極值與最值問題（2月）（人教A版2019）（解析版）

專題03極值與最值問題

一、單選題

1.函數(shù)y=/(x)在區(qū)間［a,0上的最大值是M,最小值是加，若加=〃，則/'(x)

A.小于0B.等于0

C.大于0D.以上都有可能

【試題來源】甘肅省天水市2020-2021學(xué)年高二上學(xué)期期末考試(文)

【答案】B

【分析】由最大最小相等，可得y=/(x)是常數(shù)函數(shù)，即可得出結(jié)論.

【解析】因為y=/(x)在區(qū)間［。,國上的最大最小相等，

所以y=/(x)是常數(shù)函數(shù)，所以/'(x)=o，故選B.

2.已知函數(shù)y=/(x)的導(dǎo)函數(shù)y=/'(x)的圖象如圖所示，則函數(shù)y=/(x)在區(qū)間(a,。)

內(nèi)的極小值點的個數(shù)為

C.3D.4

【試題來源】陜西省延安市黃陵中學(xué)2020-2021學(xué)年高二上學(xué)期期末(文)

【答案】A

【分析】通過讀圖由y=f(x)取值符號得出函數(shù)y=/(x)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的

極值點，得出答案.

【解析】由圖象，設(shè)/'(X)與x軸的兩個交點橫坐標(biāo)分別為。、d其中c<d,

知在(-8,c),(4+0上/'(%)20,所以此時函數(shù)/(》)在(-8,。)，上單調(diào)遞增,

在(c,d)上，f\x)＜0,此時/(x)在(c,d)上單調(diào)遞減，

所以x=c時，函數(shù)取得極大值，x=d時,函數(shù)取得極小值.

則函數(shù)丁=/(幻的極小值點的個數(shù)為1.故選A.

3.函數(shù)y=f(x)的圖象如圖所示，則關(guān)于函數(shù))=/(力的說法正確的是

y

-5\4_^X20\!3x

A.函數(shù)y=/(x)有3個極值點

B.函數(shù)y=/(x)在區(qū)間(-8,-4)上是增加的

C.函數(shù)y=.f(x)在區(qū)間(―2,+幻)上是增加的

D.當(dāng)x=0時，函數(shù)y=/(x)取得極大值

【試題來源】黑龍江省哈爾濱市南崗區(qū)第三十二中學(xué)校2020-2021學(xué)年高二上學(xué)期期末

【答案】C

【分析】導(dǎo)函數(shù)/(力＞0,則函/(%)單調(diào)遞增，導(dǎo)函數(shù)/(力＜0,則函數(shù)/(X)單調(diào)遞

減，極值點的兩則函數(shù)的單調(diào)性相反，所以由圖象可知極值點.

【解析】函數(shù)有兩個極值點：x=-5和x=-2,但尤=3不是函數(shù)的極值點，所以A錯誤；

函數(shù)在(-8,-5)和(-2,e)上單調(diào)遞增，在(-5,-2)上單調(diào)遞減，所以B錯誤，C正確；

尤=0不是函數(shù)的極值點，所以D錯誤.故選C.

4.函數(shù)/(幻=竺尹在x=g處取得極值，則

e2

7TTT

A.a=1,且一為極大值點B.a=1,且一為極小值點

22

TI71

c.a=-l,且一為極大值點D.a=-l,且一為極小值點

22

【試題來源】重慶市南開中學(xué)2021屆高三上學(xué)期第二次質(zhì)量檢測

【答案】B

【分析】先求導(dǎo)，再根據(jù)題意得:(])=0,由此求得a=l,再根據(jù)導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值.

……￡，、cosx-a、-sinx-cosx+tz-V2sinx+—\+a

【解析】因為/(x)=——--，所以/'。)=----------------(4)，

又一(X)在x=2處取得極值，所以r(g)=一半=°,得。=1,

22/

由/'(x)<0得，一&sin[x+?)+l<0,

即sin[x+^-\>—^~,所以工+2A:%<x+工<包+2&萬,4eZ,

I4)2444

即2k乃<%<—+2々肛&wZ,同理，由/'(%)>。得，—+2k7i<x<7C+2k兀,ksZ,

22

所以/'(x)在x=1處附近的左側(cè)為負(fù)，右側(cè)為正，所以函數(shù)F(X)在x處取得極小值,

故選B.

5.已知函數(shù)/(%)="3+樂+1的圖象在點(1M+8+1)處的切線斜率為6,且函數(shù)/(x)

在龍=2處取得極值，則a+/?=

26

A.-----B.7

3

2226

C.—D.—

33

【試題來源】安徽省六安市霍邱縣第二中學(xué)2019-2020學(xué)年高二下學(xué)期段考(文)

【答案】C

【分析】計算/'(X)，然后根據(jù)匕J：,：：，可得。力，最后可得結(jié)果.

[J⑴=6

、o[3a+b=6,2

【解析】由題可知/(x)=3加+力，則，⑵/十八。解得。=一]，8=8?

222

經(jīng)檢驗，當(dāng)。=一§，匕=8時，/(X)在x=2處取得極大值，所以〃+/?=?-.故選C.

