關(guān)于原始尺寸原理的適用性

關(guān)于原始尺寸原理的適用性北京科技大學(xué)優(yōu)質(zhì)課程建設(shè)與教學(xué)改革研究項(xiàng)目資助.北京科技大學(xué)優(yōu)質(zhì)課程建設(shè)與教學(xué)改革研究項(xiàng)目資助.摘要本文以平面三角桁架的為例，通過(guò)放棄應(yīng)用原始尺寸原理，即在變形后的位形上建立平衡方程，并結(jié)合變形協(xié)調(diào)關(guān)系考慮幾何非線性，得到了桁架各桿軸力的解，進(jìn)而給出各桿應(yīng)力和中間鉸位移以及各桿轉(zhuǎn)角的解。最后給出了鋼質(zhì)、木質(zhì)和橡膠桿桁架的三個(gè)算例，還得到了應(yīng)力的相對(duì)誤差估計(jì)式。分析結(jié)果表明應(yīng)用原始尺寸原理所帶來(lái)的桿內(nèi)應(yīng)力的相對(duì)誤差與桿內(nèi)名義應(yīng)變相同，對(duì)于金屬桁架在滿(mǎn)足強(qiáng)度條件的范圍內(nèi)，應(yīng)用原始尺寸原理所帶來(lái)的誤差是可以忽略的，而對(duì)于橡膠桁架來(lái)說(shuō)其誤差是需要考慮的。關(guān)鍵詞原始尺寸原理，幾何非線性，平衡位形，平面桁架，誤差分析在材料力學(xué)中當(dāng)考慮彈性構(gòu)件的內(nèi)力與外力平衡關(guān)系時(shí)，仍用變形前彈性構(gòu)件的形狀和尺寸，而彈性構(gòu)件的變形忽略不計(jì)，這種方法稱(chēng)為“原始尺寸原理”[1]。這相當(dāng)于將所研究的彈性體平衡當(dāng)作理想的剛體平衡來(lái)處理，即在變形前的位形上建立力的平衡關(guān)系，其合理性是以小變形假設(shè)為基礎(chǔ)的。應(yīng)用原始尺寸原理可以將平衡方程的數(shù)學(xué)形式簡(jiǎn)化，它在變形體力學(xué)的其他線性理論中，如彈性力學(xué)等亦得到普遍應(yīng)用。嚴(yán)格地說(shuō)，彈性體在變形前是不受任何外力作用的，外力與內(nèi)力之間的平衡也就無(wú)從談起。彈性體正是由于外力的作用才會(huì)產(chǎn)生變形的，因此力的平衡關(guān)系應(yīng)該建立在變形后的位形上。事實(shí)上，原始尺寸原理忽略了彈性體的變形因素對(duì)力的平衡的影響，在考慮力的平衡時(shí)將彈性體平衡簡(jiǎn)化成了理想的剛體平衡。而由此產(chǎn)生的誤差到底有多大？變形大到什么程度時(shí)原始尺寸原理就不再適用了？這些問(wèn)題都是教學(xué)中學(xué)生時(shí)常提出的問(wèn)題，是值得進(jìn)行分析研究的。本文以材料力學(xué)中平面三角桁架為例，來(lái)對(duì)原始尺寸原理的適用性進(jìn)行討論。問(wèn)題的基本關(guān)系式考慮由兩個(gè)彈性直桿組成的平面三角桁架[2]（如圖1所示）。在中間鉸B處垂直作用有一集中力,A和C為固定鉸支座。假定兩個(gè)桿的材料都是線性彈性的，并且不計(jì)泊松比效應(yīng)，即忽略由于桿軸向拉壓變形而引起的橫截面積的變化。設(shè)水平桿AB和斜桿BC的楊氏彈性模量分別為和，橫截面積分別為和，變形前的長(zhǎng)度分別為和，兩個(gè)桿之間的夾角為（）。記桿AB和桿BC的變形后長(zhǎng)度分別為和，軸力分別為和，其取正（負(fù)）值為拉（壓）力，轉(zhuǎn)動(dòng)角位移分別為和，中間鉸B點(diǎn)的水平和垂直位移分別為和。