第6章保形映射與解析延拓

6章 若f(z)在區(qū)域D內(nèi)解析,并且是單射(即對任意z1,z2? 當z11z2時,必f(z11f(z2),f(zD內(nèi)的單葉解析函數(shù)引理 設(shè)f(z)在z0處解析,w0=f(z0).又設(shè)z0是f(z)-w0的m階零點.則存>0和>0,使得當w? (w0,)時 f(z)-w在 證明根據(jù)解析函數(shù)零點的孤立性,必存在r> 使得當z? (z0,r)時f(z)w010.從而在U(z0rf￠(z)不恒為零(否則在U(z0rf(zo常數(shù)w0矛盾!)f￠(z應(yīng)用零點的孤立性知道,存在0(不妨取r),使得在U(z0內(nèi)及其邊界上,f(z10,此時當然也有f(z)w010.DU(z0),L:zz0.z?L時,f(z)w010,

f(z)-w0>w是U(w0內(nèi)的常數(shù).f(z)-w=(f(z)-w0)+(w0-f(z)w0w0w在U(z0上解析.L上f(z)-w03>w0-w根據(jù)儒歇定理 f(z)-w與f(z)-w0在U(z0,)內(nèi)的零點的個數(shù)相同.因為f(z)-w0

f(z)w在U(z0m個零點.w1w0z*f(z)w在U(z0內(nèi)的任意一個零點.f￠z*10,z*f(z)w的一階零點.f(z)w在U(z0內(nèi)的零點都是一階零點.f(z)w在U(z0內(nèi)m個不同的零點.■w0w0w,z0附近有mz0的原像.f￠z010,z0f(z)-w0的單零點.于是得到如下的推論 推 6.1.1(充)

f(zz0處解析,w0=f(z0 f￠(z0

和0,w?U(w0時,z?U(z0),fzw定理 設(shè)f(z)是區(qū)域D內(nèi)的單葉解析函數(shù),則在D內(nèi)處處有f(z1 0

f(0)=f￠￠(0z)==f(m-1)(z0)= f(m)(z0)1若為前者,則在z0的某鄰域內(nèi)f(z)為常數(shù),這與f(z)的單葉性矛盾.若為后者,w0=f(z0 根據(jù)引理6.1.1,存在>0和> 使得當w? (w0,)時,存在z1,,zm? 使得f(zi)=w(i=1,2,,m).這也與f(z)的單葉 .注6.1.1的逆不成立.f(zez.在Cf(zez10. 因此ez不是C上的單葉解析函數(shù).但是如果限制在帶形區(qū)域D={z0Imz2內(nèi),ezD內(nèi)的單葉解析函數(shù).一般地,我們有如下的局部單葉性定理6.1.2 設(shè)f(z)在z0處解析,并且f()10,則f(z)在z0的某一鄰域內(nèi)是單葉的.證明記w0=f(z0).由于f()10,根據(jù)推論 存在>0和>0,使得w?U(w0,)時,存在唯一的z?U(z0, 使得f(z)=w.由于f(z)在z0處連續(xù),存在1(01),f(U(z01ìU(w0).f(z在U(z01內(nèi)是單葉的(z1,z2?U(z0,1), z11z2,使得f(z1)=f(z2).但w=f(z1)?U(w0,), 定理6.1.3 (保域定理)設(shè)f(z)在區(qū)域D內(nèi)解析,并且不恒為常數(shù),則f(D)仍是區(qū)域.證明D1=f(D).D1是開集.w0=f(z0?D1(z0?D).f(zzzDz內(nèi)不恒為常數(shù),因此f(z)w0D內(nèi)不恒為零.z0f(z)w0的孤立零點.z0是f(z)w0m階零點根據(jù)引理6.1.1,存在0和0,w?U(w0時,存在z?U(z0,),f(zw.這說明U(w0ìD1zzDzw=fD1的連通性.w1w2D1內(nèi)任取的兩個點,z1,z2?D,f(z1

