考研數學歷年真題年數學一

2017年全國碩士研究生入學統(tǒng)一考試數學(一)試卷

一、選擇題：廣8小題，每小題4分，共32分，下列每題給出的四個選項中，只有一個選項是符合題目要求的

1-COSA/X

(1)若函數/(%)=(-晟-在］二0處連續(xù)，則()

0

(A)ah=—(B)ab=-—(C)ab=0(D)ab=2

22

(2)設函數/(x)可導，且則()

(A)/(l)>/(-l)(B)/(l)</(-l)

(O|/(l)|>|/(-l)|(D)|/(l)|<|/(-l)|

(3)函數/(蒼％2)=/丁+22在點(1,2,())處沿向量〃(1,2,2)的方向導數為()

(A)12(B)6(04(1))2

(4)甲乙兩人賽跑，計時開始時，甲在乙前方10(單位:m)處，如下圖中，實線表示甲的速度曲線u=匕(。(單

位:m/s)虛線表示乙的速度曲線丫=彩。)，三塊陰影部分面積的數值依次為10,20,3,計時開始后乙追上甲的時

刻記為小(單位:s),則()

(A)t0=10(B)15<f0<20(C)t0=25(D)t0>25

v(m/s)

(5)設a為n維單位列向量，E為n階單位矩陣，則()

(A)E-aa，不可逆(B)￡+aa'不可逆

(C)E+2aa'不可逆(D)￡—2aa'不可逆

-200~-21o-■]0o-

(6)己知矩陣4=021B=020c=020,則()

001001002_

(A)A與C相似,B與C相似(B)A與C相似，B與C不相似

(0A與C不相似，B與C相似(D)A與C不相似，B與C不相似

(7)設A,B為隨機事件，若0<P(A)<l,0<P(8)<l,則P(4忸)〉「同可的充分必要條件是(

A.P(叫A)>P(6同BP(B|A)<P(B|A)

C.P(同A)>P(B同D.P(B|A)<P(B|A)

(8)設X”X,……X"("N2)來自總體7(〃,1)的簡單隨機樣本，記》=上￡乂，則下列結論中不正確的是：()

n,=i

(A)Z(X,—4)2服從/分布⑻2(X〃—%)2服從42分布

(0f(Xj—區(qū))2服從72分布⑼〃(又一〃)2服從/分布

/=!

二、填空題：9~14小題，每小題4分，共24分。

⑼已知函數"1+f,則/⑶(°)=

(10)微分方程y〃+2y+3y=0的通解為曠=

(11)若曲線積分j蕓孑哼在區(qū)域口={(乂封,2+>;2<1}內與路徑無關，則。=

(12)基級數￡(-l)”T?yi在區(qū)間(-1,1)內的和函數S(x)=

n=l

'ior

(13)設矩陣A=112,?,%,為線性無關的3維列向量組，則向量組A?,A%，Aa3的秩為

011

(14)設隨機變量X的分布函數為尸(x)=0.5①(x)+0.5①仔『)其中①(x)為標準正態(tài)分布函數，則EX=

三、解答題：15~23小題，共94分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

(15)(本題滿分10分)

設函數具有2階連續(xù)偏導數，y=/(",cosx),求苴，9

心：x=0*x=0

(16)(本題滿分10分)

(17)(本題滿分10分)

己知函數y(x)由方程13+、3-3》+3尸2=0確定，求y(x)得極值

(18)(本題滿分10分)

設函數"工)在［°，1］上具有2階導數，/⑴〉°，hm—<0

X—>°尤

證(1)方程/(x)=0在區(qū)間(0,1)至少存在一個根；

(2)方程/(//"(jo+ircofMO在區(qū)間(o,i)內至少存在兩個不同的實根.

