數(shù)學(xué)教育的基本理論

數(shù)學(xué)教育的基本理論第1頁(yè)，共77頁(yè)，2023年，2月20日，星期五§3.1Freudenthal數(shù)學(xué)教育理論一、人物生平

弗賴(lài)登塔爾﹝1905─1990﹞為國(guó)際上享有盛名的數(shù)學(xué)教育權(quán)威，荷蘭數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)教育家。他在數(shù)學(xué)方面的主要工作領(lǐng)域是拓?fù)鋵W(xué)和李群，1960年后研究重心轉(zhuǎn)向數(shù)學(xué)教育。在他擔(dān)任國(guó)際數(shù)學(xué)教育委員會(huì)(1CMl)主席期間，召開(kāi)了第一屆國(guó)際數(shù)學(xué)教育大會(huì)(ICME—1)，并創(chuàng)辦了《數(shù)學(xué)教育研究》雜志

第2頁(yè)，共77頁(yè)，2023年，2月20日，星期五人們普遍認(rèn)為，如果說(shuō)克萊茵在20世紀(jì)上半葉對(duì)數(shù)學(xué)教育作出了不朽的功績(jī)，那么弗賴(lài)登塔爾就是20世紀(jì)下半葉數(shù)學(xué)教育事業(yè)的帶頭人。第3頁(yè)，共77頁(yè)，2023年，2月20日，星期五二、代表作弗賴(lài)登塔爾的數(shù)學(xué)教育理論著作很多，主要的代表作有《作為教育任務(wù)的數(shù)學(xué)》、《除草與播種—數(shù)學(xué)教育科學(xué)的前言》、《數(shù)學(xué)教育再探》等.第4頁(yè)，共77頁(yè)，2023年，2月20日，星期五弗賴(lài)登塔爾在著作中詳細(xì)論述了為什么必須對(duì)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)教育進(jìn)行改革的原因：系統(tǒng)闡述了現(xiàn)實(shí)數(shù)學(xué)教育思想的理論體系；具體探討了如何按現(xiàn)實(shí)數(shù)學(xué)教育的觀點(diǎn)設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)課程、編寫(xiě)數(shù)學(xué)教材等方面的問(wèn)題．他的許多結(jié)論都是在中、小學(xué)課堂上經(jīng)過(guò)長(zhǎng)期實(shí)踐之后得出的．他的工作奠定了現(xiàn)實(shí)數(shù)學(xué)教育的理論和實(shí)踐基礎(chǔ)，明確了現(xiàn)代數(shù)學(xué)教育改革的目標(biāo)和方向．第5頁(yè)，共77頁(yè)，2023年，2月20日，星期五三、Freudenthal的數(shù)學(xué)教育觀1、數(shù)學(xué)教育的五個(gè)主要特征——情境問(wèn)題是教學(xué)的平臺(tái)——數(shù)學(xué)化是數(shù)學(xué)教育的目標(biāo)——學(xué)生通過(guò)自己努力得到的結(jié)論和創(chuàng)造是教育內(nèi)容的一部分——“互動(dòng)”是主要的學(xué)習(xí)方式——學(xué)科交織是數(shù)學(xué)教育內(nèi)容的呈現(xiàn)方式三個(gè)詞來(lái)加以概括—數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)、數(shù)學(xué)化、再創(chuàng)造。第6頁(yè)，共77頁(yè)，2023年，2月20日，星期五何謂數(shù)學(xué)教育中的現(xiàn)實(shí)數(shù)學(xué)教育中的現(xiàn)實(shí)——數(shù)學(xué)來(lái)源于現(xiàn)實(shí)，存在于現(xiàn)實(shí)，應(yīng)用于現(xiàn)實(shí)，而且每個(gè)學(xué)生有各自不同的“數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)”數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)是指學(xué)生的數(shù)學(xué)知識(shí)以及現(xiàn)實(shí)背景的總和數(shù)學(xué)教師的任務(wù)之一就是幫助學(xué)生構(gòu)造數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)，并在此基礎(chǔ)上發(fā)展他們的數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)例題生活化，問(wèn)題情境化第7頁(yè)，共77頁(yè)，2023年，2月20日，星期五運(yùn)用“現(xiàn)實(shí)的數(shù)學(xué)”進(jìn)行教學(xué)第一，數(shù)學(xué)的概念、運(yùn)算、法則和命題，都是來(lái)自于現(xiàn)實(shí)世界的實(shí)際需要而形成的，是現(xiàn)實(shí)世界的抽象反映和人類(lèi)經(jīng)驗(yàn)的總結(jié)第二，數(shù)學(xué)研究的對(duì)象，是現(xiàn)實(shí)世界同一類(lèi)事物或現(xiàn)象抽象而成的量化模式第三，數(shù)學(xué)教育應(yīng)為不同的人提供不同層次的數(shù)學(xué)知識(shí)第8頁(yè)，共77頁(yè)，2023年，2月20日，星期五對(duì)教學(xué)的啟示

學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)就意味著能夠做數(shù)學(xué)，即運(yùn)用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言去解決問(wèn)題，探索論據(jù)并尋求證明，而最重要的活動(dòng)則應(yīng)該是從給定的具體情境中，識(shí)別或提出一個(gè)數(shù)學(xué)概念。所以，教師如果要想引入一個(gè)新概念，卻缺少足夠的具體事實(shí)作為基礎(chǔ)，或者反復(fù)介紹一個(gè)概念，卻沒(méi)有具體的應(yīng)用，這都無(wú)法使學(xué)生產(chǎn)生求知的沖動(dòng)，過(guò)早地形式化也不可能產(chǎn)生好的效果。因此，數(shù)學(xué)教學(xué)的內(nèi)容——為學(xué)生準(zhǔn)備的數(shù)學(xué)——應(yīng)該是與現(xiàn)實(shí)密切聯(lián)系的數(shù)學(xué)，能夠在實(shí)際中得到應(yīng)用的數(shù)學(xué)，即“現(xiàn)實(shí)的數(shù)學(xué)”。并且每個(gè)學(xué)生有各自不同的“數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)”。第9頁(yè)，共77頁(yè)，2023年，2月20日，星期五一些具體的例子如下：

