2017版基礎(chǔ)線性代數(shù)新浪微博考研數(shù)學高老師

向量的定義1:既有大小,又有方向的量稱為向量,記為或用有向線段AB表示向量,線段的長度AB表示向量的大小又稱向量的長度或模,模等于1的向量稱為單位向量,模等于向量的坐標表

的向量稱為零向量在空間直角坐標系Oxyz中,若OM點M的坐標x,y,z稱為的坐標記為x,y,z設(shè)axayazbbxbybz則baxbxaybyazbz向量的模與方在空間直角坐標系Oxyz中,稱與三個坐標軸x,y,z軸的夾角,,為的方向角.設(shè)x,y,z,則的模 x2y2z2;的方向余弦cos二、向量的線性運算設(shè)axayazbbxbybz加法baxbxaybyazbz數(shù)乘:axayaz向量的加法與數(shù)乘有以下性質(zhì):bb bcabaa aa aba第二 數(shù)量 向量 混合一、兩向量的幾何表示ababcos其中是a與b的夾角代數(shù)表示設(shè)a（axayazb（bx,bybz,則abaxbxayby,,應(yīng)用:判定兩向量垂直abab0axbxaybyazbz二、兩向量的幾何表示:ab是一個向量模ababsin其中是a與b的夾角；方向:ab同時垂直于a和 代數(shù)表示:設(shè)a（ax,ay,az,b（bx,by,bz,則ab

az,,應(yīng)用:判定兩向量平行abab0

ay

az例1設(shè)M1112、M233,1和M33,13求與M1M2M2M3同時垂直的單位向量三、混合定義稱（ab）c為三個向量abc的混合積,記為 az,,bz,cz,

bz.:a第三 平面及其方一、建立平面方基本點 平面由一個定點與法向量確定,與平面垂直的向量稱為它的法向量平面的點法式Axx0Byy0Czz0這里x0y0z0為平面上一定點,nAB,C為平面的法向量平面的一般式AxByCzD0這里nA,B,C為平面的法向平面的截距式xyz1,這里a,b,c分別為平面在三個坐標軸上的截距且均不為0. 二、平面與平面的位置例1求過三點M121,4、M21,3,2和M30,2,3的平面方程例2一平面通過兩點M11,1,1和M20,1,1且垂直于平面xyz0求它的方程第四 空間直線及其方基本點:空間直線由一個定點與方向向量確定,與直線平行的非零向量稱為它的方向向xx0

y

zz0這里xyz為直線上一定點,smn,p nt,這里x,y, 為直線上一定點 m,n,p為直線的方向向量 zz0A1xB1yC1zD1這里的直線為兩個平面的交線,方向向量snnAxByCzD 兩點Px,y,z和Px,y,z的距離d xx2yy2zz2 點Px,y,z到平面AxByCzD0的距離d P0Psx y P0Ps點 x,y, 到空間直 0 0 0的距離d 這里P是直線上任一點,s（m,n,p）是直線的方向向量xyz100例2求過點124且垂直于平面2x3yz40的直線方程例3求與兩平面x4z3和2xy5z1的交線平行且過點32,5的直線方程第五 曲面及其方一、曲面的方程三元方程Fx,yz0在空間表示一張曲面S,叫做曲面的二、旋轉(zhuǎn)曲面定義1:以一條平面曲線繞其平面上的一條直線旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面叫做旋轉(zhuǎn)曲面,fy,z設(shè)yoz坐標面上的一條曲線L:x 繞z軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)曲面方程為:f x2y2,z繞y軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)曲面方程為:fy, 例1將xoz面上的曲線 21分別繞z軸和x軸旋轉(zhuǎn)一周,求所生成的旋轉(zhuǎn)曲面方程 三、柱面定義2:平行直線并沿定曲線C移動的直線L形成的軌跡叫做柱面,定曲線C叫做柱面的準線動直線L叫做柱面的母線.