(19)(本題滿分10分)

設薄片型物體S是圓錐面Z=y]x2+y2被柱面Z?=2x割下的有限部分，其上任一點弧度為

222

u(x,y,z)=9ylx+y+zo記圓錐與柱面的交線為C

(1)求C在xOy平面上的投影曲線的方程

(2)求S的質量M

(20)(本題滿分11分)

設三階行列式A=(四,火,名)有3個不同的特征值，且％=必+物

(1)證明*4)=2

(2)如果4=%+4+。3求方程組Ax=P的通解

(21)(本題滿分11分)

設二次型/a,和演)=21一考+收+2與%2-8大七+2%2%3在正交變換x=Qy下的標準型為求

。的值及一個正交矩陣。.

(22)(本題滿分11分)

設隨機變量X,Y互獨立，且X的概率分布為P{X=0}=P{X=2}=；,Y概率密度為=<2y,0<y<l

0,其他

(1)求P{y〈EY}(2)求2=*+丫的概率密度

(23)(本題滿分11分)

某工程師為了解一臺天平的精度，用該天平對一物體的質量做n次測量，該物體的質量〃是已知的，設n次測量結

果看,々，，怎相互獨立，且均服從正態(tài)分布,該工程師記錄的是n次測量的絕對誤差

z,.=%-“,?=1,2,n),利用4*2，,z“估計cr

(D求4的概率密度

(II)利用一階矩求cr的矩估計量

(in)求cr的最大似然估計量

2016年全國碩士研究生入學統(tǒng)一考試數學(一)試卷

一、選擇題：1?8小題，每小題4分，共32分，下列每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求的，請將

所選項前的字母填在答斷紙指定位置上.

⑴若反常積分『就產收斂’則，)

(A)a<l且人>1(B)a>l跳>1(C)a<lRa+b>l(￡>)?>

(2)已知函數,則”X)的一個原函數是()

[Inx,x>\

-22

5F

(A)/(x)=|()(^)=1(、

x(lnx-l),x>lIx(lnx+lj-l,x>l

-2(?

/、、(％-1),X<1/、/\,x<1

(C/(x)=(￡>)F(x)=

x(lnx+l)+l,^>1[x(lnx-l)+l,xN1

(3)若y=(1+%2)2+j2,y=(]+%2)+J]+%2是微分方程y+p(x)y=q(x)的兩個解,則以力=()

xX

(A)3X(1+Y)(8)-3X(1+%2)

l+x2(0—1+x2

x,x<0

(4)已知函數=h1

1，則()

<x<—,n=l,2,

、〃'〃+ln

(A)%=0是f(x)的第一類間斷點(B)工=0是f(x)的第二類間斷點

(C)/(x)在x=0處連續(xù)但不可導(D)/(x)在x=0處可導

(5)設A,B是可逆矩陣，且A與B相似，則下列結論錯誤的是()

(A)與8T相似(B)AT與非相似

(C)A+A，與8+3,相似(D)A+A-i與8+8一|相似

(6)設二次型/(ApX2，&)=+X,2+&2+4為為+4%七+4/七，則/(為天多)=2在空間直角坐標下表示的

二次曲面為()

(A)單葉雙曲面(B)雙葉雙曲(C)橢球面(D)柱面

(7)設隨機變量X~N(M，cr2)(b>0),記p=p{XM//+〃},則()

(A)p隨著〃的增加而增加(B)p隨著(T的增加而增加

(C)p隨著〃的增加而減少(D)p隨著b的增加而減少

(8)隨機試驗E有三種兩兩不相容的結果4,A2,4,且三種結果發(fā)生的概率均為g,將試驗E獨立重復做2次,

X表示2次試驗中結果4發(fā)生的次數,丫表示2次試驗中結果為發(fā)生的次數，則x與y的相關系數為()

1

(A)(B)--(C)(D)

23I3

二、填空題：914小題，每小題4分，共24分，請將答案寫在答題紙指定位置上.

+fsinfW

(9)lim

1-cosx2

(10)向量場A(x,y,z)=(x+y+z)i+x切+zZ的旋度r"A=

(11)設函數可微，z=z(x,y)由方程(x+l)z-y2=x2/(x—z,y)確定，則喝"產

(12)設函數/(x)=arctanx---二?，且/”(0)=1,則“=

\+ax-

2-100

02-10

(13)行列式

00A-1

4324+1

(14)設玉,工2,…,當為來自總體的簡單隨機樣本，樣本均值嚏=9.5,參數〃的置信度為的雙側置信區(qū)間

的置信上限為，則"的置信度為的雙側置信區(qū)間為.

