北師大版九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)第1章特殊平行四邊形章節(jié)綜合測(cè)試【含答案】

北師大版九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)第1章特殊平行四邊形章節(jié)綜合測(cè)試一、單選題1．下列可以判斷是菱形的是（）A．一組對(duì)邊平行且相等的四邊形B．對(duì)角線相等的平行四邊形C．對(duì)角線垂直的四邊形D．對(duì)角線互相垂直且平分的四邊形2．下列命題中正確的是（）A．對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是正方形B．一組對(duì)邊平行，且有一個(gè)角是直角，一組鄰邊相等的四邊形是正方形C．對(duì)角線相等且互相垂直的四邊形是正方形D．對(duì)角線相等且互相垂直平分的四邊形是正方形3．如圖，點(diǎn)E在邊長(zhǎng)為4的正方形ABCD的CD邊上，連接BE，將△BCE沿直線BE翻折，點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為C′，延長(zhǎng)BC′交AD邊于點(diǎn)F，若AF＝3，則tan∠CBE的值為（）A． B． C． D．24．一個(gè)長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)為6a+8b，其一邊長(zhǎng)為2a+3b，則另一邊長(zhǎng)為（）A．4a+5b B．a(chǎn)+b C．a(chǎn)+2b D．a(chǎn)+7b5．矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，則點(diǎn)A到BD的距離是（）A．4 B．4.6 C．4.8 D．56．在四邊形中，給出下列四個(gè)條件：①四邊都相等，有一個(gè)內(nèi)角是直角；②四個(gè)內(nèi)角都相等，有一組鄰邊相等；③對(duì)角線互相垂直，且每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角；④對(duì)角線互相垂直平分且相等；其中能判定這個(gè)四邊形為正方形的所有條件分別為（）A．①② B．③④ C．①②④ D．①②③④7．如圖，在矩形ABCD中，E是BC邊上的點(diǎn)，連接AE、DE，將DEC沿線段DE翻折，點(diǎn)C恰好落在線段AE上的點(diǎn)F處．若AB＝6，BE：EC＝4：1，則線段DE的長(zhǎng)為（）A．4 B．2 C．4 D．28．在□ABCD中，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，若∠ABC＝90°，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A．AC＝BD B．OA＝OB C．AC⊥BD D．AB＝CD9．如圖，把長(zhǎng)方形紙片ABCD沿對(duì)角線折疊，設(shè)重疊部分為△EBD，那么，有下列說(shuō)法：①△EBA和△EDC一定是全等三角形；②△EBD是等腰三角形，EB＝ED；③折疊后得到的圖形是軸對(duì)稱圖形；④折疊后∠ABE和∠CBD一定相等；其中正確的有()A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)10．如圖，在矩形中，對(duì)角線相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E是邊的中點(diǎn)，點(diǎn)F在對(duì)角線上，且，連接.若，則的長(zhǎng)為（）A． B．3 C．4 D．5二、填空題11．已知正方形ABCD的對(duì)角線AC的長(zhǎng)為3，則正方形ABCD的邊長(zhǎng)為．12．如圖，已知在菱形中，對(duì)角線、相交于點(diǎn)O，已知AC=8，BD=4，則菱形的邊長(zhǎng)為.13．在直角坐標(biāo)系中，長(zhǎng)方形三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)為，，，則頂點(diǎn)D的坐標(biāo)是．14．如圖，四邊形ABCD的兩條對(duì)角線AC、BD互相垂直，A1、B1、C1、D1是四邊形ABCD的中點(diǎn)．如果AC＝，BD＝4，那么四邊形A1B1C1D1的面積為．15．如圖，菱形ABCD的周長(zhǎng)為40，∠ABC=60°，E是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)P是BD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則PA+PE的最小值為.三、解答題16．如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)E、F分別是邊AB、CD的中點(diǎn)．求證：DE=BF．17．如圖，矩形ABCD中，點(diǎn)M在DC上，AM=AB，且BN⊥AM，垂足為N，證明：△ABN≌△MAD；18．如圖，在菱形ABCD中，∠B=30°，點(diǎn)E在CD邊上，若AE=AC,DE=6，求AC的長(zhǎng).19．如圖，△ABC中，點(diǎn)O為AC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)O作直線MN∥BC，設(shè)MN交∠BCA的外角平分線CF于點(diǎn)F，交∠ACB內(nèi)角平分線CE于E.（1）求證：EO=FO；（2）當(dāng)點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到何處時(shí)，四邊形AECF是矩形？并證明你的結(jié)論；（3）若AC邊上存在點(diǎn)O，使四邊形AECF是正方形，猜想△ABC的形狀并證明你的結(jié)論。20．如圖1，已知正方形ABCD的邊CD在正方形DEFG的邊DE上，連接AE，GC．（1）試猜想AE與GC有怎樣的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論；（2）將正方形DEFG繞點(diǎn)D按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，使點(diǎn)E落在BC邊上，如圖2，連接AE和GC．你認(rèn)為（1）中的結(jié)論是否還成立？若成立，給出證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由．四、綜合題21．如圖，點(diǎn)E、F分別在矩形ABCD的邊BC、AD上，把這個(gè)矩形沿EF折疊后，點(diǎn)D恰好落在BC邊上的G點(diǎn)處，且∠AFG=60°（1）求證：GE=2EC；（2）連接CH、DG，試證明：CH∥DG．

