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文檔簡介
本文格式為Word版,下載可任意編輯——高級微觀經(jīng)濟(jì)學(xué)1第1-3章:消費(fèi)者理論
一、形式化表述分析消費(fèi)者偏好的性質(zhì)
(完備性,傳遞性,連續(xù)性,嚴(yán)格單調(diào)性,嚴(yán)格凸性等等)
*二、效用函數(shù)存在性證明。請參考教材
三、表述顯示性偏好弱公理及顯示性偏好強(qiáng)公理,并用于分析下面問題。考察一個(gè)對物品1和物品2有需求的消費(fèi)者,當(dāng)物品價(jià)格為p1?(2,4)時(shí),其需求為x1?(1,2)。當(dāng)價(jià)格為p2?(6,3)時(shí),其需求為x2?(2,1),該消費(fèi)者是否滿足顯示性偏好弱公理。
假使x2?(1.4,1)時(shí),該消費(fèi)者是否滿足顯示性偏好弱公理。
解答:p1x1?2*1?4*2?10?p1x2?2*2?4*1?8消費(fèi)束1偏好于消費(fèi)束2p2x1?6*1?3*2?12?p2x2?6*2?3*1?15消費(fèi)束2偏好于消費(fèi)束1違反了顯示性偏好弱公理。假使x2?(1.4,1)時(shí):
p1x1?2*1?4*2?10?p1x2?2*1.4?4*1?6.8消費(fèi)束1偏好于消費(fèi)束2p2x1?6*1?3*2?12?p2x2?6*1.4?3*1?11.4消費(fèi)束1在價(jià)格2的狀況下買
不起。符合顯示性偏好弱公理。
四、效用函數(shù)u(x1,x2)?x1,求瓦爾拉斯需求函數(shù)
maxu(x1,x2)?x1解答:
s.t.p1x1?p2x2?w從效用函數(shù)u(x1,x2)?x1可知商
品2對消費(fèi)者沒效用,因此最大化效用的結(jié)果是所有的收入都用于購買商品1,對商品2的需求為0,x2?0,x1?wp1或者由maxu(x1,x2)?x1maxu(x1,x2)?maxs.t.p1x1?p2x2?w,可得到
w?p2x2ww?,此時(shí)x2?0,x1?(源于消費(fèi)束的非負(fù)限制)p1p1p1實(shí)際上,這是一個(gè)邊角解,
x2
x1
??1?u(x,x)?(x?x1212),其中0???1;這就是常(或不五、設(shè)效用函數(shù)
變)替代彈性(CES)效用函數(shù)。求:(1)瓦爾拉斯需求函數(shù);(2)間接效用函數(shù);
(3)驗(yàn)證間接效用函數(shù)關(guān)于價(jià)格與收入是零次齊次的;
(4)驗(yàn)證間接效用函數(shù)關(guān)于收入y是遞增的,關(guān)于價(jià)格p是遞減的;(5)驗(yàn)證羅伊恒等式;(6)求??怂剐枨蠛瘮?shù);(7)求支出函數(shù);
(8)從它對應(yīng)的間接效用函數(shù)推導(dǎo)出支出函數(shù),及從支出函數(shù)推導(dǎo)出間接效用函數(shù)。
(9)驗(yàn)證hi(p,u)?xi(p,e(p,u))(對偶定理)
(1)求瓦爾拉斯需求函數(shù)列出拉格朗日函數(shù):
?1?L(x1,x2,?)?(x1??x2)??(y?p1x1?p2x2)
三個(gè)一階條件:
?L?(1?)?1??1?(x1??x2)x1???1?0?x1;
?L?(1?)?1??1?(x1??x2)x2???2?0?x2;
?L?y?p1x1?p2x2?0??
整理,得:
x1?x2(p11(??1))p2;y?p1x1?p2x2
求解,得:
(??1)1(??1)p1yp1y2x2??/(??1)x1??/p(??1)?/(??1)?/(??1)p?pp1?p212;
上式就是消費(fèi)者的瓦爾拉斯需求函數(shù)。假使定義r??(??1),便可將瓦爾拉斯需求函數(shù)化簡為:
r?1p1r?1yp2yx1(p,y)?rx2(p,y)?rrrp1?p2;p1?p2
(2)求間接效用函數(shù)
將上述兩個(gè)瓦爾拉斯需求函數(shù)代入直接效用函數(shù),可得間接效用函數(shù):
v(p,y)?[(x1(p,y))??(x2(p,y))?]1?
