第3課時空間圖形的基本關(guān)系與公理一輪復(fù)習(xí)講義

第3課時空間圖形的基本關(guān)系與公理考點點擊空間圖形的位置關(guān)系，4個公理考向定位主要考查平面的基本性質(zhì)、空間兩條直線的位置關(guān)系，多以選擇題、填空題為主，難度不大考綱解讀1、通過長方形這一常見的空間圖形，了解空間圖形的基本構(gòu)成----點、線、面的基本位置關(guān)系；2、理解異面面直線的概念3、掌握空間圖形的三個基本公理重、難點4個公理和等角定理及應(yīng)用，難點是空間圖形的位置關(guān)系4個公理的歸納基礎(chǔ)自測1、以下四個命題中，正確命題的個數(shù)是________．①不共面的四點中，其中任意三點不共線；②若點A、B、C、D共面，點A、B、C、E共面，則A、B、C、D、E共面；③若直線a、b共面，直線a、c共面，則直線b、c共面；④依次首尾相接的四條線段必共面．解析：①正確，可以用反證法證明；②從條件看出兩平面有三個公共點A、B、C，但是若A、B、C共線，則結(jié)論不正確；③不正確，共面不具有傳遞性；④不正確，因為此時所得的四邊形四條邊可以不在一個平面上．答案：12、給出下列四個命題：①如果兩個平面有三個公共點，那么這兩個平面重合；②兩條直線可以確定一個平面；③若M∈α，M∈β，α∩β＝l，則M∈l；④空間中，相交于同一點的三條直線在同一平面內(nèi)．其中真命題的個數(shù)為________．解析：根據(jù)平面的基本性質(zhì)知③正確．答案：13、平行六面體ABCD－A1B1C1D1中，既與AB共面也與CC1共面的棱的條數(shù)為________．解析：根據(jù)兩條平行直線、兩條相交直線確定一個平面，可得CD、BC、BB1、AA1、C1D1符合條件．答案：54、正方體ABCD－A1B1C1D1中，P、Q、R分別是AB、AD、B1C1的中點．那么，正方體的過P、Q、R的截面圖形是________．解析：邊長是正方體棱長的eq\f(\r(2),2)倍的正六邊形．答案：正六邊形5、已知直線m、n及平面α，其中m∥n，那么平面α內(nèi)到兩條直線m、n距離相等的點的集合可能是：(1)一條直線；(2)一個平面；(3)一個點；(4)空集．其中正確的是________．解析：如圖1，當(dāng)直線m或直線n在平面α內(nèi)且m、n所在平面與α垂直時不可能有符合題意的點；如圖2，直線m、n到已知平面α的距離相等且兩直線所在平面與已知平面α垂直，則已知平面α為符合題意的點；如圖3，直線m、n所在平面與已知平面α平行，則符合題意的點為一條直線．答案：(1)(2)(4)6、如圖，已知平面α、β，且α∩β＝l.設(shè)梯形ABCD中，AD∥BC，且AB?α，CD?β.求證：AB，CD，l共點(相交于一點)．證明：∵梯形ABCD中，AD∥BC，∴AB，CD是梯形ABCD的兩腰，∴AB，CD必定相交于一點．如圖，設(shè)AB∩CD=M.又∵AB?α，CD?β，∴M∈α，且M∈β，∴M∈α∩β.又∵α∩β=l，∴M∈l，即AB，CD，l共點考點精講1、對公理的剖析（1）公理1的內(nèi)容反映了直線與平面的位置關(guān)系，公理1的條件“線上不重合的兩點在平面內(nèi)”是公理的必要條件，結(jié)論是“線上所有點都在面內(nèi)”．這個結(jié)論闡述了兩個觀點：一是整條直線在平面內(nèi)；二是直線上所有點在平面內(nèi)．其作用是：可判定直線是否在平面內(nèi)、點是否在平面內(nèi)．（2）公理2中的“有且只有一個”的含義要準(zhǔn)確理解．這里的“有”是說圖形存在，“只有一個”是說圖形唯一，確定一個平面中的“確定”是“有且只有”的同義詞，也是指存在性和唯一性這兩方面．這個術(shù)語今后也會常常出現(xiàn)，要理解好．其作用是：一是確定平面；二是證明點、線共面．（3）公理3的內(nèi)容反映了平面與平面的位置關(guān)系,它的條件簡而言之是“兩面共一點”，結(jié)論是“兩面共一線，且過這一點，線唯一”．對于本公理應(yīng)強(qiáng)調(diào)對于不重合的兩個平面，只要它們有公共點，它們就是相交的位置關(guān)系，交集是一條直線．其作用是：其一它是判定兩個平面是否相交的依據(jù)，只要兩個平面有一個公共點，就可以判定這兩個平面必相交于過這點的一條直線；其二它可以判定點在直線上，點是兩個平面的公共點，線是這兩個平面的公共交線，則這點在交線上．2、空間直線.（1）空間直線位置分三種：相交、平行、異面.相交直線—共面有且有一個公共點；平行直線—共面沒有公共點；異面直線—不同在任一平面內(nèi)。（2）異面直線判定定理：過平面外一點與平面內(nèi)一點的直線和平面內(nèi)不經(jīng)過該點的直線是異面直線.（不在任何一個平面內(nèi)的兩條直線）。異面直線所成的角的范圍為，如果兩條異面直線所成的角是直角，則叫兩條異面直線垂直，記作.求兩條異面直線所成角的步驟可以歸納為四步：選點→平移→定角→計算.（3）平行公理：平行于同一條直線的兩條直線互相平行.（4）等角定理：如果一個角的兩邊和另一個角的兩邊分別平行并且方向相同，那么這兩個角相等推論：如果兩條相交直線和另兩條相交直線分別平行，那么這兩組直線所成銳角（或直角）相等.3、直線與平面的位置關(guān)系：（1）直線在平面內(nèi)（有無數(shù)個公共點）；（2）直線與平面相交（有且只有一個公共點）；（3）直線與平面平行（沒有公共點）.分別記作：；；.4、兩平面的位置關(guān)系：平行（沒有公共點）；相交（有一條公共直線）.分別記作；熱點題例例1、(1)下列命題：空間不同的三點可以確定一個平面；有三個公共點的兩個平面必定重合；空間中兩兩相交的三條直線可以確定一個平面；④平行四邊形、梯形等所有的四邊形都是平面圖形；⑤兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形；⑥一條直線和兩平行線中的一條相交，必定和另一條也相交。其中正確的命題是