6.若x=l是函數(shù)/(x)=g/+(a+i)x2_(a2+3a_3)元的極值點，則”的值為

A.-3B.2

C.-2或3D.-3或2

【試題來源】湖北省宜昌市2019-2020學(xué)年高二下學(xué)期期末

【答案】D

【解析】由題意，知/'(》)=彳2+2(。+1)》一(4+34—3)且/'(1)=0,

所以a2+a-6=0，解得。=—3或a=2.

當(dāng)。=一3時，/(X)=X2-4X+3=(X-1)(X-3),即在x=l的左側(cè)/'(。)=3>(),右側(cè)

/'(2)=-1<0,所以x=l是極值點，而非拐點；

當(dāng)”=2時，f'(x)=X2+6X-7=(x-l)(x+7),即在x=l的左側(cè)/'(0)=-7<0,右側(cè)

/'(2)=9>0,所以％=1是極值點，而非拐點；故選D

7.設(shè)函數(shù)/(x)=；d+；辦2+2云+。的兩個極值點分別為王，若玉6(-2,-1),

々e(-1,0),則2a+匕的取值范圍為

A.(2,7)B.(1,7)

C.(1,5)D.(2,5)

【試題來源】湖南省常德市第一中學(xué)高三第七次月考(理)試卷

【答案】A

【解析】由已知/'(x)=x2+ar+2Z?=0的解為王,工2，且當(dāng)《(-2,-1),x2e(-l,0),

/'(0)=2Z?>0[h>0

所以，f\-2)=(-2)2-2a+2b>0,即，a-b-2<0.畫出其表示的點(。/)的平面區(qū)

/'(-1)=(-1)2-4Z+2/?<0[a-2b-l<0

域及直線2a+h=0(如圖)，平移直線2a+h=0,當(dāng)其經(jīng)過(1,0)時，2a最小為

2xl+0=2,經(jīng)過(3,1)時，2a+〃最大為2x3+l=7,故選A.

8.關(guān)于%的函數(shù)/(乃=/+3—+3x—a的極值點的個數(shù)有

A.2個B.1個

C.0個D.由。確定

【試題來源】陜西省商洛市商丹高新學(xué)校2019-2020學(xué)年高二下學(xué)期期中(文)

【答案】C

【解析】因為/。)=丁+3/+3》—所以，令/，(*)=3/+6%+3=0,得，(x+l)?=0,

在x=-1附近，導(dǎo)函數(shù)值不變號，所以，關(guān)于x的函數(shù)/(x)=x3+3f+3x—a的極值點

的個數(shù)為0,選C.

2

9.下列五個函數(shù)，①y=d；②y=X2+i；③y=|x|；④y=2"；⑤)=卓.在％=0處

取得極值的函數(shù)的個數(shù)為

A.1B.2

C.3D.4

【試題來源】江西省南昌市2019-2020學(xué)年進(jìn)賢二中高二下學(xué)期第一次月考(理)

【答案】C

【分析】判斷各函數(shù)單調(diào)性，結(jié)合極值點的定義，即可求出結(jié)論.

【解析】①y==3/2。在(-?),+<?)為單調(diào)遞增，不存在極值點；

②y=f+l,在(-應(yīng)0)單調(diào)遞減，在(0,+8)單調(diào)遞增，：/二。處函數(shù)取得極小值；

xx>0

V=八，在(-《0單調(diào)遞減，在(0,+8)單調(diào)遞增，，X=O處函數(shù)取得極小值；

-xx<0

④y=2,在(-00,+8)為單調(diào)遞增，不存在極值點；

2

⑤在(0,+°。)單調(diào)遞增，在(7,0)單調(diào)遞減，，光;。處函數(shù)取得極小值；故選c.

io.如圖是函數(shù)y=/(x)的導(dǎo)函數(shù)丁=/'(幻的圖象，給出下列命題：

①-2是函數(shù)y=/(x)的極值點;

②1是函數(shù)y=/(x)的極值點；

③y=/(x)的圖象在X=o處切線的斜率小于零;

④函數(shù)y=/(x)在區(qū)間(-2,2)上單調(diào)遞增.

則正確命題的序號是

A.①③B.②④

C.②③D.①④

【試題來源】黑龍江省大慶市肇州中學(xué)2019-2020學(xué)年高二下學(xué)期期中考試(理)

【答案】D

【解析】根據(jù)導(dǎo)函數(shù)圖象可知，-2是導(dǎo)函數(shù)得零點且-2的左右兩側(cè)導(dǎo)函數(shù)值符號異號，故-2

是極值點，1不是極值點，因為1的左右兩側(cè)導(dǎo)函數(shù)符號不一致，0處的導(dǎo)函數(shù)值即為此點

的切線斜率顯然為正值，導(dǎo)函數(shù)在(-2,2)恒大等于零，故為函數(shù)的增區(qū)間，所以選D.

【名師點睛】根據(jù)導(dǎo)函數(shù)和原函數(shù)的關(guān)系很容易分析單調(diào)性，然后要注意對極值點的理解,

極值點除了是導(dǎo)函數(shù)得解還一定要保證在導(dǎo)函數(shù)值在此點兩側(cè)異號.

11.下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)又存在極值的是

A.y=xB.y=x~

2

C.y=xexD.y=x+一

x

【試題來源】安徽省池州市第一中學(xué)2020-2021學(xué)年高三上學(xué)期9月月考(理)

【答案】D

【分析】根據(jù)函數(shù)的圖象和奇函數(shù)的判定方法，極值的判定方法分析每一個選項得解.

