數(shù)學(xué)模型和數(shù)值分析方法

數(shù)學(xué)模型和數(shù)值分析方法第1頁，共36頁，2023年，2月20日，星期五1.1數(shù)學(xué)模型基礎(chǔ)1.2建模步驟和原則1.3建模方法第一部分?jǐn)?shù)學(xué)模型第1章數(shù)學(xué)模型與數(shù)值分析方法第2頁，共36頁，2023年，2月20日，星期五對于一個(gè)客觀實(shí)際，為了一個(gè)特定目的，根據(jù)其本身屬性及內(nèi)在規(guī)律，作出必要的抽象、簡化假設(shè)，運(yùn)用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具（數(shù)學(xué)公式、數(shù)學(xué)符號、程序及圖表等），得到的一個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)?；靖拍?1現(xiàn)實(shí)世界數(shù)學(xué)世界建立數(shù)學(xué)模型翻譯為實(shí)際解答始于現(xiàn)實(shí)世界并終于現(xiàn)實(shí)世界1.1數(shù)學(xué)模型基礎(chǔ)第3頁，共36頁，2023年，2月20日，星期五2數(shù)學(xué)模型分類

2按照建立模型數(shù)學(xué)方法初等模型、圖論模型、規(guī)劃論模型、微分方程模型、最優(yōu)控制模型、隨機(jī)模型、模擬模型等。初等模型--為采用簡單而且初等的方法建立問題的數(shù)學(xué)模型。微分方程模型--指的是在所研究的現(xiàn)象或過程中取一局部或一瞬間，然后找出有關(guān)變量和未知變量的微分（或差分）之間的關(guān)系式，從而獲得系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。1.1數(shù)學(xué)模型基礎(chǔ)按照對實(shí)體的認(rèn)識過程描述性模型、解釋性數(shù)學(xué)模型。描述性模型—從特殊到一般，從分析具體客觀事物及其狀態(tài)開始，最終得到一個(gè)數(shù)學(xué)模型。解釋性模型—由一般到特殊，從一般的公理系統(tǒng)出發(fā)，借助于數(shù)學(xué)殼體，對公理系統(tǒng)給出正確解釋。第4頁，共36頁，2023年，2月20日，星期五1.1數(shù)學(xué)模型基礎(chǔ)按照模型的應(yīng)用領(lǐng)域人口模型、交通模型、環(huán)境模型、生態(tài)模型、水資源模型、再生資源利用模型等。按照模型的特征靜態(tài)模型和動態(tài)模型、確定性模型和隨機(jī)、離散模型和連續(xù)性模型、線性模型和非線性模型等。按照模型的了解程度白箱模型、灰箱模型和黑箱模型。第5頁，共36頁，2023年，2月20日，星期五數(shù)學(xué)模型的根本作用在于它將客觀原型進(jìn)行抽象和簡化，便于人們采用定量的方法去分析和解決實(shí)際問題。材料科學(xué)從最早的試錯(cuò)法的手工操作到作為當(dāng)代重要科學(xué)支柱，數(shù)學(xué)的應(yīng)用起著非常重要的作用，利用數(shù)學(xué)這一有效工具，可以深刻認(rèn)識客觀現(xiàn)象的本質(zhì)規(guī)律，促進(jìn)學(xué)科發(fā)展。在材料研究和應(yīng)用中，要對有關(guān)問題進(jìn)行計(jì)算，就必須先建立該問題的數(shù)學(xué)模型。（材料設(shè)計(jì)，生產(chǎn)過程（極端條件，納米槍））1.1數(shù)學(xué)模型基礎(chǔ)2數(shù)學(xué)模型的作用