三、解答題：15—23小題，共94分.請將解答寫在答陛紙指定位置上.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

(15)(本題滿分10分)已知平面區(qū)域e)2WT2(l+cos。),—四計算二重積分?；鸨閥.

22八

(16)(本題滿分10分)設函數y(x)滿足方程y"+2y"+價=。其中0<%<1.

(I)證明：反常積分J：y(x)必:收斂；

(II)若y(O)=1,y'(O)=1,求y(x)dx的值.

(17)(本題滿分10分)設函數/1但了)滿足且孕上=(2*+1)62,7,且/(0,月=>+1/是從點(0,0)到點(1,0

OX

的光滑曲線，計算曲線積分/?)=:行(X'y)dx+守(：y)dy,并求/⑴的最小值

北dxdy

(18)設有界區(qū)域C由平面2x+y+2z=2與三個坐標平面圍成，Z為。整個表面的外側，計算曲面積分

/=jj(x2+ijdydz-2ydzdx+3zdxdy

(19)(本題滿分10分)已知函數/(幻可導，且/(O)=1,0</Xx)<1,設數列｛七｝滿足x向=/(玉)(〃=1,2...),

證明：

00

(I)級數Z(x,川一X")絕對收斂；

〃=1

(II)limx〃存在，且0vlimx“v2.

n->ocnfoo

r1-1T)(2

(20)(本題滿分11分)設矩陣A=2a1,B=1

、一11ci,、—a—1

當。為何值時，方程AX=5無解、有唯一解、有無窮多解?

'0-11、

(21)(本題滿分11分)已知矩陣4=2-30

、。00>

(I)求人99

100

(II)設3階矩陣B=(a,%%)滿足§2=3A,記B=3,尾，月)將丹，樂區(qū)分別表示為?,,a2,a3的線性組

合。

(22)(本題滿分11分)設二維隨機變量(X,Y)在區(qū)域0={(x,y)|0<x<l,x2<y<G}上服從均勻分布，令

\,X<Y

U-?

|o,x〉y

(I)寫出(x,y)的概率密度;

(H)問。與x是否相互獨立？并說明理由:

(III)求2=。+乂的分布函數F(z).

___0<y-<°

(23)設總體X的概率密度為=，其中6e(0,+8)為未知參數，乂1，,/3為來自總體乂

0,其他

的簡單隨機樣本，令T=max(X1,X2，X3)。

(1)求T的概率密度

(2)確定。，使得aT為。的無偏估計

2015年全國碩士研究生入學統(tǒng)一考試數學(一)試卷

一、選擇題

(1)設函數/.(X)在(-8,+8)連續(xù)，其2階導函數/〃(x)的圖形如下圖所示，則曲線y=/(x)的拐點個數為()

(A)0(B)1(C)2(D)3

(2)設y=卜是二階常系數非齊次線性微分方程y"+W+6y=ce，的一個特解，()

則：

(A)Q=—3力=—1,c=—1.

(B)。=3,b=2,c=—1.

(C)。=—3,b=2,c=1.

(D)a=3,b=2,c=l.

⑶若級數條件收斂，貝k=也與x=3依次為幕級數(x-l)"的：

W=1

(A)收斂點，收斂點.

(B)收斂點,發(fā)散點.()

(C)發(fā)散點，收斂點

(D)發(fā)散點，發(fā)散點.