【解析】A.y=d,由函數(shù)的圖象得函數(shù)是奇函數(shù)，但是不存在極值，故該選項錯誤；

B.y=x2,由函數(shù)的圖象得函數(shù)是偶函數(shù)，故該選項錯誤；

C.y=xeT,/(-%)=,所以該函數(shù)不是奇函數(shù)，故該選項錯誤；

222

D.y=x+-,/(-X)=-X一一=-(%+-)=-/(%),所以該函數(shù)是奇函數(shù)，由函數(shù)圖象

XXX

得函數(shù)在(-8,-應(yīng)),(J5,+oo)上是增函數(shù)，在(-&,0),(0,五)上是減函數(shù)，所以函數(shù)存

在極值.故該選項是正確的.故選D.

【名師點睛】本題主要考查函數(shù)奇偶性的判斷和極值的判定，意在考查學(xué)生對這些知識的理

解掌握水平和分析推理能力.

12.己知函數(shù)/(x)=lnx-"在％=2處取得極值，則。=

A.1B.2

C.—D.-2

2

【試題來源】安徽省六安市舒城中學(xué)2020-2021學(xué)年高二上學(xué)期期末(文)

【答案】C

【分析】利用/(2)=0列方程，解方程求得。的值.

【解析】=g—a,依題意/(2)=0,即g—a=0,a=；.

112—Y

此時/(x)=-―-=—(x>0),所以/(力在區(qū)間(0,2)上遞增，在區(qū)間(2,+a>)上遞

減，所以f(x)在x=2處取得極大值，符合題意.所以a=g.故選C

13.已知函數(shù)f(x)=gd—：/+4,當(dāng)“X)取得極值時，x的值為

A.—1,1,0B.-1,1

C.-1,()D.(),1

【試題來源】黑龍江省七臺河市田家炳高級中學(xué)2019-2020學(xué)年高二下學(xué)期期中考試(理)

【答案】B

【分析】先求導(dǎo)，令其等于0,再考慮在x=0兩側(cè)有無單調(diào)性的改變即可

【解析】/。)=f_幺=4/—1)=0,.-.X=O,1-1,f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-8,-1)和

(1，住)，減區(qū)間為(-1,1),在x=0兩側(cè)/(X)符號一致，故沒有單調(diào)性的改變，舍去，

.”=1,-1故選B.

【名師點睛】本題主要考查函數(shù)在某點取得極值的性質(zhì)：若函數(shù)在取得極值=/'(%)=0.反

之結(jié)論不成立，即函數(shù)有r(x0)=o,函數(shù)在該點不一定是極值點，(還得加上在兩側(cè)有單調(diào)

性的改變)，屬基礎(chǔ)題.

14.函數(shù)/(x)=ae*—sinx在x=0處有極值，則a的值為

A.-1B.0

C.1D.e

【試題來源】2021屆高考數(shù)學(xué)(文)一輪復(fù)習(xí)講練測

【答案】C

【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)與極值的關(guān)系可知/'(o)=o,解方程求得結(jié)果.

【解析】由題意得/'(x)=m'-cosx,

:/(x)在x=0處有極值，二/"(0)=a-cos0=a-l=0,解得〃=1,

經(jīng)檢驗滿足題意，本題正確選項：C.

15.若函數(shù)/(力=2%3-332+6%存在極值點，則加的取值范圍是

A.(-oo,-2)U(2,+<?)B.(^o,-2JU[2,+oo)

C.(—2,2)D.[—2,2]

【試題來源】山西省2019-2020學(xué)年高二上學(xué)期期末考試(文)

【答案】A

【分析】通過研究/(X)的導(dǎo)函數(shù)/'(X)零點，結(jié)合判別式，求得相的取值范圍.

[解析】依題意函數(shù)/(X)=2爐-3mx2+6x存在極值點，其導(dǎo)函數(shù)/'(x)=6f-6znx+6

的A=36加2-144>0，解得/“<一2或加>2.故選A

16.函數(shù)/(x)=o?+x+i有極值的充要條件是

A.a>0B.a>0

C.a<0D.a<0

【試題來源】2020-2021年新高考高中數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)對點練

【答案】C

【解析】因為/'(幻=362+1，所以/'(x)=3a?+i=o=3a=—口<0,

x

即a<0,應(yīng)選答案C.

17.若函數(shù)/(為=/+G2+3彳-9在x=-3時取得極值，貝

A.2B.3

C.4D.5

【試題來源】吉林油田第十一中學(xué)020-2021學(xué)年第一學(xué)期高三第二次階段考試(文)

【答案】D

【分析】對函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)函數(shù)在％=—3時取得極值，得到了'(-3)=0,即可求出結(jié)果.

【解析】因為/1(x)=d+o?+3x—9,所以小)=3「2+%+3,

又函數(shù)/(x)=f+辦2+3%-9在*=一3時取得極值，

所以/'(-3)=27—6。+3=0,解得。=5.故選D.

