第九章第四節(jié)穩(wěn)定性與諾

2023/4/8第四章穩(wěn)定性與李雅普諾夫方法

線性定常系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析方法很多。然而，對于非線性系統(tǒng)和線性時變系統(tǒng)，這些穩(wěn)定性分析方法實現(xiàn)起來可能非常困難，甚至不可能。Lyapunov穩(wěn)定性分析是解決非線性系統(tǒng)穩(wěn)定性問題的一般方法。一百多年以前(1892年)，俄國數(shù)學力學家亞歷山大·

米哈依諾維奇·李亞普諾夫(A.M.Lyapunov)(1857-1918)，以其天才條件和精心研究，創(chuàng)造性地發(fā)表了其博士論文“運動穩(wěn)定性的一般問題”，給出了穩(wěn)定性概念的嚴格數(shù)學定義，并提出了解決穩(wěn)定性問題的方法，從而奠定了現(xiàn)代穩(wěn)定性理論的基礎。在這一歷史性著作中，Lyapunov研究了平衡狀態(tài)及其穩(wěn)定性、運動及其穩(wěn)定性、擾動方程的穩(wěn)定性。2023/4/8

在此基礎上，Lyapunov提出了兩類解決穩(wěn)定性問題的方法，即Lyapunov第一法和Lyapunov第二法。第一法通過求解微分方程的解來分析運動穩(wěn)定性，即通過分析非線性系統(tǒng)線性化方程特征值分布來判別原非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性；第二法則是一種定性方法，它無需求解困難的非線性微分方程，而轉(zhuǎn)而構造一個Lyapunov函數(shù)，研究它的正定性及其對時間的全導數(shù)的負定或半負定，來得到穩(wěn)定性的結(jié)論。這一方法在學術界廣泛應用，影響極其深遠。一般我們所說的Lyapunov方法就是指Lyapunov第二法。

2023/4/8第四章穩(wěn)定性與李雅普諾夫方法4.1李雅普諾夫關于穩(wěn)定性的定義4.2李雅普諾夫第一法4.3李雅普諾夫第二法4.4李雅普諾夫方法在線性系統(tǒng)中的應用4.5李雅普諾夫方法在非線性系統(tǒng)中的應用本章小結(jié)和作業(yè)2023/4/84.1李雅普諾夫關于穩(wěn)定性的定義一、系統(tǒng)狀態(tài)的運動及平衡狀態(tài)設系統(tǒng)的齊次狀態(tài)方程為：f：n維向量函數(shù)設其在初始條件下，有唯一解那么，實際上描述了系統(tǒng)在n維空間中從初始狀態(tài)出發(fā)的一條狀態(tài)運動的軌跡。稱為運動軌跡或狀態(tài)軌跡。平衡狀態(tài)：若存在狀態(tài)向量，對所有t，都有成立，則稱為系統(tǒng)的平衡狀態(tài)。平衡狀態(tài)不一定存在，也不一定唯一。如：其平衡狀態(tài)有：穩(wěn)定性是相對于平衡點而言的！2023/4/8二、穩(wěn)定性的幾個定義1、Lyapunov意義下的穩(wěn)定如果系統(tǒng)對任意選定的實數(shù)，都對應存在實數(shù)，使當時，從任意初態(tài)出發(fā)的解都滿足則稱平衡狀態(tài)是Lyapunov意義下穩(wěn)定的。其中，實數(shù)與有關，一般也與有關。如果與無關，則稱這種平衡狀態(tài)是一致穩(wěn)定的。稱為歐幾里德范數(shù)，它的數(shù)學意義是：2023/4/82023/4/82、漸進穩(wěn)定如果平衡狀態(tài)是穩(wěn)定的，而且當t無限增長時，軌線不僅不超出，而且最終收斂于，則稱這種平衡狀態(tài)是漸進穩(wěn)定的。即有：2023/4/82023/4/83、大范圍漸進穩(wěn)定如果平衡狀態(tài)是漸進穩(wěn)定的，且漸進穩(wěn)定的最大范圍是整個狀態(tài)空間，則為大范圍漸進穩(wěn)定的，其必要條件是整個狀態(tài)空間只有一個平衡點。線性系統(tǒng)：漸進穩(wěn)定大范圍漸進穩(wěn)定非線性系統(tǒng)：一般較小，小范圍漸進穩(wěn)定。4、不穩(wěn)定如果對于某個實數(shù)和任一實數(shù)，不管多么小，由出發(fā)的狀態(tài)軌線，至少有一條軌線越過，則稱為不穩(wěn)定。2023/4/82023/4/8李雅普諾夫意義下的穩(wěn)定于經(jīng)典控制理論中穩(wěn)定性的對比經(jīng)典控制理論(線性系統(tǒng))不穩(wěn)定(Re(s)>0)臨界情況(Re(s)=0)穩(wěn)定(Re(s)<0)Lyapunov意義下不穩(wěn)定穩(wěn)定漸近穩(wěn)定2023/4/84.2李雅普諾夫第一法李雅普諾夫第一法又稱間接法基本思路是通過狀態(tài)方程的解來判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性。線性定常系統(tǒng)：由特征方程的根來判斷穩(wěn)定性。非線性系統(tǒng)：先線性化，再判別。一、線性系統(tǒng)的穩(wěn)定判據(jù)線性定常系統(tǒng)，在平衡狀態(tài)漸進穩(wěn)定的充要條件是矩陣A的所有特征值均具有負實部。此為狀態(tài)穩(wěn)定性，或稱內(nèi)部穩(wěn)定性。輸出穩(wěn)定性：如果系統(tǒng)對于有界輸入u所引起的輸出y是有界的，則稱系統(tǒng)為輸出穩(wěn)定。BIBO穩(wěn)定（BoundedInputBoundedOutput）