(4)設D是第一象限中曲線2肛=1,4沖=1與直線丁=乂y=百工圍成的平面區(qū)域，函數/(x,y)在D上連續(xù)，則

JJf(x,y)dxdy=()

D

n[n[

(A)d0^n^e/(rcos0.rsin0}rdr(B)jjf(rcos0,rsin0)rdr

42sin2。442sin2。

n]nI

(C)JjdeJ叫°/(rcos0,rsin6}dr(D)產y(rcossin0)dr

42sin204煨sin20

q111(1'

(5)設矩陣A=12a,b=d，若集合^^={1,2},則線性方程組Ax=8有無窮多個解的充分必要條件

J4

為()

(A)a史O,d任。(B)a史Q,dGQ

(C)awQ,d史。(D)aeQ,d￡。

(6)設二次型/(x,9,&)在正交變換X=Py下的標準形為2寸+￡一y；,其中p=(q,02,03)，若Q=e1d)

則/(5,七,七)在正交變換x=Qy下的標準形為()

(A)2y；_y；+y；(B)2y；+￡_y；

2

(C)2yt-y^-yj(D)2y；+y；+y；

(7)若AB為任意兩個隨機事件，則()

(A)P(AB)<P(A)P(B)(B)P(AB)2P(A)P(B)

(C)Pd⑷+「⑻(D)⑷+「⑻

22

⑻設隨機變量X,Y不相關，且EX=2,Ey=l,OX=35UjE[X(X+y—2)]=()

(A)-3(B)3(C)-5(D)5

二、填空題

..Incosx

(9)hm——、—

x->0

sinx

-------F

l+cosx

(11)若函數由方程e*+j^z+x+cosx=2確定，則dz|?)j)=

UJJJ(x+2y+3z')dxdydz

(12)設Q是由平面x+y+z=l與三個坐標平面所圍成的空間區(qū)域,

2002

-1202

0022

(13)n階行列式00-12=

(14)設二維隨機變量服從正態(tài)分布，則

三、解答題

(15)設函數，g(x)=kx3,若/(幻與g(x)在x->0是等價無窮小，求a,b,女值。

(16)設函數/(無)在定義域/上的導數大于零，若對任意的/()e/,曲線y=/(x)在點(X。，/*。))處的切線與

直線龍=X。及X軸所圍成的區(qū)域的面積為4,且7(°)=2,求/(X)的表達式。

(17)己知函數/(x,y)=x+y+xy,曲線+)?+孫=3,求/(x,y)在曲線C上的最大方向導數.

(18)(本題滿分10分)

(I)設函數〃(尤)一(%)可導，利用導數定義證明

(II)設函數%(%),%(%)…%,(%)可導，/(1)=〃](%)?2(%)..〃〃(1),寫出了(%)的求導公式.

(19)(本題滿分10分)

已知曲線L的方程為1=也_/一),一,起點為A(O,、/^,O)，終點為B(0,-&0),計算曲線積分

Z=X,

/=￡(y+z)dx+(z2-x2+y)dy+(x2+y2)dz

(20)(本題滿分11分)

設向量組。1，。2，。3是3維向量空間3的一個基，=2?,+2kay,f32=2a2,笈=?+(4+1)4。

(I)證明向量組百，河,4,是3的一個基；

(II)當k為何值時，存在非零向量J在基%,與基丹，尾，尸3下的坐標相同，并求出所有的4。

(21)(本題滿分11分)

’02-3、'1-20、

設矩陣A=-13-3相似于矩陣B=0Z?0

J-2a)、031,

(I)求q,。的值.

(ID求可逆矩陣?，使得尸TAP為對角陣.

(22)(本題滿分11分)

設隨機變量X的概率密度為

?、2-'In2x>0

0x<0

對x進行獨立重復的觀測，直到第2個大于3的觀測值出現時停止，記y為觀測次數.

(I)求y的概率分布；

cm求石丫.

(23)(本題滿分11分)

設總體X的概率密度為

——0<x<l

〃x;g)=\-0

.0其他

其中。為未知參數，X］,X2…X”為來自該總體的簡單隨機樣本.

(I)求。的矩估計.

(II)求。的最大似然估計.

2014年全國碩士研究生入學統(tǒng)一考試數學(一)試卷

一、選擇題1—8小題.每小題4分，共32分.