18.下列說法正確的是

A.當(dāng)/(%)=0時，則/(%)為f(x)的極大值

B.當(dāng)尸(與)=0時,則/(%)為f(x)的極小值

C.當(dāng)/(%)=0時，則/(%)為f(x)的極值

D.當(dāng)/(%)為/(x)的極值且/(%)存在時，則有/(%)=0

【試題來源】2020-2021學(xué)年高二數(shù)學(xué)(文)十分鐘同步課堂專練(人教A版選修1-1)

【答案】D

【解析】不妨設(shè)函數(shù)/(尤)=>則可排除ABC

由導(dǎo)數(shù)求極值的方法知當(dāng)/(x0)為f{x}的極值旦尸(七)存在時，貝IJ有1(%)=0故選D

19.設(shè)“X)=3*2+COSX,則函數(shù)/(x)

A.有且僅有一個極小值B.有且僅有一個極大值

C.有無數(shù)個極值D.沒有極值

【試題來源】河南省信陽市2019-2020學(xué)年高二下學(xué)期期末(文)

【答案】A

【分析】求出了'(X)=x-sinx,二次求導(dǎo)可得/'(X)單調(diào)遞增且r(0)=0,從而判斷出

函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而得到極值點.

【解析】r(x)=x-sinx,7"(x)=l—cosxNO,所以/'(x)單調(diào)遞增旦/'(0)=0,

所以當(dāng)x<0時，/'(x)<0,函數(shù)/(力單調(diào)遞減，當(dāng)x>0時，/'(%)>0,函數(shù)“可單

調(diào)遞增，故/(x)有唯一的極小值點.故選A.

20.設(shè)/(x)是區(qū)間切上的連續(xù)函數(shù)，且在(。,勿內(nèi)可導(dǎo)，則下列結(jié)論中正確的是

A.fix)的極值點一定是最值點B.f(x)的最值點一定是極值點

C./（X）在區(qū)間［a,口上可能沒有極值點D./（X）在區(qū)間［a,口上可能沒有最值點

【試題來源】人教A版（2019）選擇性必修第二冊過關(guān)斬將第五章一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

及其應(yīng)用

【答案】c

【解析】根據(jù)函數(shù)的極值與最值的概念知，/（X）的極值點不一定是最值點，/（X）的最值點

不一定是極值點.可能是區(qū)間的端點，連續(xù)可導(dǎo)函數(shù)在閉區(qū)間上一定有最值，所以選項A,

B,D都不正確,若函數(shù)/（X）在區(qū)間［a,句上單調(diào)，則函數(shù)/（X）在區(qū)間句上沒有極值點,

所以C正確.故選C.

21.設(shè)動直線》=加與函數(shù)/（無）=》2,g（x）=21nx的圖象分別交于M,N,則|MN|的最

小值為

A.—B.1

2

C.l+ln2D.l-ln2

【試題來源】湖南省郴州市2020-2021學(xué)年高二上學(xué)期期末

【答案】B

【分析】歹U出IMNI的表達(dá)式，利用導(dǎo)數(shù)方法，分析單調(diào)性求最小值即可.

【解析】由題意=21nX，

“、,、,22\m2-1）

令A(yù)（m）=nr-2Inm,則h'（m'）=2m——=△------->

mm

當(dāng)時，h（m）<0,當(dāng)〃2>1時，h'（m）>0,所以〃（加）向=入⑴=1，

即IMN|的最小值為1，故選B.

【名師點睛】本題考查導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的最值運用

求函數(shù)最值和值域的常用方法：

（I）單調(diào)性法：先確定函數(shù)的單調(diào)性，再由單調(diào)性求最值：

（2）圖象法：先作出函數(shù)的圖象，再觀察其最高點、最低點，求出最值；

（3）基本不等式法：先對解析式變形，使之具備“一正二定三相等''的條件后用基本不等式

求出最值；

（4）導(dǎo)數(shù)法：先求導(dǎo)，然后求出在給定區(qū)間上的極值，最后結(jié)合端點值，求出最值；

(5)換元法：對比較復(fù)雜的函數(shù)可通過換元轉(zhuǎn)化為熟悉的函數(shù)，再用相應(yīng)的方法求最值.

22.設(shè)函數(shù)/(X)在R上可導(dǎo)，其導(dǎo)函數(shù)為了'(%),且函數(shù)/(x)在x=—2處取得極小值,

則函數(shù)y=W'(X)的圖象可能是

【試題來源】寧夏固原市隆德縣2020-2021學(xué)年高二上學(xué)期期末考試(文)

【答案】C

【分析】由題設(shè)條件知當(dāng)0>%>—2時，礦。)<0；當(dāng)x=-2時，xf'(x)=O,當(dāng)*<一2時，

xf'(x)>0.由此觀察四個選項能夠得到正確結(jié)果.

【解析】?.?函數(shù)/(x)在R上可導(dǎo)，其導(dǎo)函數(shù)廣(x),且函數(shù)Ax)在x=—2處取得極小值,

,當(dāng)x>—2時，_f'(x)>0：當(dāng)x=-2時，/(幻=0：當(dāng)x<—2時，Ax)<0.

,當(dāng)一2<x<0時，W)<0:當(dāng)％=—2時，W'(x)=0；當(dāng)％<—2時，xf\x)>0.

當(dāng)x>0時,礦(幻>0.當(dāng)x=0時，")=0.故選C.

【名師點睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值的應(yīng)用，解題時要認(rèn)真審題，注意導(dǎo)數(shù)性質(zhì)

和函數(shù)極值的性質(zhì)的合理運用.