,L:z=z(t)(a￡t￡L￠:w=f(z(t))(a￡t￡,,出一折線w1w2D1是一區(qū)域.定理 設(shè)w=f(z)是域D內(nèi)的單葉解析函數(shù),D1=f 則f(z)的反函z=(w)是D1內(nèi)的單葉解析函數(shù).并且當w0? 0()= .0f(證明6.1.1知道,f(z10z?D).6.1.3,D1是區(qū)域.f(zD內(nèi)是單葉的,fDD1的雙射,w=f(zz(w)(w?D1).先證明(wD1上連續(xù).w0=f(z0?D1.根據(jù)推論6.1.1,存在0和存在0,w?U(w0時,z?U(z0明(ww0處連續(xù)

f(zw,z(w?Uz0).由于(w)是單射,w1w0時,(w)1(w0),由于(ww0處連續(xù), w0時,z= (w0)=z0.于￠(w)=lim(w)-(w0)= = 0 ww0 w- w0

w- zz0f(z)-f(z f￠(z) (w)-(w0 z-w0?D1的任意性,z(wD1內(nèi)的單葉解析函數(shù). 先定義兩條曲線之間的夾角.z0?C.C:z=z(t)=x(t)+iy(t)(a￡t￡是過z0的一條簡單光滑曲線 z0=z(t0)(a￡t0￡ 則曲線C在z0處的切向量xt),yt)zt).于是曲線Cz處的切線的傾角為argzt y yyCz

設(shè)C1zz1(t和C2zz2tz0的簡單光滑曲線.稱C1和C2z0夾角為C1和C21(b)).由上述結(jié)論知道,C1和C2￠(現(xiàn)在設(shè)函數(shù)w=f(z)在區(qū)域D內(nèi)解析,z0? f()10.將w=f(z)看成是z平面上Dw平面的映射.w=f(zzz0的曲線Czz(ta￡t￡b映射ww0=f(z0的曲線:w=f(z(t))(a￡t￡曲線w0的切線的傾角為arg￠t0).(=f(z(),arg()=arg(f()z())=argf()+argz(這說明曲線w0處的切線的傾角與曲線Cz0處的切線的傾角相差argf(曲線C的形狀無關(guān).設(shè)C1zz1tC2zz2tz0的簡單光滑曲線

w=f

1ww1(t和2ww2t).由(1)因此

￠(t0￠(t01和2之間的夾角與C1和C2之間的夾角大小相等,方向不變(yyzw以上分析標明,f(1

w=f(zz0處保持曲線之間的夾角和方向不變=w=f(zz0處可導(dǎo),f(10.w0=f(z0 w=f(z0+z)-f(z0因為當 0時, f￠(z),所以當z很小時 ?f￠(z 于 ?f().這表明z平面上的向量z=z-z0經(jīng)映射后得到的w平面上的向w=f(z)-f(z0),其模近似地伸長(或壓縮)了f()倍,而且這個伸長倍數(shù)與向量z向無關(guān).這個性質(zhì)稱為映射w=f(z)在z0處的等伸縮性.稱

f()f(zz0處的伸縮率w=f(z

w0為中心的圓z0f()倍綜上所述,設(shè)函數(shù)w=f(z)在區(qū)域D內(nèi)解析,z0? f()10.則映射w=f(z)z0處具有保角性和等伸縮性.w=f(zz0處是保形的(或共形的).從幾何直觀上看,wf(zz0w0f(z0處的曲邊三角形.這兩個曲邊三角形對應(yīng)角相等,對應(yīng)邊近似地成比例(因此這兩個曲邊三角形近似地是相似的).f(zDf(z10,w=f(zD內(nèi)是保形的f(zD內(nèi)的單葉解析函數(shù),6.1.1,Df(z1=

w=az+b

其中a,b,c,d為復(fù)數(shù),ad-bc10.當c=0時 w=a az+b(a1 +d= 稱之為整線性函數(shù).也是分式線性函數(shù)