Fx,y方程Fx,y0在空間中表示柱面,它的母線平行于z軸,準線是xoy面上的曲線 z三、二次曲第六 空間曲線及其方一、空間曲線的方程方程組

Gxyz0在空間表示一條曲線C,叫做空間曲線的一般式xxt方程組yyt在空間表示一條曲線C,叫做空間曲線的參數(shù)zztFx,y,z設(shè)由空間曲線C

Gx,y,z0在此方程組中消去z得Hx,y0,它表示空間曲線C關(guān)于xoy面的投影柱面Hx,y若在令z0,即 z

表示空間曲線C在xoy面上的投影例1求上半球面z 4x2y2和錐面z 3x2y2圍成的立體在xoy面上的投影第九 多元函數(shù)微分法及其應(yīng)第一 多元函數(shù)的基本概一、二維鄰域設(shè)P0x0,y0是xoy平面上的一個點,是某一與點P0x0y0距離小于的點Px,y的全體稱為點P0的鄰域記作UP0,即UP0,x,y

點P0的去心鄰域,記作UP0,,即UP0,x,y0 二、二元函數(shù)定義1設(shè)有三個變量xyz變量xy的變化域為D若對D中每一點Px,y按照某一對應(yīng)規(guī)則f變量z都有唯一確定的一個值與之對應(yīng),則稱變量z是變量x,y的二元函數(shù)記作zfx,y.這里x,y稱為自變量D稱為定義域,z稱為因變量（函數(shù)值三、多元函數(shù)定義2:y

fx,yAfx,yAx,yx0,y0定理:y

fxyAfxyA其中0x,yx0y0注:1.二元函數(shù)中x,yx0,y0是指的沿任意路徑方除法則、單調(diào)有界準則外其余求極限的方法適用于二重極要會用不同的路徑或某一特殊的路

sinxy

例

2

x

x

xx:1lim ；2）lim ；xx

四、多元函數(shù)定義3:y

fxyfx0y0則稱二元函數(shù)fxy在x0y0處連續(xù)注:1.二元函數(shù)fx,y在x0,y0處若不連續(xù)是不討論其間斷點類型（二元連續(xù)函數(shù)的和、差、積、商（分母不為零）或復合仍連續(xù)（有界性與最大值最小值定理、介值定理第二 偏導一 偏導數(shù)的定義及其幾何意定義1fxylimfx0xy0fx0y0limfxy0fx0y000x00 xxfx,ylimfx0,y0yfx0,y0limfx0,yfx0,y0.y00 yy0 yy00例2設(shè)fx,yxy x,求f 例3討論下列函數(shù)在0,0點的連續(xù)性與可偏導性 ,x,y0,（1）fx,yx2

x,y0,

;2）fx,y

xyfxx0y0是曲面zfxy與平面yy0的交線在點P0x0y0fx0y0處的切線對x軸的斜率;fyx0y0是曲面zfx,y與平面xx0的交線在點P0x0y0fx0y0處的切線對y軸的斜率例4zx2y2在點2,4,5處的切線對x軸的傾角是多少？ y二、高階偏導設(shè)zfx,y在區(qū)域D內(nèi)具有偏導zfxy,zfx,y在D內(nèi)zz均是x,y的函數(shù) x如果這兩個函數(shù)的偏導數(shù)也存在,稱它們是zfx,y的二階偏導按照對變量求導次序的不同 二階偏導數(shù)有以下四個z2zfx,y z2zfx,yxx yx z2zfx,y z2zfx,yxy yy 2 2其中xy和yx稱為混合偏導數(shù)定理 2 2若zfx,y的兩個二階混合偏導數(shù)xy和yx在在點x0y0處連續(xù)2 xyx0,y0

2 2例5驗證函數(shù)z 滿足方程:

2例6設(shè)zfxy在全平面有連續(xù)的偏導數(shù)且xy0,求fxy一、全微分的

第三 全微定義1:設(shè)zfxy在點x0y0的某鄰域有定義,若全增量zfx0xy0yfx0y0可表示為zAxByo x2y2,其中A和B是不依賴于x和y的常數(shù)則稱zfxy在點x0y0處可微,而AxBy稱為zfxy在點x0y0處的微分0記為dzxyAx0二、可微的必要條件與充分若zfxy在點x0y0處可微（1）fx,y在點x0y0處連續(xù)（2）fx,y在點x0,y0處可偏導,且dz x0,y0x x0,y0y x0,y0dx x0,y0若zfxy的兩個偏導數(shù)ff都在點xy處連續(xù),則zfxy在點xy處可x 例1計算函數(shù)zx2yy2的全微分