23.函數(shù)|制=爐+3以2+3[伍+2)尤+1]既有極大值又有極小值，則”的取值范圍是

A.(-1,2)B.(-2,1)

C.(—oo,—2)U(1,+oo)D.(—8,—1)U(2,+oo)

【試題來源】寧夏固原市隆德縣2020-2021學(xué)年高二上學(xué)期期末考試(文)

【答案】D

【分析】函數(shù)f(x)有極大值又有極小值，可知/'(X)=。有兩個不相等是實數(shù)根，因此△>0,

解出即可.

【解析】因為f(x)=x3+3ax2+3[(a+2)x+1],所以f'(x)=3x2+6ax+3(a+2),

因為函數(shù)/■(%)有極大值乂有極小值，所以尸(x)=0有兩個不相等是實數(shù)根，

所以/=36a2-36(a+2)>0,化為a?-a-2>0,解得a>2或a<-1.

則a的取值范圍是(-8,-l)u(2,+8).故選D.

24.設(shè)函數(shù)g(x)=x，—l),則g(x)在區(qū)間［0,1］上的最大值為

A.-1B.0

C.一巫D.近

93

【試題來源】高考數(shù)學(xué)備考中等生百日捷進(jìn)提升系列(捷進(jìn)提升篇)

【答案】B

【分析】根據(jù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求出函數(shù)的單調(diào)性，求最大值即可.

【解析】g(x)4一有小)=3心1.令小)=0,解得%邛?一李0

當(dāng)X變化時,g'(x)和g(X)的變化情況如下:

X01

13J~T忤1

g'(x)-04-

g(x)0遞減極小值遞增0

所以當(dāng)x=0或1時，g(x)有最大值0.故選B.

25.已知函數(shù)/(幻=卜2—力/,則“aN-l”是“/(x)有極值”的

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【試題來源】安徽省阜陽市2020-2021學(xué)年高三上學(xué)期教學(xué)質(zhì)量統(tǒng)測(文)

【答案】B

【分析】求導(dǎo)函數(shù)，判斷導(dǎo)函數(shù)的符號，確定有極值時”的范圍即可.

【解析】/'(%)=，+2%-。,=0,x2+2x-a=0.D=4+4a.

若△=4+4a<0,心一1則/'。)=(尤2+2%—。),20恒成立，/(x)為增函數(shù)，無極

值；若△=4+4a>0,即。>一1,則有兩個極值.

所以Z2T”是“f(x)有極值”的必要不充分條件.故選B.

26.已知函數(shù)/(x)的導(dǎo)函數(shù)為了'(%),函數(shù)g(x)=(x-l)/'(x)的圖象如圖所示，則下列

結(jié)論正確的是

4J

-2|~0|1^2*

A./(X)在(一8,-2),(1,2)上為減函數(shù)

B./(X)在(一2,1),(2,?)上為增函數(shù)

C.的極小值為〃一2),極大值為“2)

D./⑴的極大值為〃一2),極小值為"2)

【試題來源】山西省太原市2020-2021學(xué)年高二上學(xué)期期末(文)

【答案】D

【分析】根據(jù)g(x)=(x-l)/'(x)圖象，UJ■知該函數(shù)的正負(fù)性，再結(jié)合導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)對“X)的

性質(zhì)進(jìn)行判斷即可.

【解析】根據(jù)函數(shù)g(x)=(x—1)/'(X)的圖象可知

當(dāng)x>2時，g(x)>0,即(x-l)/'(x)>0n/'(x)>0,因此當(dāng)x>2時;函數(shù)〃x)單調(diào)

遞增；

當(dāng)1cx<2時，g(x)<0,即Q=f)x0<，因此當(dāng)1cx<2時，函數(shù)/(x)

單調(diào)遞減，顯然當(dāng)x=2,函數(shù)有極小值，極小值為7(2)：

當(dāng)—2<x<l時，g(x)>0,即(x-l)/⑶X)n/U<0,因此當(dāng)一2<x<l時，函數(shù)

“X)單調(diào)遞減；

當(dāng)為<—2時，g(x)<o,即⑸<0e,因此當(dāng)x<—2時，函數(shù)/(X)單

調(diào)遞增，顯然當(dāng)x=—2,函數(shù)有極大值，極大值為/(一2),

由上可以判斷D是正確的.故選D.

27.函數(shù)〃x)=?在區(qū)間［0,3］上的最大值為

1

A.0B.-

e

3

e'e

【試題來源】湖南省常德市2020-2021學(xué)年高二上學(xué)期期末(理)

【答案】B

【分析】求出導(dǎo)數(shù)，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，根據(jù)單調(diào)性判定最值.

1_Y

【解析】由題意可得/'(x)=h

當(dāng)X€(0,l)時，/,(x)>0；當(dāng)xe(l,3)時，r(x)<()

所以函數(shù)在(0』)上單調(diào)遞增，在(1,3)上單調(diào)遞減，

所以/(力.=/\1)=:，故選B-

【名師點睛】求函數(shù)區(qū)間上的最值的步驟：

(1)求導(dǎo)數(shù)/(X),不要忘記函數(shù)/(X)的定義域；

(2)求方程/'(x)=0的根；

(3)檢查在方程的根的左右兩側(cè)/'(X)的符號，確定函數(shù)的極值.

(4)求函數(shù)區(qū)間端點函數(shù)值，將區(qū)間端點函數(shù)值與極值比較，取最大的為最大值，最小的

為最小值.