答案解析部分1．【答案】D【解析】【解答】解：A、一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，不一定是菱形，故A選項(xiàng)不符合題意；B、對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形，故B選項(xiàng)不符合題意；C、對(duì)角線垂直的四邊形不一定是菱形，故C選項(xiàng)不符合題意；D、對(duì)角線互相垂直且平分的四邊形是菱形，故D選項(xiàng)符合題意.故答案為：D.

【分析】根據(jù)菱形的判定定理分別判斷，即對(duì)角線互相垂直且平分的四邊形是菱形，四邊相等的四邊形是菱形.2．【答案】D【解析】【解答】解：A、對(duì)角線相等且垂直的平行四邊形是正方形，原命題不符合題意；B、一組對(duì)邊平行，且有一個(gè)角是直角，一組鄰邊相等的四邊形可能是直角梯形，不一定是正方形，原命題不符合題意；C、對(duì)角線平分、相等且互相垂直的四邊形是正方形，原命題不符合題意；D、對(duì)角線相等且互相垂直平分的四邊形是正方形，原命題符合題意；故答案為：D．【分析】根據(jù)正方形的判定方法對(duì)每個(gè)選項(xiàng)一一判斷求解即可。3．【答案】A【解析】【解答】解：連接，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，，，AF＝3，，，折疊，，，，，，在與中，，，，，故答案為：A.

【分析】根據(jù)AF＝3，AB=4，得出BF的值，由折疊可知，，，，得出，可證出，得出，推出，即可求解。4．【答案】B【解析】【解答】解：另一邊長(zhǎng)為（6a+8b）÷2-（2a+3b）=3a+4b-2a-3b=a+b；故答案為：B.【分析】由于長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)等于兩鄰邊和的2倍，故知道周長(zhǎng)及一條邊長(zhǎng)，可以用周長(zhǎng)除以2再減去已知的邊長(zhǎng)，據(jù)此列出式子，進(jìn)而根據(jù)整式的加減法法則算出答案.5．【答案】C【解析】【解答】解：設(shè)點(diǎn)A到BD的距離為h，在矩形ABCD中，∴AB＝6，BC＝AD＝8，∴由勾股定理可知：BD＝10，∴h?BD＝AD?AB，∴h＝＝4.8，故答案為：C.