通過(guò)公共汽車(chē)上下車(chē)人數(shù)的變化引入整數(shù)的加減法，并找出運(yùn)算規(guī)律；借助學(xué)生上學(xué)乘汽車(chē)、騎自行車(chē)或步行等多種交通工具以及途中出現(xiàn)的各種情況，介紹各種類(lèi)型的圖象表示、解析表示，進(jìn)一步可介紹變化率以及斜率等概念及有關(guān)性質(zhì)；還可以從商店出售各種不同牌子、不同規(guī)格的商品所獲得的利潤(rùn)計(jì)算，引進(jìn)矩陣的乘法概念，以及它的運(yùn)算法則；以及根據(jù)血壓的變化介紹一般周期函數(shù)的概念，再進(jìn)一步到更有規(guī)律的正弦函數(shù)及其性質(zhì)；或者從物質(zhì)的生長(zhǎng)率引進(jìn)指數(shù)函數(shù)概念，從而導(dǎo)出對(duì)數(shù)函數(shù)等。

第10頁(yè)，共77頁(yè)，2023年，2月20日，星期五什么是數(shù)學(xué)化弗賴(lài)登塔爾認(rèn)為，人們?cè)谟^察、認(rèn)識(shí)和改造客觀世界的過(guò)程中，運(yùn)用數(shù)學(xué)的思想和方法來(lái)分析和研究客觀世界的種種現(xiàn)象并加以整理和組織的過(guò)程，就叫數(shù)學(xué)化。數(shù)學(xué)化是一個(gè)過(guò)程，是一個(gè)從一個(gè)問(wèn)題開(kāi)始，由實(shí)際問(wèn)題到數(shù)學(xué)問(wèn)題，由具體問(wèn)題到抽象概念，由解決問(wèn)題到更進(jìn)一步應(yīng)用的全過(guò)程，。數(shù)學(xué)教學(xué)即是數(shù)學(xué)化的教學(xué)抽象化、公理化、模型化、形式化等等，都可看成是數(shù)學(xué)化數(shù)學(xué)化的形式：實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題；從符號(hào)到概念的數(shù)學(xué)化第11頁(yè)，共77頁(yè)，2023年，2月20日，星期五前蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家格涅堅(jiān)科說(shuō)：當(dāng)今的世界“不僅僅是科學(xué)在數(shù)學(xué)化，而且絕大多數(shù)實(shí)踐活動(dòng)也在數(shù)學(xué)化”，“我們的時(shí)代是知識(shí)數(shù)學(xué)化的時(shí)代”。第12頁(yè)，共77頁(yè)，2023年，2月20日，星期五對(duì)教學(xué)的啟示數(shù)學(xué)教育的正確做法是，既要強(qiáng)調(diào)現(xiàn)實(shí)基礎(chǔ)，又要重視邏輯思維，既要密切注意數(shù)學(xué)的外部關(guān)系，也要充分體現(xiàn)數(shù)學(xué)的內(nèi)在聯(lián)系。使學(xué)生在直觀與抽象的結(jié)合過(guò)程中，提高數(shù)學(xué)知識(shí)水平，掌握數(shù)學(xué)技能和方法，并運(yùn)用這些數(shù)學(xué)知識(shí)、技能、方法來(lái)觀察，識(shí)別現(xiàn)實(shí)世界中的具體問(wèn)題，建立數(shù)學(xué)模型，或是找出其共性與規(guī)律，形成數(shù)學(xué)的抽象與概括，也就是學(xué)會(huì)“數(shù)學(xué)化”。第13頁(yè)，共77頁(yè)，2023年，2月20日，星期五數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的“再創(chuàng)造”學(xué)生“再創(chuàng)造”學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過(guò)程實(shí)際上就是一個(gè)“做數(shù)學(xué)”(doingmathematics)的過(guò)程。其核心是數(shù)學(xué)過(guò)程再現(xiàn)。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是一個(gè)經(jīng)驗(yàn)、理解和反思的過(guò)程，強(qiáng)調(diào)以學(xué)生為主體的學(xué)習(xí)活動(dòng)對(duì)學(xué)生理解數(shù)學(xué)的重要性，強(qiáng)調(diào)激發(fā)學(xué)生學(xué)生主動(dòng)學(xué)習(xí)，做數(shù)學(xué)是學(xué)生理解數(shù)學(xué)的重要途徑第14頁(yè)，共77頁(yè)，2023年，2月20日，星期五教學(xué)的啟示教師不必將各種規(guī)則、定律灌輸給學(xué)生，而是應(yīng)該創(chuàng)造合適的條件，提供很多具體的例子，讓學(xué)生在實(shí)踐活動(dòng)中，自己再創(chuàng)造出各種運(yùn)算法則，或是發(fā)現(xiàn)有關(guān)的各種規(guī)律。這充分體現(xiàn)了“學(xué)生是學(xué)習(xí)的主體”這一思想。

“發(fā)現(xiàn)法”理解為帶有一定限制條件的“再創(chuàng)造”。第15頁(yè)，共77頁(yè)，2023年，2月20日，星期五弗賴(lài)登塔爾的教育思想強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)教育面向社會(huì)現(xiàn)實(shí)，必須聯(lián)系生活實(shí)際，注重培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生從客觀現(xiàn)象發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力；用再創(chuàng)造的方法去進(jìn)行教學(xué)，反對(duì)灌輸式和死記硬背；提倡討論式、指導(dǎo)式的教學(xué)形式，反對(duì)傳統(tǒng)的講演式的教學(xué)形式。（如：兒童不可能通過(guò)演澤法學(xué)會(huì)新的數(shù)學(xué)知識(shí)）．

