模糊集的理論及應(yīng)用

模糊集的理論及應(yīng)用第1頁，共56頁，2023年，2月20日，星期五第1章模糊集的基本概念1.1經(jīng)典集合的基本概念1.2格與代數(shù)系統(tǒng)1.3模糊集合的定義及運算1.4模糊集的分解定理1.5模糊集的表現(xiàn)定理1.6模糊集的其它運算1.7模糊算子的性質(zhì)1.8模糊集的模運算1.9隸屬函數(shù)的確定方法第2頁，共56頁，2023年，2月20日，星期五4/11/20231.1

經(jīng)典集合的基本概念定義集合是確定的、具有一定性質(zhì)的事物的全體集合常用大寫字母表示集合中的事物稱為集合的元素，常用小寫字母表示集合的元素與集合的關(guān)系是：屬于?，或者，不屬于?對于給定的問題，所關(guān)心的事物的全體組成論域集合集合的表示方法：列舉法：將集合的元素列舉出來A={1,2,3,…,n,…}

描述法：給出集合元素滿足的性質(zhì)A={x|x是x2+2x-3=0的根}特征函數(shù)：文氏圖法：特殊集合：全集合、空集合第3頁，共56頁，2023年，2月20日，星期五4/11/20231.1

經(jīng)典集合的基本概念運算及表示

子集（?）相等（=）并（∪）交（∩）余（-,c,’）差（-）對稱差（）注意特征函數(shù)表示方法：上述公式可以推廣到任意多個集合的情況第4頁，共56頁，2023年，2月20日，星期五4/11/20231.1

經(jīng)典集合的基本概念運算律冪等律交換律結(jié)合律吸收律分配律復(fù)原律補余律對偶律算律可以推廣到任意多個集合的情況（排中律，矛盾律）第5頁，共56頁，2023年，2月20日，星期五4/11/20231.2格與代數(shù)系統(tǒng)偏序集定義：一個集合L連同定義其上滿足下面3個條件的偏序關(guān)系，構(gòu)成一個偏序集（L，）：（，，L）1、反身性：2、反對稱性：，=3、傳遞性：，全序集：，L，成立或者第6頁，共56頁，2023年，2月20日，星期五4/11/20231.2格與代數(shù)系統(tǒng)偏序集特殊元素集合A（L）最大元：A，且A，集合A（L）極大元：A，且A，=

或者A，且A，<最小元、極小元的定義可以仿照給出第7頁，共56頁，2023年，2月20日，星期五4/11/20231.2格與代數(shù)系統(tǒng)偏序集特殊元素集合A（L）上界：L，且A，集合A（L）上確界：最小上界L，記為=sup{|A}對于下界、下確界的定義，可仿照上述定義給出第8頁，共56頁，2023年，2月20日，星期五4/11/20231.2格與代數(shù)系統(tǒng)偏序集的例子整數(shù)集合Z關(guān)于“≤”做成的集合（Z,≤）；集合A的冪集合關(guān)于“”做成的集合（P(A),）；正整數(shù)集合Z+關(guān)于“|”（整除）做成的集合（Z+,|）；整數(shù)集合Z關(guān)于“mod(k)”做成的集合（Z,mod(k)”）

偏序集合可以做出相應(yīng)的哈斯（hassen）圖，其中要用到覆蓋的概念：，L，說覆蓋，如果<（且≠）且不存在使得<<。若覆蓋，則在，間畫連線，且保證在上，在下。將所有的覆蓋連線做出形成的圖稱為哈斯（hassen）圖。第9頁，共56頁，2023年，2月20日，星期五4/11/20231.2格與代數(shù)系統(tǒng)格的定義定義Ⅰ：偏序集(L,)稱為格，如果，L，集合{，}的上、下確界均存在。定義Ⅱ：（L,,）稱為格，如果L上的運算,滿足冪等律、交換律、結(jié)合律、吸收律。定理：定義Ⅰ和定義Ⅱ是等價的：

(L,)為格，定義,為：=inf{,}，=sup{,}（L,,）為格，在L上定義：==

第10頁，共56頁，2023年，2月20日，星期五4/11/20231.2格與代數(shù)系統(tǒng)特殊格：分配格(格+分配律)有界格(格有最大、小元1，0)對偶格(格+余運算+對偶律、復(fù)原律)完全格：

