圓錐曲線與方程雙曲線

第二講雙曲線[知識(shí)梳理]［知識(shí)盤(pán)點(diǎn)］1．雙曲線的定義：我們把平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)的距離的差的絕對(duì)值等于常數(shù)（）的點(diǎn)的軌跡叫做雙曲線，用符號(hào)表示為。這兩個(gè)定點(diǎn)叫雙曲線的，兩個(gè)焦點(diǎn)之間的距離叫做雙曲線的。2．雙曲線的第二定義：平面內(nèi)，到定點(diǎn)(或)的距離與到定直線的距離之比是常數(shù)（即）的動(dòng)點(diǎn)的軌跡叫做雙曲線，這個(gè)定點(diǎn)是雙曲線的，這條定直線叫做雙曲線的，其中常數(shù)叫做雙曲線的。二．雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程3．當(dāng)雙曲線的焦點(diǎn)在軸上時(shí)，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，其中焦點(diǎn)坐標(biāo)為，，且；當(dāng)雙曲線的焦點(diǎn)在軸上時(shí)，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，其中焦點(diǎn)坐標(biāo)為，，且.當(dāng)且僅當(dāng)雙曲線的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，其焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上時(shí)，雙曲線的方程才是標(biāo)準(zhǔn)形式。三．雙曲線的幾何性質(zhì)方程圖形yyOA1F1A2F2xyyOB1F1B2F2x范圍或?qū)ΨQ(chēng)性關(guān)于軸，軸及原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)關(guān)于軸，軸及原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)頂點(diǎn)離心率準(zhǔn)線漸近線［特別提醒］本節(jié)的重點(diǎn)是雙曲線的定義、方程、幾何性質(zhì).難點(diǎn)是理解參數(shù)a、b、c、e的關(guān)系及漸近線方程、準(zhǔn)線方程、第二定義的應(yīng)用.關(guān)鍵是準(zhǔn)確理解和掌握有關(guān)概念，靈活地運(yùn)用數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程的思想及等價(jià)轉(zhuǎn)化的思想.為此建議在復(fù)習(xí)中注意以下幾點(diǎn)：1.雙曲線中有一個(gè)重要的Rt△OAB（如下圖），它的三邊長(zhǎng)分別是a、b、c.易見(jiàn)c2=a2+b2，若記∠AOB=θ，則e==.2.雙曲線的定義用代數(shù)式表示為||MF1|－|MF2||=2a，其中2a＜|F1F2|，這里要注意兩點(diǎn)：（1）距離之差的絕對(duì)值.（2）2a＜|F1F2|，這兩點(diǎn)與橢圓的定義有本質(zhì)的不同.當(dāng)|MF1|－|MF2|=2a時(shí)，曲線僅表示焦點(diǎn)F2所對(duì)應(yīng)的一支；當(dāng)|MF1|－|MF2|=－2a時(shí)，曲線僅表示焦點(diǎn)F1所對(duì)應(yīng)的一支；當(dāng)2a=|F1F2|時(shí)，軌跡是一直線上以F1、F2為端點(diǎn)向外的兩條射線；當(dāng)2a＞|F1F2|時(shí)，動(dòng)點(diǎn)軌跡不存在.3.參數(shù)a、b是雙曲線的定形條件，兩種標(biāo)準(zhǔn)方程中，總有a＞0，b＞0；雙曲線焦點(diǎn)位置決定標(biāo)準(zhǔn)方程的類(lèi)型；a、b、c的關(guān)系是c2=a2+b2；在方程Ax2+By2=C中，只要AB＜0且C≠0，就是雙曲線的方程.4.在運(yùn)用雙曲線的第二定義時(shí)，一定要注意是動(dòng)點(diǎn)P到焦點(diǎn)的距離與到相應(yīng)準(zhǔn)線距離之比為常數(shù)e.若使用的焦點(diǎn)與準(zhǔn)線不是對(duì)應(yīng)的，則上述之比就不再是常數(shù)了.5.給定了雙曲線方程，就可求得確定的兩條漸近線.但已知漸近線方程，只是限制了雙曲線張口的大小，不能直接寫(xiě)出雙曲線方程.但若已知漸近線方程是±=0，則可把雙曲線方程表示為－=（≠0），再根據(jù)已知條件確定的值，求出雙曲線的方程.