圖1變形前和變形后的平面三角桁架圖2變形后位形上中間鉸處的受力在中間鉸B的受力分析中，將力的平衡關(guān)系建立在變形后位形上（見(jiàn)圖2），這樣放棄使用原始尺寸原理所得到兩桿的軸力平衡關(guān)系為由此給出傲，筐灶繩液排科棋（頑1枯）變其中疏為變形后兩個(gè)皂?xiàng)U的夾角，耗取負(fù)值表示與低圖釀2硬所示方向相反岔為壓力。而材曾料力學(xué)的相應(yīng)吩解答為詳[2]賊，慧粒，暈派撥騎菜智為（儉2躬）驟培脫軸力表達(dá)式扒（溫1貓）與材料力學(xué)稀的相應(yīng)解答倍（禽2杠）不同的是日（痰1纏）中含有大和繭兩個(gè)待定未知名量。若要確定命出軸力陡和漢，則需要進(jìn)一掙步考慮變形協(xié)藏調(diào)關(guān)系。志由冰圖彎1壞可知此桁架結(jié)衡構(gòu)的變形協(xié)調(diào)星關(guān)系為胃軋撫驚紹霜臥叼炊換災(zāi)國(guó)瓶從而得出奏鼓，據(jù)易錯(cuò)幼左懷（閘3冷）銹根據(jù)胡克定律戚，妨桿畫(huà)A具B夕和霸桿杏A選C雁的應(yīng)力分別為早和光，其中應(yīng)變液和噴。再由軸力定拘義釀和和，可以得到如俘下表達(dá)式騎，城沸事響團(tuán)狼攏（筆4燒）陳此式與材料力擇學(xué)的相應(yīng)表達(dá)嫂式是完全一致蔬的。灌軸力和位移的壓求解細(xì)首先，比較嶼（乘3緣）和朱（休4遍）有如下關(guān)系嗚式：，服代入表達(dá)式這（禮1顧）后，可以解笑出軸力珍，扭雹幼還毛陡妄（筑5毫）歉儉此式給出的軸匯力是非線性地廣依賴(lài)于外部載零荷的；而在材鮮料力學(xué)的相應(yīng)伙解答蜜（盡2受）中，軸力則妙是線性地依賴(lài)念于外部載荷的繳。歷其次，由敘（夫5以）式可給出憑桿院A已B鼠和牽桿手B蝴C襖的無(wú)量綱化應(yīng)因力分別為：倒，斧錘新徹董（袍6列）妨其中無(wú)量綱化牽載荷和桿的抗創(chuàng)拉剛度比分別得由下式給出顧，脊讀極港佩怖劉練通（兩7趁）勸與展（搏6材）式相對(duì)應(yīng)的攪線性理論結(jié)果于為錘，銜厭贈(zèng)讀肢迎丑具蜓（巖8蠅）烘另外，孫桿老A棗B濤和襲桿毫B適C憑的伸長(zhǎng)量分別限為關(guān),尤哄喇（娛9烤）記最后，為了求縣出角位移持和餅以反及閘B慶水平和垂直位怖移食和汁，比較吵（宵1撤）和炮（燭5寺）佛可以得到龍含閃住勵(lì)腎(10)核綁耳籠飯碑退獄框(11)育其中常數(shù)羽和圍記為掉，舊嫩眨汽劫服共趁竭（諷1咳2攜）飛將扒（兇1壤1號(hào)）式代入趨（束1拴0泰）式，并約去爐因子違有遭緒桃發(fā)裙舌逐攜舍脅（嘴1噴3放）打再分別將并（削1起1記）式和確（仍1犁3灰）式兩邊平方是，然后相加可話以得到朱融濟(jì)多宜銳炎扛思肯（孕1駱4紙）廈此式代入錫（織1疏3露）式有膜挪囑何（瞞）乖貍替扎烘閱（般1匪5束）葛于是，由圈（船1預(yù)4時(shí)）式和粘（街1業(yè)5纏）式解得角位敵移束棵勞昆陽(yáng)犁戴俗（愁1添6廁）寄登根仙暮（課1政7值）蠅由呀圖詠1鉆知臉，柿B退點(diǎn)的水平和垂草直位移分別為，殿將泥（輕4顫）式代入上式營(yíng)，并利用襪（猜5謹(jǐn)）、屠（流7煩）、佛（此1辟2遲）和緞（塘1急6尼）式，可以得疼到如下無(wú)量綱營(yíng)化位移的解答不：狀己簽芳伯薪（善1浸8燭）知殊騎船陵原案?jìng)悖ㄗ?望9邪）釣其中暮和雙由館（拳1梅2冊(cè)）式給出。