剛體的有限轉(zhuǎn)動(dòng) 歐拉定理

剛體的有限轉(zhuǎn)動(dòng)歐拉定理將剛體上的不動(dòng)點(diǎn)記為0,如圖4-2所示過該點(diǎn)建立剛體的連體基和考察剛體運(yùn)動(dòng)的參考基，分別記為護(hù)=(rA別記為護(hù)=(rA圖4-2定點(diǎn)運(yùn)動(dòng)剛體的連體基

剛體在參考基*上的姿態(tài)與該剛體連體基『相對(duì)于參考基曠的姿態(tài)是一致。它可以用基即相對(duì)于基『的方向余弦陣（即Arb）來描述，由式（1.3-3），有(4.1-1)(4.1-1)從剛體運(yùn)動(dòng)的角度，剛體當(dāng)前的姿態(tài)『是以前某一姿態(tài)的改變，這種改變稱為剛體繞定點(diǎn)0的有限轉(zhuǎn)動(dòng)。如果認(rèn)為參考基才是剛體的前一個(gè)姿態(tài)，那么剛體當(dāng)前的姿態(tài)相對(duì)于前一個(gè)姿態(tài)的方向余弦陣為Arb?？紤]該方陣本征根方程，由于式（1.3-8）與（1.3T5），它可表為彈出-糾=龍-〔州+血+￡）#+（4】+血+的護(hù)_1=。圖4-3兩個(gè)基的一次轉(zhuǎn)動(dòng)矢量可知該本征根方程至少存在一個(gè)九可知該本征根方程至少存在一個(gè)九=1的根。將該本征根九=1的本征矢量記為芒。在基『的坐標(biāo)由此可得到如下結(jié)論：對(duì)于任意兩個(gè)基『與基『存在一個(gè)矢量昌，它在兩基的坐標(biāo)陣相等（見圖4-3）。此結(jié)論也可理解為將矢量芒作為一個(gè)旋轉(zhuǎn)軸，基帶是基*繞$轉(zhuǎn)過一個(gè)有限角度后到達(dá)的新的方位?？紤]到此矢量的存在性，可得到如下的定理：剛體繞定點(diǎn)的任意有限轉(zhuǎn)動(dòng)可由繞過該點(diǎn)的某根軸一次有限轉(zhuǎn)過某個(gè)有限角度實(shí)現(xiàn)。此定理稱為歐拉有限轉(zhuǎn)動(dòng)定理。將單位矢量戸稱為由基『到基即一次轉(zhuǎn)動(dòng)矢量。轉(zhuǎn)過的有限角gr稱為一次轉(zhuǎn)動(dòng)角，記為丫。從上面分析不難看出，剛體相對(duì)于基的不同姿態(tài)均可繞相應(yīng)的一次轉(zhuǎn)動(dòng)矢量和作相應(yīng)的一次轉(zhuǎn)動(dòng)角來實(shí)現(xiàn)，也就是說剛體的不同姿態(tài)對(duì)應(yīng)不同的一次轉(zhuǎn)動(dòng)矢量和一次轉(zhuǎn)動(dòng)角。如前所述，矢量的坐標(biāo)陣與矢量基有關(guān)。對(duì)于兩個(gè)不同的矢量基*與『，同一個(gè)矢量圧分別有兩個(gè)坐標(biāo)陣ar與ab,它們之間應(yīng)存在一定的關(guān)系。在討論此關(guān)系前，需先引入方向余弦陣的概念。對(duì)于兩個(gè)不同的矢量基與，即(1.3-1)

定義以下3X3方陣為基滬相對(duì)于基*的方向余弦陣：duf川二十.護(hù)】 （1.3—2）如果所定義的參考基￡為公認(rèn)或在約定的情況下，基曠相對(duì)于基￡的方向余弦陣Arb有時(shí)可簡寫為Ab或A。展開式（1.3-2）有22210fefe(1.3-3)22210fefe(1.3-3)可見方向余弦陣的元素為兩個(gè)基的基矢量的點(diǎn)積，又由矢量的點(diǎn)積公式，這些點(diǎn)積為單位矢量夾角的余弦，這也就是將矩陣Arb稱為方向余弦陣的原因。方向余弦陣元素間幾何約束方程既然糾凡/凡」（j=l,2,3）為基矢量幻在*上的坐標(biāo)陣，則由基矢量的性質(zhì)，可得到如下15個(gè)關(guān)系式：=>■4 =珂1血斗珂1血+AiAi==>■4 =珂1血斗珂1血+AiAi=oe2°e?=O=血円3十+j43Jj^3=0AA=AsAi+AsAiAsAi=。AiAs-血血