[基礎(chǔ)闖關(guān)]1．設(shè)P是雙曲線－=1上一點(diǎn)，雙曲線的一條漸近線方程為3x－2y=0，F(xiàn)1、F2分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn).若|PF1|=3，則|PF2|等于()(A)1或5(B)6 (C)7 (D)92．（2022年北京春）“ab<0”是“曲線ax2+by2=1為雙曲線”的(A)充分不必要條件(B)必要不充分條件(C)充分必要條件(D)既不充分又不必要條件3．過(guò)點(diǎn)（2，－2）且與雙曲線－y2=1有公共漸近線的雙曲線方程是()(A)－=1(B)－=1(C)－=1(D)－=14．（）已知雙曲線的兩條漸近線的夾角為，則雙曲線的離心率為（）（A）（B）（C）（D）25．已知圓C過(guò)雙曲線－=1的一個(gè)頂點(diǎn)和一個(gè)焦點(diǎn)，且圓心在此雙曲線上，則圓心到雙曲線中心的距離是____________.6．給出問(wèn)題：F1、F2是雙曲線－=1的焦點(diǎn)，點(diǎn)P在雙曲線上.若點(diǎn)P到焦點(diǎn)F1的距離等于9，求點(diǎn)P到焦點(diǎn)F2的距離.某學(xué)生的解答如下：雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為8，由||PF1|－|PF2||=8，即|9－|PF2||=8，得|PF2|=1或17.該學(xué)生的解答是否正確？若正確，請(qǐng)將他的解題依據(jù)填在下面橫線上；若不正確，將正確結(jié)果填在題中的橫線上.______________________________________________________.[典例精析]例1．設(shè)雙曲線與橢圓有共同的焦點(diǎn)，且與橢圓相交，一個(gè)交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為4，求雙曲線的方程。［剖析］由于橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，且雙曲線與橢圓具有相同的焦點(diǎn)，知雙曲線的焦點(diǎn)也為，從而知所設(shè)雙曲線的形式應(yīng)為，圍繞定義產(chǎn)生的問(wèn)題，要注意的三個(gè)量之間的關(guān)系。本題抓住“交點(diǎn)”在雙曲線上，必須滿足定義，從而應(yīng)用定義求出雙曲線方程中的基本量。［解］解法一：由橢圓，得其焦點(diǎn)為或，雙曲線的焦點(diǎn)在軸上，設(shè)所求的雙曲線方程為().由已知得雙曲線兩焦點(diǎn)分別為，且與橢圓相交其中一個(gè)交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為4，設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為，從而得，解得，則解得，由于，得，因此方程即為所求.解法二：由題意設(shè)雙曲線方程為，將A()代入求得，故所求雙曲線方程為.［警示］利用定義法來(lái)求解雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程時(shí)，一定要抓住題設(shè)所給出的獨(dú)立條件建立之間的等量關(guān)系，再利用運(yùn)用方程的思想來(lái)求解，從而得到的值。但需注意首先應(yīng)判斷焦點(diǎn)的位置，以便于采用哪種形式的方程。［變式訓(xùn)練］：1.根據(jù)下列條件，求雙曲線方程：（1）與雙曲線－=1有共同的漸近線，且過(guò)點(diǎn)（－3，2）；（2）與雙曲線－=1有公共焦點(diǎn)，且過(guò)點(diǎn)（3，2）.例2．設(shè)點(diǎn)P到點(diǎn)M（－1，0）、N（1，0）距離之差為2m，到x軸、y軸距離之比為2，求m的取值范圍.［剖析］由|PM|－|PN|=2m，得||PM|－|PN||=2|m|.知點(diǎn)P的軌跡是雙曲線，由點(diǎn)P到x軸、y軸距離之比為2，知點(diǎn)P的軌跡是直線，由交軌法求得點(diǎn)P的坐標(biāo)，進(jìn)而可求得m的取值范圍.［解］設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y），依題意得=2，即y=±2x（x≠0） ①因此，點(diǎn)P（x，y）、M（－1，0）、N（1，0）三點(diǎn)不共線，得||PM|－|PN||<|MN|=2.