第16頁(yè)，共77頁(yè)，2023年，2月20日，星期五

1987年，已經(jīng)82多高齡的弗賴(lài)登塔爾到我國(guó)訪問(wèn)，他在華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系演講，走上講臺(tái)的第一句話就說(shuō)：“在荷蘭，中學(xué)教室里的桌椅擺法都是圍成一圈，教師在學(xué)生中間活動(dòng)．如果有一個(gè)學(xué)校的教室象今天這樣擺桌椅：前面一張講臺(tái)，下面是一排排桌椅，那么這所中學(xué)的校長(zhǎng)大概要被撤職了!”這時(shí)教室發(fā)出一陣笑聲，同時(shí)也引起人們的思索．

第17頁(yè)，共77頁(yè)，2023年，2月20日，星期五§3.2Polya的解題理論人物生平

波利亞（GeorgePolya，1887-1985），美籍匈牙利數(shù)學(xué)家、數(shù)學(xué)教育家。在解題方面是數(shù)學(xué)啟發(fā)法現(xiàn)代研究的先驅(qū)。

93歲時(shí)被ICME聘為名譽(yù)主席。第18頁(yè)，共77頁(yè)，2023年，2月20日，星期五§3.2Polya的解題理論代表著作《怎樣解題》《數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)》《數(shù)學(xué)與猜想》“每個(gè)大學(xué)生，每個(gè)學(xué)者，特別是每個(gè)老師都應(yīng)該讀讀這本引人入勝的書(shū)”——范.德.瓦爾登中學(xué)數(shù)學(xué)教育的根本目的就是“教會(huì)年輕人思考”——有目的的思考、產(chǎn)生式的思考，也包括形式的和非形式的思維學(xué)習(xí)最好途徑是自己去探索、親自去發(fā)現(xiàn)它“怎樣解題表”——例1（P171~173）第19頁(yè)，共77頁(yè)，2023年，2月20日，星期五波利亞的工作集中在數(shù)學(xué)解題的理論上，代表作有以下三本著作：《怎樣解題》（1945）、《數(shù)學(xué)與猜想》（1954）《數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)—對(duì)解題的理解、研究和講授》（1962）。第20頁(yè)，共77頁(yè)，2023年，2月20日，星期五數(shù)學(xué)是由問(wèn)題構(gòu)成的。因此，數(shù)學(xué)教學(xué)的本質(zhì)在于使學(xué)生學(xué)會(huì)解數(shù)學(xué)題。那種“像是帽子里突然跑出一只兔子”式的解答對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)既羨慕又困惑。

“現(xiàn)代促發(fā)術(shù)”

——“數(shù)學(xué)解題表”。第21頁(yè)，共77頁(yè)，2023年，2月20日，星期五§3.2Polya的解題理論“每個(gè)大學(xué)生，每個(gè)學(xué)者，特別是每個(gè)老師都應(yīng)該讀讀這本引人入勝的書(shū)”——范.德.瓦爾登中學(xué)數(shù)學(xué)教育的根本目的就是“教會(huì)年輕人思考”——有目的的思考、產(chǎn)生式的思考，也包括形式的和非形式的思維學(xué)習(xí)最好途徑是自己去探索、親自去發(fā)現(xiàn)它“怎樣解題表”——例1（P171~173）第22頁(yè)，共77頁(yè)，2023年，2月20日，星期五波利亞曾經(jīng)教過(guò)中學(xué)，長(zhǎng)期從事大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)工作．退休后，又從事中學(xué)數(shù)學(xué)教師的培訓(xùn)工作．在漫長(zhǎng)的歲月中，他的精湛的教學(xué)藝術(shù)與杰出的數(shù)學(xué)研究相結(jié)合，產(chǎn)生了他特有的豐富的數(shù)學(xué)教育思想．第23頁(yè)，共77頁(yè)，2023年，2月20日，星期五波利亞數(shù)學(xué)教育思想有兩個(gè)基點(diǎn)：其一是關(guān)于對(duì)數(shù)學(xué)科學(xué)的認(rèn)識(shí)，他認(rèn)為數(shù)學(xué)具有二重性，它既是歐幾里得式的演繹科學(xué)，但在創(chuàng)造與認(rèn)識(shí)過(guò)程中，它又是一門(mén)實(shí)驗(yàn)性的歸納科學(xué)．其二是關(guān)于對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的認(rèn)識(shí)，他認(rèn)為生物發(fā)生律（也稱(chēng)重演律）可以運(yùn)用于數(shù)學(xué)教學(xué)與智力開(kāi)發(fā)。

注：生物的個(gè)體發(fā)育簡(jiǎn)短而迅速地重演系統(tǒng)演化的過(guò)程就是重演律

第24頁(yè)，共77頁(yè)，2023年，2月20日，星期五數(shù)學(xué)教學(xué)與學(xué)習(xí)的心理三原則

主動(dòng)學(xué)習(xí)原則最佳動(dòng)機(jī)原則階段循序原則第25頁(yè)，共77頁(yè)，2023年，2月20日，星期五數(shù)學(xué)教學(xué)與學(xué)習(xí)的心理三原則

主動(dòng)學(xué)習(xí)原則

在教與學(xué)這一矛盾體中，學(xué)是矛盾的主要方面，學(xué)生是學(xué)習(xí)的主體，只有充分調(diào)動(dòng)其主觀能動(dòng)性，才能取得良好的學(xué)習(xí)效果。第26頁(yè)，共77頁(yè)，2023年，2月20日，星期五數(shù)學(xué)教學(xué)與學(xué)習(xí)的心理三原則

最佳動(dòng)機(jī)原則波利亞認(rèn)為如果學(xué)習(xí)者缺少活動(dòng)的動(dòng)機(jī)，那么不會(huì)有所行動(dòng)．只有對(duì)所學(xué)材料產(chǎn)生興趣，使學(xué)生感受到教學(xué)內(nèi)容本身的內(nèi)在魅力才是最好的學(xué)習(xí)刺激，而緊張的思維活動(dòng)后所感受到的快樂(lè)是對(duì)這種活動(dòng)的最好獎(jiǎng)賞．這就是最佳動(dòng)機(jī)原則．第27頁(yè)，共77頁(yè)，2023年，2月20日，星期五