而婦由材料力學(xué)的拆線性理論所得橫的相應(yīng)解答為川[2]腥，定候斃穿閑繳反（托2怨0落）場(chǎng)3酬．算例與討論鏟先考慮第一個(gè)號(hào)算例勾[1]堂，鋼質(zhì)平面三勤角桁架。已損知友表，狠B減C某桿長(zhǎng)依，與，刊，材料為先，鴉，巧許用應(yīng)力棋。應(yīng)用本文捉放棄原始尺寸浙原理得到解的杰表達(dá)謙式，其計(jì)算結(jié)橋果與文問(wèn)獻(xiàn)勒[1滴]奪的相應(yīng)結(jié)果列狠于章表黎1角，兩者非常接臘近，其相對(duì)誤程差只有萬(wàn)分之方幾。再來(lái)涼考慮誕第二個(gè)算例，籌松木材料的驕木質(zhì)圓桿組成交的平面三角桁棟架。已知離，枕B死C秘桿長(zhǎng)董，斥A溪B去桿的直徑為輩（恩）煉，徒B津C橋桿的直徑為醉（賢），鬼，漆，你材料的抗拉許內(nèi)用應(yīng)力匹，材料的抗壓諒許用應(yīng)力流。此時(shí)，本文煙放棄原始尺寸態(tài)原理算得的劫結(jié)果與線性理臨論的相應(yīng)結(jié)果辟列于厭表慧2古中，可以看到轎除水平位移的爐相對(duì)誤差約為記百分之二之外求，其余各量的憂(yōu)相對(duì)誤差不足孫為百分之一。叫第三個(gè)算例考式慮的是由橡膠橡圓桿組成的蹄平面三角桁架似。產(chǎn)魚(yú)已知氧，倒B月C療桿長(zhǎng)鎮(zhèn)，攪A羅B題桿丟和株B素C歇桿的直徑均為脆(莖)襲，慈，斤，歇許用應(yīng)力楊。計(jì)算結(jié)果表薪明材料力學(xué)的翻線性理論解與列本文旱放棄原始尺寸核原理算得的解樓之間有較大的摧差別。庫(kù)表碌1捕肯鋼質(zhì)笨三角桁架的軸揉力、應(yīng)力和位源移蘆(瘡kN)喇(夜kN)涌(考MPa)炕(堡MPa)灶(mm)暢(拘mm)亭本文解伍45.03柏-74.97持143.41思-73.50魄0.8595博1.5642賞線性理論解俗[1]碧45.00謠-75.00蹲143.33每-73.53選0.8599屈1.5640快相對(duì)誤差尺0.07%涌0.04%盡0.07%來(lái)0.04%嫩0.05%天0.01%于表證2匹斃木質(zhì)爐三角桁架的軸躺力、應(yīng)力和位瘦移就(燃kN)攪(違kN)況(懷MPa)膠(艇MPa)膊(mm)騙(糧mm)擾本文解炭13.975厲-15.95洗79.07婦-32.51效13.31天36.80旦線性理論解朵13.86響-16.00誦78.45難-32.61束13.59夾36.58阻相對(duì)誤差爽0.78%知0.33%頸0.78%婆0.33%付2.11%央0.59%挨表役3襯重橡膠盲三角桁架的軸籌力、應(yīng)力和位糠移重(宗kN)狼(慶kN)啦(勞MPa)牲(疾MPa)捧(mm)糕(仰mm)鞋本文解嚇0.577父-1.076山0.305些-0.548蛋23.3鵲175.3女線性理論解旬0.599件-1.155揪0.294宣-0.588駐36.8剛191.1贈(zèng)相對(duì)誤差高3.7%霜7.4%莫3.7%胡7.4%睛58%閉9.0%組由藍(lán)（跟6挎）和西（鬼8再）可知穗和申。于是本文絞放棄原始尺寸響原理算得的應(yīng)該力某與線性理論的宮相應(yīng)結(jié)果之間側(cè)的相對(duì)誤經(jīng)差倉(cāng)扮雀鼓醒仍再跨(晃21)保鵝再臥考慮到兩根桿或必須要滿(mǎn)足強(qiáng)瑞度條件匠，集（衰，進(jìn)），柿最后，得到應(yīng)勒力的片相對(duì)誤差估計(jì)現(xiàn)式如下：奴，絡(luò)仰炸耍誠(chéng)鍵委（景2揮2扛）詢(xún)其中歌和濱分別為伴材料的抗拉和盤(pán)抗壓許用應(yīng)力稍。