必修4-第三章-三角恒等變換測(cè)試題

頁第三章測(cè)試(時(shí)間：120分鐘，滿分：150分)一、選擇題(本大題共12小題，每題5分，共60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的)1．sin105°cos105°的值為()A.eq\f(1,4) B．－eq\f(1,4)C.eq\f(\r(3),4) D．－eq\f(\r(3),4)解析原式＝eq\f(1,2)sin210°＝－eq\f(1,2)sin30°＝－eq\f(1,4).答案B2．若sin2α＝eq\f(1,4)，eq\f(π,4)<α<eq\f(π,2)，則cosα－sinα的值是()A.eq\f(\r(3),2) B．－eq\f(\r(3),2)C.eq\f(3,4) D．－eq\f(3,4)解析(cosα－sinα)2＝1－sin2α＝1－eq\f(1,4)＝eq\f(3,4).又eq\f(π,4)<α<eq\f(π,2)，∴cosα<sinα，cosα－sinα＝－eq\r(\f(3,4))＝－eq\f(\r(3),2).答案B3．已知180°<α<270°，且sin(270°＋α)＝eq\f(4,5)，則taneq\f(α,2)＝()A．3 B．2C．－2 D．－3答案D4．在△ABC中，∠A＝15°，則eq\r(3)sinA－cos(B＋C)的值為()A.eq\r(2) B.eq\f(\r(2),2)C.eq\f(\r(3),2) D.2解析在△ABC中，∠A＋∠B＋∠C＝π，eq\r(3)sinA－cos(B＋C)＝eq\r(3)sinA＋cosA＝2(eq\f(\r(3),2)sinA＋eq\f(1,2)cosA)＝2cos(60°－A)＝2cos45°＝eq\r(2).答案A5．已知tanθ＝eq\f(1,3)，則cos2θ＋eq\f(1,2)sin2θ等于()A．－eq\f(6,5) B．－eq\f(4,5)C.eq\f(4,5) D.eq\f(6,5)解析原式＝eq\f(cos2θ＋sinθcosθ,cos2θ＋sin2θ)＝eq\f(1＋tanθ,1＋tan2θ)＝eq\f(6,5).答案D6．在△ABC中，已知sinAcosA＝sinBcosB，則△ABC是()A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰三角形或直角三角形解析∵sin2A＝sin2B，∴∠A＝∠B，或∠A＋∠B＝eq\f(π,2).9．函數(shù)f(x)＝sin2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4)))－sin2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,4)))是()A．周期為π的奇函數(shù)B．周期為π的偶函數(shù)C．周期為2π的奇函數(shù)D．周期為2π的偶函數(shù)解析f(x)＝sin2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4)))－sin2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,4)))＝cos2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－x))－sin2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,4)))＝cos2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,4)))－sin2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,4)))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,2)))＝sin2x.答案A10．y＝cosx(cosx＋sinx)的值域是()A．[－2,2] B.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1＋\r(2),2)，2))C.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1－\r(2),2)，\f(1＋\r(2),2))) D.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(3,2)))解析y＝cos2x＋cosxsinx＝eq\f(1＋cos2x,2)＋eq\f(1,2)sin2x＝eq\f(1,2)＋eq\f(\r(2),2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)sin2x＋\f(\r(2),2)cos2x))＝eq\f(1,2)＋eq\f(\r(2),2)sin(2x＋eq\f(π,4))．∵x∈R，∴當(dāng)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,4)))＝1時(shí)，y有最大值eq\f(1＋\r(2),2)；當(dāng)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,4)))＝－1時(shí)，y有最小值eq\f(1－\r(2),2).∴值域?yàn)閑q\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1－\r(2),2)，\f(1＋\r(2),2))).答案C11.eq\f(2cos10°－sin20°,sin70°)的值是()A.eq\f(1,2) B.eq\f(\r(3),2)C.eq\r(3) D.eq\r(2)解析原式＝eq\f(2cos30°－20°－sin20°,sin70°)＝eq\f(2cos30°·cos20°＋sin30°·sin20°－sin20°,sin70°)＝eq\f(\r(3)cos20°,cos20°)＝eq\r(3).答案C12．若α，β為銳角，cos(α＋β)＝eq\f(12,13)，cos(2α＋β)＝eq\f(3,5)，則cosα的值為()A.eq\f(56,65) B.eq\f(16,65)C.eq\f(56,65)或eq\f(16,65) D．以上都不對(duì)解析∵0<α＋β<π，cos(α＋β)＝eq\f(12,13)>0，∴0<α＋β<eq\f(π,2)，sin(α＋β)＝eq\f(5,13).