2023/4/8輸出穩(wěn)定性判據(jù)：線性定常系統(tǒng)輸出穩(wěn)定的充要條件是其傳遞函數(shù)的極點全部位于s平面的左半部?！纠?-1】解：（1）由A的特征方程故系統(tǒng)的狀態(tài)不是漸進穩(wěn)定的。（2）系統(tǒng)的傳遞函數(shù)：故系統(tǒng)是輸出穩(wěn)定的。系統(tǒng)狀態(tài)穩(wěn)定系統(tǒng)輸出穩(wěn)定。系統(tǒng)輸出穩(wěn)定，且能控能觀系統(tǒng)狀態(tài)穩(wěn)定。2023/4/8二、非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性系統(tǒng)狀態(tài)方程：是其平衡狀態(tài)將其在鄰域內(nèi)展成泰勒級數(shù)：取偏差量則：其中，稱為雅可比（Jacobian）矩陣高階導數(shù)項2023/4/8在以上近似的基礎上，再由A陣來判斷非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性：（1）如果A的所有特征值都具有負實部，則原非線性系統(tǒng)在平衡狀態(tài)是漸進穩(wěn)定的。（2）如果A的特征值至少有一個具有正實部，則原非線性系統(tǒng)在平衡狀態(tài)是不穩(wěn)定的（3）如果A的特征值至少有一個是0，則系統(tǒng)處于臨界狀態(tài)，原非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性取決于高階導數(shù)項R（X），無法由A來判別。2023/4/8【例4-2】非線性系統(tǒng)狀態(tài)方程為判別其在平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性。解：（1）求非線性系統(tǒng)的平衡狀態(tài)（2）在處線性化可知A的特征值為：所以原非線性系統(tǒng)在處不穩(wěn)定。2023/4/8（3）在處線性化此時A的特征值所以線性化后的系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)，無法判斷原非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性。2023/4/84.3李雅普諾夫第二法李雅普諾夫第二法又稱直接法，其基本思路是通過一個標量函數(shù)（稱為李氏函數(shù)）對系統(tǒng)的平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性作出判斷。李氏函數(shù)一般是狀態(tài)分量和時間t的標量函數(shù)，用表示，若與t無關，可用表示。一、預備知識1、標量函數(shù)的符號性質(zhì)設為由n維向量X所定義的標量函數(shù)，且在X＝0處，恒有，對所有在域中的任何非零向量X，如果成立：（1），則稱是正定的。如：2023/4/8（2），則稱是半正定（非負定）的。如：（3），是負定的。如：（4），是半負定（非正定）的。如：（5），是不定的。如：例：（1）

