2022-2023學(xué)年北京市大興區(qū)高二（上）期末數(shù)學(xué)試卷及答案解析

第=page11頁，共=sectionpages11頁2022-2023學(xué)年北京市大興區(qū)高二（上）期末數(shù)學(xué)試卷一、單選題（本大題共10小題，共40.0分。在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）1.空間向量OA?OA.AB B.CB C.OC2.圓x2+y2A.1 B.2 C.3 D.43.拋物線x2=8yA.1 B.2 C.4 D.84.已知數(shù)列{an}的前n項和Sn=A.1 B.2 C.3 D.45.若等差數(shù)列{an}滿足a3=?1，A.?9 B.?8 C.?76.設(shè){an}是各項不為0的無窮數(shù)列，“?n∈N*，A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件

C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件7.設(shè)F1，F(xiàn)2是橢圓C：x29+y24=A.1 B.2 C.3 D.48.如圖，在三棱柱ABC?A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，AB=BC=5，A.平行

B.垂直

C.直線在平面內(nèi)

D.相交且不垂直

9.記Sn為等比數(shù)列{an}的前n項和．已知a1=?A.無最大項，有最小項 B.有最大項，無最小項

C.無最大項，無最小項 D.有最大項，有最小項10.已知M是圓(x?1)2+y2A.2 B.2+1 C.3 二、填空題（本大題共5小題，共25.0分）11.3與7的等差中項為______．12.直線y=x+1關(guān)于y軸對稱的直線的方程為13.已知雙曲線x2a2?y2=114.能說明“若等比數(shù)列{an}滿足a1<a2，則等比數(shù)列{15.平面內(nèi)，動點M與點F(1,0)的距離和M到直線x=?1的距離的乘積等于2，動點M的軌跡為曲線C.給出下列四個結(jié)論：

①曲線C過坐標(biāo)原點；

②曲線C關(guān)于x軸對稱；

③曲線C與x軸有2個交點；

④點M與點F三、解答題（本大題共6小題，共85.0分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）16.(本小題14.0分)

已知點A(0,1)和點B(2,3)是圓C直徑的兩個端點．

(Ⅰ)求線段AB的中點坐標(biāo)和圓C的方程；

(Ⅱ)17.(本小題14.0分)

已知等差數(shù)列{an}滿足a1=1，a2+a3=5．

(Ⅰ)求{an}的通項公式；

(Ⅱ)18.(本小題14.0分)

已知拋物線C：y2=4x的焦點為F．

(Ⅰ)求F的坐標(biāo)和拋物線C的準(zhǔn)線方程；

(Ⅱ)過點F的直線l與拋物線C交于兩個不同點A，B，再從條件①、條件②這兩個條件中選擇一個作為已知，求|AB|的長．

條件①：直線l的斜率為1；

條件②：線段AB的中點為M(19.(本小題14.0分)

如圖，在長方體ABCD?A1B1C1D1中，AB=AD=1，AA1=2，E是棱DD1的中點．

(Ⅰ)求證：20.(本小題15.0分)

已知橢圓C：x2a2+y2b2=1(a>0,b>0)過點P(2,1)，且a=2b．

(Ⅰ)求橢圓C的方程和離心率；

(Ⅱ)設(shè)O為原點，直線OP與直線21.(本小題14.0分)

已知{an}為無窮遞增數(shù)列，且對于給定的正整數(shù)k，總存在i，j，使得ai≤k，aj≥k，其中i≤j.令bk為滿足ai≤k的所有i中的最大值，ck為滿足aj≥k的所有j中的最小值．