13

28.己知函數(shù)/(九)+〃氏+“，其中切，”為正整數(shù)，若函數(shù)/(x)有極大值,

則加的值為

A.1B.2

C.3D.4

【試題來源】江蘇省鎮(zhèn)江一中2019-2020學(xué)年高二下學(xué)期期末

【答案】A

【分析】對/(x)進(jìn)行求導(dǎo)得f'(x)=x3-3x+〃z,構(gòu)造新函數(shù)h(x)=xi-3x+m,xeR,

/2(-1)>0

利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)M%)的單調(diào)性，結(jié)合題意，可知函數(shù)/a)有極大值，則<

/1(1)<0

求解不等式且結(jié)合加，幾為正整數(shù)，即可得出結(jié)果.

13

【解析】由題可知，/(x)=—x4+(xe7?),則/'(x)=/-3尤+加，

TS/Z(X)=x3-3x+/n,x€R，則〃(工)=3工2—3,

令"(x)=3d-3=0,解得％=-1,丁=1，

則當(dāng)xv—1或工>1時，hr(x)>0：當(dāng)-Ivxvl時，〃'(％)<0,

所以/2(力在區(qū)間(T0—1),(1,+8)上單調(diào)遞增；在區(qū)間(-1，1)上單調(diào)遞減，

因為函數(shù)“X)有極大值，貝喘，即優(yōu)品一2<0，解得-2<2

而加，〃為正整數(shù)，所以陽的值為L故選A.

【名師點睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值，從而求參數(shù)值，構(gòu)造新函數(shù)且利

用導(dǎo)數(shù)求出單調(diào)區(qū)間是解題的關(guān)鍵，考查轉(zhuǎn)化思想和運用能力.

29.函數(shù)/(%)=/一12彳+18在區(qū)間［-3,3］上的最大值為

A.34B.16

C.24D.17

【試題來源】陜西省西安市周至縣第二中學(xué)2020-2021學(xué)年高二上學(xué)期期末(文)

【答案】A

【分析】對函數(shù)求導(dǎo)，求出函數(shù)y=/(x)的極值點，分析函數(shù)的單調(diào)性，再將極值與端點

函數(shù)值比較大小，找出其中最大的作為函數(shù)>=/(%)的最大值.

【解析】Q/(x)=?-12x+18,則/>'(x)=3x2-12,令/(%)=0,解得x=±2,列

表如下：

X(-3,-2)-2(-2,2)2(2,3)

+0—0+

/(x)□極大值□極小值□

所以，函數(shù)y=/(x)的極大值為/(—2)=34,極小值為"2)=2,

又/(-3)=27,43)=9,因此，函數(shù)y=/(力在區(qū)間［-3,3］上的最大值為34,故選A.

【名師點睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)在定區(qū)間匕的最值，解題時嚴(yán)格按照導(dǎo)數(shù)求最值的基

本步驟進(jìn)行，考查計算能力，屬于中等題.

30.函數(shù)/(x)=2sinjx+f］+cos2x的最大值為

I4J

A.1+夜B.巫

2

C.272D.3

【試題來源】安徽省淮北市2020-2021學(xué)年高三上學(xué)期第一次模擬考試(理)

【答案】B

【分析】利用誘導(dǎo)公式及二倍角公式可得/(》)=2siEr+"J+si,2+?J,令

6>=x+?,將函數(shù)轉(zhuǎn)化為"e)=2sine+sin2。，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，即可求

出函數(shù)的最值，即可得解；

【解析】因為/(x)=2sin(尤+?)+cos2x,

所以/(x)=2sin|x+?+sin2x+—

I4

令。=x+7,則/(e)=2sine+2sin8cos8=2sine+sin2e,

則/(6)=2cos8+2cos28=2(2cos2^-l)+2cos^=4cos2e+2cos6-2,

令/、'(。)=0，得cos8=-l或cos6=g,

當(dāng)一I<cos6<，時，/'(。)<0；，<cos6<l時/'(6)>0,

22

所以當(dāng)cose=；時，取得最大值，此時sinO=4,

所以/(x)=2x且+2x正*'=述，故選B.

\"max2222

二、多選題

1.已知函數(shù)/(》)=0?+兒2+53<0)的導(dǎo)函數(shù)丫=/'甕)的兩個零點為1,2,則下列

結(jié)論正確的有

A.abc<0B.f(x)在區(qū)間［0,3］的最大值為0

C./(X)只有一個零點D./(X)的極大值是正數(shù)

【試題來源】江蘇省泰州市2020-2021學(xué)年高三上學(xué)期期中

【答案】BC

【分析】求導(dǎo)r(x)=3辦2+M+C,根據(jù)y=/(x)的兩個零點為1,2,由/'(1)=0,

Q

/'(2)=0,求得b=—/a,c=6a,再逐項驗證.