1.下列曲線有漸近線的是()

(A)y=x+sinx(B)y=x'+sinx

,.1

(C)y=x+sin-!-(D)y=x-+sin—

XX

2.設函數/(x)具有二階導數，g(x)=/(0)(l-x)+/(l)x,則在［0,1］上()

(A)當r(*)2O時，f(x)>g(x)(B)當r(x)zo時,f(x)<g(x)

(C)當/"(x)40時，f(x)Ng(x)(D)當/"(x)<0時,/(x)<g(x)

3.設/(x)是連續(xù)函數，則[:時()

(A)I網居用力+f可if(x,y)dy

Wfi—xir。1。

(B)Vx￡/(x,y)力百〃x,y)dy

K]]

(C)J2d?卜s°+one/(，cose,rsin^)dr+‘:妙卜殺11。/(rcos^,rsin^)rfr

2

x]]

(D)“夕卜。+"四/(rcos。,/*si聞/*"+j；d。[：0se+f"/(rcos^,rsin0)rJr

2

若函數J：cosx-ftjsinx)2rfx=min1|；r(x-acosx-6sinx)2Jx|?貝1%cosx+印sinx=

4.{x—ax)

(A)2sinx(B)2cosx(C)2^sinx(D)2^cosx

0ab0

5.行列式a00b等于()

0cd0

c00

222222222

(A)(ad-be)(B)一(ad-bcY(C)ad-bc(D)-ad+bc

6.設四,％以3是三維向量，則對任意的常數&/，向量4+m%，%+/。3線性無關是向量01，%，。3線性無關的

(A)必要而非充分條件(B)充分而非必要條件

(C)充分必要條件(D)非充分非必要條件

7.設事件A與B想到獨立，尸(3)=0.5,尸(4一笈)=0.3則P(3-A)=()

(A)(B)(C)(D)

8,設連續(xù)型隨機變量用,占相互獨立，旦方差均存在，屈,*2的概率密度分別為工(制，，2(%)，隨機變量K的概率

密度為人(y)=g(/(y)+/2(y))，隨機變量丫2=；(占+勺)，則()

(A)EYt>EY2,DYt>DY2(B)EYt=EY2,DYt=DY2

(C)EY,=EY2,DY,<DY2(D)EYt=EY2,DYt>DY2

二、填空題(本題共6小題，每小題4分，滿分24分.把答案填在題中橫線上)

9.曲面z=x2(l—sinj)+j2(l—sinx)在點(1,0,1)處的切平面方程為

10.設/(*)為周期為4的可導奇函數，且r(x)=2(x-l),xe[0,2],則/(7)=

11.微分方程xj'+y(lnx-Inj)=0滿足j(l)=/的解為

12.設L是柱面*?+y2=l和平面y+z=0的交線，從Z軸正方向往負方向看是逆時針方向，則曲線積分

￡zdx+ydz=?

13.設二次型/(芭,三,*3)=*：-*+勿沖3+4叫*3的負慣性指數是1，則。的取值范圍是.

,2x

14.設總體X的概率密度為/(46)=，4/<*<2夕，其中。是未知參數，X”X2,…,X”是來自總體的簡單樣本,

.0,其它

若c力x；是e-的無偏估計，則常數c-.

1=1

三、解答題

15.(本題滿分10分)

f(t~(cl—1)—t)dt

求極限lim----------------

XT+8+J

x2ln(l+-)

x

16.(本題滿分10分)

設函數J=f(x)由方程/+盯2+*2^+6=0確定，求/(X)的極值.

17.(本題滿分10分)

設函數/(")具有二階連續(xù)導數，2=/(小飛05月滿足匹+玖=(42+/<：05執(zhí)2，.若/(0)=0/(0)=0，求/(〃)

dx2dy-

的表達式.

18.(本題滿分10分)

設2為曲面z=刀2+j?(z<1)的上側，計算曲面積分：+(y-\y(lzdx+(z-\)dxdy

19.(本題滿分10分)

設數歹U{%},{仇J滿足0<%<生,0</>?<—,cosa?-an=cosb”且級數,2收斂.

22〃=1

(1)證明lima”=0；

Zi—>00

(2)證明級數充公收斂.

