高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)第七講三角函數(shù)

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高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)第七講：三角函數(shù)

一、三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)

一、教學(xué)目的：

1．使學(xué)生熟知三角函數(shù)的基本性質(zhì)，并能以此為依據(jù)研究一些解析式為三角式的函數(shù)的性質(zhì)，切實(shí)把握判定目標(biāo)函數(shù)的奇偶性，確定其單調(diào)區(qū)間及周期的方法。

2．會(huì)求函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的周期，或者經(jīng)過簡單恒等變形便可轉(zhuǎn)化為上述函數(shù)的三角函數(shù)的周期；

3．了解正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)、余切函數(shù)的圖象的畫法，會(huì)用“五點(diǎn)法〞畫四函數(shù)及y=Asin(ωx+φ)的簡圖，并能解決與正弦曲線有關(guān)的實(shí)際問題。

考試內(nèi)容：用單位圓中的線段表示三角函數(shù)值；正、余弦與正、余切函數(shù)的圖象和性質(zhì)；函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖象。

二、基本三角函數(shù)的圖象

定義域y=sinxRy=cosxRy=tanx{x|x?k??y=cotx?2，x?R}{x|x≠kπ，x∈R}R最小正周期π減區(qū)間（kπ，kπ+π）值域周期性[-1，1]最小正周期2π[-1，1]R最小正周期2π最小正周期π增區(qū)間增區(qū)間[2kπ-π，2kπ]??(k??，k??)減區(qū)間22[2kπ，2kπ+π]單調(diào)區(qū)間增區(qū)間k∈z??[2k??，2k??]22減區(qū)間[2k???2，2k??3?2]1

最值點(diǎn)k∈z最大值點(diǎn)(2k??最小值點(diǎn)?(2k??,?1)2?2,1)最大值點(diǎn)無（2kπ，1）最小值點(diǎn)（2kπ+π，-1）(k??無對(duì)稱中心（kπ，0）k∈z對(duì)稱軸k∈zx?k???2,0)(k?2,0)(k?2,0)?2x=kπ無無

三、（一）性質(zhì)——單調(diào)性、奇偶性、周期性（注意書寫格式及對(duì)角的探討）例1．用定義證明：f(x)=tgx在(???2,2)遞增。

例2．比較以下各組三角函數(shù)的值的大?。?）sin194°和cos160°；（2）ctg(?（3）sin(sin43157419?)和ctg(?)和sin(cos?)

)；

3?83?8（4）tg1，tg2和tg3；

（1）>（2）（4）tg20的圖象及變換

相位變換周期變換振幅變換(1)??????(2)??????(3)??????(左、右平移)(左、右伸縮)(上、下伸縮)

周期變換相位變換振幅變換(1)??????(2)??????(3)??????(左、右伸縮)(左、右平移)(上、下伸縮)4

三、y=Asin(ωx+φ)的圖象與變換相位變換-φ>0左移；φ1，橫坐標(biāo)縮短

1??振幅變換-A>1，縱坐標(biāo)伸長A倍；0倍；0

例2．函數(shù)y?sin(2x?5?2)的圖像的一條對(duì)稱軸

k?2(k?Z)

方程是（）。?y?cos2x?x?A．x??B．x??C．x?D．x??854?2

?4?

12x?例3．函數(shù)y?tg(?3)在一個(gè)周期內(nèi)的圖象是（）

例4．如圖，已知正弦函數(shù)y=Asin(ωx+φ)（A>0）的一個(gè)周期的圖象，試求函數(shù)y的解析表達(dá)式y(tǒng)?2sin(23x?53?)

例5．已知函數(shù)y?12cos2x?32sinxcosx?1，x?R，

（1）當(dāng)y取得最大值時(shí)，求自變量x的集合；

（2）該函數(shù)的圖象可由y=sinx（x∈R）的圖象經(jīng)過怎樣的平移和伸縮變換得到（2000年高考，難度0.70）

1?5?（1）?y?sin(2x?)??{x|x?k??，k?Z}

2646（2）

6

1縱不變，橫縮倍?左平移一個(gè)單位2??y?sinx????????y?sin(x?)???????61橫不變，縱縮倍?2y?sin(2x?)??????????65向上平移個(gè)單位1?1?5y?sin(2x?)?????4?????y?sin(2x?)?

26264例6．求以下各方程在區(qū)間[0，2π]內(nèi)實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù)

（1）cos2x?log（2）sinx=sin4x；

2x；

（1）一個(gè)實(shí)解（2）九個(gè)實(shí)解

例7已知函數(shù)y?2sinxcosx?23cos2x?（1）作出它的簡圖：（2）填空回復(fù)問題：〈1〉振幅2；〈2〉周期π；1〈3〉頻率；

?3

〈4〉相位2x??3；

?〈5〉初相；

3〈6〉定義域R；〈7〉值域[-2，2]；〈8〉當(dāng)x=k??7?12?12時(shí)ymax?2；

當(dāng)x?k??(k?Z)時(shí)，ymin?-2；

〈9〉單調(diào)遞增區(qū)間[k??5?12,k???12k∈Z。；

7

單調(diào)遞減區(qū)間[k???12,k??7?12]k∈Z。

〈10〉當(dāng)x∈(k???6,k???3)k∈Z時(shí)，y>0

當(dāng)x∈(k???3,k??5?6)k∈Z時(shí)，y

?(?2)sin30?sin18??sin54??sin54??sin18??2cos54??18?2sin54??18?

