以分解為兩個振幅相等,旋轉(zhuǎn)方向相反的圓極化波?，F(xiàn)在是162頁\一共有206頁\編輯于星期四圖1―5―4現(xiàn)在是163頁\一共有206頁\編輯于星期四圖1―5―5現(xiàn)在是164頁\一共有206頁\編輯于星期四四、正弦平面波在不同媒質(zhì)分界面上的垂直入射當正弦平面波垂直投射到兩種不同媒質(zhì)的分界面上,因為兩種媒質(zhì)有不同的波阻抗,因此在兩種媒質(zhì)中的E和H的比值不同。電磁波既要滿足媒質(zhì)中的波動方程,又要滿足分界面上的邊界條件,此時電磁波在分界面上必然會產(chǎn)生反射和折射現(xiàn)象?，F(xiàn)在是165頁\一共有206頁\編輯于星期四這里討論兩半無限大媒質(zhì)分界面上的垂直入射情況。假設(shè)分界面與xoy平面相重合,z＜0為ε1、μ1的媒質(zhì),z＞0為ε2、μ2的媒質(zhì)。并假設(shè)入射波方向為正z方向,則入射波電場Ei和磁場Hi一定平行于分界面。如假定電場強度矢量的入射波Ei、反射波Er及折射波Et的正方向均為正x方向,則根據(jù)傳播方向分別定出磁場強度矢量的入射波Hi、反射波Hr及折射波Ht的方向。如圖1―5―6所示。現(xiàn)在是166頁\一共有206頁\編輯于星期四圖1―5―6現(xiàn)在是167頁\一共有206頁\編輯于星期四根據(jù)分界面上電磁場的邊界條件,當場量隨時間按正弦規(guī)律變化時,在z=0的分界面上有(1―5―34)根據(jù)電磁波在媒質(zhì)中的傳播規(guī)律,又有(1―5―35)現(xiàn)在是168頁\一共有206頁\編輯于星期四將式(1―5―35)代入式(1―5―34)的第二式,可得(1―5―36)

聯(lián)立求解式(1―5―34)和式(1―5―36)得到(1―5―37)(1―5―38)

現(xiàn)在是169頁\一共有206頁\編輯于星期四R與T可表示為

分界面上的反射場強和折射場強求得以后,就可利用波的傳播規(guī)律求得兩種媒質(zhì)中任意一點的場強。在z＜0的第一媒質(zhì)中,離界面距離為z處的場強為該點的入射波場強和反射波場強之和。即現(xiàn)在是170頁\一共有206頁\編輯于星期四在z＞0的第二媒質(zhì)中,離界面距離為z處的場強為

(1―5―41)(1―5―42)式中k1為第一媒質(zhì)的波數(shù);k2為第二媒質(zhì)的波數(shù)。

現(xiàn)在是171頁\一共有206頁\編輯于星期四如果第二媒質(zhì)為理想導體,則有Et0=0,即R=-1,T=0(1―5―43)

將上式代入式(1―5―41),則在第一媒質(zhì)中,離界面距離為z處的場強為(1―5―44)(1―5―45)

現(xiàn)在是172頁\一共有206頁\編輯于星期四圖1―5―7現(xiàn)在是173頁\一共有206頁\編輯于星期四例題1―5―2正弦平面波由自由空間向一理想介質(zhì)(εr=4,μr=1)垂直入射。設(shè)入射波場強Ei0=1V/m。(1)求反射系數(shù)R和折射系數(shù)T。(2)求分界面上場強:Er0、Hi0、Hr0、El0及Hl0。(3)求距界面為λ/4、λ/3及λ/2的自由空間內(nèi)的場強。

解:

現(xiàn)在是174頁\一共有206頁\編輯于星期四(1)(2)現(xiàn)在是175頁\一共有206頁\編輯于星期四(3)現(xiàn)在是176頁\一共有206頁\編輯于星期四五、正弦平面波在不同媒質(zhì)分界面上的斜入射當正弦平面波以任意入射角向分界面斜入射時,電場強度E和磁場強度H在分界面上不僅有切線分量,而且還有法向分量。而邊界條件只和切線分量有關(guān)。切線分量又和波的極化有關(guān)?，F(xiàn)在是177頁\一共有206頁\編輯于星期四(一)正弦平面波在媒質(zhì)分界面上的反射和折射規(guī)律以垂直極化波為例(平行極化波相同)來討論正弦平面波在分界面上的反射和折射規(guī)律。首先我們令Ki、Kr、Kt分別表示入射波、反射波和折射波的波矢量;r為空間任意一點的矢徑;θi、θr和θt分別表示入射波、反射波和折射波與分界面的法線方向的夾角。其中(1―5―46)現(xiàn)在是178頁\一共有206頁\編輯于星期四現(xiàn)在是179頁\一共有206頁\編輯于星期四五、正弦平面波在不同媒質(zhì)分界面上的斜入射當正弦平面波以任意入射角向分界面斜入射時,電場強度E和磁場強度H在分界面上不僅有切線分量,而且還有法向分量。而邊界條件只和切線分量有關(guān)。切線分量又和波的極化有關(guān)。當平面波斜入射到分界面上時,入射方向與分界面的法線方向組成的面為入射崐面,因此入射波的電場Ei和磁場Hi組成的平面一定垂直于入射面,如圖1―5―8所示?，F(xiàn)在是180頁\一共有206頁\編輯于星期四圖1―5―8現(xiàn)在是181頁\一共有206頁\編輯于星期四(一)正弦平面波在媒質(zhì)分界面上的