。

（2）空間中三條直線可以確定幾個平面？試畫出示意圖說明。解析：(1)⑥（2）0個、1個、2個或3個。分別如圖（圖中所畫平面為輔助平面）：點評：

空間點線面位置關(guān)系的判斷：主要判斷依據(jù)是平面的基本性質(zhì)公理及其推論，平行公理、等角定理等相關(guān)結(jié)論。例2、如圖是一個正方體的展開圖，如果將它還原為正方體，那么AB、CD、EF、GH這四條線段所在的直線是異面直線的有__________對，分別是____________________？解析：3對，分別是AB、GH；AB、CD；GH、EF。點評：異面直線的判斷：主要依據(jù)是異面直線的定義及判定定理。例3、三個平面兩兩相交有三條交線，求證：三條交線或平行，或交于一點。已知：平面，求證：或者交于一點P。證明：因為，故a，b共面。I、若：由于，故，因直線，故無公共點。又a，c都在平面內(nèi)，故；故。II、若，則，故知交于一點P綜上所述：命題成立。點評：證明三點共線的問題的常用思路是先證兩條直線相交，然后再證該交點在第三條直線上；證明交點在第三條直線上常證明該點是兩個相交平面的公共點，從而在這兩個平面的交線上即在第三條直線上。例4、如圖，O1是正方體ABCD-A1B1C1D1的面A1B1C1D1的中心，M是對角線A1C和截面B1D1A的交點，求證：O1、M、A三點共線。證明：連結(jié)AC.因為A1C1∩B1D1＝O1，B1D1平面B1D1A，A1C1AA1C1C，所以O(shè)1∈平面B1D1A且O1∈AA1C1C。同理可知，M∈平面B1D1A且M∈AA1C1C；A∈平面B1D1A且A∈AA1C1C。所以，O1、M、A三點在平面B1D1A和AA1C1C的交線上，故O1、M、A三點共線。點評：證明三線共點問題的常見思路是證明第三點在前兩點所確定的直線上；或者證明三點是兩相交平面的公共點，從而在這兩個平面的交線上。例5、如圖，在空間四邊形ABCD中，E、F分別是AB、AD的中點，G、H分別是BC、CD上的點，且。求證：E、F、G、H四點共面；直線FH、EG、AC共點。證明：如圖，連結(jié)HG，EF。在△ABD中，E、F分別為AB、AD中點，故EF是△ABD的中位線，故EF∥BD。在△CBD中，CG＝BC/3，CH＝DC/3，故GH∥BD，故EF∥GH，從而GH、EF可確定一個平面，即G、H、E、F四點共面。由于E、F、G、H四點共面，且FH與EG不平行，故相交，記交點為M，則M∈FH，F(xiàn)H面ACD，故M∈面ACD；M∈EG，EG面ABC，故M∈面ABC。從而M是面ACD和面ABC的公共點，由公理3可知，M在這兩個平面的交線AC上，從而FH、EG、AC三線共點。點評：共面問題的常用的處理方法是利用平面的基本性質(zhì)公理2及三個推論，先證明部分元素確定一個平面，再證剩下的元素也在此平面上；有時也可先證部分元素共面，剩下的元素共面，然后證明這兩個平面重合（此時也可用反證法）。

思維方法1、證明若干點共線問題，只需證明這些點同在兩個相交平面．2、證明點、線共面