(Ⅰ)若無窮遞增數(shù)列{an}的前四項是1，2，3，5，求b4和c4的值；

(Ⅱ)若{an}是無窮等比數(shù)列，a1=1，公比q是大于1的整數(shù)，b3<b4=b5，c3=c4，求答案和解析1.【答案】D

【解析】解：空間向量OA?OB+AC=BA2.【答案】B

【解析】解：圓x2+y2?2y?3=0，即x2+(3.【答案】C

【解析】【分析】

本題考查拋物線的概念及標(biāo)準(zhǔn)方程，屬于基礎(chǔ)題．

直接利用拋物線的概念及標(biāo)準(zhǔn)方程，可得p=4，寫出結(jié)果即可．

【解答】

解：拋物線x2=8y，所以p=4，拋物線x4.【答案】C

【解析】解：∵Sn=n2，

∴當(dāng)n=1時，a1=S1=1，

當(dāng)n=2時，S2=a1+5.【答案】A

【解析】解：設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，

則d=a4?a3=1?(?1)=2，

故a2=a3?d=?1?2=?3，a6.【答案】C

【解析】解：{an}是各項不為0的無窮數(shù)列，

?n∈N*，an+12=anan+2，

則{an}為等比數(shù)列，充分性成立，

{an}7.【答案】B

【解析】解：∵橢圓方程為x29+y24=1，點P在橢圓上，

∴|PF1|+|PF2|=2a8.【答案】D

【解析】解：如圖，取AC中點M，連接EM，BM，

∵AB=BC=5，D，E，F(xiàn)分別為AA1，A1C1，BB1的中點，

∴MB⊥AC，

∵在三棱柱ABC?A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，

∴EM//CC1，

∴EM⊥平面ABC，∵AC，MB?平面ABC，∴EM⊥AC，EM⊥MB，

∵AC=AA1=2，∴AM=12AC=1，∴MB=9.【答案】D

【解析】解：設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q．

因為a1=?4，a4=12，所以q3=a4a1=12?4=?18，所以q=?12，

所以Sn=a1(1?qn)1?q=?4[1?(?12)n]10.【答案】B

【解析】解：直線y=kx+1(k∈R)經(jīng)過定點P(0,1)，

由圓(x?1)2+y2=1，可得圓心C(1,0)，半徑r=1．

則圓心C到直線的距離取得最大值時，11.【答案】5

【解析】解：3與7的等差中項為3+72=5．

故答案為：5．12.【答案】y=【解析】解：直線y=x+1關(guān)于y軸對稱的直線的方程為y=?x+1．13.【答案】2

【解析】解：雙曲線x2a2?y2=1(a>0)的一條漸近線方程為x+14.【答案】an=(【解析】解：例如等比數(shù)列an=(?1)n滿足a1<a2，但等比數(shù)列{a15.【答案】②③【解析】解：設(shè)動點的坐標(biāo)為M(x,y)，

因為曲線C是平面內(nèi)與定點F(1,0)和定直線x=?1的距離的積等于2的點的軌跡，

所以(x?1)2+y2?|x+1|=2，

因為當(dāng)x=0時，y=0，(0?1)2+02?|0+1|≠2，所以曲線C不過坐標(biāo)原點，故①錯誤；

因為將(x?1)2+y2?|x+1|=2中的y用?y代入，該等式不變，所以曲線C16.【答案】解：(Ⅰ)由題意可得AB的中點C(1,2)，且圓心C(1,2)，半徑r=|AC|=12+(2?1)【解析】(Ⅰ)由A，B的坐標(biāo)可得中點C的坐標(biāo)，進(jìn)而可得以AB為直徑的圓的半徑r的大小，求出圓的方程；

(Ⅱ)由(Ⅰ)可得直線AC的斜率，進(jìn)而可得過A點的切線的斜率，求出過A點的切線方程．

17.【答案】解：(Ⅰ)∵等差數(shù)列{an}滿足a1=1，a2+a3=5，

∴2a1+3d=5，解得d=1，

∴an=1+(n?【解析】(Ⅰ)由題意解得d=1，代入等差數(shù)列的通項公式即可求解；

(Ⅱ)由題意解得q=2，代入等比數(shù)列的通項公式求得b18.【答案】解：(Ⅰ)由拋物線C：y2=4x的方程可得焦點F(1,0)，準(zhǔn)線方程為x=?1；

(Ⅱ)由(Ⅰ)可得F(1,0)，

若選條件①：直線l的斜率為1，則直線l的方程為y=x?1，設(shè)A(x1,y1)，B(x2,y2)，

聯(lián)立y=x?1y2=4x，整理可得：x【解析】(Ⅰ)由拋物線的方程可得焦點坐標(biāo)及準(zhǔn)線方程；

(Ⅱ)若選條件①，可得直線l的方程，與拋物線的方程聯(lián)立，可得兩根之和，由拋物線的性質(zhì)可得弦長|AB|的值；若選條件②，由中點坐標(biāo)，可得A，B的橫坐標(biāo)之和，由拋物線的性質(zhì)可得|AB19.【答案】(Ⅰ)證明：因為ABCD?A1B1C1D1是長方體，

所以B1C1=BC且B1C1//BC，

可得四邊形B1C1BC是平行四邊形，

所以C1D//AB1，

又C1D?平面AB1E，

AB1?平面AB1E，

所以C1D//平面AB1E；

(Ⅱ)解：建系如圖，A(0,0,0)，E【解析】(Ⅰ)利用線面平行的判定定理即可證明；

(Ⅱ)用向量數(shù)量積計算兩平面所成角余弦值；

(Ⅲ)用向量數(shù)量積點C1到平面AB1E20.【答案】解：(Ⅰ)由橢圓C：x2a2+y2b2=1(a>0,b>0)以及a=2b，

∴x24b2+y2b2=1，又橢圓過點P(2,1)，

∴44b2+1b2=1，解得b2=2，∴a2=8，∵a=22，c=6

∴橢圓C的方程為x28+y22【解析】(Ⅰ)由已知可得x24b2+y2b2=1，橢圓過點P(2,1)，可求b，進(jìn)而可求橢圓C的方程和離心率；

(Ⅱ)設(shè)直線l的方程為y=12x+m21.【答案】解：(Ⅰ)若無窮遞增數(shù)列{an}的前四項是1，2，3，5，

由ai≤4，aj≥4，其中1≤i≤j≤4，a3=3<4，a4=5>4，

則b4=3，c4=4；

(Ⅱ)若{an}是無窮等比數(shù)列，a1=1，公比q是大于1的整數(shù)，

若q=2，則{an}：1，2，4，8，16，32，...，b3為滿足ai≤3的所有i中的最大值，即為b3=2，同理可得b4=b5=3，

而c3為滿足aj≥3的所有j中的最小值，即為c3=3，則c4=3，此時b3<b4=b5，c3=c4，符合題意；

當(dāng)q=3，則{an}：1，3，9，27，81，2