對(duì)于大多數(shù)鑰金屬材料來(lái)說(shuō)消，戚其抗拉和抗壓家許用應(yīng)力一樣淘，而且與彈性驅(qū)模量相比要但小球3撈個(gè)數(shù)量級(jí)左右協(xié)[4]技，饒叔由多（祥2在2縫）可以估算出強(qiáng)相對(duì)誤差探和奉也僅僅只有千扇分之幾左右。俱另壟外狹,換注意到各桿的融無(wú)量綱化應(yīng)力行就是各桿的應(yīng)屬變慰,疼伸由順(21國(guó))碼可知在滿(mǎn)足強(qiáng)腥度條件的范圍燕內(nèi)御,蛾強(qiáng)各桿應(yīng)力的相著對(duì)誤差與線性降理論算得的焦應(yīng)變絕對(duì)值相壞同，而選絕大多數(shù)金屬宰桿膜在工作應(yīng)力達(dá)禍到許用應(yīng)力時(shí)訂的應(yīng)變（旨線性理論算得脅的名義怒應(yīng)變）一般也傷僅有千分之幾續(xù)。因此，舊對(duì)于大多數(shù)金年屬桿桁架來(lái)說(shuō)欣，在臭滿(mǎn)足強(qiáng)度條件度的載荷范圍內(nèi)津，其應(yīng)變會(huì)很辱小，故躁應(yīng)用掠原始尺寸原理便所帶來(lái)的落誤差也就很小射的；而像橡膠歇材料桿組成的赴桁架，即使在漢強(qiáng)度條件滿(mǎn)足蘇的范圍富內(nèi)音,磚各桿的應(yīng)變亦萬(wàn)有可能較大，挖此時(shí)忽應(yīng)用焦原始尺寸原理躁所帶來(lái)的潛誤差是應(yīng)該給廳予考慮的。參考文獻(xiàn)鷹[1]笛陸劉鴻據(jù)文燕.露士材料力奴學(xué)年.烈北京：高等教嚇育出版社（第年三版）賢，椒1992:腰43~4取5匪[2]汪構(gòu)鐵木辛甜柯鞭,縮刷蓋礎(chǔ)爾搖.西梢材料力學(xué)（中等譯本榜）花.墓格北京：科學(xué)出宋版社術(shù)，樸1978:沙14~1裙5賀[3]牙漁龔曉樸南疏,摟雕王壽錯(cuò)梅集.摟到結(jié)構(gòu)分析中的凡非線性元素萌法淘.妨團(tuán)北京：北京航類(lèi)空學(xué)院出版默社蹈,1986丑:40~任42尖[4]芬掉《力學(xué)詞典》降編輯部艱編摩.贈(zèng)辯力學(xué)詞認(rèn)典恭.施譯北京：中國(guó)大研百科全書(shū)出版繭社事,1990:毒597持《力學(xué)與實(shí)踐搭》編輯：您好樂(lè)！及現(xiàn)將已完成的我教育研究論殊文格“嚇關(guān)于原始尺寸創(chuàng)原理的適用擠性圈”毛及評(píng)審固費(fèi)態(tài)6喉0劫元寄給貴刊，響預(yù)謝您的幫助險(xiǎn)。致禮艙北京科技大學(xué)蒼數(shù)學(xué)力學(xué)饒系染悠盒尚新春收200忽6碼年貪6見(jiàn)月崇2著6象日舉On技applic龍abilit思y妨ofin嶺itial懼sizea膠pproac惕h在Shang稀Xin-ch伸unL半uJin-討fu坊Depart廟mento室fMath桶ematic蝕sand烘Mechan己ics,箭Univer堪sity將of晴Scienc然e筋andT津echnol桐ogy鈴Beijin獅g靠,學(xué)Beijin爭(zhēng)g使10008昏3,滑China舅作者簡(jiǎn)介：衡尚新春殺，男夕，烤4遣8賠歲，山西朔州頓人，理學(xué)博士