3第6頁，共36頁，2023年，2月20日，星期五3.1數(shù)學(xué)模型和數(shù)學(xué)建模模型準(zhǔn)備模型假設(shè)模型構(gòu)成模型求解模型分析模型檢驗(yàn)?zāi)Ｐ蛻?yīng)用模型準(zhǔn)備了解實(shí)際背景明確建模目的搜集有關(guān)信息掌握對象特征形成一個(gè)比較清晰的‘問題’1.2建立數(shù)學(xué)模型的一般步驟和原則第7頁，共36頁，2023年，2月20日，星期五3.1數(shù)學(xué)模型和數(shù)學(xué)建模建模一般步驟：模型假設(shè)目的性原則、簡明性原則、真實(shí)性原則、全面性原則在合理與簡化之間作出折中模型構(gòu)成用數(shù)學(xué)的語言、符號描述問題發(fā)揮想像力使用類比法盡量采用簡單的數(shù)學(xué)工具1.2建立數(shù)學(xué)模型的一般步驟和原則第8頁，共36頁，2023年，2月20日，星期五3.1數(shù)學(xué)模型和數(shù)學(xué)建模模型求解各種數(shù)學(xué)方法、軟件和計(jì)算機(jī)技術(shù)。模型分析如結(jié)果的誤差分析、統(tǒng)計(jì)分析、模型對數(shù)據(jù)的穩(wěn)定性分析。模型檢驗(yàn)與實(shí)際現(xiàn)象、數(shù)據(jù)比較，檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷暮侠硇?、適用性。模型應(yīng)用1.2建立數(shù)學(xué)模型的一般步驟和原則第9頁，共36頁，2023年，2月20日，星期五3.1數(shù)學(xué)模型和數(shù)學(xué)建模建模的全過程現(xiàn)實(shí)對象的信息數(shù)學(xué)模型現(xiàn)實(shí)對象的解答數(shù)學(xué)模型的解答表述求解解釋驗(yàn)證(歸納)(演繹)表述求解解釋驗(yàn)證根據(jù)建模目的和信息將實(shí)際問題“翻譯”成數(shù)學(xué)問題選擇適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)方法求得數(shù)學(xué)模型的解答將數(shù)學(xué)語言表述的解答“翻譯”回實(shí)際對象用現(xiàn)實(shí)對象的信息檢驗(yàn)得到的解答實(shí)踐現(xiàn)實(shí)世界數(shù)學(xué)世界理論實(shí)踐1.2建立數(shù)學(xué)模型的一般步驟和原則第10頁，共36頁，2023年，2月20日，星期五實(shí)例：激光沖擊殘余應(yīng)力的估算

目前，人們對殘余應(yīng)力的測試一般采用的是一種破壞性的測試方法，而這種方法極大的防礙了激光沖擊強(qiáng)化技術(shù)在工程中的應(yīng)用，造成大量人力物力的浪費(fèi)，增加了生產(chǎn)的成本，限制了人們對被加工性能的有效控制。激光沖擊的基本力學(xué)模型：１.假設(shè)：1)假設(shè)在微秒時(shí)間內(nèi)結(jié)構(gòu)在厚度方向上所有質(zhì)量都受到波及，而結(jié)構(gòu)塑性動力響應(yīng)通常需要經(jīng)歷毫秒以至更長時(shí)間才會達(dá)到結(jié)構(gòu)的最大形變；2)假設(shè)被沖擊的工件材料為理想的剛塑性材料；3)激光沖擊壓力為GPa;彈性形變塑性形變Shockwave1.2建立數(shù)學(xué)模型的一般步驟和原則第11頁，共36頁，2023年，2月20日，星期五

激光沖擊應(yīng)力為一維平面波，在激光沖擊區(qū)取一個(gè)微體積元，僅在x方向考慮被壓縮，即沖擊波沿X方向傳播，考慮應(yīng)力和應(yīng)變的關(guān)系，為保持x的單軸應(yīng)變條件而假設(shè)y=z,形變側(cè)面Y、Z方向尺寸不變，X方向有彈塑性變形，激光沖擊后彈性變形恢復(fù)不完全，導(dǎo)致了殘余應(yīng)力的產(chǎn)生。1.2建立數(shù)學(xué)模型的一般步驟和原則第12頁，共36頁，2023年，2月20日，星期五2.根據(jù)Mises屈服準(zhǔn)則有：x-y|b在彈性范圍內(nèi)，應(yīng)力與應(yīng)變的關(guān)系為：x=+2xy=+2yz=+2z式中：＝x＋y＋z，因?yàn)槭菃屋S變形，側(cè)面受到介質(zhì)約束，x＝（V0-V)/V,y=z=0,V是體積，＝／2(+u)，和u是材料的拉梅常數(shù)，是泊松比。(1)xyxyxX01.2建立數(shù)學(xué)模型的一般步驟和原則第13頁，共36頁，2023年，2月20日，星期五