(格+{|A?L}，{|A?L}存在)稠密格：

(格+，L，<，L，使得<<)第11頁，共56頁，2023年，2月20日，星期五4/11/20231.2格與代數(shù)系統(tǒng)代數(shù)系統(tǒng)：對定義于其上的代數(shù)運算封閉的集合稱為代數(shù)系統(tǒng)。特殊代數(shù)系統(tǒng)：布爾代數(shù)：

(有界分配格+余運算+復(fù)原律，補余律)軟代數(shù)：

(有界分配格+余運算+復(fù)原律，對偶律)優(yōu)軟代數(shù)

(稠密的、可以無限分配的、完全的軟代數(shù))第12頁，共56頁，2023年，2月20日，星期五4/11/20231.2格與代數(shù)系統(tǒng)代數(shù)系統(tǒng)例子

({0,1},,,c)是布爾代數(shù)其中運算定義同邏輯運算([0,1],,,c)是優(yōu)軟代數(shù)其中運算定義為:

=inf{,}=sup{,}，c=1-

([0,1],,,c)不是布爾代數(shù),因為補余律不成立。(P(A),,,c)是布爾代數(shù)第13頁，共56頁，2023年，2月20日，星期五4/11/20231.2格與代數(shù)系統(tǒng)代數(shù)系統(tǒng)的相互關(guān)系布爾代數(shù)軟代數(shù),優(yōu)軟代數(shù)軟代數(shù)反之不然第14頁，共56頁，2023年，2月20日，星期五4/11/20231.2格與代數(shù)系統(tǒng)集合與特征函數(shù)的1-1對應(yīng)關(guān)系令定義映射在中定義運算：如下：則T是到的同構(gòu)映射因此，可以把集合和與之對應(yīng)的特征函數(shù)看成等同的對象。從而也將集合A的特征函數(shù)簡單地記為：第15頁，共56頁，2023年，2月20日，星期五4/11/20231.3模糊集合的定義及運算定義論域Ｘ上的一個模糊子集Ａ是由如下一個映射決定的，Ａ：Ｘ［0,1］,A稱為隸屬函數(shù)，A(x)稱為x對模糊集合A的隸屬度。X上的所有模糊子集組成的集合記為F(X).以后無特別說明，模糊集都是取自F(X)，即論域為X。表示方法

L.A.Zadeh表示法：向量法：將所有元素的隸屬度按順序?qū)懗梢粋€向量（1,0.5,0.3,0.2,0,0,0.7）點對法：將所有元素和相應(yīng)的隸屬度組成一點對列出

{(1,a),(0.5,b),(0.3,c),(0.2,d),(0,e)(0,f),(0.7,g)}第16頁，共56頁，2023年，2月20日，星期五4/11/20231.3模糊集合的定義及運算運算

相等，包含，并，交，余運算采用和經(jīng)典集合相同的記號，但定義用隸屬函數(shù)給出。算律冪等律、交換律、結(jié)合律、吸收律、分配律、復(fù)原律、補余律、對偶律中，補余律不成立，其余都成立.[例]X={a,b,c},A=(0.8,0.5,0.2),B=(0.2,0.5,0.8)

則Ac=B,AB=(0.2,0.5,0.2)AB=(0.8,0.5,0.8)第17頁，共56頁，2023年，2月20日，星期五4/11/20231.3模糊集合的定義及運算(F(X),,,c)是優(yōu)軟代數(shù)由于是軟代數(shù)，而模糊集合算律的驗證是通過隸屬度來進(jìn)行的，所以(F(X),,,c)是軟代數(shù)很容易驗證；(F(X),,,c)的完全性、無限分配律也是顯然的；稠密性驗證如下：設(shè)，則構(gòu)造模糊集合C，則有第18頁，共56頁，2023年，2月20日，星期五4/11/20231.3模糊集合的定義及運算令在其中定義運算:定義映射:則T是同構(gòu)映射,從而可以將模糊集合和隸屬函數(shù)等同看待,并將模糊集合A的隸屬函數(shù)簡單地寫為A(x).第19頁，共56頁，2023年，2月20日，星期五4/11/20231.4模糊集的分解定理截集模糊集A在處的截集A={x|A(x)}模糊集A在處的強截集={x|A(x)>}，[0，1]A1稱為核，記為KerA，稱為支集，記為SuppA,