z=-dw+cw-

顯然,c0時,函數(shù)(1)zw平面的的雙方單值的保形映射.c10時,是C-{d到C-a的雙方單值的保形映射 我們可以把分式線性函數(shù)(1)推廣為擴充復(fù)平面C￥到C￥的函數(shù).當c0時,z=￥w=￥對應(yīng),c10時,z=-dz=￥w=￥w=a對應(yīng).則函數(shù)(1) C￥到C￥的雙射由分式線性函數(shù)定義的映射稱為分式線性映射.4個映射是分式線性映射的特例平移映射wzaa旋轉(zhuǎn)映射weiz(相似映射wrzr反演映射w1z反過來,任一分式線性映射可以b4個映射復(fù)合而成.事實上,當c0時w az+b(a1 +d= 這是整線性映射,它可分解為平移,旋轉(zhuǎn)和相似三個映射的復(fù)合.當c10時cw=ac

cbc- c2(z+dc1保圓性與保交比性以下為敘述方便,約定:把直線看成是半徑無窮大的圓回顧§1.14,

a(x2+y2)+bx+cy+d=azz+z+z+d=1

b2+其中a,b,c,d是實常數(shù), (b+ic)是復(fù)常數(shù),滿足

>

反過來,a,d?R,?C,并且2>ad時, 定理6.2.1 證明任一分式線性映射可以由平移,旋轉(zhuǎn),相似和倒數(shù)映射復(fù)合而成.個基本映射將圓映射為圓.3個映射顯然將圓映射為圓.w1將圓(3)z

這表示一條直線).例如,z平面上的圓C

z-11,zzzz0.w1將圓Cz

這是w平面上的過u 的垂直于實軸的直線(補充圖1).也可以利用2形性得到C的像.因為w=1把C上的點z=0和z=2分別映射為w=￥和w=1 故C w1的直線.Cz2處與實軸正交,w1把實軸映射為實軸,C￠ w1處與實軸正交.這說明C￠是過u1的垂直于實軸的直線y12xvy12xv121uw=z注1 設(shè)C是z平面上的圓.則C將z平面分成兩個沒有公共點的區(qū)域D1和D2.設(shè)分式線CD2 它們是D1和D2在映射下的像.究竟D1的像是D1￠還是D￠2 的像來確定6.2.1,分式線性函數(shù)把圓映射為圓.反過來,給定兩個圓,是否存在分式線性函數(shù)把其中一個映射為另一個?下面考慮這個問題.定理6.2.2 設(shè)z1,z2,z3和w1,w2,w3分別是擴充z平面和擴充w平面上的三個互異的點.則存在唯一的分式線性函數(shù),把z1,z2,z3分別映射為w1,w2,w3.證明z1z2z3w1w2w3都是有限點的情形.設(shè)所求的分式線性函數(shù)由(1)式給出,則有az+b(k=1,2,w czk+ww1ww2w3w1w3w2abcd,w-w1:w3-w1=z-z1:z3-z1 w-w2w3- z- z3-從上式中解出w即得函數(shù)(1).再設(shè)所給各點除w3=￥外,其余各點都是有限的.由于函數(shù)(1)將z1,z2,z3映射為為w1,w2,￥, w=az+bc(z-z3w1=az1+b w2=az2+bc(z-z c(z-zww1,ww2

abc,w-w1=z-z1:z3- w- z- z3-((5)式可以看成是在(4)式中令 ￥得到).由此可以解出所求的函數(shù).對于z1,z2,z3w1w2w3中有一些是￥的其他情況,可以類似地證明.這就證明了所求的的分式線性函數(shù)是再證明唯一性.

與上面一樣,該函數(shù)應(yīng)滿足(4)式或(5)式.z1z2z3.z1z2z3z4是擴充復(fù)平面C￥4個互異的點.(z,z,z,z)=z3-z1:z4- z- z- z1z2z3z4的交比.z1,z2z3z4中有一個是￥時,(6)式的右端應(yīng)在極限的意義下理解例如,z￥,則(6)z3z1.這樣4)式和(5)4z3-

在分式線性映射下交比不變:若z1,z2,z3,z4是擴充復(fù)平面C￥上的4個互異點,w=f(z是一分式線性映射,wk=f(zkk1,2,3,4),6.2.2(補充)z平面上的一個圓,w平面上一個設(shè)C和C￠zw平面上的給定的圓.在C和C￠3z1,z2,z3和w1,w2, 由定理6.2.2,存在分式線性映射w=f 把zk映射為kw(k1,2,3).6.2.1,f(zz1z2z3的圓Cw1w2w3圓Ck補充例 (1)作出一分式線性函數(shù),它把過2,i,-2的圓映射為過-1,i,1的圓作出一分式線性函數(shù),映射為￥,0,