∵||PM|－|PN||=2|m|>0，∴0<|m|<1.因此，點(diǎn)P在以M、N為焦點(diǎn)，實(shí)軸長(zhǎng)為2|m|的雙曲線上.故設(shè)－=1. ②將①代入②，并解得x2=，∵1－m2>0，∴1－5m2>0.解得0<|m|<，即m的取值范圍為（－，0）∪（0，）.［警示］求雙曲線的方程，關(guān)鍵是求a、b，在解題過(guò)程中應(yīng)熟悉各元素（a、b、c、e及準(zhǔn)線）之間的關(guān)系，并注意方程思想的應(yīng)用.［變式訓(xùn)練］2.（2022年上海浦東）已知曲線.（1）畫(huà)出曲線的圖像，（2）若直線與曲線有兩個(gè)公共點(diǎn)，求的取值范圍；（3）若，為曲線上的點(diǎn)，求的最小值.例3．已知雙曲線C的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，點(diǎn)與其漸近線的距離為，過(guò)點(diǎn)P作斜率為的直線交雙曲線于兩點(diǎn)，交軸于M，且是與的等比中項(xiàng).（1）求雙曲線的漸近線方程；（2）求雙曲線的方程.［剖析］(1)由點(diǎn)與其漸近線的距離為，借助于點(diǎn)到直線的距離公式可求得其漸近線方程；(2)由漸近線方程，可設(shè)雙曲線方程，再借助于題條件，不難得到雙曲線方程。［解］(1)設(shè)雙曲線的一條漸近線方程為，由點(diǎn)到直線的距離公式得，即雙曲線的漸近線方程為；（2）設(shè)雙曲線方程為，，則直線的方程為.由得，當(dāng)即時(shí)，有由可得，從而或.故所求的雙曲線方程為或.［警示］漸近線是雙曲線特有的，如果說(shuō)雙曲線的方程為，則其漸近線方程可記為.同時(shí)，以為漸近線的雙曲線，其方程可設(shè)為；若已知雙曲線的漸近線方程是以ax±by=0的形式給出的，則可設(shè)雙曲線方程為a2x2－b2y2=（≠0）.［變式訓(xùn)練］3.已知雙曲線關(guān)于兩坐標(biāo)軸對(duì)稱(chēng)，且與圓相交于點(diǎn)，若此圓過(guò)點(diǎn)P的切線與雙曲線的漸近線平行，求此雙曲線的方程。例4．已知直線與雙曲線相交于A、B兩點(diǎn)，那么是否存在實(shí)數(shù)使得兩點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)？若存在，求出的值；若不存在，說(shuō)明理由。［剖析］這是一類(lèi)非常典型的題目上，“已知曲線：上是否存在相異的兩點(diǎn)，使關(guān)于定直線對(duì)稱(chēng)”這類(lèi)問(wèn)題的基本解決思路是：若存在是曲線上相異兩點(diǎn)，它們關(guān)于對(duì)稱(chēng).設(shè)的中點(diǎn)為，則，即，=1\*GB3①，又=2\*GB3②，由=1\*GB3①=2\*GB3②可解得，根據(jù)坐標(biāo)的范圍，不難得出答案。［解］設(shè)，若存在這樣的，使兩點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，則，且的中點(diǎn)滿足.由，兩式相減得：，，，即，又，即，，從而，這顯然是不可能的，故不存在這樣的直線。［警示］對(duì)于類(lèi)似的探索性題目，我們一般假設(shè)符合題設(shè)條件的直線存在，從這個(gè)假設(shè)出發(fā)，如果能夠推導(dǎo)出的值，則說(shuō)明這樣的直線是存在的；如果推導(dǎo)不出的值，或者說(shuō)推導(dǎo)出矛盾的結(jié)果，這就說(shuō)明滿足條件的值不存在。［變式訓(xùn)練］4．已知雙曲線－=1的離心率，左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，左準(zhǔn)線為l，能否在雙曲線的左支上找一點(diǎn)P，使得|PF1|是P到l的距離d與|PF2|的等比中項(xiàng)?例5．雙曲線的焦距為2c，直線過(guò)點(diǎn)（a，0）和（0，b），且點(diǎn)（1，0）到直線的距離與點(diǎn)（－1，0）到直線的距離之和求雙曲線的離心率e的取值范圍.［剖析］本題是求雙曲線的離心率取值范圍問(wèn)題，根據(jù)題設(shè)中的獨(dú)立條件建立關(guān)于的等式或不等式，再利用與進(jìn)行求解。［解］直線的方程為，即由點(diǎn)到直線的距離公式，且，得到點(diǎn)（1，0）到直線的距離，同理得到點(diǎn)（－1，0）到直線的距離由即于是得解不等式，得由于所以的取值范圍是［警示］求方程的離心率的最值(或范圍)問(wèn)題，往往需要借僵雙曲線的定義、圖象、范圍和性質(zhì)，正(余)弦函數(shù)的有界性等，結(jié)合的關(guān)系，構(gòu)造出一個(gè)關(guān)于離心率的不等式，從而達(dá)到求解的目的。