-A1稱為模糊集合的邊界模糊集合的高度:Hgt(A)=模糊集合的深度:Dpt(A)=數(shù)乘模糊集合第20頁，共56頁，2023年，2月20日，星期五4/11/20231.4模糊集的分解定理截集的性質(zhì)截集合關(guān)于截水平單調(diào)減小同水平的截集比強截集大，低水平的強截集比高水平的截集大

特別，當(dāng)指標(biāo)集合為有限集合時，4個式子都成為等式

數(shù)乘模糊集性質(zhì)：第21頁，共56頁，2023年，2月20日，星期五4/11/2023分解定理分解定理1：模糊集可以用其截集合表示

分解定理2：模糊集可以用其強截集合表示分解定理3：其中1.4模糊集的分解定理第22頁，共56頁，2023年，2月20日，星期五4/11/20231.5模糊集的表現(xiàn)定理集合套稱滿足以下條件的映射是X上的一個集合套全體集合套的集合記為U(X),在其中定義如下運算：

則作成軟代數(shù)

第23頁，共56頁，2023年，2月20日，星期五4/11/20231.5模糊集的表現(xiàn)定理暈集（集輪）若則稱F是X上的一個暈集.全體暈集的集合記為(X).若讓F()等于一個模糊集合的截集，則F()是一個暈集。強暈集（強集輪）若則稱F是X上的一個強暈集.全體強暈集的集合記為(X).讓若F()等于一個模糊集合的強截集，則F()是一個強暈集。第24頁，共56頁，2023年，2月20日，星期五4/11/20231.5模糊集的表現(xiàn)定理表現(xiàn)定理表現(xiàn)定理3—1：映射是(U(X),,,c)到(F(X),,,c)的同態(tài)滿射，且滿足:第25頁，共56頁，2023年，2月20日，星期五4/11/20231.5模糊集的表現(xiàn)定理表現(xiàn)定理表現(xiàn)定理3—2：(F’(X),,,c)同構(gòu)于(F(X),,,c)即每個模糊集A和一個集合套類[H]一一對應(yīng)；同構(gòu)映射為：

其中，(F’(X),,,c)是集合套類的集合第26頁，共56頁，2023年，2月20日，星期五4/11/20231.5模糊集的表現(xiàn)定理容易驗證：（1）任給一個模糊集合A，與其對應(yīng)的所有截集合的集合是一個集合套，令，則F是暈集；（2）任給一個模糊集合A，與其對應(yīng)的所有強截集合的集合是一個集合套，令，則G是強暈集；還可以證明下面的事實：（1）在每個集合套等價類[H]中，存在唯一的暈集F：（2）在每個集合套等價類[H]中，存在唯一的強暈集G：第27頁，共56頁，2023年，2月20日，星期五4/11/20231.5模糊集的表現(xiàn)定理

在中定義并、交、余運算如下：的同構(gòu)性質(zhì)

(F’(X),,,c)同構(gòu)于(f)（，,,c)

第28頁，共56頁，2023年，2月20日，星期五4/11/20231.5模糊集的表現(xiàn)定理

在中定義并、交、余運算如下：的同構(gòu)性質(zhì)

(F’(X),,,c)同構(gòu)于(g)（，,,c）第29頁，共56頁，2023年，2月20日，星期五4/11/20231.5模糊集的表現(xiàn)定理表現(xiàn)定理1和表現(xiàn)定理2

表現(xiàn)定理1：（，,,c）同構(gòu)于(F(X),,,c)

表現(xiàn)定理2：（，,,c）同構(gòu)于(F(X),,,c)

