近世代數(shù)模擬試題集

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一.單項(xiàng)選擇題

1、在整數(shù)加群（Z，＋）中，以下那個(gè)是單位元（A）.A.0B.1C.－1D.1/n，n是整數(shù)2、以下說法不正確的是（D）.

A.G只包含一個(gè)元g，乘法是gg＝g.G對(duì)這個(gè)乘法來說作成一個(gè)群;B.G是全體整數(shù)的集合，G對(duì)普通加法來說作成一個(gè)群;C.G是全體有理數(shù)的集合，G對(duì)普通加法來說作成一個(gè)群;D.G是全體自然數(shù)的集合，G對(duì)普通加法來說作成一個(gè)群.

3.假使集合M的一個(gè)關(guān)系是等價(jià)關(guān)系，則不一定具備的是(D).A.反身性B.對(duì)稱性C.傳遞性D.封閉性4.對(duì)整數(shù)加群Z來說，以下不正確的是（A）.

A.Z沒有生成元.B.1是其生成元.C.－1是其生成元.D.Z是無限循環(huán)群.5.以下表達(dá)正確的是（C）.

A.群G是指一個(gè)集合.B.環(huán)R是指一個(gè)集合.

C.群G是指一個(gè)非空集合和一個(gè)代數(shù)運(yùn)算，滿足結(jié)合律，并且單位元，逆元存在.D.環(huán)R是指一個(gè)非空集合和一個(gè)代數(shù)運(yùn)算，滿足結(jié)合律，并且單位元，逆元存在.6.設(shè)A＝B＝R(實(shí)數(shù)集)，假使A到B的映射?：x→x＋2，?x∈R，則?是從A到B的（C）A、滿射而非單射C、一一映射

B、單射而非滿射D、既非單射也非滿射

7設(shè)集合A中含有5個(gè)元素，集合B中含有2個(gè)元素，那么，A與B的積集合A×B中含有（D）個(gè)元素.A、2

B、5C、7

D、10

8.在群G中方程ax=b，ya=b，a,b∈G都有解，這個(gè)解是（B）乘法來說A、不是唯一B、唯一的C、不一定唯一的D、一致的(兩方程解一樣)9.當(dāng)G為有限群，子群H所含元的個(gè)數(shù)與任一左陪集aH所含元的個(gè)數(shù)（C）A、不相等B、0C、相等D、不一定相等.10.n階有限群G的子群H的階必需是n的（D）A、倍數(shù)B、次數(shù)C、約數(shù)D、指數(shù)11．A?{所有整數(shù)},令?:a?(B)

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aa?1,當(dāng)a是偶數(shù);a?,當(dāng)a是奇數(shù).則?為22(A)單射變換(B)滿射變換(C)一一變換(D)不是變換12．若G?(a),且a的階為有限整數(shù)n,則以下說法正確的是(A)(A)G與模n的剩余類加群同構(gòu)(B)G的階可能無限(C)元a?2,a?1,a0,a1,?,an?2中沒有一致元(D)G與整數(shù)加群同構(gòu)

13．若R是一個(gè)特征為有限整數(shù)n的無零因子環(huán)，且a,b?R，則（D）(A)ab?0?a?0,b?0(B)n?n1n2，其中n1,n2為素?cái)?shù)(C)存在R中元c的階為無限整數(shù)(D)R對(duì)乘法成立兩個(gè)消去律14．若Q是一個(gè)域,不正確的是(B)(A)Q是交換除環(huán)(B)Q對(duì)乘法作成群

(C)Q無零因子(D)Q中不等于零的元都有逆元二、填空題

1,2?，則有B?A?{（1，-1),（1,0），1．設(shè)集合A???1,0,1?；B??（1,1),(2,-1),(2,0,(2,1)}

2．若有元素e∈R使每a∈A，都有ae=ea=a，則e稱為環(huán)R的單位元3．環(huán)的乘法一般不交換.假使環(huán)R的乘法交換，則稱R是一個(gè)交換群4．偶數(shù)環(huán)是整數(shù)環(huán)的子環(huán).