〃=1

20.(本題滿分11分)

'1-23-4、

設4=oi-ll-E為三階單位矩陣.

J203,

(1)求方程組AX=0的一個基礎解系；

(2)求滿足A5=E的所有矩陣B.

21.（本題滿分11分）

‘11???1A僅???01、

證明〃階矩陣11…1與°…02相似.

j1???ij[o…0

22.(本題滿分11分)

設隨機變量X的分布為尸(X=1)=尸(X=2)=4，在給定X=i的條件下，隨機變量Y服從均勻分布17(0,1),1=1,2.

(1)求V的分布函數；

(2)求期望E(y).

23.(本題滿分11分)

設總體X的分布函數為產",e)=,1-e*,*20,其中。為未知的大于零的參數，…,X”是來自總體的簡單

0,x<0

隨機樣本，

(1)求E(X),E(*2)；

（2）求。的極大似然估計量e.

⑶是否存在常數。，使得對任意的￡＞（）,都有l(wèi)imP凡―azA=O?

2013年全國碩士研究生入學統(tǒng)一考試數學（一）試卷

一、選擇題（08題，每題4分）

1.已知極限，其中k,c為常數，且，則（）

A.B.

D.

2.曲面在點處的切平面方程為（)

A.B.

C.D.

3.設，，令，則（）

A.B.C.D.

4.設，，，為四條逆時針方向的平面曲線，記4=fy+^lx+2x-1）dy（i=l,2,3,4）,則

A.B.C.D

5.設A,B,C均為n階矩陣，若AB=C,且B可逆，則（）

A.矩陣C的行向量組與矩陣A的行向量組等價

B矩陣C的列向量組與矩陣A的列向量組等價

C矩陣C的行向量組與矩陣B的行向量組等價

D矩陣C的列向量組與矩陣B的列向量組等價

6.矩陣與相似的充分必要條件為（）

A.B.為任意常數

C.D.為任意常數

7.設是隨機變量，且，，，，則（）

A.B.

C.D

8.設隨機變量,，給定，常數c滿足，貝M)

A.aB.\-aC.2aD1-2a

二、填空題(9-14小題，每小題4分)

9.設函數由方程y-x=e""一"確定，則=。

10.已知斤/-x/,叩e'-xe”,后-V是某二階常系數非齊次線性微分方程的3個解，則該方程的通解片

H.設—。

12.。

13.設A=(a“)是3階非零矩陣，為A的行列式，A“為由」的代數余子式.若&j+A『0(i,j=l,2,3),則|A|=

14.設隨機變量Y服從參數為1的指數分布，a為常數且大于零，則P{YWa+l|Y>a}=

三.解答題：

(15)(本題滿分10分)

計算，其中f(x)=

(16)(本題10分)

設數列{a〃}滿足條件:

S(x)是基級數

(1)證明：

(2)求

(17)(本題滿分10分)

求函數.

(18)(本題滿分10分)

設奇函數僧幻在上具有二階導數，且/U)=l,證明:

(I)存在

(n)存在

19.(本題滿分10分)

設直線L過A(1,0,0),B(0,1,1)兩點將L繞z軸旋轉一周得到曲面，與平面所圍成的立體為。

(1)求曲面的方程；

(2)求的形心坐標。

20.(本題滿分11分)

設，當a,b為何值時，存在矩陣C使得AC-CA=B,并求所有矩陣C。

21.(本題滿分11分)

設二次型，記，。

(1)證明二次型f對應的矩陣為;

(2)若正交且均為單位向量，證明f在正交變換下的標準形為。

22.(本題滿分11分)

設隨機變量X的概率密度為令隨機變量

(1)求Y的分布函數；

(2)求概率.

23.(本題滿分11分)

設總體X的概率密度為其中為未知參數且大于零，為來自總體X的簡單隨機樣本。

(1)求的矩估計量;

(2)求的最大似然估計量.

2012年全國碩士研究生入學統(tǒng)一考試數學(一)試卷

一、選擇題：1?8小題，每小題4分，共32分，下列每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求的,

請將所選項前的字母填在答題紙指定位置上.