,x,y0,x,y0,

討論fx,y在0,0點是否可微例3設(shè)fxy

x2y2,x,y0,x2

討論fx,y在0,0點是否可微 x,y0,例4設(shè)uuxy滿足du4x310xy33y4dx15x2y212xy35y4dy求ux,y若dux,yPx,ydxQx,ydy稱ux,y為Px,ydxQx,ydy的原函數(shù)第四 多元復合函數(shù)的求導法一、鏈式求導法則設(shè)uuxyvvxy在點xy處有對xy的偏導數(shù)zfuv在對應(yīng)點可微則復合函數(shù)zfux,yvx,y對x,y的偏導數(shù)存在 f ； fu f fu f f ； u v 1 2 u v 1 2 例1設(shè)wfxyzxyzf具有二階連續(xù)偏導x及xz2例2設(shè)zfuxy,uxeyf具有二階連續(xù)偏導數(shù),求

xyux2 2 2 2 2例3用變換vxay可把方程6x2xy其中z有二階連續(xù)偏導數(shù)第五 隱函數(shù)的求一、一個方程

0化簡為uv0求a隱函數(shù)存在定理 設(shè)Fx,y有連續(xù)一階偏導數(shù),且Fy則方程Fx,y0確定yyxdyFx 隱函數(shù)存在定理2設(shè)Fx,y,z有連續(xù)階偏導且Fz則方程Fxyz0確定zzx,y

z

x， y Fz 二、方程組情形（僅數(shù)一Fx,y,u,v設(shè)uux,yvvx,y有方程組Gx,y,u,v

確定FFuFv u v u在方程兩端直接對x求偏導,有G Gv0x,x u v

10在點0,1附近能確定函數(shù)yyx并求

2 xuyv uu 例2設(shè)xyz4z0x2

,求 和xy 例4設(shè)uv具有連續(xù)偏導數(shù),證明由方程cxazcybz0所確定的函數(shù)z滿足azbz

fx,y 例5設(shè)yfxt而ttx,y是由方程Fx,y,t0所確定的函數(shù).其中fF都具有一階連續(xù)偏導. 一、曲面的切平面與法線曲面以隱式給出:Fx,y,z0法向量n=FxFy,曲面以顯示給出zfxy法向量n=fxfy例1求曲面x2y2z214在點12,3處的切平面及法線方程例2求曲面zx2y21在點2,14處的切平面及法線方程二、空間曲線的切線xxt空間曲線L以參數(shù)形式給出yyt,t切向量=xt,yt,ztzztFx,y,z空間曲線L以一般式給出:Gx,yz0切向量=n1n2例3求曲線xt2在點1,1,1處的切線及法平面方程 zx2y2z2

xyz0在點1,2,1處的切線及法平面方程 定義1二元函數(shù)zfxy在點P0x0y0處沿著方向elcoscosfx0tcos,y0tcosfx0,y0方向?qū)?Plim t 二、方向?qū)?shù)的存在若zfx,y在點P0x0y0可微則zfxy在點P0x0y0沿任一方向的方向?qū)?shù)都存在且 fx,ycosfx,ycos,其中cos,cos是方向l的方向余弦l 例1求函數(shù)zxe2y在點P1，0處沿從點P1，0到點Q21的方向?qū)?shù)三、梯定義2gradfx0y0fxx0y0ifyx0y0方向?qū)?shù)與梯度向量的關(guān)系: fx,ycosfx,ycoslx0,y0 fx0,y0,fyx0,y0cos,cosgradfx0y0l0gradfx0y0cos其中是gradfx0y0與l0的夾角例2求 x2例3設(shè)fxy1x2y2P1,1求 （1）fx,y在P0處增加最快的方向以及fx,y沿這個方向的方（2）fx,y在P0處減少最快的方向以及fx,y沿這個方向的方（3）fx,y在P0處變化率為零的方向第八 多元函數(shù)的極值及其求一、多元函數(shù)定義1設(shè)zfx,y在點P0x0,y0的某鄰域內(nèi)有定義,對該鄰域內(nèi)任何異于P0x0,y0點x,y,有fx,y（）fx0,y0則稱P0x0,y0是fx,y的極大（?。┲礷x,y例1已知函數(shù)fx,y在點0,0的某個鄰域

x2y2則下列說法正確的 A點00不是fx,y的極值B點00是fx,y的極C點00是fx,y的極小值D根據(jù)所給條件無法判斷0,0是否為fx,y的極二、極值的必要條件和充分設(shè)zfx,y在x0,y0處具有偏導數(shù),且在x0,y0處取極值,則fxx0y00,fyx0,y0設(shè)zfx,y在x0y0的某鄰域內(nèi)有二階連續(xù)偏導數(shù),且fxx0y00,fyx0y0記fxxx0y0A，fxyx0y0B，fyyx0y0C,若B2AC0,則x0y0是fxy的極值點A0時,x0,y0為fx,y的極小值點；A0時,x0y0為fx,y的極大值若B2AC0,則x0,y0不是fx,y的極值若B2AC0,則x0,y0可能是也可能不是fx,y的極值例2求fxyx3y33x23y29x的極值例3設(shè)zzxy由方程x2y2z22x4y6z110確定求zzxy的極值三、條件最求zfx,y在條件x,y0下的（1）構(gòu) 日函數(shù)Fx,y,fx,yx,y（2）列方程組Ffx,y x,y Fx,y解上述方程組根據(jù)實際問題,所得即所求上述方法可推廣求zfx,yz在一個條件x,yz或兩個條

