第十四章熱力學(xué)基礎(chǔ)習(xí)題解

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第十四章熱力學(xué)基礎(chǔ)

14-1一定量的氣體，吸收了1.71×103J的熱量，并保持在1.0×105Pa的壓強(qiáng)下膨脹，體積從1.0×10-2m3增加到1.5×10-2m3，問氣體對外界作了多少功？它的內(nèi)能改變了多少？

解：氣體等壓膨脹過程中對外作功為：

W=P(V2-V1)=5.0?102J其內(nèi)能的改變?yōu)椋?/p>

?E=Q-W=1.21?103J

14-22.0mol的某種氣體從熱源吸收熱量2.66×105J，其內(nèi)能增加了4.18×105J，在這過程中氣體作了多少功？是它對外界作功還是外界對它作功？

解：由熱力學(xué)第一定律得氣體所作的功為

W=Q-?E=-1.52?105J

負(fù)號表示外界對氣體作功。

14-31mol范德瓦耳斯氣體等溫地由體積v1膨脹到v2的過程中對外作功多少？解：由范德瓦耳斯方程可知

P=

RTa?2

Vm?bVm?RT?1V2?ba?1????pdV???dV?RTIn?a?????V?bV2?V?bVV12??1v1??v2等溫過程中氣體對外做的功為

A=

?V2V1若式中a=b=0，則A=RTIn

V2，即理想氣體等溫過程對外做功的表示式。V1

14-4壓強(qiáng)為1.0×105Pa，體積為1.0×10-3m3的氧氣自0℃加熱到100℃，問：（1）若為等壓過程，則系統(tǒng)需要吸收多少熱量？對外作功多少？（2）若為等體過程又如何？

解：查表知，氧氣的定壓摩爾熱容Cp,m=29.44JmolK，定體摩爾熱容Cv,m=21.12Jmol

-1-1

-1

K。根據(jù)所給初態(tài)條件，求得氧氣的物質(zhì)的量為

-1

?=

m?P1V1/RT1?4.41?10?2molM（1）等壓過程

等壓過程系統(tǒng)吸熱

QP=?Cp,m(T2-T1)=129.8J

等壓過程系統(tǒng)作功

V2T2WP=?dW=?pdV?V1mRdT?36.6J?MT1(2)等體過程

氧氣吸熱為

QV=?E=?Cv,m(T2-T1)=93.1J

而在等體過程中，因氣體的體積不變，故作功為0。

14-5如下圖，一定量的理想氣體，開始在狀態(tài)A，其壓強(qiáng)為2.0×105Pa，體積為2.0×10-3m3，沿直線AB變化到狀態(tài)B后，壓強(qiáng)變?yōu)?.0×105Pa，體積變?yōu)?.0×10-3m3,求此過程中氣體所作的功。

解：氣體作功的表達(dá)式為W=?pdv。功的數(shù)值就等于p—v圖中過程曲線下所對應(yīng)的面積

W＝SABCD=

01P/(1.0×105Pa)A21DBC1BC?AD?CD=150J2??23V/(1.0×10-3m3)習(xí)題14-5圖

14-6一氣缸內(nèi)貯有10.0mol的氦氣，在將其壓縮的過程中，外力作功209J，氣體溫度升高1K。計(jì)算氣體內(nèi)能的增量和所吸收的熱量；若在壓縮過程中系統(tǒng)的摩爾熱容為常數(shù)，求其摩爾熱容。

解：?E=vCv,m?T=10.0?

3?8.31?1?124.7J2Q=?E+W=124.7-209=-84.3JCm=

Q?84.3???84.3Jmol-1K-1v?T10?1負(fù)號表示物體溫度升高，不僅不吸熱，反而向外放熱。

14-7除非溫度很低，大量物質(zhì)的定壓摩爾熱容都可以用下式表示：Cp,m=a+2bT-cT-2式中a、b和c是常量，T是熱力學(xué)溫度，求：（1）在恒定壓強(qiáng)下，1mol物質(zhì)的溫度從T1升高到T2時(shí)需要的熱量；(2)在溫度T1和T2之間的平均摩爾熱容；（3）對鎂來說，若Cpm的單位為Jmol-1K-1,則a=25.7Jmol-1K-1,b=3.13×10-3Jmol-1K-2，c=3.27×105Jmol-1K-3，計(jì)算鎂在300K時(shí)的摩爾熱容量Cpm，以及在200K和400K之間Cpm的平均值。

