幾何變換-第五講圖形的平移和旋轉(zhuǎn)學(xué)生版

第五講圖形的平移和旋轉(zhuǎn)基礎(chǔ)知識平移、旋轉(zhuǎn)是幾何變換中的基本變換.如能適當(dāng)?shù)倪\用這些變換方法，往往可以幫助我們發(fā)現(xiàn)解題途徑.（一）平移法平移法是平行移動法的簡稱.在解幾何題時，為了尋求解題途徑，可以把題目中的某些線段平移到某一適當(dāng)?shù)奈恢?，作出輔助圖形，使問題得到解決.平移的特性是：對應(yīng)線段平行且相等；對應(yīng)角的兩邊分別平行且方向一致.為了把題目中的某些線段能較迅速地、較合理地平移到某一適當(dāng)位置，作出輔助圖形，熟知一些常見的圖形怎樣平移是很必要的．下面幾個圖形是梯形中涉及腰、對角線、腰的中點等的常見的平移法．在圖13—1中，(甲)是平移腰到，（注意圖中的線段沒有畫出來，請大家補上），可使梯形兩腰、兩底角、兩底之差集中到△中；(乙)是平移對角線到，可使梯形兩對角線及其交角、兩底之和集中到△中；(丙)是平移上底到，可使梯形兩底之和、一腰、一底角集中到△中，或?qū)⑻菪无D(zhuǎn)化成平行四邊形．（二）旋轉(zhuǎn)法將平面圖形繞平面內(nèi)一定點旋轉(zhuǎn)一個定角，得到與原來圖形完全一樣的圖形，這樣的變換稱為旋轉(zhuǎn)變換.點叫做旋轉(zhuǎn)中心，叫做旋轉(zhuǎn)角.當(dāng)時，稱為中心對稱變換.旋轉(zhuǎn)變換的主要性質(zhì)有：（1）在旋轉(zhuǎn)變換下兩點之間的距離不變.（2）在旋轉(zhuǎn)變換下兩直線的夾角不變，且對應(yīng)直線的夾角等于旋轉(zhuǎn)角.旋轉(zhuǎn)變換一般在等腰三角形、正三角形、正多邊形中應(yīng)用廣泛.旋轉(zhuǎn)變換可以將圖形中某一部分通過旋轉(zhuǎn)一個定角變到一個新的位置，以實現(xiàn)問題條件的相對集中.圖13一11及圖13一12是幾種常見旋轉(zhuǎn)變換的基本圖形．其中圖13－11(甲)：△中，，以為中心，旋轉(zhuǎn)△到△，則這四個量集中到△中．圖13－11(乙)：△是正三角形，以為中心，旋轉(zhuǎn)△到△，則集中到△中．圖13—1l(丙)：正方形中，以為中心，旋轉(zhuǎn)△到△，則集中到△中(旋轉(zhuǎn)).圖13-12：△，△都是正三角形，以為中心，將△逆時針旋轉(zhuǎn)到△的位置，的交角為．其實，我們常用的“中線倍長”，就是一種旋轉(zhuǎn)變換（中心對稱）.二、名校真題回放1．（101中學(xué)2005-2006學(xué)年度初二年級期中考試數(shù)學(xué)試題）已知梯形中，∥.若，求證：梯形是等腰梯形；若，求證：梯形是等腰梯形.2.（2006年海淀區(qū)八年級第一學(xué)期期末測評）在由邊長為1㎝的小正方形組成的網(wǎng)格中，將曲線向上平移1㎝得到曲線（如圖11），則圖中陰影部分的面積為多少？3.（人大附中2005-2006學(xué)年度第一學(xué)期期中初二年級數(shù)學(xué)練習(xí)）如圖，已知：.求證：．4.（人大附中2005-2006學(xué)年度第一學(xué)期期中初二年級數(shù)學(xué)練習(xí)）如圖，分別在正方形的邊上，，△的周長＝2，求的度數(shù).5.（人大附中2005—2006學(xué)年度第一學(xué)期期末初二年級數(shù)學(xué)練習(xí)）如圖6，△中，，以為邊向形外作等邊△．把△繞著點順時針旋轉(zhuǎn)60o,到△的位置，若，求的長．三、活題巧解（一）平移例1.（西安市初中數(shù)學(xué)競賽題）如圖，在等腰三角形ABC的兩腰AB，AC上分別取點E，F(xiàn)使AE=CF,已知BC=2,求證EF1.AAEBCF例2.（北京市中考模擬題）河的同側(cè)有A,B兩個村莊,要把A處的產(chǎn)品運往B處,并規(guī)定要走a千米的河岸路,要使路線最短,問河邊碼頭應(yīng)建何處?AAlB例3.(第14屆“希望杯”第一試第9題) 在RtABC中,AD是斜邊BC上的高,P,Q,R分別是邊AB,BC,CA上的點.求證:CCBQDRPA例4.（1999年黃岡市初二競賽試題）六邊形中，∥∥∥，其各對邊之差相等，即，求證：六邊形的各角相等.例5.（北京市中考模擬題）求證：條直線兩兩相交，所得的角中至少有一個角不大于例6．（全國初中數(shù)學(xué)競賽試題）如圖在中,分別在BC,CA上,并且AP,BQ分別是的角平分線.求證:AABPOQC（二）旋轉(zhuǎn)例7.（北京市中考模擬題）如圖，梯形中，∥，，,求證：例8.(第8屆“希望杯”數(shù)學(xué)競賽試題)等邊的邊長,點P是內(nèi)的一點,且若PC=5,求PA,PB長.AAPPCACA例9.（全國聯(lián)賽培訓(xùn)題）如圖，已知正方形，為上任意一點，平分，交于.求證：例10.（全國聯(lián)賽培訓(xùn)題）如圖，兩個正方形與有一個公共頂點,求證：這兩個正方形的中心以及線段的中點是某個正方形的頂點.例11.（全國聯(lián)賽培訓(xùn)題）如圖，在△的每一邊上，向形外作一個正方形，得到六邊形，這個六邊形顯然有三條邊等于△的邊.求證：六邊形其余三邊中的每一邊都等于△相應(yīng)中線的兩倍.即四、練習(xí)1.（北京市中考模擬題）求證：兩中線相等的三角形是等腰三角形.2.（北京市中考模擬題）如圖，梯形中，∥，已知,求梯形的面積.3.（全國聯(lián)賽培訓(xùn)題）已知六邊形的三對對邊分別平行，，求證：.4.(全國聯(lián)賽培訓(xùn)題)兩村莊位于河岸兩側(cè)，∥，河寬為.今要修建一條公路，連接兩個村子，需要在河面上建造一條公路橋，使橋垂直于兩岸，問橋應(yīng)建在何處，才能使耗資最少？證明你的結(jié)論.5.（北方交大附中2005-2006學(xué)年度第一學(xué)期期中練習(xí)）如圖，分別在正方形的邊上，，，求△的周長.6.（北京市中考模擬題）如圖，在四邊形中，，于，若，求四邊形的面積.7．（“希望杯”培訓(xùn)題）如圖，直角梯形中，，∥，，,,求△的面積.8.(第12屆“希望杯”試題)設(shè)為正三角形內(nèi)一點，且，求此三角形的邊長.五、難度系數(shù)（1）名校真題回放題號12345星級★★★★★★★★★★★★（2）活