X24-X

(1)曲線y漸近線的條數為()

x-1

(A)0(B)1(C)2(D)3

⑵設函數/(x)=(e、—I)，'—2)(em-n),其中〃為正整數，則f(O)=

(A)(―I)"“(〃一1)!(B)(-l)n(n-l)!(O(-l)n-1w!(D)(一1)"〃!

(3)如果函數/(x,y)在(0,0)處連續(xù)，那么下列命題正確的是()

(A)若極限存在，則/(x,y)在(0,0)處可微

(B)若極限lim4"')?存在,則/(x,y)在(0,0)處可微

(C)若在(0,0)處可微，則極限lim存在

W+3

若f(x,y)在(0,0)處可微，則極限lim華山存在

(D)

；；*+V

x

(4)設Ik=『e'sinxdx(A=l,2,3),則有D

(A)//I<k(B)1<水K(0/)<I<h,(D)尿1<A

22、32

0、()1-

a)

⑸設4=0,a213--T,其中9，%,。3，。4為任意常數，則下列向量組線性相關的是(

、73\產4

(A)ava2,a3(B)ara2,a4(C)apa3,6Z4(D)%,%,%

(6)設A為3階矩陣，尸為3階可逆矩陣，且，P=(%,4,%)，。=(6+%，%，。3)則。一么。=()

(A).(B).

(C).(D).

(7)設隨機變量x與y相互獨立，且分別服從參數為1與參數為4的指數分布，則p{x<y}=()

(A)l(5)-(C)-(￡>)-

5355

(8)將長度為1m的木棒隨機地截成兩段，則兩段長度的相關系數為()

(A)1(B)g(C)(D)-1

二、填空題：914小題，每小題4分，共24分，請將答案寫在答斷納指定位置上.

(9)若函數/(x)滿足方程(x)+f(x)-2/(x)=0及f(x)+/(x)=2/,則f(x)=。

(10)[x^lx-x1dx________o

Jo

/、

z

(11)gradxy+—。

I"

(12)設Z={(%,V，y+z=1,x>0,y>0,z>o},則Jjy2ds=。

支

(13)設X為三維單位向量，E為三階單位矩陣，則矩陣石-xZ的秩為_______o

(14)設A,B,C是隨機事件，A,C互不相容，尸(4B)=；,P(C)=g，貝！|________。

三、解答題：15—23小題，共94分.請將解答寫在等型紙指定位置上.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

(15)(本題滿分10分)

14-Yf

證明：xln——-+cosx>1+—1<x<1

1—x2

(16)(本題滿分10分)

22

求函數/(x,y)=xe—生產的極值。

(17)(本題滿分10分)

004〃2+471+3

求某級數z一的收斂域及和函數

n=02〃+1

(18)(本題滿分10分)

已知曲線

，其中函數/⑺具有連續(xù)導數，且/(0)=0,,。若曲線L的切線與X軸的交點到切點的距離恒為1,求函數/⑴

的表達式，并求此曲線L與x軸與y軸無邊界的區(qū)域的面積。

（19）（本題滿分10分）

已知L是第一象限中從點（0,0）沿圓周f+y2=2x到點（2,0）,再沿圓周/+y2=4到點（0,2）的曲線段，計算曲

線積分.

（20）（本題滿分10分）

設.（I）求網

（H）當實數為何值時，方程組有無窮多解，并求其通解.

’1or

（21）（本題滿分10分）三階矩陣A=011,為矩陣A的轉置，已知r（"A）=2,且二次型/=

、T0?