2?2cos36??sin18??2sin18??cos18??cos36?cos18?（出現(xiàn)倍角關(guān)系）

????sin36??cos36?cos18?2sin36??cos36?2cos18?sin72?2cos18?12

四、三角中常用的變角代換技巧

在三角的計(jì)算與證明中，往往要進(jìn)行角之間的變換，為了得到合理的角的變換式，就必需考察待求問題中的角與已知條件中的角之間的聯(lián)系。三角中的變角代換具有很強(qiáng)技巧性，本文就三角中常用到的一些變角代換作些說明。

1.單角化復(fù)角

這里所說的復(fù)角是指由角的和或角的差所形成的角。常用的角變換式有：???(???)?，??(????)?????????2?2，????????2?2

例1.求證：sinA?sinB?cossAin(A?B)?2sinAsin2A?B2。

證明：左邊?sinA?sin[(A?B)?A]?cosAsin(A?B)?sinA?sin(A?B)cosA?cos(A?B)sinA?cosAsin(A?B)sinA[1?cos(A?B)]??2sinAsin2

A?B2

A?B2A?B?cos?122A?BA?BA?BA?Bcos(?)cos(?)證明：左邊?

2222osAcosB?cos例2.求證：c216

?(cosA?B?B2cosA?B?B2?sinA2sinA2)?(cosA?B?B2cosA?B2?sinA?B2sinA2)?cos2A?Bcos2A?BA?B22?sin22?sin2A?B2

?cos2A?Bcos2A?B2(1?cos2A?B)(1?cos2A?B2?22)?cos2A?B2?cos2A?B2?12.單角化倍角

單角化倍角的主要角度換式有??2???。例3.求證：

1sin2x?cot2x?tanx

證明：左邊?cosxcos(2x?x)sin2xcosx?sin2xcosx?cos2xcosx?sin2xsinxsin2xcosx

?cot2x?tanx

例4.求證：

2sinAcos3A?cosA?tan2A?tanA證明：左邊?2sin(2A?A)2cos2AcosA

?1cos2AcosA?(sin2AcosA?cos2AsinA)?sin2AsinAcos2A?cosA

?tan2A?tanA3.倍角化復(fù)角

倍角化復(fù)角常用的角變換式有：2??(???)?(????)，2?(???)?(???)例

5.

已知

cos?(??)??445，cos?(??)?5，且

????(?2，?)????(3?2，2?)，求cos2?，cos2?。

解：由于cos(???)??4，????(?52，?)

所以sin(???)?1?cos(2???)?35又由于cos(???)?45，????(3?2，2?)

17

，

2所以sin(???)??1?cos(???)??

35所以cos2?cos[(???)()]?cos(???)cos(???)?sin(???)sin(???)??????4433?(?)??(?)5555725

??所以cos2?cos[(???)()]?cos(???)cos(???)?sin(???)sin(???)?????33??(?)?(?)?555??1445

4.復(fù)角化復(fù)角

復(fù)角化復(fù)角內(nèi)容豐富，但主要有以下三組變換式：2??(?)?，2??(?)?

??????????222222?????)?????)?(????)(?，?(????)(?(?)?(?)??(?)，(?)?(?)??(?)

例6.已知cot??2，tan(???)??，求tan(??2?)之值。

513ot??2解：由于c，所以tan??，tan(???)??

252??????????????442442所以tan(??2?)??tan(2???)??tan[??(???)]??tan??tan(???)1?tan?tan(???)121???112?(?1225)25)

??

?(?

18

例7.已知cos(??)??，sin(??)?，并且

?1?2?????，0????，試求

29232cos???之值。

2解：由于?2????，0????

所以

?????4?????，?????

由于cos(???24221?2)??29，sin(2??)?3

所以sin(???2)?1?cos2(???2)?1?(?1249)?95

cos(?2??)?1?sin2(?2??)?1?(23)2?53所以cos????cos[(???)?(?222??)]?cos(????2)cos(2??)?sin(???2)sin(?2??)?(?154529)?3?9?3

?7527

例8.已知

?4???3?4，0?????3?54，且sin(4??)?5，cos(4??)?13，sin(???)之值。

解：由于

?4???3???????4，0???4，所以2?4????，4????所以sin(?424??)?35，cos(?4??)?513所以cos(???)??1?sin(2?44??)??1?(3245)??5

19

求

sin(?4??)??1?cos(1?(513)22?4???)

1213所以sin(???)

?2??cos[?(???)]??)?(??)cos(23?1213??cos[(?4?4?4??)]??)?sin(??cos(??4?5?4??4??)sin(?4??)

5135665在有些三角問題中，有時(shí)既要把單角化為復(fù)角，同時(shí)又要把復(fù)角化為復(fù)角。

例9.已知3，求證：t。sin??sin(2???)a