上海八年級下平面向量知識點總結(jié)

上海八年級下平面向量知識點總結(jié)平面向量●重難點突破1.向量加法的運算及其幾何意義。2.對向量加法定義的理解。3.向量的減法運算及其幾何意義。4.對向量減法定義的理解。5.實數(shù)與向量積的意義。6.實數(shù)與向量積的運算律。7.兩個向量共線的等價條件及其運用。8.對向量共線的等價條件的理解運用?！衩空n一記一、求若干個向量的和的模(或最值)的問題通常按下列步驟進行：(1)尋找或構(gòu)造平行四邊形，找出所求向量的關(guān)系式；(2)用已知長度的向量表示待求向量的模，有時還要利用模的重要性質(zhì)。二、1.向量的加法定義向量加法的定義：如圖3，已知非零向量A.b，在平面內(nèi)任取一點A，作=a，=b，則向量叫做a與b的和，記作a+b，即a+b=+=。求兩個向量和的運算，叫做向量的加法。2.向量加法的法則：（1）向量加法的三角形法則特殊與一般，歸納與類比，數(shù)形結(jié)合，分類討論，特別是通過知識遷移類比獲得新知識的過程與方法。三、用向量法解決物理問題的步驟為：先用向量表示物理量，再進行向量運算，最后回扣物理問題，解決問題。四、向量也有減法運算。由于方向反轉(zhuǎn)兩次仍回到原來的方向，因此a和-a互為相反向量。于是-(-a)=a。我們規(guī)定，零向量的相反向量仍是零向量.任一向量與其相反向量的和是零向量，即a+(-a)=(-a)+a=0。所以，如果a、b是互為相反的向量，那么a=-b，b=-a，a+b=0。1.平行四邊形法則圖1如圖1，設(shè)向量=b，=a，則=-b，由向量減法的定義，知=a+(-b)=a-b。又b+=a，所以=a-b。由此，我們得到a-b的作圖方法。圖22.三角形法則如圖2，已知a、b，在平面內(nèi)任取一點O，作=a，=b，則=a-b，即a-b可以表示為從b的終點指向a的終點的向量，這是向量減法的幾何意義。（1）定義向量減法運算之前，應(yīng)先引進相反向量。與數(shù)x的相反數(shù)是-x類似，我們規(guī)定，與a長度相等，方向相反的量，叫做a的相反向量，記作-a。（2）向量減法的定義。我們定義a-b=a+(-b)，即減去一個向量相當(dāng)于加上這個向量的相反向量。規(guī)定：零向量的相反向量是零向量。(3)向量的減法運算也有平行四邊形法則和三角形法則，這也正是向量的運算的幾何意義所在，是數(shù)形結(jié)合思想的重要體現(xiàn)。五、我們規(guī)定實數(shù)λ與向量a的積是一個向量，這種運算叫做向量的數(shù)乘，記作λa，它的長度與方向規(guī)定如下：(1)|λa|=|λ||a|；(2)當(dāng)λ＞0時，λa的方向與a的方向相同；當(dāng)λ＜0時，λa的方向與a的方向相反。由(1)可知，λ=0時，λa=0。根據(jù)實數(shù)與向量的積的定義，我們可以驗證下面的運算律。實數(shù)與向量的積的運算律設(shè)λ、μ為實數(shù)，那么(1)λ(μa)=(λμ)a;(2)(λ+μ)a=λa+μa;(3)λ(a+b)=λa+λb.特別地，我們有(-λ)a=-(λa)=λ(-a)，λ(a-b)=λa-λb。向量共線的等價條件是：如果a(a≠0)與b共線，那么有且只有一個實數(shù)λ，使b=λa。共線向量可能有以下幾種情況：(1)有一個為零向量；(2)兩個都為零向量；(3)同向且模相等；(4)同向且模不等；(5)反向且模相等；(6)反向且模不等。數(shù)與向量的積仍是一個向量，向量的方向由實數(shù)的正負(fù)及原向量的方向確定，大小由|λ|·|a|確定。它的幾何意義是把向量a沿a的方向或a的反方向放大或縮小。向量的平行與直線的平行是不同的，直線的平行是指兩條直線在同一平面內(nèi)沒有公共點；而向量的平行既包含沒有交點的情況，又包含兩個向量在同一條直線上的情形。向量的加、減、數(shù)乘運算統(tǒng)稱為向量的線性運算。對于任意向量a、b，以及任意實數(shù)λ、、，恒有λ(a±b)=λa±λb?！窠?jīng)典例題例1化簡：(1)+(2)++(3)++++解：(1)+=+=(2)++=++=(+)+=+=0(3)++++=++++=+++=++=+=0解析：要善于運用向量的加法的運算法則及運算律來求和向量。例2若=a+b，=a-b①當(dāng)a.b滿足什么條件時，a+b與a-b垂直？②當(dāng)a.b滿足什么條件時，|a+b|=|a-b|？③當(dāng)a.b滿足什么條件時，a+b平分a與b所夾的角？④a+b與a-b可能是相等向量嗎？解析：如圖6，用向量構(gòu)建平行四邊形，其中向量、恰為平行四邊形的對角線。由平行四邊形法則，得=a+b，=-=a-b。由此問題就可轉(zhuǎn)換為：①當(dāng)邊AB、AD滿足什么條件時，對角線互相垂直？(|a|=|b|)②當(dāng)邊AB、AD滿足什么條件時，對角線相等？(a.b互相垂直)③當(dāng)邊AB、AD滿足什么條件時，對角線平分內(nèi)角？(a.b相等)④a+b與a