因而教師責(zé)任應(yīng)是：使學(xué)生相信數(shù)學(xué)是有趣的，所討論的問(wèn)題是有價(jià)值的，鼓勵(lì)學(xué)生在解題前猜測(cè)結(jié)果，預(yù)示方法等等。使學(xué)生在這一系列活動(dòng)中體會(huì)其樂(lè)趣所在。在學(xué)習(xí)中還有些次佳學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)：比如學(xué)習(xí)好可以在社會(huì)上贏得令人羨慕的地位；會(huì)給家長(zhǎng)贏得地位和榮譽(yù)等，在教學(xué)中，教師應(yīng)盡力促使學(xué)生形成最佳學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)，使學(xué)生保持旺盛的學(xué)習(xí)勁頭，積極自覺(jué)第投入到學(xué)習(xí)活動(dòng)中去。第28頁(yè)，共77頁(yè)，2023年，2月20日，星期五數(shù)學(xué)教學(xué)與學(xué)習(xí)的心理三原則

階段循序原則波利亞根據(jù)生物發(fā)生律的思想，將數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程由低級(jí)到高級(jí)分成三個(gè)不同階段：⑴探索階段，是人類(lèi)的活動(dòng)與感受階段，處于直觀水平；⑵形式化階段，引入術(shù)語(yǔ)、定義、證明，上升到概念水平；⑶同化階段，將所學(xué)的知識(shí)消化、吸收、融匯于學(xué)習(xí)者的整體智力結(jié)構(gòu)中．每一個(gè)人的思維必須有序地通過(guò)這三個(gè)階段，這就是階段循序原則．第29頁(yè)，共77頁(yè)，2023年，2月20日，星期五為此，他建議教師多給學(xué)生介紹一些帶有挑戰(zhàn)性的題目，一些有豐富歷史背景并值得探索的問(wèn)題，一些能從中品味到科學(xué)家工作的問(wèn)題，讓學(xué)生親自經(jīng)歷科學(xué)家去發(fā)現(xiàn)探索真理的心路歷程。（新課程現(xiàn)在就強(qiáng)調(diào)這個(gè)）第30頁(yè)，共77頁(yè)，2023年，2月20日，星期五此外，波利亞還認(rèn)為在課程設(shè)計(jì)及其教學(xué)時(shí)，「生物發(fā)生律」不僅可以決定應(yīng)教什么內(nèi)容與理論，而且還可以預(yù)見(jiàn)到用什么樣的先后順序和適當(dāng)方法來(lái)講授這些內(nèi)容與理論．據(jù)此，1965年正當(dāng)「新數(shù)運(yùn)動(dòng)」方興未艾時(shí)，他提出了尖銳的反對(duì)意見(jiàn)．他說(shuō)先講集合、群論等現(xiàn)代數(shù)學(xué)的東西，再學(xué)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)內(nèi)容，無(wú)異于讓嬰兒先學(xué)開(kāi)汽車(chē)，再讓他學(xué)會(huì)走路．直到1977年在回答「你希望今后若干年內(nèi)數(shù)學(xué)教育應(yīng)朝什么方向發(fā)展」的問(wèn)題時(shí)，仍激烈地堅(jiān)持「離開(kāi)新數(shù)學(xué)軌道，離得越遠(yuǎn)越好」．第31頁(yè)，共77頁(yè)，2023年，2月20日，星期五波利亞主張數(shù)學(xué)教育主要目的之一是發(fā)展學(xué)生的解決問(wèn)題的能力，教會(huì)學(xué)生思考．

1944年在美國(guó)出版了《怎樣解題》（Howtosolveit），其中「怎樣解題」表總結(jié)了人類(lèi)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的一般規(guī)律和程序，對(duì)數(shù)學(xué)解題研究有著深遠(yuǎn)影響．迄今此書(shū)已銷(xiāo)售一百萬(wàn)冊(cè)，被譯成至少17種語(yǔ)言廣為傳播，可說(shuō)是一部現(xiàn)代數(shù)學(xué)名著.第32頁(yè)，共77頁(yè)，2023年，2月20日，星期五他隨后又寫(xiě)了兩部這類(lèi)書(shū)．其一是1954年出版的兩卷本《數(shù)學(xué)與合情推理》（Mathematicsandplausiblereasoning），再次闡述了在《怎樣解題》以及其它論文中所提到的啟發(fā)式原理，被譯成6種語(yǔ)言．其二是出版了兩卷本的《數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)》（Mathematicaldiscovery），1962年出版第一卷，1965年出版第二卷，1981年又合成一卷再版，被譯成8種語(yǔ)言．這些書(shū)籍一經(jīng)出版，立刻在美國(guó)引起轟動(dòng)，很快風(fēng)行世界，使波利亞成為當(dāng)代的數(shù)學(xué)方法論、解題研究與啟發(fā)式教學(xué)的先軀．「按波利亞的風(fēng)格」、「波利亞的方法」成了世界各地?cái)?shù)學(xué)教師的口頭禪或?qū)ｉT(mén)用語(yǔ)．第33頁(yè)，共77頁(yè)，2023年，2月20日，星期五70與80年代，中國(guó)陸續(xù)翻譯出版了波利亞的上述著作，隨之在中國(guó)掀起一股「波利亞熱」，促進(jìn)了中國(guó)數(shù)學(xué)教學(xué)的改革，提高了中國(guó)數(shù)學(xué)解題研究的水平．第34頁(yè)，共77頁(yè)，2023年，2月20日，星期五第35頁(yè)，共77頁(yè)，2023年，2月20日，星期五數(shù)學(xué)解題其實(shí)是不斷猜想，然后進(jìn)行證實(shí)或否定的過(guò)程。解題有規(guī)律，反思更重要。第36頁(yè)，共77頁(yè)，2023年，2月20日，星期五