<1Imw0,并且把-i,1,解(1).由于分式線性函數(shù)的保交比性,所求函數(shù)滿足(-1,i,w1)(2,i,z2w-(-1):1-(-1)=z-2:-2-2w- 1- z- -2-w 1+3iz-化簡 w- z-

z-6i

即為所求(2).z1映射為實軸,并且把-i,1,i映射為￥,0,1.由于分式線性函數(shù)的保交比性,所求函數(shù)滿足(￥,0,w1)(-i,1,zi).w1￥時,(w,w,w,w)=w-w1:w3-w1=w3-w2:w3-w1=w3-w2 w-w2w3- w- w- w-因此(￥0,w1)(-i,1,zi1-0=z-(-i):i-(-i)w- z- i- i-1z

w(1-i)z-(1-i.根據(jù)注1,這函數(shù)把單位圓盤z<1 z- 為上半平面或下半平面.w(0)1i,這映射把單位圓盤z<1映射為上半平面(1-i)z-(1-

因此w 即為所求 我們已經(jīng)熟知兩點關(guān)于一直線(半徑無窮大的圓)對稱的概念.直線上的點關(guān)于這直線對稱的定義給定圓C:z-z0=R(0<R< z1-z0z2-z0= z1z2是關(guān)于圓C的對稱點.z0與￥點是關(guān)于圓C的對稱點CRA z0D(z1 2,BC是圓C:z

R的切線,CD^AB.由平面幾何的定理知道z1-

z2-

=ADAB=AC2=z1z2是關(guān)于圓C的對稱點.此外,z在圓上,zz本關(guān)于圓的對稱點的等價定義:z1z2

z-

z2-z0=z-z 事實上,必要性顯然.充分性.z1z2滿足(9)式.

arg(z2-z0)=argR2-argz-z=arg(z-z0 z1-z0z2-z0=,,

z-

R 利用(9)式,z1關(guān)于于圓zz0R的對稱點引理 設(shè)z1和z2是不同的兩點.則z1和z2是關(guān)于圓C的對稱點的充要條件是通過z2的任何圓都與C正交證明如果C是直線,或者C是半徑有限的圓,并且z1和z2中有一個是無窮遠點,則引理的結(jié)論是明顯的.現(xiàn)在考慮圓C:z-z0=R(0<R<￥), 并且z1和z2都是有限點的情形.必要性.z1z2關(guān)于圓C對稱.z1z2的直線都與圓C正交.設(shè)z1z2的半徑有限的圓.z0作圓z0z￠(6.2).由平面幾何的定理知道,z￠-z02=z1-

z2-

=L0z￠z0R.z￠在圓C上,因而圓的切線恰好是圓C的半徑.因此L0C充分性.z1z2

由假設(shè)條件,L與圓C正交.Lz0,z0z1在同一直線上.z1z2作一半徑有限的圓,設(shè)與圓Cz.由于與C正交,故.,線上.由平面幾何的定理知道,有z- z-z=z￠-z2= z1z2是關(guān)于圓C的對稱點.定理 若分式線性映射把圓C映射為圓

設(shè)￠w1w2的圓,則￠是由過z1z2的圓映射得來的.根據(jù)引理6.2.1,與C正交由于分式線性映射是保形的故￠與C￠正交.6.2.1,w1w2關(guān)于C￠對稱.■ 試求把上半平面Imz>0映射到單位圓盤w<1的分式線性函數(shù) f(z)把Imz=0即實軸映射為w=1,由分式線性函數(shù)的保對稱點性 f(z)把z0關(guān)于實軸w=z-z0z-

f(z必有如下的形式其中是一復(fù)常數(shù).f(zw1,zx1=w=從而ei(為實數(shù)).w=其中Imz00,為實數(shù)

z-z0z-

=

現(xiàn)在驗證函數(shù)(10)確實滿足條件zx代入(10w1,這說明實軸被映射為單位w1.因而上半平面映射為單位圓內(nèi)或單位圓外.zz0映射為單w0,這說明函數(shù)(10)把上半平面被映射為單位圓內(nèi). 試求把單位圓盤z<1映射為單位圓盤w<1的分式線性函數(shù)解=1z關(guān)于z=1的對稱 映射為w=0關(guān)于w=1的對稱點w=￥.于是該映射具有如下形z0w=z-z-