5．一個(gè)集合A的若干個(gè)--變換的乘法作成的群叫做A的一個(gè)變換群6．每一個(gè)有限群都有與一個(gè)置換群同構(gòu)7．全體不等于0的有理數(shù)對(duì)于普通乘法來說作成一個(gè)群，則這個(gè)群的單位元是1，元a的逆元是1/a8.一個(gè)除環(huán)的中心是一個(gè)域9.若群G和集合G同態(tài),則G是一個(gè)群,并且有G中元e和a的象為G中元e__和a.

10.在無零因子環(huán)R中,假使對(duì)a,b?R有ab?0,那么必有a=0或b=0.11.群的元a的階是n，若d是整數(shù)r和n的最大公因子，則a的階是n/d.

12.在群G中,a,b?G,則方程ya?b有唯一解為y=b/a.13.若G是由集合A的全體一一變換所作成,則G是一個(gè)變換群.14.若R是有單位元的交換環(huán),則R的主理想(a)中的元有形式為r9a)15.n次對(duì)稱群Sn的元素個(gè)數(shù)為n!.

16.設(shè)G是p階群（p是素?cái)?shù)），則G的生成元有p-1個(gè).17.除環(huán)的理想共有2個(gè).

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r?118.模6的剩余類環(huán)Z6的子環(huán)S?{[0],[2],[4]}的單位元是[0]19.設(shè)S3?{(1),(12),(13),(23),(123),(132)},H?{(1),(12)},則S3中H的右陪集H(13)?{(1,3)(132)},H(23)?{(23)(123)}.

20.設(shè)?是環(huán)R與R的同態(tài)滿射,0與0分別是環(huán)R與R的零元,則?(0)?0.21.模6的剩余類環(huán)Z6的零因子有.三.計(jì)算題

1.設(shè)G是由有理數(shù)域上全體2階滿秩方陣對(duì)方陣普通乘法作成的群，試求中G中以下各個(gè)元素c??C.c=

2.設(shè)G＝{1，－1，i，－i}，關(guān)于數(shù)的普通乘法作成一個(gè)群，求各個(gè)元素的階.

3.試求出三次對(duì)稱群S3??(1),(12),(13),(23),(123),(13.2)?的所有子群

4.若e是環(huán)R的惟一左單位元，那么e是R的單位元嗎？若是，請(qǐng)給予證明.解：

?12??13??,d???及cd，的階.?01??0?1?e是R的單位元.事實(shí)上，任取a,b?R,則因e是R的左單位元，故

(ae?a?e)b?a(eb)?ab?eb?ab?ab?b?b,

即ae?a?e也是R的左單位元.故有題設(shè)得ae?a?e?e,?ae?a.即

e是R的單位元.

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5.用循環(huán)置換的方法寫出三次對(duì)稱群S3的全體元.說明集合N?{(1),(23)}是S3的子群,并且寫出N的所有左陪集.四.證明題.

1.證明:在群中只有單位元滿足方程x2?x.

證明：設(shè)e是G的單位元，則e顯然滿足所說的方程另外，設(shè)a?G且a?a，則有

2a?1a2?a?1a,即a?e,即只有e滿足方程x2?x.

2．

設(shè)G是正有理數(shù)乘群，G是整數(shù)加群.證明：

n?:2??n是群G到G的一個(gè)滿同態(tài)，其中a,b是整數(shù)，而(ab,2)?1.3．設(shè)S是環(huán)R的一個(gè)子環(huán).證明:假使R與S都有單位元，但不相等，則S的單位

元必為R的一個(gè)零因子.

證明：分別用e和e?表示R與S的單位元，且e?e?，于是e?不是R的單位元.

因此，存在0?a?R，ae??a或e?a?a

假使ae??a，則ae??a?0，且(ae??a)e??ae??ae??0,即e?是R的（右）零因子.同理，假使e?a?a,則e?是R的（左）零因子.4.設(shè)G是群.證明：假使對(duì)任意的x?G，有x?e，則G是交換