lAiAs-AiAs;地1(1.3-6)(1.3-7a)(1.3-7b)(1.3-7c)(1.3-8a)(1.3-8b)(1.3-8c)(1.3-8c)由于式(1.3-7)的3個(gè)方程描述三個(gè)基矢量正交，式(1.3-8)的9個(gè)方程表示三個(gè)基矢量依次右旋正交。后9個(gè)方程可由前3個(gè)方程得到，故這12個(gè)式子只有3個(gè)獨(dú)立，加上(1.3-6)的3個(gè)方程，這樣方向余弦陣中的9個(gè)量需滿足6個(gè)獨(dú)立的方程，稱為方向余弦陣元素的幾何約束方程。由此可知，9個(gè)方向余弦矩陣的元素中只有3個(gè)是獨(dú)立的。例1.3-1定義的兩個(gè)基護(hù)與N不變，在斜剖面對(duì)角線上定義一矢量d=BP。寫出該矢量在基護(hù)與計(jì)的坐標(biāo)陣。解：故矢量匝在基芒的坐標(biāo)陣與坐標(biāo)方陣分別為解：故矢量匝在基芒的坐標(biāo)陣與坐標(biāo)方陣分別為(1)(1)75-1P』=1『=101丄C1一1由式(1.3-13)，利用例1.3-1已得到的方向余弦陣式(1)，可得到矢量臣在基N的坐標(biāo)陣為(2)(2)讀者不難從圖中驗(yàn)證此解的正確性。同樣由式(1.3-14)可得到矢量臣在基N的坐標(biāo)方陣為\|IX

O1O

0^0\|IX

O1O

0^0XI——|\=V12D72丁

^-20^-2011]1-1O-O0忑2^2-oO

2272_2讀者也可由式(2)直接根據(jù)坐標(biāo)方陣的定義得到"，過程比較簡單，結(jié)果與上式一致。方向余弦陣的一些性質(zhì)方向余弦陣有如下一些性質(zhì)：基『相對(duì)于基*的方向余弦陣Arb和基*相對(duì)于基'的方向余弦陣Abr互為轉(zhuǎn)置。冷y=@u屮 (1.3-9)當(dāng)兩個(gè)基的基矢量的兩兩方向一致，則它們的方向余弦陣為三階單位陣。才=Fj (1.3-10)若有三個(gè)基'、與'，其中'相對(duì)于'和相對(duì)于'的方向余弦陣分別為Ars與Asb，有(1.3-11)事實(shí)上，由矢量基的變換公式，有er= =屮且臨“

讀者可根據(jù)上標(biāo)的排列記住上述關(guān)系。此關(guān)系可推廣到有限個(gè)基的方向余弦陣轉(zhuǎn)換。方向余弦陣是一正交陣。事實(shí)上，作為式(1.3-11)特殊情況，考慮到式(1.3-9)與(1.3-10)，有才=才==Zj故有本性質(zhì)，即(1.3-12)(1.3-12)不同基下矢量坐標(biāo)陣間的關(guān)系式為(1.3-13)(1.3-13)事實(shí)上，對(duì)于矢量a，由式嘔-擴(kuò)爲(wèi)-a40邑爲(wèi)0根據(jù)方向余弦矩陣定義即可得式(1.3-13)。arar=(1.3-14)請(qǐng)讀者注意坐標(biāo)陣與坐標(biāo)方陣變換式(1.3-13)與(1.3-14)的差別。事實(shí)上，如果引入任意矢量,r- 孑er考慮到表1.2-1與上式，矢量式 在基占與*下的坐標(biāo)式分別可表為cfi=滬礦=abA^brcr=arbr

fb=j4trrr由式(1.3-13), ，將以上兩式代入，經(jīng)整理有A^arbr二abA^br考慮到矢量的任意性，兩邊乘Arb考慮到性質(zhì)(4)即可得式(1.3-14)。方向余弦陣的行列式等于方向余弦陣的行列式等于1，即(1.3-15)(1.3-15)事實(shí)上，考慮到 j=1,2,3)為基矢量引在『上的坐標(biāo)陣，由行列式定義與表1.2