=z-z02z1w1,zz=z1,z1時1=w= =

=1從而1ei(為實數(shù)),w=eiz-1-z0z0<1,為實數(shù)不難驗證這個函數(shù)確實滿足條件顯然,z>1w3(補充)試求把上半平面Imz0映射為Imw0的分式線性函數(shù).解考慮分式線性函數(shù)w=az+b abcd為實數(shù),ad-bc0.abc,d都是實數(shù),故這個映射把實軸映射為實軸z0i代入函數(shù)(11),w=ai+b=(ai+b)(-ci+d)=ac+bd+(ad-bc)i ci+ ci+d ci+dad-bc映射為下半平面

故Imw00.因此函數(shù)(11)把上半平面映射為上半平面.保形映射的問題分為兩大類第一類:已知函數(shù)求映射區(qū)域.即已知z平面上的區(qū)域D和解析函數(shù)f w=f(z下的像G.這一類問題比較簡單.解決這一類問題的步驟大致可以概述為:由區(qū)域找邊界依函數(shù)求圖像由邊界定區(qū)域(其中第二句是指在映射下邊界的像).第二類:已知對應(yīng)區(qū)域求映射函數(shù).zDw平面上的區(qū)域G,wf(zD映射為G.

這一類問題比較復(fù)雜.看兩頭,想中間,聯(lián)系起來想函數(shù)z-例4求在映射w= 下,上半圓盤D={zz+1

<1}?{Imz0w平面的像區(qū)域yyvDzu 解f

f(z的系數(shù)都是實數(shù),f(z把實軸映射為實軸.于f(-1)= f(0)=-1,f(1)=0,故f(z)把區(qū)間[-1,1]映射為負實軸.由保圓性f(z)把單位圓映射為圓或直線.由于f(1)=0,f(i)= f(-1)=￥,因此f(z)把單位圓i射為虛軸,把上半圓映射為上半虛軸.由于f(z)把上半圓盤內(nèi)的點z 映射為第二象限的23w=-

例 求一保形映射w=ff￠i>

使得f(z

w-12,f(i)解為盡量利用前述幾種特殊的分式線性映射.平面.g(z把上半平面映射為單位圓內(nèi),g(i)04).1,這映射具有如下

=eiz-i =1(w-2(它是平移和相似映射的復(fù)合),它把w-1<2映射為 并且把w=1映射為=0.w2+1.把這個映射與映射(12)復(fù)合起來,w=f(z)=2eiz-i

w-1=3w-1=3 ==.xO1w=2zw-1

f(i)1.在函數(shù)(13)f(z

(z+i)2

=-ieif)0,因此應(yīng)取2

代入(13)式,w=2iz-i 最大模原理是解析函數(shù)的另一重要性質(zhì),是復(fù)變函數(shù)論中的一個重要的定理定理 (最大模原理)設(shè)f(z)在區(qū)域D內(nèi)解析,并且f(z)在D內(nèi)不恒為常數(shù),f(z不能在區(qū)域的內(nèi)點達到最大值證 由于f(z)在區(qū)域D內(nèi)解析,并且f(z)在D內(nèi)不恒為常數(shù),由定理6.1.3知D1=f(D)是區(qū)域.我們證明對任意z0? f(z0)不是f(z)在D內(nèi)的最大值.w0f(z0w0?D1D1是區(qū)域,因此存在0,使得U(w0ìD1.w1?U(w0),w1w0w1f(z1z1?D),f(z1)w1w0=f(z0說明f(z0不是f(z)D內(nèi)的最大值下面利用解析函數(shù)的平均值給出最大模原理的另一證明證明 用反證法.假設(shè)存在z0? 使得f(z)在z0處達到最大值M f(z0)=M=

f(z).z0K:zz0R,KìD補充圖5).0<r<R,根據(jù)解析函數(shù)的平均值得 òf(z)= 2fò

M=f(z0)