【解析】因為r(x)=3?2+2ZM+C,且/⑴=0,/(2)=0,所以J12Q+4".=0，

9

化筒得94+力=0,解得6=--a,c=6a,因為。<0,所以。>0,c<0,所以出心>0,

2

故A錯誤；

由。<0,可知/'(x)=3以2+2/zx+c為開口向下的二次函數(shù)，且零點為1,2,則當(dāng)

x<l或x>2時，,f(x)<0,當(dāng)l<x<2時，/'(x)〉0，即/(x)在(F，1)上單調(diào)遞減,

在(1,2)上單調(diào)遞增，在(2,+oo)上單調(diào)遞減,所以k1為極小值點,x=2為極大值點，則/(%)

的極大值為/(2)=8<7+4方+2,=84+4*［—|4)+2*6&=2<2<0,故D錯誤；

由函數(shù)/(幻的單調(diào)性可知，函數(shù)在［0,1］單調(diào)遞減，在(1,2)上單調(diào)遞增，在(2,3］上

單調(diào)遞減，且/(0)=0,〃2)=2a<0,所以在區(qū)間［0,3］的最大值為0,故選項B

正確；

函數(shù);'(X)在(一8,1)上單調(diào)遞減，在(1,2)上單調(diào)遞增，在(2,4-00)上單調(diào)遞減，目J(O)=0,

/(l)=a+b+c=a+1_ga)+6a=ga<0,/(2)=2?<0,所以/(x)只有一個零點0,

故C正確；故選BC.

2.已知定義在R上的函數(shù)/(X),其導(dǎo)函數(shù)/'(X)的大致圖象如圖所示，則下列敘述不正

確的是

A./(?)>/(e)>/(rZ)

B.函數(shù)/(X)在［a,可上遞增，在也d］上遞減

C.函數(shù)/(X)的極值點為。，e

D.函數(shù)/(x)的極大值為了(今

【試題來源】湖南省婁底市冷水江市第一中學(xué)2020-2021學(xué)年高三上學(xué)期期中

【答案】ABD

【分析】對A,B由導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，即可判斷/(a),fib),/(c)的大小以及

/(x)的單調(diào)性，對C,D由極值的定義即可判斷.

【解析】由題圖知可,當(dāng)時，/'(%)>0,

當(dāng)xw(c,e)時，/'(尤)<0,當(dāng)xe(e,+oo)時，所以『(x)在(-oo,c)上遞增,

在(c,e)上遞減，在(e,+8)上遞增，對A,>/(e),故A錯誤；

對B,函數(shù)/(力)在［a,句上遞增，在也c］上遞增，在［c,d］上遞減，故B錯誤；

對C,函數(shù)/(x)的極值點為c,e,故c正確；

對D,函數(shù)“X)的極大值為/(c),故D錯誤.故選ABD.

3.已知函數(shù)/(x)="-lnx-2,則下列說法正確的是

A./(幻有且僅有一個極值點

B./(x)有零點

C.若f(x)的極小值點為則0</(x0)<g

D.若/(x)的極小值點為廝，則g</(/)<1

【試題來源】人教A版(2019)選擇性必修第二冊過關(guān)斬將全書綜合測評

【答案】AC

【分析】利用導(dǎo)數(shù)知識對四個選項逐一分析即可得正確的選項.

【解析】由題意得，f(x)的定義域為(0,+8),且/(尤)=短—,，

X

設(shè)h(x)=7'(x),則〃'㈤=e，+4>0,所以h(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增，

X

/1\1

又“——e^—1—y/e—2<0,/?(1)=e1-1>0,

所以〃(x0)存在唯一零點，設(shè)為％,

當(dāng)0<x<%時，/'(無)<0,/。)單調(diào)遞減，當(dāng)x>Xo時，/'(x)〉0,/(x)單調(diào)遞增，

所以“X)有唯?極小值點x0,故選項A正確.

令/'(Xo)=e*—’=0,得/。=-1-,兩邊同時取對數(shù)可得%=111'=—In/.

玉)玉)玉)

所以lnx0—2='-+Xo-2N2jL-Xo-2=O(當(dāng)且僅當(dāng)%=1時等號成立),

又所以f(Xo)>O,BP[y(x)]min>0,所以f(x)無零點，故選項B錯誤.

由/(%)=，"+玉)-2,7<工0<1,可設(shè)g(x)=1+工-2,則g'(x)=--y+1.

Xo2xx

當(dāng)g<x<l時，g'(x)<o,所以g(x)在(對上單調(diào)遞減.

所以g(l)<g(x)<g(；),即0</(/)<《，故選項C正確，選項D錯誤，故選AC

【名師點睛】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)/(幻的單調(diào)性和極值的步驟

①寫定義域，對函數(shù)f(x)求導(dǎo)/'(X)；

②在定義域內(nèi)，解不等式/。)>。和ra)<o

③寫出單調(diào)區(qū)間，并判斷極值點.

4.己知函數(shù)/(幻=；/+』—2在區(qū)間(。-2,。+3)上存在最小值，則整數(shù)a可以取

A.-2B.-1

C.0D.1

【試題來源】湖南省郴州市2020-2021學(xué)年高二上學(xué)期期末

【答案】BCD

【分析】首先先求函數(shù)的極值點，若函數(shù)在開區(qū)間(a-2,a+3)取得最小值，則比較端點值,

建立不等式關(guān)系，求。的取值范圍.

【解析】/'(x)=f+2x=x(x+2),/'(x)=0時，％=-2或x=0.

