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本文格式為Word版,下載可任意編輯——高數(shù)8多元函數(shù)的極限與連續(xù)

二元函數(shù)的極限

二元極限存在常用夾逼準則證明

例1lim(3x?2y)?14

x?2y?1211??xsin?ysin,xy?0,例2函數(shù)f(x,y)??在原點(0,0)的極限是0.yx

xy?0.?0?二元極限不存在常取路徑

x2y例3證明:函數(shù)f(x,y)?4在原點(0,0)不存在極限.((x,y)?(0,0))4x?y與一元函數(shù)極限類似,二元函數(shù)極限也有局部有限性、極限保序性、四則運算、柯西收斂準則等.證明方法與一元函數(shù)極限證法一致,從略.

上述二元函數(shù)極限limf(x,y)是兩個自變量x與y分別獨立以任意方式無限趨近于

x?x0y?y0x0與y0.這是個二重極限.二元函數(shù)還有一種極限:

累次極限

定義若當x?a時(y看做常數(shù)),函數(shù)f(x,y)存在極限,設當y?b時,?(y)也存在極限,設

lim?(y)?limlimf(x,y)?B,

y?by?bx?a則稱B是函數(shù)f(x,y)在點P(a,b)的累次極限.同樣,可定義另一個不同次序的累次極限,即

limlimf(x,y)?C.

x?ay?b那么二重極限與累次極限之間有什么關系呢?一般來說,它們之間沒有蘊含關系.例如:1)兩個累次極限都存在,且相等,但是二重極限可能不存在.如上述例3.2)二重極限存在,但是兩個累次極限可能都不存在.如上述的例2.多重極限與累次極限之間的關系

定理若函數(shù)f(x,y)在點P0(x0,y0)的二重極限與累次極限(首先y?0,其次x?0)都存在,則

?limlimf(x,y).limf(x,y)x?x0y?y0x?x0y?y0

二元函數(shù)的連續(xù)性

定理若二元函數(shù)f(P)與g?P?在點P0連續(xù),則函數(shù)f(P)?g(P),f(P)g(P),(g(P0)?0)都在點P0連續(xù)

f(P)g(P)

定理若二元函數(shù)u??(x,y),v??(x,y)在點P0(x0,y0)連續(xù),并且二元函數(shù)

f(u,v)在點(u0,v0)???(x0,,y0),?(x0,y0)?連續(xù),則復合函數(shù)

f??(x0,,y0),?(x0,y0)?在點P0(x0,y0)連續(xù).

1.用極限定義證明以下極限:

1)lim(4x?3y)?19;2)lim(x?y)sinx?2y?12x?0y?011sin?0;xyx2y2xy?03)lim2.(提醒:應用?1.)22x?0x?y2x?yy?02.證明:若f(x,y)?x?y,(x?y?0),則x?y??y?0x?0lim?limf(x,y)??1與limlimf(x,y)??1.

x?0??y?0??x4y43.設函數(shù)f(x,y)?4,證明:當點(x,y)沿通過原點的任意直線(y?mx)趨23(x?y)于(0,0)時,函數(shù)f(x,y)存在極限,且極限相等.但是,此函數(shù)在原點不存在極限.(提醒:在拋物線y?x上探討.)

2x2?y22D?(x,y)y?x4.若將函數(shù)f(x,y)?2限制在區(qū)域,則函數(shù)f(x,y)在原點2x?y??(0,0)存在極限(關于D).5.求以下極限:1)limx?ysinxy;2);limx?1x2?xy?y2x?0xy?2y?422x?0y?03)lim(x?y)In(x?y);(提醒

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