1、學(xué)教育的核心問(wèn)題：“數(shù)學(xué)教育的目的是什么”？傳統(tǒng)的教育僅僅傳授給人們共享的科學(xué)成就，藝術(shù)或其他的知識(shí)體系，使得文化遺產(chǎn)得到保存和流傳，（側(cè)重知識(shí)的傳授，使得幾千年的知識(shí)體系得以延續(xù)）波利亞認(rèn)為：數(shù)學(xué)教育的目標(biāo)應(yīng)該是提高學(xué)生的“一般素養(yǎng)”，“首先和主要的目標(biāo)應(yīng)當(dāng)教會(huì)年輕人思考”，他強(qiáng)調(diào)：任何一門(mén)學(xué)問(wèn)都是由知識(shí)和技能組成，技能是運(yùn)用知識(shí)的能力，在數(shù)學(xué)里，技能比僅僅掌握知識(shí)更重要。第37頁(yè)，共77頁(yè)，2023年，2月20日，星期五2、數(shù)學(xué)教育應(yīng)該教怎么樣的思考？數(shù)學(xué)是什么？數(shù)學(xué)有什么特點(diǎn)？波利亞認(rèn)為：數(shù)學(xué)既是演繹體系又是歸納體系，既有完美的形式又有發(fā)展過(guò)程中的稚氣，既是是證明的科學(xué)又是實(shí)驗(yàn)科學(xué)，即數(shù)學(xué)具有兩重性。同時(shí)，他強(qiáng)調(diào)：數(shù)學(xué)教育應(yīng)當(dāng)教有目的的思考，教正規(guī)的演繹推理，包括非正規(guī)的似真的合情推理。這里所說(shuō)的思考不是空想，是有目的、有意義、有成果的思考。且數(shù)學(xué)思考又不是完全“正規(guī)”，他不僅涉及公理、定義、嚴(yán)格證明，也包括從觀察到猜想再到歸納類(lèi)比。而教會(huì)學(xué)生解題是教會(huì)學(xué)生思考，培養(yǎng)他們獨(dú)立探索的一條有效的途徑。第38頁(yè)，共77頁(yè)，2023年，2月20日，星期五3、如何培養(yǎng)學(xué)生的思考能力？波利亞強(qiáng)調(diào)：注重“思想應(yīng)該在學(xué)生的頭腦中產(chǎn)生出來(lái)，而老師只應(yīng)起一個(gè)產(chǎn)婆的作用”他認(rèn)為：最適宜的教學(xué)形式應(yīng)該是“蘇格拉底問(wèn)答法”，并倡導(dǎo)了探索式教學(xué)法和啟發(fā)式教學(xué)法。關(guān)于教師的職責(zé)：“要讓學(xué)生感到某種近似于獨(dú)立探索的體驗(yàn)”（給學(xué)生足夠的探索主動(dòng)權(quán)和成功感，讓學(xué)生感覺(jué)到自己的成功不是老師給他的成功，而是靠自身努力獲得的成功。學(xué)生在解題過(guò)程中，“如果學(xué)生有進(jìn)展，教師就不應(yīng)該問(wèn)他任何問(wèn)題，以便讓他獨(dú)立思考，不要輕易打斷學(xué)生思考的思路。當(dāng)學(xué)生停滯不前，教師就應(yīng)該尋找一個(gè)適當(dāng)?shù)膯?wèn)題

去建議和幫助他，但是應(yīng)該是“針對(duì)性太強(qiáng)”的建議。（教師千萬(wàn)不要就題講題）。第39頁(yè)，共77頁(yè)，2023年，2月20日，星期五三、波利亞給教師的十條建議：1。要對(duì)你講的課題感興趣（以興趣激發(fā)興趣）2、要懂得你講的課題（實(shí)際應(yīng)該是精通，只有自己精通，才能在課堂上旁征博引，游刃有余）3、要懂得學(xué)習(xí)方法（有學(xué)法指導(dǎo)，可以讓學(xué)生在盡短的時(shí)間內(nèi)內(nèi)化吸收）4、要觀察學(xué)生的臉色，要弄清他們的期望和困難，把自己置身于他們（想學(xué)生之想，急學(xué)生之急，備課要備學(xué)生，才能讓自己的授課更有針對(duì)性，和可操作性，和高效性）5、不僅要教給他們知識(shí)，并且要教給他們才智、思維方式、學(xué)習(xí)習(xí)慣培養(yǎng)。第40頁(yè)，共77頁(yè)，2023年，2月20日，星期五6、要讓他們學(xué)習(xí)猜測(cè)（培養(yǎng)他們的創(chuàng)造能力和直覺(jué)思維能力）7、要讓他們學(xué)習(xí)證明（培養(yǎng)學(xué)生邏輯推理能力）8、要善于挖掘題目的價(jià)值，并給予推廣（一題多用，一題多變，多題一聯(lián)，保證課堂思維的高容量，和高效）9、不要立即吐露你的全部秘密-，讓學(xué)生在你說(shuō)出來(lái)之前先動(dòng)腦去想，去猜，不要強(qiáng)迫別人去接受。（給學(xué)生充分鍛煉的機(jī)會(huì)，因?yàn)榻虒W(xué)最終目的是培養(yǎng)學(xué)生，而不是老師才能的炫耀）10、要建議學(xué)生去做某件事情，不要強(qiáng)迫別人去接受（營(yíng)造民主、平等的班級(jí)和諧氛圍，給學(xué)生以獨(dú)立的人格尊重）。第41頁(yè)，共77頁(yè)，2023年，2月20日，星期五§6.3建構(gòu)主義的數(shù)學(xué)教育理論1．什么是建構(gòu)主義建構(gòu)主義(constructivism)也譯作結(jié)構(gòu)主義，是認(rèn)知心理學(xué)派中的一個(gè)分支。主要代表人物有：皮亞杰、科恩伯格、斯滕伯格、卡茨、維果斯基。