∵0<2α＋β<π，cos(2α＋β)＝eq\f(3,5)>0，∴0<2α＋β<eq\f(π,2)，sin(2α＋β)＝eq\f(4,5).∴cosα＝cos[(2α＋β)－(α＋β)]＝cos(2α＋β)cos(α＋β)＋sin(2α＋β)sin(α＋β)＝eq\f(3,5)×eq\f(12,13)＋eq\f(4,5)×eq\f(5,13)＝eq\f(56,65).答案A二、填空題(本大題共4小題，每題5分，共20分．將答案填在題中橫線上)13．已知α，β為銳角，且cos(α＋β)＝sin(α－β)，則tanα＝________.解析∵cos(α＋β)＝sin(α－β)，∴cosαcosβ－sinαsinβ＝sinαcosβ－cosαsinβ.∴cosα(sinβ＋cosβ)＝sinα(sinβ＋cosβ)．∵β為銳角，∴sinβ＋cosβ≠0，∴cosα＝sinα，∴tanα＝1.答案114．已知cos2α＝eq\f(1,3)，則sin4α＋cos4α＝________.解析∵cos2α＝eq\f(1,3)，∴sin22α＝eq\f(8,9).∴sin4α＋cos4α＝(sin2α＋cos2α)2－2sin2αcos2α＝1－eq\f(1,2)sin22α＝1－eq\f(1,2)×eq\f(8,9)＝eq\f(5,9).答案eq\f(5,9)15.eq\f(sinα＋30°＋cosα＋60°,2cosα)＝________.解析∵sin(α＋30°)＋cos(α＋60°)＝sinαcos30°＋cosαsin30°＋cosαcos60°－sinαsin60°＝cosα，∴原式＝eq\f(cosα,2cosα)＝eq\f(1,2).答案eq\f(1,2)16．關(guān)于函數(shù)f(x)＝cos(2x－eq\f(π,3))＋cos(2x＋eq\f(π,6))，則下列命題：①y＝f(x)的最大值為eq\r(2)；②y＝f(x)最小正周期是π；③y＝f(x)在區(qū)間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,24)，\f(13π,24)))上是減函數(shù)；④將函數(shù)y＝eq\r(2)cos2x的圖象向右平移eq\f(π,24)個(gè)單位后，將與已知函數(shù)的圖象重合．其中正確命題的序號(hào)是________．解析f(x)＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,3)))＋coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,3)))＋sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,3)))－sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,3)))＝eq\r(2)·eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,3)))－\f(\r(2),2)sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,3)))))＝eq\r(2)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,3)＋\f(π,4)))＝eq\r(2)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,12)))，∴y＝f(x)的最大值為eq\r(2)，最小正周期為π，故①，②正確．又當(dāng)x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,24)，\f(13π,24)))時(shí)，2x－eq\f(π,12)∈[0，π]，∴y＝f(x)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,24)，\f(13π,24)))上是減函數(shù)，故③正確．由④得y＝eq\r(2)cos2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,24)))＝eq\r(2)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,12)))，故④正確．答案①②③④三、解答題(本大題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟)17．(10分)已知向量m＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cosα－\f(\r(2),3)，－1))，n＝(sinx,1)，m與n為共線向量，且α∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，0)).(1)求sinα＋cosα的值；(2)求eq\f(sin2α,sinα－cosα)的值．解(1)∵m與n為共線向量，∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cosα－\f(\r(2),3)))×1－(－1)×sinα＝0，即sinα＋cosα＝eq\f(\r(2),3).(2)∵1＋sin2α＝(sinα＋cosα)2＝eq\f(2,9)，∴sin2α＝－eq\f(7,9).∴(sinα－cosα)2＝1－sin2α＝eq\f(16,9).又∵α∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，0))，∴sinα－cosα<0.∴sinα－cosα＝－eq\f(4,3).∴eq\f(sin2α,sinα－cosα)＝eq\f(7,12).18．(12分)求證：eq\f(2－2sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(3π,4)))cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4))),cos4α－sin4α)＝eq\f(1＋tanα,1－tanα).