x,yz0下的最值構(gòu)造Fxyzfxyzxyz或Fxyzfxyzxyzxyz例4求uxyz在條1111xyza0下的最值 四、連續(xù)函數(shù)在閉區(qū)間上的最大值最小以二元函數(shù)為例:求連續(xù)函數(shù)zfxy在有界閉區(qū)域D上的最求fx,y在D內(nèi)部的偏導數(shù)為零和偏導數(shù)不存在的求fx,y在D的邊界上的最值比較上述各函數(shù)值的大小,最大的為最大值,最小的為最小例5設(shè)有一圓板占有平面閉區(qū)域Dx2y21該圓板被加以致在點xy的溫度是Tx22y2x.求該圓板的最熱點和最第十 重積第一 二重積分的概念與性定義

fx,ydlim

f,其中表示最大小區(qū)域的直徑 0

fxy在D上存在二重積分,也稱fxy在D若fxy0,則fxyd表示以曲面zD側(cè)面是柱面的曲頂柱體的體二、二重積分等式性D

fx,y為頂,以區(qū)域D為底（2）k1fx,yk2gx,ydk1fx,ydk2gx,y （3）fx,ydfx,ydfx,yd, D2D, D2 不等式性 D

D

fx,y（3）在D上若m中值定

fxyM,則mADfxydMD設(shè)fx,y在D上連續(xù)則存在一點,D使D

fx,yd=f,三、二重積分設(shè)D關(guān)于y軸對稱D1是D在x0的部分,2fx,yd,fxy對x是偶函fx,yd fx,y對x是奇設(shè)D關(guān)于x軸對稱D1是D在y0的部分,2fxyd,fxy對y是偶函fx,yd fx,y對y是奇若D關(guān)于直線yx對稱,則fxydfyxd 例1設(shè)有平面閉區(qū)域DaxaxyaD10xaxy則xycosxsinydxdyDA2cosxsin

B2

C4xycosxsiny

D例2設(shè)fx,y,fy,x都在D上可積,D關(guān)于直線yx對稱證明fx,ydfyxd其中D1D2分別為D在yx的上方與下方部 fx,ydfy,xd 第二 二重積分的計算1.若Daxb,xyx則fxyd

2

fx,y d2.若Dcyd,yxy則fxydd

12yy1

的特點:（1）和（2）都是將二重積分化為累次積分不同的是前者是先對y積分后對x積分,后者是先對x積分后對y積分區(qū)域的特點:（1）中區(qū)域D的特點是穿過D內(nèi)與x軸平行的直線交D的邊界不多于兩點,是適宜先對x積分后對y積分的區(qū)域積分限的特點:每個單積分總是上限后積分的積分線是常數(shù),先積分的積分限是后積分變量的函D

1x2y2d其中D是由直線yxx1和y1圍成的閉區(qū)域例2計算xyd其中D是由拋物線y2x及直線yx2所圍成的閉區(qū)域D二 利用極坐標計算二重積若D是適合極坐標表示,即D:r1rr2 則fxyddr2frcosrsin D Dy x注:被積函數(shù)形如xmynfx2y2或xmyn

或xmyn

yx x且積分區(qū)域為圓域、環(huán)域、扇形時使用極坐標比較方D例3計算ex2y2d其中D是由圓心在原點、半徑為a的圓周所圍成的D y2 例4計算二重積分a2b2dxdy,其中D:x R 例5計算二重積分xydxdy其中D是由曲線x2y22x2y1所圍成的閉區(qū)域D例6交換下列二次積分的次序 1y

2

3 fx,ydxdy

fx,y

fx,y例7化下列的二次積分為極坐標下的二次 fx,y

2axx2x2y2dy 例8計算下列二次積分（1）2dx2ey2dy ;2）2a 一、三重積分的概念與物理意義定義1fxyzdvlim

0

i fxyz在上存在三重積分,也稱fxyz在若物體占據(jù)空間區(qū)域其體密度為fx,yz,則在它的質(zhì)量mfx,yz普通對設(shè)關(guān)于yoz面對稱,1是在yoz前面的部分2fxyzdv,fxyz對x是偶函fx,y,zdv fxyz對x是奇函數(shù)若關(guān)于xoy面或x