r?1p1r?1y?p2y?1??[(r)?()]r?1rrrrp1?p2p1?p2?y(p1r?p2)
(3)驗(yàn)證間接效用函數(shù)關(guān)于價(jià)格和收入的零次齊次性;
r?1r)v(tp,ty)?ty((tp1)r?(tp2)r)?1r?y(p1r?p2
?v(p,y)
(4)驗(yàn)證間接效用函數(shù)關(guān)于收入y是遞增的,關(guān)于價(jià)格p是遞減的,對它求關(guān)于收入與任何價(jià)格的微分,得:
?v(p,y)r?1r?(p1r?p2)?0?y
?v(p,y)r(?1r)?1??(p1r?p2)ypir?1?0,i?1,2?pi
(5)驗(yàn)證羅伊等式:
間接效用函數(shù)對價(jià)格求導(dǎo)除以間接效用函數(shù)對收入求導(dǎo),別忘了乘-1!
r(?1r)?1?v(p,y)?pi?(p1r?p2)ypir?1(?1)[]?(?1)r?1r?v(p,y)?y(p1r?p2)ypir?1?r?xi(p,y),i?1,2rp1?p2
(6)求解支出最小化問題
minx1,x2p1x1?p2x2?1?u?(x1??x2)?0
s.t.其拉格朗日函數(shù)為:
?1?L(x1,x2,?)?p1x1?p2x2??[u?(x1??x2)]
三個(gè)一階條件為:
?L?(1/?)?1??1?p1??(x1??x2)x1?0?x1;
?L?(1/?)?1??1?p2??(x1??x2)x1?0?x2;
?L?1/??u?(x1??x2)?0??
通過消去
?,這些式子被簡化為:
?1/??(x1??x2)
x1?x2(令rp11/(??1))p2;u??(??1),可解出??怂剐枨蠛瘮?shù):
r(1/r)?1r?1h1(p,u)?u(p1r?p2)p1
r(1/r)?1r?1h2(p,u)?u(p1r?p2)p2
(7)將??怂剐枨蠛瘮?shù)代入目標(biāo)函數(shù),可得支出函數(shù):
e(p,u)?p1h1(p,u)?p2h2(p,u)
r(1/r)?1r?1r(1/r)?1r?1r1/r?up1(p1r?p2)p1?up2(p1r?p2)p2?u(p1r?p2)
(8)從間接效用函數(shù)推導(dǎo)出支出函數(shù)
rr?1/rv(p,y)?y(p?p12)間接效用函數(shù)為:
將v(p,y)替換為u,解出y
r1/rr?1/r)u?y(p1r?p2);y?u(p1r?p2再將y替換為e(p,u),得到支出函數(shù)為:
r1/re(p,u)?u(p1r?p2)
從支出函數(shù)推導(dǎo)出間接效用函數(shù)
rr1/re(p,u)?u(p?p12)支出函數(shù)為:
將u替換為v(p,y),將e(p,u)替換為y,解出v(p,y)。
r1/rr?1/ry?v(p,y)(p1r?p2)?v(p,y)?y(p1r?p2)(9)瓦爾拉斯需求函數(shù)為:
p1r?1yx1(p,y)?rrp1?p2,將y替換為支出函數(shù)得:
r1/rp1r?1e(p,u)p1r?1u(p1r?p2)x1(p,y)??rrp1r?p2p1r?p2
r(1/r)?1?p1r?1u(p1r?p2)?h1(p,u)
1六、效用函數(shù)u(x1,x2)?(x1?x2),對其求1、瓦爾拉斯需求函數(shù),間接效用函數(shù);2、??怂剐枨蠛瘮?shù),支出函數(shù)。答案:
???
(?T)?Ev(p0;p1,w)??th(p1,u1)?Ev(p0;p1,w)
??0.25?(p1)—12(p2)12u1?0.5858??0.25?(0.5)—12(1)122?0.5858?0.085811說明商品稅對消費(fèi)者的福利影響更差。補(bǔ)償變化分析:
依照征稅后的價(jià)格計(jì)算的,消費(fèi)者對征收消費(fèi)稅前后所獲得效用的變化:
Cv?e(p0,u0)?e(p1,u0)=w-e(p1,u0)=w-μ(p1;p0,w)
?w?p???p??p??p?1112121210_2110_22w
1?2??0.5?2?1?2?0.25?_2?1?_2?2??0.8284
111商品稅與收入稅對消費(fèi)者的福利之差
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