【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)，利用勾股定理可得到BD＝10，根據(jù)直角三角形的面積可得到h?BD＝AD?AB，即可求出點(diǎn)A到BD的距離。6．【答案】C【解析】【解答】①四邊相等的四邊形是菱形，有一個(gè)內(nèi)角是直角的菱形是正方形，故符合題意；②四個(gè)內(nèi)角都相等的四邊形是矩形，有一組鄰邊相等的矩形是正方形，故符合題意；③可得到該四邊形是菱形；④對(duì)角線互相垂直平分的是菱形，對(duì)角線相等的菱形是正方形，故符合題意；所以正確的有①②④，故答案為：C．【分析】根據(jù)正方形的判定定理逐一判斷條件是否成立.7．【答案】D【解析】【解答】解：由矩形ABCD，得∠B＝∠C＝90°，CD＝AB，AD＝BC，AD∥BC．由△DEC沿線段DE翻折，點(diǎn)C恰好落在線段AE上的點(diǎn)F處，得△DFE≌△DCE，∴DF＝DC，∠DFE＝∠C＝90°，∴DF＝AB，∠AFD＝90°，∴∠AFD＝∠B，由AD∥BC得∠DAF＝∠AEB，在△ABE與△DFA中，∠AEB=∠DAF∠B=∠AFD∴△ABE≌△DFA（AAS）．∵BE：CE＝4：1，∴設(shè)CE＝x，BE＝4x，則AD＝BC＝5x，由△ABE≌△DFA，得AF＝BE＝4x，在Rt△ADF中，由勾股定理可得DF＝3x，又∵DF＝CD＝AB＝6，∴x＝2，在Rt△DCE中，DE＝＝＝2．故答案為：D．【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)得出DF＝DC，∠DFE＝∠C＝90°，再利用AAS證明△ABE≌△DFA，得出AF＝BE，設(shè)CE＝x，BE＝4x，則AD＝BC＝5x，在Rt△ADF中，根據(jù)勾股定理求出DF＝3x，結(jié)合DF=6，即可求出x值，在Rt△DCE中，根據(jù)勾股定理求出DE長(zhǎng)，即可解答.8．【答案】C【解析】【解答】解：根據(jù)題意作圖，如下所示：∵，∠ABC=90°，∴四邊形ABCD為矩形.∵矩形ABCD，∴AB=CD，OA=OB，AC=BD.∵條件不足無(wú)法判定四邊形為菱形，∴AC⊥BD無(wú)法判定，故C錯(cuò)誤.故答案為：C.【分析】本題根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，加之∠ABC=90°進(jìn)行矩形的證明，最后根據(jù)矩形性質(zhì)求解本題.9．【答案】C【解析】【解答】解：①∵四邊形ABCD為矩形，∴∠A＝∠C，AB＝CD，∵∠AEB＝∠CED，∴△AEB≌△CED，∴△EBA和△EDC一定是全等三角形，正確；②∵△AEB≌△CED，∴BE＝DE，∴∠ABE＝∠CDE，∴△EBD是等腰三角形，EB＝ED，正確；③折疊后得到的圖形是軸對(duì)稱圖形，正確；④折疊后∠ABE+2∠CBD＝90°，∠ABE和∠CBD不一定相等(除非都是30°)，故此說(shuō)法錯(cuò)誤.故答案為：C.

【分析】由矩形的對(duì)邊相等可得AB＝CD，根據(jù)AAS可判斷△AEB≌△CED，故①正確；由①中的全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等可得EB＝ED，故②正確；折疊后得到的圖形沿著B(niǎo)D的垂直平分線折疊，直線兩旁的部分能夠完全重合，故③正確；只有∠ABE=30°時(shí)，∠ABE和∠CBD一定相等，而題中沒(méi)有這一個(gè)條件，故④錯(cuò)誤.10．【答案】A【解析】【解答】解：在矩形中，，，∵，∴，∴點(diǎn)F為中點(diǎn)，又∵點(diǎn)E為邊的中點(diǎn)，∴為的中位線，∴.故答案為：A.【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)可得AO=OC=AC，AC=BD=10，由已知條件可知AF=AC，則AF=AO，推出EF為△AOD的中位線，則EF=OD，據(jù)此計(jì)算.11．【答案】3【解析】【解答】解：如圖，設(shè)正方形ABCD的邊長(zhǎng)為a，由勾股定理得：，解得．故答案為：3．

