§3.2.3利用向量解決平行與垂直問題

利用向量解決平行與垂直問題【學情分析】：教學對象是高二的學生，學生已經(jīng)具備空間向量與立方體幾何的相關(guān)知識前面又學習了用向量表示線線、線面、面面間的位置關(guān)系與向量運算的關(guān)系，所以本節(jié)課是通過運用這些關(guān)系解決立體幾何中的平行與垂直問題。本次課內(nèi)容不難理解，但學生自己做題時往往會遇到一個如何轉(zhuǎn)化的問題，因此，教學中應重點抓住轉(zhuǎn)換思想來進行【教學目標】：知識與技能：繼續(xù)理解用向量表示空間中平行與垂直的關(guān)系和方法；會用向量法和坐標法等方法解決立體幾何中的平行與垂直問題過程與方法：在解決問題中，通過數(shù)形結(jié)合與問題轉(zhuǎn)化的思想方法，加深對相關(guān)內(nèi)容的理解。情感態(tài)度與價值觀：體會把立方體幾何幾何轉(zhuǎn)化為向量問題優(yōu)勢，培養(yǎng)探索精神。【教學重點】：向量法與坐標法【教學難點】：立體幾何中的平行與垂直問題向向量問題的轉(zhuǎn)化【教學過程設(shè)計】：教學環(huán)節(jié)教學活動設(shè)計意圖一、復習引入1用空間向量解決立體幾何問題的“三步曲”.平行與垂直關(guān)系的向量表示。為學習新知識做準備二、探究新知一、用向量處理平行問題分析：先復習共面向量定理。要解決問題，可以考慮將向量用向量線性表示出來。評注：向量與兩個不共線的向量、共面的充要條件是存在實數(shù)對使利用共面向量定理可以證明線面平行問題。本題用的就是向量法。分析：面面平行線面平行線線平行。評注：由于三種平行關(guān)系可以相互轉(zhuǎn)化，所以本題可用邏輯推理來證明。用向量法將邏輯論證轉(zhuǎn)化為問題的算法化，在應用向量法時需要合理建立空間直角坐標系，方能減少運算量。本題選用了坐標法。思考：一般應如何建立空間直角坐標系？二、用向量處理垂直問題分析：線面垂直線線垂直。評注：本題若用一般法證明，容易證A垂直于D而證'垂直于E或證'垂直于則較難，用建立空間坐標系的方法能使問題化難為易。例4證明：在平面內(nèi)的一條直線，如果它和這個平面的一條斜線的射影垂直，那么它也和這條斜線垂直。已知：如圖是平面的斜線，為斜足，，為垂足，求證：證明：例是一道線面平行問題，需要利用共面向量定理來證明。同時介紹解決問題的向量法。聯(lián)系共線向量來理解。例是關(guān)于面面平行的問題，聯(lián)系幾何定理與向量平行。同時介紹解決問題的坐標法。例是線面垂直問題，圖形和例一樣是正方體，可進一步訓練坐標法。讓學生體會坐標法的優(yōu)勢。用向量法證明三垂線定理。三、練習鞏固分別用向量法和坐標法解決以下問題：向量法：所以，結(jié)論成立。坐標法：證明：鞏固知識，培養(yǎng)技能四、小結(jié)利用向量解決平行與垂直問題.向量法：利用向量的概念技巧運算解決問題。.坐標法：利用數(shù)及其運算解決問題。兩種方法經(jīng)常結(jié)合起來使用。反思歸納五、作業(yè)1直三棱柱中，角 是直角，=1=，側(cè)棱1側(cè)面的兩條對角線交點為，的中點為，求證平面。課本第、題。練習與測試：直三棱柱一中，若，則若向量、

.以上三種情況都可能與都互相垂一空間四邊形的對邊與D直，用向量證明：與也互相垂直.與都互相垂證明：又，即……①又，即……②由①②得：即如圖，已知矩形 所在平面外一點E、分別是、的中點.求證：E〃平面 A求證：E_L；證：如圖，建立空間直角坐標系一=b=c則：A、c???E為的中點，為的中點???E,?* ? , ,???=???與、共面又,「Ei平面???E〃平面A.??±.對于任何空間四邊形，試證明它的一對對邊中點的連線段與另一對對邊平行于同一平面。分析要證明、、 平行于同一平面只要證明相應向量與、共而即可。證明：如圖，利用多邊形加法法則可得，, …①。又、分別是、的中點，故有,…②將②代入①后，兩式相加得,???即與、共面，，與、平行于同一平面。注：本題若用立體幾何知識去證明，有一定的難度，由此體會向量法證明的優(yōu)越性。如圖，已知_La_L 0a求證〃a。證明：在a內(nèi)作不共線向量TOC\o"1-5"\h\z;、、不共面，， 。兩邊同乘得 ?;± ，，.??? ? ?得?、而W???