1）求a2）求二次型對應的二次型矩陣，并將二次型化為標準型，寫出正交變換過程。

（22）（本題滿分10分）

已知隨機變量X,Y以及XY的分布律如下表所示，

求：⑴P（X=2Y）；⑵cov（X—y,y）與Ar

（23）（本題滿分11分）

設隨機變量X與y相互獨立且分別服從正態(tài)分布N（〃Q2）與N（〃,2＜/）,其中b是未知參數且。＞0,設

Z=X-Y,

（1）求z的概率密度/（z,b2）；

（2）設Z1,Z2，Z“為來自總體Z的簡單隨機樣本，求的最大似然估計量（/；

（3）證明為的無偏估計量。

2011年全國碩士研究生入學統(tǒng)一考試數學（一）試卷

一、選擇題：1?8小題，每小題4分，共32分，下列每題給出的四個選項中，只有一個選項符合題目要求,

請將所選項前的字母填在筍斷紙指定位置上.

(1)曲線y=(x—l)(x—2)2(x—3)3(%—4)4的拐點是()

(A)(1,0).(B)(2,0).(0(3,0).(D)(4,0).

⑵設數列｛%｝單調減少，吧a?=0,S?=之&("=L2,

）無界，則幕級數—1）”的收斂域為（）

k=]n=l

(A)(-1,1].(B)[-1,1).(C)[0,2).(D)(0,2].

⑶設函數/（x）具有二階連續(xù)導數，且:（x）＞0,/'（0）=0,則函數z=/（x）ln/（y）在點（0,0）處取得極小值的

一個充分條件是（）

（A）/（o）＞i,r（o）＞o.（B）/（o）＞i,r（o）＜o.

（0/（0）＜1,r（o）＞o.（D）/（o）＜br（o）＜o.

nnn

(4)設/=J。，Insinx公,J=j*cotxdx,K=J”cosxdx,則/,J,K的大小關系是()

(A)I<J<K.(B)I<K<J.

(C)J<I<K.(D)K<J<I.

（5）設A為3階矩陣，將A的第2列加到第1列得矩陣B,再交換B的第2行與第3行得單位矩陣，記

T00、’100、

[=110P2=001，則A=()

、00"、010,

(A)他.(B)甲方.(C)P2P｛.(D)P2P；'.

（6）設A=（q,%,%,%）是4階矩陣，A*為A的伴隨矩陣，若（1,0,1,0）7■是方程組At=0的一個基礎解系，則

A*x=O的基礎解系可為（）

(A)],。3.(B)a1,a2.(C)a},a2,a3.(D)a2,a3,a4.

(7)設耳(x),g(x)為兩個分布函數，其相應的概率密度力(x),力(x)是連續(xù)函數，則必為概率密度的是()

(A"(x).%(x).⑻2力(x)K(x).

(C)f(x)E(x).⑻工(幻瑪(%)+力(》)耳@).

(8)設隨機變量X與y相互獨立，且E(X)與E(y)存在，記U=max{X,y},V=min{X,y}則E(UV)=()

(A)E(U)-E(V).(B)E(x).E(y).

(0E(U)-E(Y).(D)E(X)-E(V).

二、填空題：9?14小題，每小題4分，共24分，請將答案寫在答題綱指定位置上.

(9)曲線y=￡'tantdt(O<x<^)的弧長s=.

(10)微分方程y'+y="xcosx滿足條件y(0)=0的解為y=.

(11)設函數尸(x,y)=『半力，則可=

-%1+"加片0--------------

y=2

(12)設L是柱面方程爐+了2=1與平面z=x+3，的交線，從z軸正向往z軸負向看去為逆時針方向，則曲線積分

2

[xzdx+xdy+---dz-.

(13)若二次曲面的方程f+3y2+z2+2axy+2xz+2yz=4,經過正交變換化為y；+4z；=4,則。=.

(14)設二維隨機變量(x,y)服從正態(tài)分布N(〃,4Q2Q2；O),則E(xy2)=.

三、解答題：15?23小題，共94分.請將解答寫在答博紙指定的位置上.解答應寫出文字說明、證明過程或演算

步驟.

(15)(本題滿分10分)

求極限lim(ln(l+“))六.

X

(16)(本題滿分9分)

設函數z=/Qy,yg(x)),其中函數/具有二階連續(xù)偏導數，函數g(x)可導且在x=l處取得極值g(l)=l,求

dxdy

(17)(本題滿分