第42頁(yè)，共77頁(yè)，2023年，2月20日，星期五建構(gòu)主義的主要觀點(diǎn)知識(shí)不是通過(guò)感官或交流被動(dòng)獲得的，而是通過(guò)認(rèn)識(shí)主體的反省抽象來(lái)主動(dòng)建構(gòu)的；有目的的活動(dòng)和認(rèn)知結(jié)構(gòu)的發(fā)展存在著必然的聯(lián)系；兒童是在與周?chē)h(huán)境相互作用的過(guò)程中，逐步建構(gòu)起關(guān)于外部世界的知識(shí)，從而使自身認(rèn)知結(jié)構(gòu)得到發(fā)展。第43頁(yè)，共77頁(yè)，2023年，2月20日，星期五什么是數(shù)學(xué)知識(shí)？建構(gòu)主義學(xué)說(shuō)認(rèn)為，數(shù)學(xué)知識(shí)并非絕對(duì)真理，即不是現(xiàn)實(shí)世界的純粹客觀的反映。數(shù)學(xué)只不過(guò)是人們對(duì)客觀世界的一種解釋、假設(shè)或假說(shuō)，并將隨著人們認(rèn)識(shí)程度的深入而不斷地變革、升華和改寫(xiě)，直至出現(xiàn)新的解釋和假設(shè)。第44頁(yè)，共77頁(yè)，2023年，2月20日，星期五什么是“最近發(fā)展區(qū)”理論維果斯基認(rèn)為教學(xué)必須要考慮兒童已達(dá)到的水平并要走在兒童發(fā)展的前面。為此，就要確定兒童的發(fā)展水平。兒童發(fā)展的兩種水平：一是現(xiàn)有的發(fā)展水平，二是在有指導(dǎo)的情況下借助成人的幫助可以達(dá)到的解決問(wèn)題的水平，或是借助于他人的啟發(fā)幫助可以達(dá)到的較高水平。這兩者之間的差距，即兒童現(xiàn)有水平與經(jīng)過(guò)他人幫助可以達(dá)到的較高水平之間的差距，就是“最近發(fā)展區(qū)”。

第45頁(yè)，共77頁(yè)，2023年，2月20日，星期五什么是同化和順應(yīng)？所謂同化，就是個(gè)體將環(huán)境因素納入已有的圖式之中，以加強(qiáng)和豐富主體的動(dòng)作；所謂順應(yīng)，就是個(gè)體改變自己的動(dòng)作以適應(yīng)客觀變化。個(gè)體就是不斷地通過(guò)同化與順應(yīng)兩種方式，來(lái)達(dá)到自身與客觀環(huán)境的平衡的。

第46頁(yè)，共77頁(yè)，2023年，2月20日，星期五建構(gòu)主義觀下的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的主要特征:——由學(xué)生自己建構(gòu)知識(shí)的過(guò)程，別人無(wú)法替代——學(xué)習(xí)是根據(jù)經(jīng)驗(yàn)主動(dòng)地意義地建構(gòu)——對(duì)新知重新編碼，建構(gòu)自己的理解理解\情境\問(wèn)題\反思\建構(gòu)第47頁(yè)，共77頁(yè)，2023年，2月20日，星期五數(shù)學(xué)建觀構(gòu)的基本原則（1）主體原則：學(xué)生是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)的主體（2）適應(yīng)原則：教師應(yīng)該從學(xué)生的現(xiàn)實(shí)出發(fā)（3）建構(gòu)原則：學(xué)生從原有的經(jīng)驗(yàn)世界中建構(gòu)（4）主導(dǎo)原則：教師是數(shù)學(xué)建構(gòu)活動(dòng)的設(shè)計(jì)者、參與者、指導(dǎo)者和評(píng)估者（5）問(wèn)題解決原則第48頁(yè)，共77頁(yè)，2023年，2月20日，星期五建構(gòu)主義理論的核心：

以學(xué)生為中心，強(qiáng)調(diào)學(xué)生對(duì)知識(shí)的主動(dòng)探索、主動(dòng)發(fā)現(xiàn)和對(duì)所學(xué)知識(shí)意義的主動(dòng)建構(gòu).

第49頁(yè)，共77頁(yè)，2023年，2月20日，星期五建構(gòu)主義學(xué)習(xí)觀的主要論點(diǎn)（1）知識(shí)并不能簡(jiǎn)單地由教師傳授，而只能由學(xué)生依據(jù)自身已有的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)主動(dòng)地加以建構(gòu)；（2）建構(gòu)活動(dòng)是學(xué)生個(gè)體相對(duì)獨(dú)立的創(chuàng)造性活動(dòng)和教師與學(xué)生組成的“學(xué)習(xí)共同體”中交流互動(dòng)過(guò)程的結(jié)合；（3）數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)過(guò)程是一個(gè)“意義賦予”的過(guò)程，同時(shí)又是一個(gè)“文化繼承”的過(guò)程（理解的過(guò)程）。第50頁(yè)，共77頁(yè)，2023年，2月20日，星期五建構(gòu)主義教學(xué)觀的主要論點(diǎn)教師不應(yīng)被看成是“知識(shí)的授予者”，而應(yīng)該是學(xué)生學(xué)習(xí)活動(dòng)的促進(jìn)者；對(duì)傳統(tǒng)教學(xué)法設(shè)計(jì)理論提出嚴(yán)重挑戰(zhàn)(徹底否定)數(shù)學(xué)教師對(duì)“什么是數(shù)學(xué)？”和“應(yīng)該怎樣去從事數(shù)學(xué)研究”的觀念對(duì)教學(xué)觀有直接和重要的影響；不唯一著眼于結(jié)論，而是更加注重過(guò)程的分析；變“問(wèn)題解決”為“數(shù)學(xué)地思考”，并以此為中心。第51頁(yè)，共77頁(yè)，2023年，2月20日，星期五2．APOS理論