（這只需將同構(gòu)映射f

，g

分別與同構(gòu)映射T合成即可）

第30頁，共56頁，2023年，2月20日，星期五4/11/20231.5模糊集的表現(xiàn)定理構(gòu)建（F’(X),,,c）的另一種途徑在（U(X),,,c）中定義關(guān)系“”：則容易證明它是等價關(guān)系，從而可以對U(X)的元素分類，記所得等價類的集合為F’(X)，并在其中定義,,c運算如下：則（F’(X),,,c）作成軟代數(shù)，并有以下結(jié)論：

由此可以證明以下映射是同構(gòu)映射：第31頁，共56頁，2023年，2月20日，星期五4/11/20231.5模糊集的表現(xiàn)定理集合套類與集輪的關(guān)系設(shè)[H]是一個集合套類，定義如下兩個映射：則有：（1）（2）（3）（4）第32頁，共56頁，2023年，2月20日，星期五4/11/20231.5模糊集的表現(xiàn)定理模糊集的隸屬函數(shù)在[0，1]X中定義如下運算、、c：定義映射

f是(F(X),,,c)到[0，1]X,，，c)的同構(gòu)映射；第33頁，共56頁，2023年，2月20日，星期五4/11/20231.5模糊集的表現(xiàn)定理(F(X),,,c)同構(gòu)于[0，1]X,，，c)說明：一個模糊集合和一個函數(shù)1-1對應(yīng)，稱該函數(shù)為模糊集的隸屬函數(shù).第34頁，共56頁，2023年，2月20日，星期五4/11/20231.5模糊集的表現(xiàn)定理表現(xiàn)定理總結(jié)每個集合套唯一確定一個模糊集，但不同的集合套可對應(yīng)同一個模糊集合；將集合套進(jìn)行分類（注意有兩種分類的方法：與同態(tài)映射有關(guān)的和無關(guān)的），使得每個類和一個模糊集合1-1對應(yīng)；在每個集合套等價類中，存在唯一一個集輪和強集輪，它們分別是所在類的最大、最小元，是等價類的兩個特殊代表元素；每個模糊集合和一個集輪1-1對應(yīng)；每個模糊集合和一個強集輪1-1對應(yīng)；分解定理和表現(xiàn)定理從兩個不同的方面揭示了模糊集合和經(jīng)典集合的相互關(guān)系：前者說明模糊集合可以由經(jīng)典集合來表示；后者說明每個集合套和對應(yīng)的等價類以及其中的集輪、強集輪可以確定一個模糊集合；表現(xiàn)定理為我們提供了研究模糊集合的另外手段——用對應(yīng)的集合套或等價類（許多證明題可利用表現(xiàn)定理證明）第35頁，共56頁，2023年，2月20日，星期五4/11/20231.6模糊集的其它運算模糊集的其它運算除了L.A.Zadeh算子，還有別的算子，以彌補其不足，常見的有：（1）概率和與積：（2）有界和與積：（Lukasiewicz算子）（3）Einstain：

（4）Hamacher：（5）Yager：第36頁，共56頁，2023年，2月20日，星期五4/11/20231.6模糊集的其它運算這些模糊算子有以下特點：（1）當(dāng)a、b取0或1時，它們都蛻變?yōu)椴紶査阕樱唬?）每對算子均符合對偶律；（3）每一組算子連同余運算都不構(gòu)成軟代數(shù)（冪等律不成立）（4）這些算子具有一定的相互關(guān)系（一般和特殊）第37頁，共56頁，2023年，2月20日，星期五4/11/20231.7模糊算子的性質(zhì)1.模糊算子的強弱設(shè)是兩個模糊算子，稱比弱，如果

據(jù)此可以對模糊算子進(jìn)行比較。比如Zadeh交算子比Zadeh并算子弱。第38頁，共56頁，2023年，2月20日，星期五4/11/20231.7模糊算子的性質(zhì)2.模糊算子的清晰度設(shè)是模糊算子，稱下面定義的集合是該模糊算子的清晰域：

第39頁，共56頁，2023年，2月20日，星期五4/11/20231.7模糊算子的性質(zhì)Zadeh與算子的清晰域為單位正方形的左邊和底邊；Zadeh或算子的清晰域為單位正方形的右邊和上邊。如果計算面積，都是0。