解：（1）1mol物質(zhì)從溫度T1等壓升溫至T2時(shí)吸熱為

·

·

·

T2Qp=?CpmdT=

T1T2T1??a?2bT?cT?dT?a?T?T??b?T?22122?T12?cT2?1?T1?1

???（2）在T1和T2間的平均摩爾熱容為

Cp,m?Qp/?T2?T1??a?b?T2?T1??c/T1T2

（3）鎂在T=300K時(shí)的定壓摩爾熱容為

Cp,m=a+2bT-cT-2=23.9Jmol-1k-1

鎂在200和400K之間Cp,m的平均值為

?1?1Cp,m?a?b?T2?T1??c/T1T2?26.0JmolK

14-8將壓強(qiáng)為1.01×105Pa、體積為1.0×10-4m3的氫氣，經(jīng)絕熱壓縮使體積變?yōu)?.0×10-5m3，求壓縮過程中氣體所作的功。（氫氣的摩爾熱容比?=1.41）

解：設(shè)p、v分別為絕熱過程中任一狀態(tài)的壓強(qiáng)和體積，則由P1V1?=PV?得P=P1V1?V-?

氫氣絕熱壓縮作功為

W=?pdv=

?v2v1??V?γ?pγ?γ11??V2?P1V1VdV??V1???23.0J??1?γ??V2????

14-9如下圖，使1mol氧氣（1）由A等溫的變到B；（2）由A等體的變到C，再由C等壓地變到B，試分別計(jì)算氧氣所作的功和吸收的熱量。（3）若一熱機(jī)按路徑ABCA進(jìn)行循環(huán)，計(jì)算熱機(jī)的效率。P/(1.0×105Pa)分析：從P—V圖上可以看出，氧氣在A?B及A?C?B的兩個(gè)過

A程中所作的功是不同的，但內(nèi)能是狀態(tài)的函數(shù)，其變化值與過程無關(guān)，僅取2決于始末兩態(tài)，所以這兩個(gè)不同過程的內(nèi)能變化是一致的，而因初、末狀態(tài)

1BC溫度一致TA=TB，故?E=0，利用熱力學(xué)第一定律Q=W+?E，可求出每一過程所吸收的熱量02V/(2.0×10-2m3)1習(xí)題14-9圖解：（1）沿AB作等溫膨脹的過程中，系統(tǒng)作功

WAB=

mRTln?VB/VA??PAVAln?VB/VA??2.77?103JM而在等溫過程中，氧氣吸收的熱量為

QAB=WAB=2.77?103J

（2）沿A到C再到B的過程中系統(tǒng)作功和吸熱分別為WACB=WAC+WCB=WCB=PC(VB-VC)＝2.0?103JQACB=WACB=2.0?103J（3）熱機(jī)的效率??WAB?WBCWWAB?WBC???10%Q1QAB?QCAQAB?Cvm(TA-TC)

14-10一卡諾熱機(jī)的低溫?zé)嵩礈囟葹?7℃，效率為30％。（1）若要將其效率提高到50％，高溫?zé)嵩吹臏囟刃杼岣叨嗌匍_？（2）若保持高溫?zé)嵩吹臏囟炔蛔?，將其效率也提高?0％，低溫?zé)嵩吹臏囟葢?yīng)為多少開？分析一下哪種狀況更易實(shí)現(xiàn)。

(1)已知?=30?，T2=273+27=300K

根據(jù)公式?=1-

T2，可得：T1T2?429K

1?0.3T1=

當(dāng)?＝50?時(shí)，設(shè)高溫?zé)嵩礈囟忍岣邽?T1，則有

0.5=1-

300

429?ΔT1得：?T1=171K，即高溫?zé)嵩吹臏囟刃杼岣?71開。

（2）設(shè)此時(shí)高溫?zé)嵩礈囟葹門2’，則

T2'0.5=1-429易得T2’=214K

由于升高高溫?zé)嵩碩1的溫度較降低低溫?zé)嵩吹臏囟萒2更便利，更省功，則前一種狀況更易實(shí)現(xiàn)。

14-11一定量的理想氣體經(jīng)圖示循環(huán)，試完成下表：

過程內(nèi)能增量ΔE/J作功W/J吸收熱量Q/JPABBCCDDAABCDA-1005050-1500A等溫B絕熱DC習(xí)題14-11圖V循環(huán)效率η=解：本循環(huán)由四個(gè)特別過程組成，等溫過程?E=0，絕熱過程Q=0，等體過程W=0，整個(gè)循環(huán)內(nèi)能變化?E=0，再根據(jù)熱力學(xué)第一定律，完成后的表格為：