【分析】設(shè)正方形ABCD的邊長(zhǎng)為a，利用勾股定理求解即可。12．【答案】【解析】【解答】解：∵四邊形ABCD是菱形，且AC=8，BD=4，∴OA=AC=4，OB=BD=2，AC⊥BD，∴.故答案為：.【分析】由菱形的性質(zhì)可得菱形的對(duì)角線互相垂直平分，再用勾股定理可求解.13．【答案】（-2，3）【解析】【解答】解：如圖：∵A（-2，-2），B（4，-2），C（4，3），∴點(diǎn)D的橫坐標(biāo)與點(diǎn)A的橫坐標(biāo)相同，為-2，點(diǎn)D的縱坐標(biāo)與點(diǎn)C的縱坐標(biāo)相同，為3，∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（-2，3）.故答案為：（-2，3）.【分析】畫(huà)出示意圖，根據(jù)矩形的性質(zhì)可得點(diǎn)D的橫坐標(biāo)與點(diǎn)A的橫坐標(biāo)相同，點(diǎn)D的縱坐標(biāo)與點(diǎn)C的縱坐標(biāo)相同，據(jù)此可得點(diǎn)D的坐標(biāo).14．【答案】【解析】【解答】解：∵A1，B1，C1，D1是四邊形ABCD的中點(diǎn)四邊形，且AC＝，BD＝，∴A1D1是△ABD的中位線，∴A1D1＝BD＝×＝，同理可得A1B1＝AC＝，根據(jù)三角形的中位線定理，可以證明四邊形A1B1C1D1是矩形，那么四邊形A1B1C1D1的面積為A1D1×A1B1＝×＝．故答案為：．【分析】先求出A1D1＝BD＝×＝，再證明A1B1＝AC＝，最后根據(jù)矩形的面積公式進(jìn)行求解即可。15．【答案】【解析】【解答】連接EC，交BD于P點(diǎn).連接PA.∵菱形ABCD中，周長(zhǎng)為40，∠ABC＝60°，∴AB＝10，AC＝10.∵E是AB的中點(diǎn)，∴AE＝5.∵A、C關(guān)于BD對(duì)稱，∴連接EC，交BD于P點(diǎn)，此時(shí)PA＋PE最小.PE＋PA＝PE＋PC＝CE＝=.故答案為.【分析】因?yàn)锳、C關(guān)于BD對(duì)稱，所以連接CE，交BD于P點(diǎn).此時(shí)PA＋PE最小.16．【答案】證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴AB//CD，AB=CD，又E、F分別是邊AB、CD的中點(diǎn)，∴DF=BE，又AB//CD，∴四邊形DEBF是平行四邊形，∴DE=BF．【解析】【分析】先證出四邊形DEBF是平行四邊形，再利用平行四邊形的性質(zhì)可得DE=BF。17．【答案】證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴DC∥AB，∠D=90°∴∠DMA=∠MAB∵BN⊥AM，∴∠D=∠ANB=90°又∵AM=AB∴△ABN≌△MAD（AAS）．【解析】【分析】利用“AAS”證明△ABN≌△MAD即可。18．【答案】解：如圖，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥AD于F，∵四邊形ABCD是菱形，∠B＝30°，∴∠D＝30°，AB＝BC＝AD，∴∠BAC＝∠ACB＝75°＝∠ACD，且AE＝AC，∴∠AEC＝∠ACE＝75°，且∠AEC＝∠D＋∠DAE，∴∠DAE＝45°，∵EF⊥AD，∠D＝30°，DE＝6，∴EF＝3，且EF⊥AD，∠DAE＝45°，∴AE＝EF＝3，∴AC=3.【解析】【分析】過(guò)點(diǎn)E作EF⊥AD于F，由菱形的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)可求∠DAE＝45°，由直角三角形的性質(zhì)可求EF的長(zhǎng)，再求AE即可．19．【答案】（1）證明：∵CE平分∠ACB，∴∠ACE=∠BCE，∵M(jìn)N∥BC，∴∠OEC=∠ECB，∴∠OEC=∠OCE，∴OE=OC，同理，OC=OF，∴OE=OF．（2）解：當(dāng)點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到AC中點(diǎn)處時(shí)，四邊形AECF是矩形．如圖AO=CO，EO=FO，∴四邊形AECF為平行四邊形，∵CE平分∠ACB，∴∠ACE=∠ACB，同理，∠ACF=∠ACG，∴∠ECF=∠ACE+∠ACF=（∠ACB+∠ACG）=×180°=90°，∴四邊形AECF是矩形．（3）解：△ABC是直角三角形∵四邊形AECF是正方形，∴AC⊥EN，故∠AOM=90°，∵M(jìn)N∥BC，∴∠BCA=∠AOM，∴∠BCA=90°，∴△ABC是直角三角形．【解析】【分析】（1）根據(jù)CE平分∠ACB，MN∥BC，找到相等的角，即∠OEC=∠ECB，再根據(jù)等邊對(duì)等角得OE=OC，同理OC=OF，可得EO=FO．（2）利用矩形的判定解答，即有一個(gè)內(nèi)角是直角的平行四邊形是矩形．（3）利用已知條件及正方形的性質(zhì)解答．20．【答案】（1）AE⊥GC；證明：延長(zhǎng)GC交AE于點(diǎn)H，在正方形ABCD與正方形DEFG中，AD=DC，∠ADE=∠CDG=90°，DE=DG，∴△ADE≌△CDG，∴∠1=∠2；∵∠2+∠3=90°，∴∠1+∠3=90°，∴∠AHG=180°-（∠1+∠3）=180°-90°=90°，∴AE⊥GC．（2）成立；證明：延長(zhǎng)AE和GC相交于點(diǎn)H，在正方形ABCD和正方形DEFG中，AD=DC，DE=DG，∠ADC=∠DCB=∠B=∠BAD=∠EDG=90°，∴∠1=∠2=90°-∠3；∴△ADE≌△CDG，∴∠5=∠4；又∵∠5+∠6=90°，∠4+∠7=180°-∠DCE=180°-90°=90°，∴∠6=∠7，又∵∠6+