三角函數(shù)最值問題的十種常見解法-18

三角函數(shù)最值問題的十種常見解法三角函數(shù)的最值或相關(guān)量的取值范圍的確定始終是三角函數(shù)中的熱點問題之一，所涉及的知識廣泛，綜合性、靈活性較強。解決三角函數(shù)的最值問題不僅會用到三角函數(shù)的基本定義、單調(diào)性、奇偶性、周期性、有界性和三角函數(shù)圖像，而且還會用到三角函數(shù)的多種恒等變化。同時，在三角函數(shù)的最值問題中常常涉及到初等函數(shù)、不等式、方程、幾何等方面問題；常用公式1.兩角和與差的三角函數(shù)sin(a±0)=sinacosp±cosasin0 cos(a±0)=cosacosp^sinasin0tana士tan0tan(a±0)=mtanatan0.輔助角公式asinx+bcosx=aa2+b2sin(x+①),sin。=.-,cos。=.aa2+b2 <a2+b2.二倍角公式sin2a=2sinacosa.,cos2a=cos2a—sin2a=2cos2a—sin2a=2sinacosa.,;tan2atan2a=2tana1—tan2a.半角公式,a'1—cosaa ,'1+cosa a ,'1—cosasin—二士」 ；cos—=±t ；tan一=±, 2 \ 2 ； 2 \ 2 ； 2 \1+cosaa sina 1—cosaTOC\o"1-5"\h\z(tan—= = )21+cosasina.萬能公式ca r a ca2tan— 1—tan2— 2tan一sina= -,cosa= 2,tana= -aaa1+tan2_ 1+tan2一 1—tan2一2 2 2題型一：y=asinx+b或y=acosx+b型函數(shù)策略：轉(zhuǎn)化為一次函數(shù)在三角函數(shù)中，正弦函數(shù)與余弦函數(shù)具有一個最基本也是最重要的特征一一有界性，利用正弦函數(shù)與余弦函數(shù)的有界性是求解三角函數(shù)最值的最基本方法，即利用卜示x|?1或|cosx|<1便可求解，ymax=|a|+b,ymin=一|a|+b。評析:①必須注意字母a的符號對最值的影響;②必須注意自變量x對最值的影響。例1：求函數(shù)y=2cosx—1的值域鞏固：求y=sin(x—：)cosx，xe(:,?)的值域6 43題型二：y=asinx+bcosx型，引入輔助角中，化為尸a2+b2sin（x+中），利用函數(shù)MnG+①/<1即可求解。y=asin2x+bsinxcosx+mcos2x+n型亦可以化為此類。策略：轉(zhuǎn)化y=Asin（3x+①）+b（輔助角公式）觀察三角函數(shù)名和角，先化簡，使三角函數(shù)的名和角統(tǒng)一.例2：求函數(shù)f(*)=2cos*+sin*的最大值為.鞏固：求函數(shù)f鞏固：求函數(shù)f(*)=cos4*-2sin*cos*-sin4*在吟上的最大值和最小值.點評：這類題目解決的思路是把問題劃歸為f(*)=Asin(3%+6+B的形式，一般而言，f(*)mz*=|A|+B，f(*)min=—|A|+B.但若附加了*的取值范圍，最好的方法是通過圖像加以解決題型三：轉(zhuǎn)化二次函數(shù)(配方法)尸asin2*+bsin*+c(或尸acos2*+bcos*+c),型，可令t=sin*(t=cos*),-1WtW1,化歸為閉區(qū)間上二次函數(shù)的最值問題。若函數(shù)表達(dá)式中只含有正弦函數(shù)或余弦函數(shù)，且它們次數(shù)是2時，一般就需要通過配方或換元將給定的函數(shù)化歸為二次函數(shù)的最值問題來處理.例3：求函數(shù)y二—sin2*—3cos*+3的最小值.鞏固：已知向量m=(sinA,cosA),n=(<3,-1),m,n=1,且A為銳角.(1)求角A的大?。?2)求函數(shù)f(x)=cos2x+4cosAsinx(xeR)的值域.題型四.：引入?yún)?shù)轉(zhuǎn)化(換元法)對于一些比較復(fù)雜的復(fù)合三角函數(shù)，直接運用三角公式轉(zhuǎn)化比較困難。針對題型結(jié)構(gòu)特點，可以通過變量替換，將原來的三角問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題。這樣就將比較復(fù)雜的函數(shù)轉(zhuǎn)化為更容易求最值的代數(shù)函數(shù)求解。對于表達(dá)式中同時含有sinx+cosx，與sinxcosx的函數(shù)，利用(sinx±cosx)2=1±2sinxcosx建立sinx±cosx與sinxcosx之間的關(guān)系，通過換元將原函數(shù)轉(zhuǎn)化。但是，在換元過程中一定要注意新變量的取值范圍與原函數(shù)定義域的關(guān)系。例4：求函數(shù)y=sinx+cosx+sinx.cosx的最大值.鞏固1：已知sinx+siny=--，求cosx+cosy的值域。鞏固2：已知圓C：(x+2)2+#=1,P(x,J)為圓C上任意一點.y—2 c⑴求百的最值.⑵求x-2y的最值?題型五,：利用基本不等式法對于一些滿足均值不等式特征結(jié)構(gòu)的三角函數(shù)，可以運用均值不等式來解決此種類型的三角函數(shù)最值問題。均值不等式的一般形式:n?naaAa>七12n