1ò1ò0

￡ 2f(z+

由于f(z0+rei)￡M(0￡￡2 要使(11)式成立,必須對任意?2 f(z0+rei

M.若不然,設(shè)存在0?2],

fzrei0)M.f(z0上連續(xù),存在>0,使得當?[0-,0+]時 f(z+rei)<M.于1ò2f(

0+rei)d=1(ò0+0

)f(

+rei) 這與(11)式!因此在L

0- [0,2]-[0-,0+<1(2M+(2-2)M)=Mf(z)oM.根據(jù)習(xí)題2.2第4題(3)的結(jié)論,這蘊含f(z)在K 為常數(shù).根據(jù)解析函數(shù)的唯一性定理,f(z)在D為常數(shù).這與假設(shè)條件.定理得證.■ 設(shè)函數(shù)f(z)在有界區(qū)域D內(nèi)解析，在D上連續(xù)，則

f(z)D 證明由有界閉域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)知道 f(z)在閉域D上一定達到最大值.若f(z)D為常數(shù),則f(z)在D上也恒為常數(shù).此時結(jié)論顯然成立.若f(z)在D內(nèi)不恒為常數(shù), f(z)的最大值不能在D內(nèi)達到,故f(z)必在D的邊界上達到最大值.■ 證明對任意r>0,在圓周z=r上必存在點z,使得cosz>證明因為f(z)=cosz在復(fù)平面C上解析,并且不為常數(shù),根據(jù)最大模原理的推論,對任 f(z)在z￡r上的最大值只能在邊界z=r上達到.因為f(0)=cos0=1,因zrz,cosz1.Schwarz利用最大模原理可以證明一個重要的引理—Schwarz引理引理 (Schwarz)設(shè)f(z)在開圓盤z<1內(nèi)解析 f(0)=0,并且當z時f(z)<1.

<1時

f(z)￡zz0(0<

<1),

f(z0)

z0,

f￠()1,f(zz,是一復(fù)常數(shù),證明(1).f(zz<1內(nèi)解析,f(0)f(z)=

z<1 g(zz<1內(nèi)解析.z<1時f(z)1,zr(0r<1時由最大模原理,

g(z)f￡rg(z)1fr

令

<1ffz<1g(z)

于是當0

z<1時

ff即f(z)￡z f(0)0,(3)z0時仍然成立.這就證明了結(jié)論fff￠)=z

=z

z0(0<z0<1),使得f(z0=z0,

)

=f(z0另一方面由(1)式,當z<1時g(z) 這說明g(z)在z<1內(nèi)的點z0f(z0 最大模原理,z<1g(z(常數(shù)),=g(z01.f(zf￠()1,g(0)=limg(z)= =f￠()=z zg(z)z<1內(nèi)的點處到達最大值.與上面一樣,f(zz,1.Schwarz引理的有如下的幾何意義:若f(z)是單位圓盤自身的解析映射,并且保持原點不動.則結(jié)論(1)表明當z￡r(0<r<1)時 f(z)￡r.這就是說 圖1).結(jié)論(2)表明只要在單位圓盤內(nèi)有一點z01 使得該點的像與原像的模相等,f(zeiz(是實數(shù)),f(z是旋轉(zhuǎn)映射1 Riemannf(zD內(nèi)的單葉解析函數(shù),根據(jù)定理6.1.1,Df(z10.因此,z-葉解析函數(shù)是區(qū)域到區(qū)域的保形映射.在§6.21中,weiz-Imz0w1反過來,給定兩個單連通區(qū)域,是否存在單葉解析函數(shù)把其中一個保形映射為另一個?D,Dw<1.這個問題不一定有解.例如,DC(在擴充復(fù)平面C￥上看,其邊界只有一點,即無窮遠點￥),D1是單位圓盤的內(nèi)部.w=f(zDD1,f(z為整函數(shù),并且f(z)<1.根據(jù)定理,這時f(z必恒為常數(shù).這與f(z)的單葉性.因此不存在單葉解析函數(shù)將復(fù)平面C保形映射為單位圓盤的內(nèi)部.但除了這種特殊情形外,仍有下面的一般性結(jié)果.6.4.1(Riemann映射定理D是C上的一個單連通區(qū)域,D1C,z0?D.w=f(z),Dwf(z0)= f()>證明存在性的證明很復(fù)雜,這里從略(參見參考書目[1],-唯一性.w=f1(zw=f2(z都滿足定理的條件.z=f2(ww2D.F(w=f1f-1(w))w<1內(nèi)解析,w<1F(w)2 F(0)f1f-1(0=f(z0.wf2(z Schwarz引理的結(jié)論(1),