為半正定2023/4/8（2）（3）使2、二次型標量函數(shù)設為n個變量，定義二次型標量函數(shù)為：

為正定

為半正定2023/4/8如果，則稱P為實對稱陣，如：對二次型函數(shù)，若P為實對稱陣，則必存在正交矩陣T，通過變換，使之化為：2023/4/8此稱為二次型函數(shù)的標準型，為P的互異特征值，則正定的充要條件是P的特征值均大于0。矩陣P的符號性質(zhì)定義如下：設P為n×n實對稱陣，為由P決定的二次型函數(shù)，則（1）正定，則P正定，記為P>0;（2）負定，則P負定，記為P<0;2023/4/8（3）半正定，則P半正定，記為P>＝0;（4）半負定，則P半負定，記為P<＝0;3、希爾維斯特判據(jù)設實對稱陣為其各階主子式,即矩陣P或V(X)定號性的充要條件是:2023/4/8(1)若，則P正定；(2)若，則P負定；(3)若，則P半正定；(4)若，則P半負定；2023/4/8二、幾個穩(wěn)定判據(jù)設系統(tǒng)的狀態(tài)方程為，平衡狀態(tài)為，如果存在一個標量函數(shù)V（X），它滿足：（1）V（X）對所有X都具有連續(xù)的一階偏導數(shù)；（2）V（X）是正定的（3）V（X）對時間的導數(shù)分別滿足以下條件：a，為半負定，則是李氏意義下的穩(wěn)定，此稱穩(wěn)定判據(jù)。b，為負定，或者雖然為半負定，但對任意初始狀態(tài)來說，除去外，對，不恒為零，則為漸進穩(wěn)定；若當時，則為大范圍漸進穩(wěn)定。c，為正定，則是不穩(wěn)定的，此為不穩(wěn)定判據(jù)。2023/4/8說明：（1），則此時，系統(tǒng)軌跡將在某個曲面上，而不能收斂于原點，因此不是漸進穩(wěn)定。（2）不恒等于0，則說明軌跡在某個時刻于曲面相交，但仍會收斂于原點，所以是漸進穩(wěn)定。（3）穩(wěn)定判據(jù)只是充分條件而非必要條件！2023/4/8【例4-3】已知非線性系統(tǒng)的狀態(tài)方程，是用李氏第二法判斷其穩(wěn)定性。解：原點是其唯一平衡點取標量函數(shù)，顯然V（X）正定；負定，原系統(tǒng)是漸進穩(wěn)定的。又當時，所以也是大范圍漸進穩(wěn)定的。2023/4/8【例4-3】已知系統(tǒng)的狀態(tài)方程，是用李氏第二法判斷其穩(wěn)定性。解：線性系統(tǒng)，故是其唯一平衡點。將矩陣形式的狀態(tài)方程展開得到：取標量函數(shù)故原系統(tǒng)不穩(wěn)定。2023/4/8三、對李氏函數(shù)的討論（1）是正定的標量函數(shù)；（2）并不是對所有的系統(tǒng)都能找到來證明該系統(tǒng)穩(wěn)定或者不穩(wěn)定；（3）如果存在，一般是非唯一的，但關于穩(wěn)定性的結(jié)論是一致的；（4）最簡單的形式是二次型；（5）只是提供平衡點附近的運動情況，絲毫不能反映域外運動的任何信息；（6）構造需要一定的技巧。2023/4/84.4李雅普諾夫方法在線性系統(tǒng)中的應用一、線性定常連續(xù)系統(tǒng)漸進穩(wěn)定性判據(jù)設線性定常系統(tǒng)為：，則平衡狀態(tài)為大范圍漸進穩(wěn)定的充要條件是：對任意給定的正定實對稱矩陣Q，必存在正定的實對稱矩陣P，滿足李雅普諾夫方程：且就是李氏函數(shù)。