有界和與積算子的清晰域如圖，面積都是0.5有界和清晰域有界積清晰域Zadeh或清晰域Zadeh與清晰域第40頁，共56頁，2023年，2月20日，星期五4/11/20231.7模糊算子的性質(zhì)3模糊算子的模糊度

設(shè)W是算子的集合，定義稱為算子的模糊度。

設(shè)&，#是兩個模糊算子，第41頁，共56頁，2023年，2月20日，星期五4/11/20231.8模糊集的模運算三角范式（T-模）(TriangularNorms)[0，1]的三角范式是滿足以下4條的映射：1）交換律：T(a，b)=T(b，a)2）結(jié)合律：T(T(a，b)，c)=T(a，T(b，c))3）單調(diào)性：若ab,cd，則T(a,c)T(b,d)4）邊界條件：T(0,a)=0,T(1,a)=a第42頁，共56頁，2023年，2月20日，星期五4/11/20231.8模糊集的模運算余三角范式(S-模)(TriangularConnorms)[0，1]的余三角范式是滿足以下4條的映射：1）交換律：S(a，b)=S(b，a)2）結(jié)合律：S(S(a，b)，c)=S(a，S(b，c))3）單調(diào)性：若ab,cd，則S(a,c)S(b,d)4）邊界條件：S(0,a)=a,S(1,a)=1第43頁，共56頁，2023年，2月20日，星期五4/11/20231.8模糊集的模運算三角模的性質(zhì)S與T是模糊集合算子的一般情形，且關(guān)于余運算對偶:

三角模滿足：

T(ac,bc)=(S(a,b))c,S(ac,bc)=(T(a,b))c第44頁，共56頁，2023年，2月20日，星期五4/11/20231.8模糊集的模運算余三角模滿足：第45頁，共56頁，2023年，2月20日，星期五4/11/20231.9隸屬函數(shù)的確定方法1、模糊統(tǒng)計法(1)步驟：在論域中取一點xX，A是要建立的模糊集，確定x對A的隸屬度采用統(tǒng)計的方法：設(shè)Ai是一次試驗的結(jié)果，它是A的顯影，即是一個精確集合，這樣元素x是否屬于一次顯影結(jié)果是可以確定的，統(tǒng)計出n次隨機試驗中試驗結(jié)果包含x的試驗次數(shù)m,將m/n作為x對模糊集合的隸屬。(2)結(jié)論：隨著試驗次數(shù)的增大，m/n具有穩(wěn)定性。(3)特點：這種統(tǒng)計試驗要求模糊集合的每次顯影是給定論域的一個經(jīng)典子集，因此這種試驗稱為簡單模糊統(tǒng)計法。第46頁，共56頁，2023年，2月20日，星期五4/11/20231.9隸屬函數(shù)的確定方法(4)模糊統(tǒng)計試驗的4個要素：

a)論域X;b)X中的一個元素x；

c)X中的一個隨機移動集合Ai；

d)X上的一個模糊子集A；

特點：

點子固定，圈圈移動。(5)隨機試驗的４個要素：

a)樣本空間;b)事件A—中的一個確定集合；

c)

中的變元；d)條件S—對變元活動的限制范圍；特點：點子移動，圈圈固定。(6)一般模糊統(tǒng)計法：模糊集的每次顯影是給定論域的一個模糊子集。第47頁，共56頁，2023年，2月20日，星期五4/11/20231.9隸屬函數(shù)的確定方法2、三分法是一種用隨機區(qū)間處理模糊性的方法，將隸屬函數(shù)的確定問題轉(zhuǎn)換為隨機變量分布的確定問題。該方法主要用于３個模糊集的建立問題。(1)步驟：設(shè)論域為X，A,B,C是要建立的模糊集。每次實驗給出一對數(shù)（，），用于給出３個待建模糊集合的顯影。由于，是隨機給出的，所以可看作是兩個隨機變量。如果它們的概率分布密度能夠求得，那么三個模糊集合的隸屬函數(shù)可由這兩個密度函數(shù)確定。(2)結(jié)論：三個模糊集合的隸屬函數(shù)為：(3)特點：這種統(tǒng)計試驗要求每次給出論域的一個３－劃分，