在塑性變形狀態(tài)，應(yīng)變增量是彈性和塑性增量之和。因而在X方向有：

dx=dxe+dxp因?yàn)椴淮嬖谒苄耘蛎?，所以有dxp＋dyp+dzp=0微元體中的殘余應(yīng)力是彈性和塑性應(yīng)變引起的，dx=d+2(dxe+dxp)dy=d+2（dye+dyp）dz=d+2(dze+dzp）(2)1.2建立數(shù)學(xué)模型的一般步驟和原則第14頁，共36頁，2023年，2月20日，星期五激光沖擊應(yīng)力作用后，在沖擊強(qiáng)化區(qū)的y，z方向上由彈性應(yīng)力引起的彈性變形難以完全恢復(fù)，所以，在激光沖擊區(qū)形成殘余應(yīng)力，于是可得簡單算式：y=1-x實(shí)際上x是隨沖擊應(yīng)力波的衰減而變化，故殘余應(yīng)力y也是隨x的變化而變化，設(shè)：xe-x有x=maxe-bx(3)(4)其中b為參量；1.2建立數(shù)學(xué)模型的一般步驟和原則在玻璃(K9)的約束層的條件下，激光沖擊產(chǎn)生的峰壓可以估算為：Pmax=0.2871/3(A.q0)2/3如果有max=pmax代入公式(４)x=pmaxe-bxy=pmaxe-bx1-(5)第15頁，共36頁，2023年，2月20日，星期五

顯然該式(5)所表達(dá)的是Pmax未卸載時(shí)殘余應(yīng)力的情形。令x=0，取Pmax＝2.8GPa，＝0.29，則b不論取何值，y=-1.12GPa，這顯然與實(shí)際測量值y=-400MPa相去甚遠(yuǎn)，因此必須對式（５）加以修正。首先，由彈性力學(xué)原理可知：＝／E.因此，材料的彈塑性形變與彈性模量關(guān)系較大，材料受到相同外力作用時(shí)，彈性模量大的材料，彈塑性形變??；因此有：yE

(6)1.2建立數(shù)學(xué)模型的一般步驟和原則其次，由沖擊動力學(xué)原理可知，當(dāng)材料的沖擊變形深度相同時(shí)，材料本身的彈性模量大，屈服極限高，沖擊波對材料產(chǎn)生的殘余應(yīng)力的影響就深。如果材料本身彈性模量小，局部極限低，沖擊波對材料產(chǎn)生的殘余應(yīng)力深度就淺。因此有：ye-bx/E

(7)結(jié)合(４)(５)(６)(７)1-(8)xEPmaxe-bx/EyEPmaxe-bx/E第16頁，共36頁，2023年，2月20日，星期五然而此時(shí)，還需使公式(８)滿足邊界條件X=0時(shí)，解決y與實(shí)際殘余應(yīng)力值相差太遠(yuǎn)的問題，因此還必須在公式(８)中加入一個(gè)系數(shù)K,即：x=EkPmaxe-bx/Ey=EkPmaxe-bx/E1-(9)利用45鋼試樣的一組殘余應(yīng)力數(shù)據(jù)對式（9)進(jìn)行擬合，從而求得K=2.3x10-6(MPa)-1;b=2.16x108(MPa/m)，將所得的k,b數(shù)據(jù)代入公式（9）得到激光沖擊強(qiáng)化殘余應(yīng)力的一般估算經(jīng)驗(yàn)公式：

x=2.3x10-6EPmaxe-2.16x108x/Ey=2.3x10-6Pmaxe-2.16x108

x/EE-11.2建立數(shù)學(xué)模型的一般步驟和原則第17頁，共36頁，2023年，2月20日，星期五21應(yīng)用自然科學(xué)中已被證明是正確的理論、原理和定律，對被研究系統(tǒng)的有關(guān)因素進(jìn)行分析、演繹、歸納，從而建立系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。Eg.在滲碳工藝過程中通過平衡理論找出控制參量與爐氣碳勢之間的理論關(guān)系式。1.3常用的數(shù)學(xué)建模方法理論分析法結(jié)構(gòu)及性質(zhì)已經(jīng)了解，但其數(shù)量描述及求解都相當(dāng)困難。如構(gòu)造出結(jié)構(gòu)和性質(zhì)與其相同，可以把后一種模型看成是原來模型的模擬。Eg.鋼鐵材料中裂紋在外載荷作用下尖端的應(yīng)力、應(yīng)變分布，采用環(huán)氧樹脂制備成具有同樣結(jié)構(gòu)的模型，并根據(jù)鋼鐵材料中裂紋形式在環(huán)氧樹脂模型加工出裂紋；借助實(shí)驗(yàn)光測力學(xué)的手段來完成分析。22模擬方法第18頁，共36頁，2023年，2月20日，星期五2類比分析法