［變式訓(xùn)練］5．設(shè)雙曲線C：相交于兩個(gè)不同的點(diǎn)A、B.求雙曲線C的離心率e的取值范圍。例6．（2022年北京宣武區(qū)）神舟6號(hào)飛船返回倉(cāng)順利到達(dá)地球后，為了及時(shí)將航天員救出，地面指揮中心在返回倉(cāng)預(yù)計(jì)到達(dá)區(qū)域安排三個(gè)救援中心（記為A，B，C），B在A的正東方向，相距6km，C在B的北偏東30°，相距4km，P為航天員著陸點(diǎn)，某一時(shí)刻A接到P的求救信號(hào)，由于B、C兩地比A距P遠(yuǎn)，因此4s后，B、C兩個(gè)救援中心才同時(shí)接收到這一信號(hào)，已知該信號(hào)的傳播速度為1km/s。 （I）求A、C兩個(gè)救援中心的距離； （II）求在A處發(fā)現(xiàn)P的方向角； （III）若信號(hào)從P點(diǎn)的正上方Q點(diǎn)處發(fā)出，則A、B收到信號(hào)的時(shí)間差變大還是變小，說(shuō)明理由。［剖析］對(duì)于(1)以借助于兩點(diǎn)間的距離公式得到；(2)抓住這一條件可知P在BC線段的垂直平分線上且，由雙曲線的定義，可得P在以A、B為焦點(diǎn)的雙曲線的左支上，從而求出其對(duì)應(yīng)的方程；(3)是一個(gè)比較大小的問(wèn)題，一般的處理思路是作差法比較.［解］解：（I）以AB中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB所在直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，則 則 即A、C兩個(gè)救援中心的距離為（II），所以P在BC線段的垂直平分線上 又，所以P在以A、B為焦點(diǎn)的雙曲線的左支上，且 ∴雙曲線方程為 BC的垂直平分線的方程為 聯(lián)立兩方程解得： ∴∠PAB＝120° 所以P點(diǎn)在A點(diǎn)的北偏西30°處.（III）如圖，設(shè) 又∵， 即A、B收到信號(hào)的時(shí)間差變小，且兩救援中心收到信號(hào)的時(shí)間少于4秒。MDCBA［警示］面對(duì)實(shí)際問(wèn)題，首先要構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題。本題抓住MDCBA［變式訓(xùn)練］6．如圖所示，某農(nóng)場(chǎng)在M處有一堆肥料沿道路MA或MB送到大田ABCD中去，已知|MA|=6，|MB|=8，|BC|=3，，能否在大田中確定一條界線，使位于界線一側(cè)的點(diǎn)沿MA送肥料較近，而另一側(cè)沿MB送肥料較近？若能，請(qǐng)建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，求出這條界線的方程.[能力提升]1．若，則“”是“方程表示雙曲線”的()（A）充分不必要條件.（B）必要不充分條件.（C）充要條件.（D）既不充分也不必要條件.2．（2022年江西卷）P是雙曲線的右支上一點(diǎn)，M、N分別是圓（x＋5）2＋y2＝4和（x－5）2＋y2＝1上的點(diǎn)，則|PM|－|PN|的最大值為（）(A)6(B)7(C)8(D)93．如果雙曲線－＝1上一點(diǎn)P到它的右焦點(diǎn)的距離是8，那么P到它的右準(zhǔn)線距離是()(A)10(B)(C)2(D)4．（2022年福建卷）已知雙曲線的右焦點(diǎn)為F，若過(guò)點(diǎn)F且傾斜角為的直線與雙曲線的右支有且只有一個(gè)交點(diǎn)，則此雙曲線離心率的取值范圍是（） （A）（B）（C）（D）5．（2022年全國(guó)卷I）雙曲線的虛軸長(zhǎng)是實(shí)軸長(zhǎng)的2倍，則()(A)(B)(C)(D)6．若雙曲線的漸近線方程為，它的一個(gè)焦點(diǎn)是，則雙曲線的方程是__________。7．雙曲線＝1的兩個(gè)焦點(diǎn)為F1、F2，點(diǎn)P在雙曲線上，若PF1⊥PF2，則點(diǎn)P到x軸的距離為.8．（2022年湖南卷）已知雙曲線－＝1（a＞0，b＞0）的右焦點(diǎn)為F，右準(zhǔn)線與一條漸近線交于點(diǎn)A，△OAF的面積為（O為原點(diǎn)），則兩條漸近線的夾角為9．已知雙曲線的焦點(diǎn)為F1、F2，點(diǎn)M在雙曲線上且則點(diǎn)M到x軸的距離為