美國(guó)數(shù)學(xué)教育家杜賓斯基（Dubinsky）

1）Action（活動(dòng)）階段2）Process（過(guò)程）階段3）Object（對(duì)象）階段4）Scheme（概型）階段

引導(dǎo)學(xué)生在社會(huì)線索中學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)，分析數(shù)學(xué)問(wèn)題情景，從而建構(gòu)他們自己的數(shù)學(xué)思想。第52頁(yè)，共77頁(yè)，2023年，2月20日，星期五建構(gòu)主義教學(xué)原理的應(yīng)用舉例[美]杜賓斯基，等，在數(shù)學(xué)教育研究實(shí)踐中發(fā)展起來(lái)的一種APOS理論（以函數(shù)概念為例）傳統(tǒng)數(shù)學(xué)概念教學(xué)的步驟：概念的明確（定義、名稱(chēng)、符號(hào)）；分類(lèi)；鞏固；應(yīng)用與聯(lián)系數(shù)學(xué)概念具有過(guò)程-對(duì)象的雙重性，既是邏輯分析的對(duì)象，又是具有現(xiàn)實(shí)背景和豐富寓意的數(shù)學(xué)過(guò)程。因此，必須返璞歸真，揭示概念的形成過(guò)程，從現(xiàn)實(shí)原形、抽象過(guò)程、思想指導(dǎo)、形式表達(dá)等多方位理解一個(gè)數(shù)學(xué)概念，使之符合學(xué)生主動(dòng)建構(gòu)的教育原理第53頁(yè)，共77頁(yè)，2023年，2月20日，星期五APOS理論（以函數(shù)概念為例）Action（活動(dòng)）階段：理解函數(shù)需要活動(dòng)或操作。通過(guò)操作活動(dòng)，理解函數(shù)的意義Process（過(guò)程）階段：把上述操作活動(dòng)綜合為一個(gè)函數(shù)過(guò)程。xx2，xf(x)Obiect（對(duì)象）過(guò)程：把函數(shù)過(guò)程當(dāng)作一個(gè)獨(dú)立的對(duì)象來(lái)處理。函數(shù)的加減乘除、復(fù)合運(yùn)算Scheme（圖式）階段：函數(shù)概念以一種綜合的心理圖式存于大腦，形成知識(shí)的體系（完整）。第54頁(yè)，共77頁(yè)，2023年，2月20日，星期五APOS理論（以代數(shù)式概念為例）代數(shù)式的本質(zhì)在于“不定元”和數(shù)字可以像數(shù)一樣進(jìn)行運(yùn)算A：通過(guò)運(yùn)算活動(dòng)理解具體的代數(shù)式P：體驗(yàn)代數(shù)式的過(guò)程O(píng)：對(duì)代數(shù)式的形式化表述S：建立綜合的心理圖式。學(xué)生頭腦中建立代數(shù)式的心理表征：具體實(shí)例，運(yùn)算過(guò)程，字母表示一類(lèi)數(shù)的數(shù)學(xué)思想，代數(shù)式的定義，能運(yùn)用第55頁(yè)，共77頁(yè)，2023年，2月20日，星期五3．建構(gòu)主義下教學(xué)模式

搭腳手架－－建立概念框架。進(jìn)入情境－－引入一定的問(wèn)題情境。獨(dú)立探索－－讓學(xué)生獨(dú)立探索。協(xié)作學(xué)習(xí)－－進(jìn)行小組協(xié)商、討論。效果評(píng)價(jià)

（1）支架式教學(xué)(ScaffoldingInstruction)

“支架式教學(xué)應(yīng)當(dāng)為學(xué)習(xí)者建構(gòu)對(duì)知識(shí)的理解提供一種概念框架。這種框架中的概念是為發(fā)展學(xué)習(xí)者對(duì)問(wèn)題的進(jìn)一步理解所需要的，為此，事先要把復(fù)雜的學(xué)習(xí)任務(wù)加以分解，以便于把學(xué)習(xí)者的理解逐步引向深入。”

第56頁(yè)，共77頁(yè)，2023年，2月20日，星期五（2）拋錨式教學(xué)(AnchoredInstruction)

拋錨式教學(xué)由這樣幾個(gè)環(huán)節(jié)組成：創(chuàng)設(shè)情境確定問(wèn)題自主學(xué)習(xí)協(xié)作學(xué)習(xí)效果評(píng)價(jià)

有時(shí)也被稱(chēng)為“實(shí)例式教學(xué)”或“基于問(wèn)題的教學(xué)”或“情境性教學(xué)”

第57頁(yè)，共77頁(yè)，2023年，2月20日，星期五對(duì)建構(gòu)主義理論的簡(jiǎn)評(píng)建構(gòu)主義者在吸收維果斯基、認(rèn)知信息加工學(xué)說(shuō)、皮亞杰、布魯納等思想的基礎(chǔ)上提出的許多富有創(chuàng)見(jiàn)的教學(xué)思想，如強(qiáng)調(diào)學(xué)習(xí)過(guò)程中學(xué)習(xí)者的主動(dòng)性、建構(gòu)性；提出合作學(xué)習(xí)、情境性教學(xué)等，對(duì)深化當(dāng)前的教育教學(xué)改革具有深遠(yuǎn)的意義。但是，傳統(tǒng)教學(xué)重視知識(shí)的確定性和普遍性，注重分析和抽象，這在學(xué)習(xí)的初級(jí)階段是必要且有其合理性的。全盤(pán)否定它，同樣會(huì)犯以偏概全，以特殊代替一般的錯(cuò)誤，會(huì)引起教學(xué)上的混亂。提倡情境性教學(xué)，力主具體和真實(shí)，但由此而反對(duì)抽象和概括，認(rèn)為進(jìn)行抽象的訓(xùn)練是沒(méi)有用的也是片面的。第58頁(yè)，共77頁(yè)，2023年，2月20日，星期五對(duì)建構(gòu)主義理論的簡(jiǎn)評(píng)我們應(yīng)該以辨證唯物主義為指導(dǎo)，全面衡量學(xué)習(xí)中的具體與抽象的關(guān)系。學(xué)生的學(xué)習(xí)主要是掌握間接經(jīng)驗(yàn)的過(guò)程，由此它與人類(lèi)認(rèn)識(shí)客觀世界的過(guò)程有所不同。人類(lèi)認(rèn)識(shí)是從實(shí)踐活動(dòng)開(kāi)始的，而學(xué)生的學(xué)習(xí)過(guò)程則未必如此。學(xué)生既可以從實(shí)踐，從學(xué)習(xí)具體經(jīng)驗(yàn)開(kāi)始，也可以從學(xué)習(xí)間接經(jīng)驗(yàn)、現(xiàn)有的經(jīng)驗(yàn)、理論、結(jié)論開(kāi)始，同時(shí)補(bǔ)充以感性經(jīng)驗(yàn)。而且，從教育的功能上看，間接經(jīng)驗(yàn)的學(xué)習(xí)形式仍是主要的，學(xué)生的學(xué)習(xí)不可能事事從直接經(jīng)驗(yàn)開(kāi)始。這就要求教師在教學(xué)過(guò)程中注意把學(xué)校學(xué)習(xí)與實(shí)際生活以及學(xué)生的原有經(jīng)驗(yàn)緊密相聯(lián)。第59頁(yè)，共77頁(yè)，2023年，2月20日，星期五數(shù)學(xué)教師在建構(gòu)主義的課堂上要做