當(dāng)》<—2或x〉0時，/'(x)>0，當(dāng)—2<x<0時，/'(x)<0,

所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是(一8,-2)和(0,+“)，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是(一2,0),

所以函數(shù)的極大值點是-2,極小值點是o,n./(o)=-2,

那么當(dāng)11+/一2=-2,解得x=o或x=-3

3

所以函數(shù)在區(qū)間(a-2,a+3)上存在最小值，

-3<n-2<0

則《,解得一lWa<2.故選BCD

a+3>0

【名師點睛】本題考查根據(jù)函數(shù)的極值點求參數(shù)的取值范圍，函數(shù)在開區(qū)間(a—2M+3)上

存在最小值，則必在極小值點處取得最小值，但先求出和極小值相等的自變量的值，比較端

點值時不要忽略這個值.

5.己知函數(shù)=-sinx+l,則

A.的周期為2〃

B./(x)的圖象關(guān)于點(0,1)對稱

377

C./(x)在0,—上為增函數(shù)

D.〃x)在區(qū)間［-5%,5句上所有的極值之和為10

【試題來源】福建省福州市2020-2021學(xué)年高二上學(xué)期期末質(zhì)量抽測

【答案】BCD

【分析】計算〃X+2?)H/(X),可判斷A錯：構(gòu)造函數(shù)g(x)=/(x)-l=*.sinx,

判斷其是奇函數(shù)，得出對稱中心，即可判斷了(尤)的對稱中心，得B正確；當(dāng)時，對

函數(shù)求導(dǎo)，判斷其單調(diào)性，即可得出C正確；利用導(dǎo)數(shù)的方法求出函數(shù)在給定區(qū)間的極值

點，結(jié)合函數(shù)對稱性，即可得出結(jié)果.

【解析】A選項，因為/(%)=/-sinx+l,

所以/(x+24)=d"2M.sin(x+2乃)+1=2M.sinx+1w/(x),

因此2〃不是/(x)的周期；即A錯；

B選項，令g(x)=/(x)-l=eN-sinx,定義域為R，

則g(-x)=力乂-sin(-x)=-g(x),所以g(x)=/?sin尤圖象關(guān)于原點對稱；

因為/(x)=g(x)+l，所以〃x)的圖象關(guān)于點(0,1)對稱,故B正確;

C選項，當(dāng)x20時，/(x)=e'，sinx+l,

則(x)=ex-sinx+-cosx=痣/sin]x+?

3乃77C171,所以$皿卜+(卜0,

因為XE0,——,JJIl]X+—G

444I"

x7tI3九"

即f'^x)=y[2esinX+—>0,故/(x)在上為增函數(shù)，即c正確:

4

D選項，當(dāng)XE[0,5句時，/(x)=eA-sinx+1,//(x)=y[lexsinj,

令=血/sin(尤+?)=°可得x+?=%乃，所以x=+(攵EZ),

37111S19

由xs[0,5萬可得，極值點為x二一肛一肛一肛一肛一萬；

L」44444

當(dāng)xw[-5肛0]時，/(x)=ex-sinx+l,

則(x)=-e~xsinx+e~xcosx=\/2excosx+—.令f'(4=叵式cosx+—=0,

jr

可工+匹=工+攵乃得,則x=^+左肛(％eZ),由xe[-5",()]可得,

42

3乃7乃11兀15萬197

極值點為*=

T,-T~4~，一_4~~4~

由B選項，可知〃二1)；/(、)=1，即〃—x)+/(x)=2,

所以/(x)在區(qū)間［-5乃,5句上所有的極值之和為

=5[/(—x)+/(x)]=10,即D正確；故選BCD.

【名師點睛】利用導(dǎo)數(shù)的方法研究函數(shù)單調(diào)性求極值時，需要先對函數(shù)求導(dǎo)，求解導(dǎo)函數(shù)對

應(yīng)的不等式，判斷出單調(diào)性，進(jìn)而可得出極值，即可求解.

三、填空題

1.函數(shù)/(X)=(x+l)e”的最小值是.

【試題來源】江蘇省連云港市2020-2021學(xué)年高二上學(xué)期期末

【答案】2

e~

【解析】/(X)=(x+1)/=>/'(x)=(x+2)ex,

當(dāng)了>-2時，f(x)>0,/(x)單調(diào)遞增，當(dāng)％<-2時，f(x)<0,/(x)單調(diào)遞減，

11

因此當(dāng)x=—2時，函數(shù)有最小值，最小值為一(一2)=(—2+1)”27=一故答案為一

ee

2.已知x=l是函數(shù)/(力=￡+/的極值點，則實數(shù)。的值為.

【試題來源】寧夏平羅中學(xué)2020-2021學(xué)年高二上學(xué)期期末考試(理)

【答案】2

【分析】由已知條件可得出了'(1)=0,可求得。的值，然后分析導(dǎo)數(shù)在x=l附近的符號變

化，由此可求得實數(shù)。的值.

【解析】由〃月=g+/，得:(力=一烏+2-

XX

因為尤=1是/(X)的極值點，所以.1(1)=0,即一a+2=0,所以a=2.

此時2(、1)，當(dāng)x<l時，f\x)<0；當(dāng)%>1時，r(x)>0.

因此x=l是函數(shù)/(%)的極小值點，即。=2符合題意.故答案為2.

【名師點睛】已知極值點求參數(shù)的值，先計算/'(九)=0,求得工的值，再驗證極值點.由

于導(dǎo)數(shù)為。的點不一定是極值點，因此解題時要防止遺漏驗證導(dǎo)致錯誤.

3.已知/(x)=d-2cx2+/尤在％=2處有極小值，則常數(shù)c的值