數(shù)學建模3傳染病模型

數(shù)學建模3傳染病模型第1頁/共17頁傳染病模型

隨著衛(wèi)生設施的改善、醫(yī)療水平的提高以及人類文明的不斷發(fā)展，諸如霍亂、天花等曾經(jīng)肆虐全球的傳染性疾病已經(jīng)得到有效的控制。但是一些新的、不斷變異著的傳染病毒卻悄悄向人類襲來。20世紀80年代十分險惡的愛滋病毒開始肆虐全球，至今帶來極大的危害。長期以來，建立制止傳染病蔓延的手段等，一直是各國有關專家和官員關注的課題。第2頁/共17頁

不同類型傳染病的傳播過程有其各自不同的特點，弄清這些特點需要相當多的病理知識，這里不可能從醫(yī)學的角度一一分析各種傳染病的傳播，而只是按照一般的傳播模型機理建立幾種模型。

模型1

在這個最簡單的模型中，設時刻t的病人人數(shù)x(t)是連續(xù)、可微函數(shù)，第3頁/共17頁方程（1）的解為結果表明，隨著t的增加，病人人數(shù)x(t)無限增長，這顯然是不符合實際的。

建模失敗的原因在于：在病人有效接觸的人群中，有健康人也有病人，而其中只有健康人才可以被傳染為病人，所以在改進的模型中必須區(qū)別這兩種人。第4頁/共17頁

模型2（SI模型）假設條件為1.在疾病傳播期內所考察地區(qū)的總人數(shù)N不變，即不考慮生死，也不考慮遷移。人群分為易感染者（Susceptible）和已感染者（Infective）兩類（取兩個詞的第一個字母，稱之為SI模型），以下簡稱健康者和病人。時刻t這兩類人在總人數(shù)中所占比例分別記作s(t)和i(t)。2.每個病人每天有效接觸的平均人數(shù)是常數(shù)，稱為日接觸率。當病人與健康者接觸時，使健康者受感染變?yōu)椴∪恕５?頁/共17頁又因為第6頁/共17頁方程（5）是Logistic模型。它的解為第7頁/共17頁第8頁/共17頁這時病人增加的最快，可以認為是醫(yī)院的門診量最大的一天，預示著傳染病高潮的到來，是醫(yī)療衛(wèi)生部門關注的時刻。其原因是模型中沒有考慮到病人可以治愈，人群中的健康者只能變成病人，病人不會再變成健康者。第9頁/共17頁

模型3（SIS模型）有些傳染病如傷風、痢疾等愈后免疫力很低，可以假定無免疫性，于是病人被治愈后變成健康者，健康者還可以被感染再變成病人，所以這個模型稱SIS模型。SIS模型的假設條件1，2與SI模型相同，增加的條件為3．每天被治愈的病人數(shù)占病人總數(shù)的比例為常數(shù)μ，稱為日治愈率，病人治愈后成為仍可被感染的健康者。顯然1/μ是這種傳染病的平均傳染期。第10頁/共17頁

不難看出，考慮到假設3，SI模型的（3）式應修正為（4）式不變，于是（5）式應改為

我們不去求解方程（9）（雖然它的解可以解析地表出），而是通過圖形分析i(t)的變化規(guī)律。定義第11頁/共17頁注意到λ和1/的含義，可知是整個傳染期內每個病人有效接觸的平均人數(shù)，稱為接觸數(shù)。利用，方程（9）可以改寫作第12頁/共17頁第13頁/共17頁不難看出，接觸數(shù)=1是一個閾值。SI模型可視為本模型的特例，請讀者考慮它相當于本模型中或取何值的情況。第14頁/共17頁

模型4（SIR模型）大多數(shù)傳染病如天花、流感、肝炎、麻疹等治愈后均有很強的免疫力，所以病愈的人即非健康者（易感染者），也非病人（已感染者），他們已經(jīng)退出傳染系統(tǒng)。這種情況比較復雜，下面將詳細分析建模過程。模型假設

1.總人數(shù)N不變。人群分為健康者、病人和病愈免疫的移出者（Removed）三類，稱SIR模型。三類人在總數(shù)N中占的比例分別記作s(t),i(t)和r(t)。第15頁/共17頁病人的日接觸率為，日治愈率為（與SI模型相同），傳染期接觸為=/。模型構成由假設1顯然有s(t)+i(t)+r