F(w)￡wf1(z)￡f2(z) z?f1zf2z的位置,類似地有f2z￡f1(zz?D).f1(z)=f2(z) z?2把z=f-1(w)代入上式得到F(w)=w(w< 由Schwarz引理的結(jié)論(3),2F(weiw(是常數(shù)). f(z)=eif z? z求導(dǎo),zz0, (z00,f(z00,故必有2k(k?Z).f1(z=f2(z).注(1).6.4.1中,D換為是擴充復(fù)平面C￥上的一個邊界多于一點的單連通區(qū)域,在定理6.4.1中,若不要求f(z)滿足f(z0)= f()>0,則把D保形映射為單圓盤w<1的單葉解析函數(shù)有無窮多個.這是因為,w=f(zDw<1.weif(z(是實數(shù))DwRiemann映射定理只是肯定了某些區(qū)域可以保形映射為單位圓盤.但是怎樣作出這樣的函數(shù),需要另行考慮.Riemann映射定理某些區(qū)域可以保形映射為單位圓盤.但沒有說明兩個區(qū)域的邊界是否有對應(yīng)關(guān)系.對于以簡單封閉曲線為邊界的區(qū)域,有如下的結(jié)果.定理6.4.2(邊界對應(yīng)定理D是以簡單封閉曲線為邊界的單連通區(qū)域,wf(zDD1w<1.f(z可以唯一地連續(xù)延拓到C上,的正向

wf(zDD1的連續(xù)的雙射wf(z是?D到?D1的連續(xù)的雙射,并且使?DD的正向,對應(yīng)?D1證明略6.4.2的逆,在實際應(yīng)用中很重要定理 設(shè)D是有界單連通區(qū)域,其邊界C是分段光滑的簡單封閉曲線,w=f(z)D=DèC上解析,并且把C雙方單值地映射為C1:w= 則w=f(z)把D保形映射為D1w<1,并且使CD的正向,對應(yīng)C1D1證明略 w=f 解析延拓略(不作要求 w=是全平面C上的解析函數(shù).由于ez+2ki=ez,因此ez不是C上的單葉解析函數(shù).考慮帶形區(qū)域D={z:0<Imz<2}. 設(shè)z1,z2?D,ez1=ez2,則z1-z2=2ki,即 Imz1-Imz2=2k由于0ImzImz2,k0,zz.這說明ezD內(nèi)是單葉的. 樣的區(qū)域為ez的單葉性區(qū)域Dwez下的像區(qū)域.zx+iy?w=ex argw=

wezex+iyexeiy.于是,zyy0wargwy0(除去原點).zx=y=xargw=x=y=xargw=uw=:,.y0從0(不包括0)2(2)時,yy0D.相應(yīng)地,平面上射線argw=y0從正實軸(不包括正實軸)按逆時針方向旋轉(zhuǎn)到正實軸(不包括正實軸).由此可見,wez將帶形區(qū)域類似地討論知道,wezD={z0Imzw平面.地,wezD={z:a<Imz<b}(0<b-a￡2D{z0argz2Lnz分成無窮多個單值解析分枝.lnz是Lnz的在正實軸的上沿取實值的單值解析分枝.lnz=ln+z+iargz,0<argz<2

O

yyxOu這里只限于討論0時的冪函數(shù).D{z0argz2分成一些單值解析分枝.wzz=zeiarg 設(shè)區(qū)域D={z:0<argz<0}滿足0<0￡2,0<0￡2 設(shè)z1,z2?zz

eiargz1=zeiargz2.

2z=z,(argz-argz)=2k 由于0argz,argz<￡2,k0,zz.zD內(nèi)是單葉的 Dwz下的像區(qū)域.z?

wz=zeiargz.w=z 于是