6件事情加強(qiáng)學(xué)生的自我管理和激勵(lì)他們?yōu)樽约旱膶W(xué)習(xí)負(fù)責(zé)；發(fā)展學(xué)生的反省思維；建立學(xué)生建構(gòu)數(shù)學(xué)的“卷宗”；觀察且參與學(xué)生嘗試、辨認(rèn)與選擇解題途徑的活動(dòng)；反思與回顧解題途徑；明確活動(dòng)、學(xué)習(xí)材料的目的。第60頁(yè)，共77頁(yè)，2023年，2月20日，星期五§6.4我國(guó)的“雙基”數(shù)學(xué)教學(xué)1.“雙基”的含義：即：數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能

數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)根據(jù)抽象程度的高低劃分為知識(shí)、方法和思想三個(gè)層面。數(shù)學(xué)基本技能，是在熟練運(yùn)用數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)的過(guò)程中形成的技能。包括推理、運(yùn)算和作圖

第61頁(yè)，共77頁(yè)，2023年，2月20日，星期五我國(guó)“數(shù)學(xué)雙基教學(xué)”“數(shù)學(xué)雙基教學(xué)”作為一個(gè)特定的名詞，其內(nèi)涵不只限于雙基本身，還包括雙基之上的發(fā)展。啟發(fā)式、精講多練，變式練習(xí)、提煉數(shù)學(xué)思想方法等都屬于“發(fā)展”的層面，卻又和雙基密切相關(guān)。第62頁(yè)，共77頁(yè)，2023年，2月20日，星期五§6.4我國(guó)的“雙基”數(shù)學(xué)教學(xué)“雙基”教學(xué)理論的主要特征：1.記憶通向理解2.速度贏得效率3.嚴(yán)謹(jǐn)形成理性4.重復(fù)依靠變式第63頁(yè)，共77頁(yè)，2023年，2月20日，星期五雙基教學(xué)理論的根源小農(nóng)經(jīng)濟(jì)的播種文化——精耕細(xì)作儒家文化的收斂式思維嚴(yán)酷的考試文化重形式、重課本、少創(chuàng)新打好基礎(chǔ)，缺少創(chuàng)新（做好平衡）第64頁(yè)，共77頁(yè)，2023年，2月20日，星期五雙基教學(xué)教學(xué)的發(fā)展歷程中國(guó)數(shù)學(xué)雙基教學(xué)植根于中國(guó)教育的優(yōu)良傳統(tǒng)，萌芽于50年代，形成于60年代，發(fā)展于80年代，成熟于90年代。第65頁(yè)，共77頁(yè)，2023年，2月20日，星期五§6.4我國(guó)的“雙基”數(shù)學(xué)教學(xué)“雙基”數(shù)學(xué)教學(xué)策略的三個(gè)基本環(huán)節(jié):問(wèn)題引入環(huán)節(jié)師生互動(dòng)環(huán)節(jié)鞏固練習(xí)（精講多練）第66頁(yè)，共77頁(yè)，2023年，2月20日，星期五2．在國(guó)際數(shù)學(xué)教育測(cè)試中，中國(guó)成績(jī)斐然

我國(guó)中學(xué)生自1989年起，一直在國(guó)際數(shù)學(xué)奧林匹克競(jìng)賽中名列前茅。取得總分第一的年份是1989年、1990年、1992年、1993年、1995年、1997年、2000年。1989年，國(guó)際數(shù)學(xué)教育進(jìn)展評(píng)價(jià)測(cè)試（IAEP）在21個(gè)國(guó)家和地區(qū)舉行，中國(guó)以80分的成績(jī)名列第一。中國(guó)留學(xué)生以數(shù)學(xué)基礎(chǔ)扎實(shí)在歐美等國(guó)家著稱(chēng)。中國(guó)的數(shù)學(xué)教育在國(guó)際數(shù)學(xué)教育留下深刻印象的就是：中國(guó)學(xué)生數(shù)學(xué)基礎(chǔ)扎實(shí)，數(shù)學(xué)基本技能熟練且過(guò)硬。第67頁(yè)，共77頁(yè)，2023年，2月20日，星期五3．“雙基”教學(xué)

注重基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能的教學(xué)，注重“三大能力”的培養(yǎng)?！靶氯保洪喿x理解能力、探索創(chuàng)新能力和數(shù)學(xué)應(yīng)用能力

“老三”：運(yùn)算能力、空間想象能力和邏輯思維能力

第68頁(yè)，共77頁(yè)，2023年，2月20日，星期五中國(guó)“雙基”數(shù)學(xué)教學(xué)的框架5層目標(biāo)層：

數(shù)學(xué)