過程內(nèi)能增量ΔE/J作功W/J吸收熱量Q/JABBCCDDAABCDA0-50-1001505050-500500-150150循環(huán)效率η=25％

14-12以理想氣體為工質(zhì)的熱機(jī)，經(jīng)歷由兩個(gè)等壓過程和兩個(gè)絕熱過程構(gòu)成的圖示循環(huán)。已知B點(diǎn)溫度TB＝T1,C點(diǎn)溫度Tc＝T2，（1）證明該熱機(jī)的效率為η＝1-T2/T1，(2)整個(gè)循環(huán)中最低溫度是T2嗎？

分析：首先分析判斷循環(huán)中各過程的吸熱、放熱心況。BC和DA是絕熱過程，故QBC、QDA均為零；而AB為等壓膨脹過程，系統(tǒng)吸熱，CD為等壓壓縮過程，系統(tǒng)放熱，這兩個(gè)過程所吸收和放出的熱量均可表達(dá)為相關(guān)的溫度的函數(shù)。再利用絕熱和等壓的過程方程，建立四點(diǎn)溫度之間的聯(lián)系，最終可得到求證的形式。

證（1）根據(jù)分析可知

PABDCV0習(xí)題14-12圖?=1-

QCDQABmCp,m?TD?TC?T?TDT?TDM?1??1?C=1-C?1??mTB?TATB?TCCp,m?TB?TA?M?????TA??1?TB?????（1）

對AB、CD、BC、DA分別列出過程方程如下

VA/TA=VB/TB（2）

VC/TC=VD/TD(3)

VB?-1/TB=VC?-1TC（4）

VD?-1TD=VA?-1TA（5）

聯(lián)立求解上述各式，可證得?=1-TC/TB=1-T2/T1

（2）雖然該循環(huán)效率的表達(dá)式與卡諾循環(huán)相像，但并不是卡諾循環(huán)，其原因是：卡諾循環(huán)是由兩條絕熱線和兩條等溫線構(gòu)成，而這個(gè)循環(huán)則與卡諾循環(huán)不同；另外式中T1、T2的含意不同，此題中T1、T2只是溫度變化中兩特定點(diǎn)的溫度，不是兩等溫?zé)嵩吹暮愣囟取?/p>

14-13一臺利用地?zé)岚l(fā)電的熱機(jī)工作于溫度為227℃的地下熱源和溫度為27℃的地表之間。（1）假設(shè)該熱機(jī)每小時(shí)能從地下熱源吸收1.8×1011J的熱量，熱機(jī)效率按可逆機(jī)計(jì)，其最大功率可達(dá)到多少？（2）若一個(gè)熱機(jī)循環(huán)真正為可逆循環(huán)，其功率會是多少？

解：（1）熱機(jī)工作在最高的循環(huán)效率時(shí)，熱功轉(zhuǎn)換的效率最高；在此狀況下在一定的時(shí)間內(nèi)轉(zhuǎn)化為功的熱量越多，功率越大。根據(jù)卡諾定理可知，熱機(jī)獲得的最大功率為P=?Q/t=(1-T2/T1)Q/t=2.0?107J?s-1

（2）可逆卡諾循環(huán)是無限緩慢的循環(huán)，其效率雖高，但功熱轉(zhuǎn)化的速度卻是無限緩慢，單位時(shí)間內(nèi)作功為0，功率亦為0。

14-14夏季室外溫度為37.0℃，啟動空調(diào)使室內(nèi)溫度始終保持在17.0℃，假使每天有2.51×108J的熱量通過熱傳導(dǎo)等方式自室外傳入室內(nèi)，空調(diào)器的致冷系數(shù)為同溫度下卡諾致冷機(jī)的60%。（1）空調(diào)一天耗電多少？（2）若將室內(nèi)溫度設(shè)置為27.0℃，每天可節(jié)電多少？

解：（1）卡諾致冷機(jī)的致冷系數(shù)為?C=T2/(T1-T2)，依題意空調(diào)的致冷系數(shù)應(yīng)為

?=?C?60?=0.6T2/(T1-T2)=8.7

另一方面，由致冷系數(shù)的定義，