證明左邊＝eq\f(2－2sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)＋\f(π,2)))cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4))),cos2α＋sin2αcos2α－sin2α)＝eq\f(2－2cos2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4))),cos2α－sin2α)＝eq\f(1－cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2α＋\f(π,2))),cos2α－sin2α)＝eq\f(1＋sin2α,cos2α－sin2α)＝eq\f(sinα＋cosα2,cos2α－sin2α)＝eq\f(cosα＋sinα,cosα－sinα)＝eq\f(1＋tanα,1－tanα).∴原等式成立．19．(12分)已知coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,4)))＝eq\f(\r(2),10)，x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，\f(3π,4))).(1)求sinx的值；(2)求sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))的值．解(1)解法1：∵x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，\f(3π,4)))，∴x－eq\f(π,4)∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,2)))，于是sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,4)))＝eq\r(1－cos2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,4))))＝eq\f(7\r(2),10).sinx＝sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,4)))＋\f(π,4)))＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,4)))coseq\f(π,4)＋coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,4)))sineq\f(π,4)＝eq\f(7\r(2),10)×eq\f(\r(2),2)＋eq\f(\r(2),10)×eq\f(\r(2),2)＝eq\f(4,5).解法2：由題設(shè)得eq\f(\r(2),2)cosx＋eq\f(\r(2),2)sinx＝eq\f(\r(2),10)，即cosx＋sinx＝eq\f(1,5).又sin2x＋cos2x＝1，從而25sin2x－5sinx－12＝0，解得sinx＝eq\f(4,5)，或sinx＝－eq\f(3,5)，因?yàn)閤∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，\f(3π,4)))，所以sinx＝eq\f(4,5).(2)∵x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，\f(3π,4)))，故cosx＝－eq\r(1－sin2x)＝－eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5)))2)＝－eq\f(3,5).sin2x＝2sinxcosx＝－eq\f(24,25).cos2x＝2cos2x－1＝－eq\f(7,25).∴sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))＝sin2xcoseq\f(π,3)＋cos2xsineq\f(π,3)＝－eq\f(24＋7\r(3),50).20．(12分)已知向量a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(3x,2)，sin\f(3x,2)))，b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(x,2)，－sin\f(x,2)))，c＝(eq\r(3)，－1)，其中x∈R.(1)當(dāng)a⊥b時(shí)，求x值的集合；(2)求|a－c|的最大值．解(1)由a⊥b得a·b＝0，即coseq\f(3x,2)coseq\f(x,2)－sineq\f(3x,2)sineq\f(x,2)＝0，則cos2x＝0，得x＝eq\f(kπ,2)＋eq\f(π,4)(k∈Z)，∴x值的集合是eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(kπ,2)＋\f(π,4)，k∈Z)))).(2)|a－c|2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(3x,2)－\r(3)))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(3x,2)＋1))2＝cos2eq\f(3x,2)－2eq\r(3)coseq\f(3x,2)＋3＋sin2eq\f(3x,2)＋2sineq\f(3x,2)＋1＝5＋2sineq\f(3x,2)－2eq\r(3)coseq\f(3x,2)＝5＋4sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3x,2)－\f(π,3)))，則|a－c|2的最大值為9.∴|a－c|的最大值為3.21．(12分)某工人要從一塊圓心角為45°的扇形木板中割出一塊一邊在半徑上的內(nèi)接長(zhǎng)方形桌面，若扇形的半徑長(zhǎng)為1cm，求割出的長(zhǎng)方形桌面的最大面積(如圖)．解連接OC，設(shè)∠COB＝θ，則0°<θ<45°，OC＝1.∵AB＝OB－OA＝cosθ－AD＝cosθ－sinθ，∴S矩形ABCD＝AB·BC＝(cosθ－sinθ)·sinθ＝－sin2θ＋sinθcosθ＝－eq\f(1,2)(1－cos2θ)＋eq\f(1,2)sin2θ＝eq\f(1,2)(sin2θ＋cos2θ)－eq\f(1,2)＝eq\f(\r(2),2)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2θ－\f(π,4)))－eq\f(1,2).當(dāng)2θ－eq\f(π,4)＝0，即θ＝eq\f(π,8)時(shí)，Smax＝