證明：取為李氏函數(shù)，P為正實對稱矩陣，則易知V（X）正定。欲使系統(tǒng)穩(wěn)定，則必須負定，即且Q正定。2023/4/8說明：（1）一般先取正定矩陣Q，帶入李氏方程，求出P，判別P的正定性，從而判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性；（2）通常取Q＝I，以方便計算。（3）判據(jù)使充分必要的A的特征值均具有負實部；（4）若沿任一軌線不恒等于零，那么Q可取半正定，即可取計算更簡單。實際運用中，若有則可以取Q為半正定。2023/4/8【例4-4】，分析其穩(wěn)定性。解：方法一取Q＝I，設代入李氏方程得：P是對稱矩陣，即，展開后可解得可知故P是正定的，原系統(tǒng)穩(wěn)定。此時，2023/4/8方法二判斷能否取Q為半正定，即取由于故可以取，代入李氏方程，得：解得：2023/4/8所以P正定，原系統(tǒng)穩(wěn)定。此時李氏函數(shù)為：此題也驗證了4.3節(jié)中對李氏函數(shù)的討論之（3）：如果存在，一般是非唯一的，但關于穩(wěn)定性的結(jié)論是一致的?！纠?-5】系統(tǒng)狀態(tài)方程確定使系統(tǒng)穩(wěn)定的K的取值范圍。解：判別能否取Q為半正定2023/4/8由故可以取Q為半正定。代入李氏方程后可解得：所以k的取值范圍是：2023/4/84.5李雅普諾夫方法在非線性系統(tǒng)中的應用李氏第二法用于非線性系統(tǒng)只能說明局部穩(wěn)定性，而且只是充分條件而非必要條件。一、雅可比（Jacobian）矩陣法又稱克拉索夫斯基（krasovski）法設非線性系統(tǒng)：假設原點是其平衡狀態(tài)，系統(tǒng)的雅可比矩陣2023/4/8則系統(tǒng)在原點附近穩(wěn)定的充分條件是：任給定正定實對稱矩陣P，使下列矩陣：為正定的。并且是系統(tǒng)的一個李氏函數(shù)。如果當時，有則是大范圍漸進穩(wěn)定的。證明：選取二次型函數(shù)為李氏函數(shù)，因為P為正定實對稱，故V（X）正定。又：2023/4/8若要負定，則Q（X）正定。若取P＝I，則稱為克拉索夫斯基表達式。此時推論：線性定常系統(tǒng)若矩陣A非奇異，且矩陣為負定，則系統(tǒng)在平衡狀態(tài)是大范圍漸進穩(wěn)定的。2023/4/8【例4-6】系統(tǒng)方程：，用克拉索夫斯基法分析穩(wěn)定性。解：取P＝I2023/4/8所以Q（X）是正定的。原系統(tǒng)穩(wěn)定。且李氏函數(shù)：當時，有，故系統(tǒng)是大范圍漸進穩(wěn)定的。2023/4/8二、變量梯度法變量梯度法又稱為舒茨－基布遜（Shultz-Gibson）法，由此二人在1962年提出。變量梯度法是基于以下事實：如果能夠找到一個李氏函數(shù)，證明系統(tǒng)是漸進穩(wěn)定的，那么這個李氏函數(shù)的梯度是必定存在而且是唯一的。則V（X）對時間的導數(shù)可表示為：2023/4/8基本思路：先假定具有某種形式（系數(shù)待定）根