3若兩個(gè)不同的系統(tǒng)，可以用同一形式的數(shù)學(xué)模型來描述，則此兩個(gè)系統(tǒng)就可以互相類比。類比分析法是根據(jù)兩個(gè)（或兩類）系統(tǒng)某些屬性或關(guān)系的相似，去猜想兩者的其它屬性或關(guān)系也可能相似的一種方法。Eg.在聚合物的結(jié)晶過程中，結(jié)晶度隨時(shí)間的延續(xù)不斷增加，最后趨于該結(jié)晶條件下的極限結(jié)晶度，現(xiàn)期望在理論上描述這一動力學(xué)過程（即推導(dǎo)Avrami方程）。聚合物的結(jié)晶過程包括成核和晶體生長兩個(gè)階段，這與下雨時(shí)雨滴落在水面上生成一個(gè)個(gè)圓形水波并向外擴(kuò)展的情形相類似，因此可通過水波擴(kuò)散模型來推導(dǎo)聚合物結(jié)晶時(shí)的結(jié)晶度與時(shí)間的關(guān)系。1.3常用的數(shù)學(xué)建模方法第19頁，共36頁，2023年，2月20日，星期五2數(shù)據(jù)分析法

4若在系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)性質(zhì)不大清楚，但有若干能表征系統(tǒng)規(guī)律，描述系統(tǒng)狀態(tài)的數(shù)據(jù)可利用時(shí)，回歸分析是處理這類問題的有利工具。Eg.經(jīng)實(shí)驗(yàn)獲得低碳鋼的屈服點(diǎn)s

與晶粒直徑d對應(yīng)關(guān)系如表1-3中的數(shù)據(jù)所示，用最小二乘法建立起d與s之間關(guān)系的數(shù)學(xué)模型（即霍爾-配奇Hall-Petch公式）。1.3常用的數(shù)學(xué)建模方法第20頁，共36頁，2023年，2月20日，星期五2數(shù)據(jù)分析法

4按照上述最小二乘法原理，誤差平方和為最小的直線是最佳直線。求最小值的條件是40050105286121180242345低碳鋼屈服極限與晶粒直徑以d-1/2作為x，s作為y，取y=a+by，為一直線。設(shè)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)點(diǎn)為（Xi，Yi），一般來說，直線并不通過其中任一實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)點(diǎn)，因此，每點(diǎn)均有偶然誤差ei，ei=(a+bXi)-Yi1.3常用的數(shù)學(xué)建模方法第21頁，共36頁，2023年，2月20日，星期五1.有限差分法2.有限元法第二部分?jǐn)?shù)值分析方法第1章數(shù)學(xué)模型與數(shù)值分析方法第22頁，共36頁，2023年，2月20日，星期五2.1有限差分法2概述

1有限差分方法使是以有限差分代替無限微分、以差分代數(shù)方程代替微分方程、以數(shù)值計(jì)算代替數(shù)學(xué)推導(dǎo)的過程，從而將連續(xù)函數(shù)離散化，以有限的、離散的數(shù)值代替連續(xù)的函數(shù)分布。主要步驟：1）構(gòu)成差分格式。首先選擇網(wǎng)格布局、差分形式和步長；其次，以有限差分代替無限微分。2）求解差分方程。精確法，又稱直接法，即消元法；近似法，又稱間接法，即迭代法。3）對所得的數(shù)值解進(jìn)行精度與收斂性分析和檢驗(yàn)。第23頁，共36頁，2023年，2月20日，星期五2差分方程的建立22.1有限差分法△y△xxyi，j+1i+1，ji，ji-1，ji，j-1O1.合理選擇網(wǎng)格布局及步長將求解區(qū)域內(nèi)連續(xù)變化的自變量離散化，形成離散化網(wǎng)格。網(wǎng)格交點(diǎn)稱為結(jié)點(diǎn)，區(qū)域內(nèi)函數(shù)被離散化。將離散化后各相鄰離散點(diǎn)之間的距離，或離散化單元的長度稱為步長。2.將微分方程轉(zhuǎn)化為差分方程差分某物理量的有限增量，分向前差分、向后差分和中心差分三種。差商差商為函數(shù)的差分與自變量差分之比。第24頁，共36頁，2023年，2月20日，星期五2差分方程的求解方法32.1有限差分法直接法：矩陣法、Gauss消元法、主元素消元法間接法：Jocobi迭代法、Seidel迭代法和超松弛(SOR)迭代法第25頁，共36頁，2023年，2月20日，星期五2.2有限元法有限元法的要點(diǎn)：將一個(gè)表示結(jié)構(gòu)或連續(xù)體的求解域離散為若干個(gè)子域（單元），并通過他們邊界上的結(jié)點(diǎn)相互聯(lián)結(jié)成為組合體。用每個(gè)單元內(nèi)所假設(shè)的近似函數(shù)來分片地表示全求解域內(nèi)待求的未知場變量。通過和原問題數(shù)學(xué)模型（基本方程、邊界條件）等效的變分原理或加權(quán)余量法，建立求解基本未知量(場函數(shù)的結(jié)點(diǎn)值)的代數(shù)方程組或常微分方程組。第26頁，共36頁，2023年，2月20日，星期五有限元分析的基本思想:

把連續(xù)的幾何結(jié)構(gòu)離散成有限個(gè)單元的集合體，并在每一個(gè)單元中設(shè)定有限個(gè)節(jié)點(diǎn)，從而將連續(xù)體看作僅在節(jié)點(diǎn)處相連接的一組單元的集合體；同時(shí)選定場函數(shù)的節(jié)點(diǎn)值作為基本未知量，并在每一單元中假設(shè)一近似插值函數(shù)以表示單元中場函數(shù)的分布規(guī)律，再建立用于求解節(jié)點(diǎn)未知量的有限元方程組，從而將一個(gè)連續(xù)域中的無限自由度問題化為離散域中的有限自由度問題，求解得到節(jié)點(diǎn)值后就可以通過設(shè)定的插值函數(shù)確定單元上以致整個(gè)集合體上的場函數(shù)。運(yùn)用有限元法可以模擬和逼近復(fù)雜的求解域。

2.2有限元法第27頁，共36頁，2023年，2月20日，星期五ANSYS有限元分析的典型步驟：

1）利用前處理模塊，建立有限元模型，包括（1）定義單元類型，（3）定義實(shí)常數(shù)，（4）定義材料屬性，（5）建立幾何模型，（6）對幾何模型劃分網(wǎng)格；2）利用求解模塊進(jìn)行加載和計(jì)算；3）利用后處理模塊查看結(jié)果，對結(jié)果圖形顯示和輸出。2.2有限元法第28頁，共36頁，2023年，2月20日，星期五2有限元法的基本概念-直接剛度法12.2有限元法通過一個(gè)例子來介紹直接剛度法，說明有限元法求解的一般步驟。例：考慮一個(gè)變截面桿，如圖示。桿的一端固定，另一端承受P=1000N的載荷，桿的頂部寬w1=2cm，桿的底部寬w2=1cm，桿的厚度t=0.125cm，長度L=10cm，桿的彈性模量E=10.4×105MPa。試分析該桿沿長度方向不同位置的變形情況，質(zhì)量忽略不計(jì)。1.前處理過程(1)求解區(qū)域離散化將求解的問題分解為結(jié)點(diǎn)和單元第29頁，共36頁，2023年，2月20日，星期五3.2數(shù)學(xué)建模軟件簡介2.2有限元法(2)建立單元位移方程先考慮一截均一長度為l、截面為A的固體單元受外力F的變形情況。以彈簧的變形來模擬固體單元的變形，等價(jià)剛度為：keq=AE/l前面問題可近似將桿模型化為不同截面的等截面桿的串聯(lián)。桿在頂端固定，靜態(tài)平衡時(shí)，可獲得如下方程：10000-k1

k1+k2-k2000-k2

k2+k3-k3000-k3

k3+k4-k4000-k4

k4u1u2u3u4u50000P=第30頁，共36頁，2023年，2月20日，星期五2.2有限元法(3)建立單元?jiǎng)偠确匠堂總€(gè)單元有兩個(gè)結(jié)點(diǎn)，每個(gè)結(jié)點(diǎn)可建立兩個(gè)方程。方程包含結(jié)點(diǎn)位移和單元的剛度。結(jié)點(diǎn)i和i+1處可有方程：(4)單元集成將上式用于所有單元，進(jìn)行集成，得到總體剛度矩陣：keq-keq

-keq

keqfifi+1uiui+1=k1

-k1000-k1

k1+k2-k2000-k2

k2+k3-k3000-k3

k3+k4-k4000-k4

k4=K(G)

(5)施加邊界條件和載荷2.求解階段3.后處理階段第31頁，共36頁，2023年，2月20日，星期五(一)加權(quán)余量法工程或物理學(xué)中的許多問題，通常是以未知場函數(shù)應(yīng)滿足的微分方程和邊界條件的形式提出來的，可以一般地表示為未知函數(shù)u應(yīng)滿足微分方程組：2.2有限元法2有限元法的基本理論2域Ω可以是體積域，面積域等，如圖示，同時(shí)未知函數(shù)u還應(yīng)滿足邊界條件：Υ是域Ω