a+a+A+aan?naaAa>七12n

a+a+A+a 2 n->-u 2 n>n；aaAa'n n n12n（其中ai,a2,A,a為正數(shù)，n=1,2,3A）在運用均值不等式時，必須注意函數(shù)式中各項的正負(fù)需要各項滿足正值時方可使用，在解題時應(yīng)加以論述說明；然后應(yīng)該注意不等式中等號成立的條件、需要合理的拆添項，湊常數(shù)，以及不等式中和的最值與積的最值，例5：已知xe(0,兀)，求函數(shù)j=sinx+—1—的最小值.2sinxx鞏固：若xe(0,兀)，求j=(1+cosx)sin-的最大值。題型六：利用函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性例6.：已知工￡(0,九)，求函數(shù)y=sinx+」一的最小值.sinx(1+sinx)(3+sinx)鞏固：求y=-——二 的最值及對應(yīng)的x的集合。2+sinxasinx+bacosx+b |smx<1(或cosx<1)題型七：①y= (或y= —)型，解出sinx(或cosx)，利用Icsinx+d cosx+d去解；或用分離常數(shù)的方法去解決。asinx+b acosx+b ., 、 ，、②y= (或y=- 3)型，可化歸為sm(x+①)=g(y)去處理；或用萬能公式換元后ccosx+d csinx+d用判別式去處理；當(dāng)a=c時，還可利用數(shù)形結(jié)合的方法去處理上。轉(zhuǎn)化部分分式一，、一 2cosx+1，……例7：求函數(shù)y=- 的值域2cosx一1sinx—1鞏固1：求函數(shù)y= 的最大值和最小值.cosx—23—2sinx鞏固2：求函數(shù)J=-——-的最大值和最小值.sinx—2題型八：數(shù)形結(jié)合由于sin2x+C0S2x=1,所以從圖形考慮，點(cosx,sinx)在單位圓上，這樣對一類既含有正弦函數(shù)，又含有余弦函數(shù)的三角函數(shù)的最值問題可考慮用幾何方法求得.例8：求函數(shù)y=-sinx6<x〈九)的最小值.2—cosx題型九：判別式法tan2x—tanx+1例9：求函數(shù)y= 的最值.tan2x+tanx+1解析：同一變量分子、分母最高次數(shù)齊次，常用判別式法和常數(shù)分離法鞏固：若0<解析：同一變量分子、分母最高次數(shù)齊次，常用判別式法和常數(shù)分離法鞏固：若0<x<g，求函數(shù)y=sinx人 cosxJ的最小值。x解析：令t=tan-乙

題型十：分類討論法例10：含參數(shù)的三角函數(shù)的值域問題，需要對參數(shù)進(jìn)行討論例10：，用a，用a表示f(x)的最大值M(a).TOC\o"1-5"\h\z4 2；鞏固：函數(shù)/(x)=2—4“sinx—cos2x的最值。. 71鞏固練習(xí)：(1).函數(shù)y=sinx+J3cosx在區(qū)間。不］上的最小值為.71 71 71(2)函數(shù))=tan(--