抽樣與抽樣分布

抽樣與抽樣分布第1頁/共68頁案例1936年美國總統(tǒng)選舉的預(yù)測，民主黨羅斯福VS共和黨蘭登。《文摘》郵寄了1000萬份調(diào)查表；收回240萬份，預(yù)測蘭登獲得57%的選票獲勝。而蓋洛普(Gallup)研究所僅僅隨機(jī)抽取了2000

多選民，預(yù)測羅斯福將得到54%的選票獲勝。選舉結(jié)果是羅斯福獲得62%的選票獲勝。此后，蓋洛普研究所每年用1000~1500人的樣本快速準(zhǔn)確的預(yù)測選舉，誤差在2%之內(nèi)。第2頁/共68頁案例蓋洛普公司的網(wǎng)站蓋洛普民意調(diào)查舉例：

第3頁/共68頁抽樣的基本概念抽樣調(diào)查，按照隨機(jī)原則從全部研究對象中抽取一部分單位進(jìn)行調(diào)查，并以調(diào)查結(jié)果對總體數(shù)量特征作出具有一定可靠程度的估計(jì)與推斷，從而認(rèn)識總體的一種統(tǒng)計(jì)方法。隨機(jī)原則：指樣本單位的抽取不受主觀因素及其他系統(tǒng)性因素的影響，每個(gè)總體單位都有均等的被抽中機(jī)會。第4頁/共68頁并非所有的抽樣估計(jì)都按隨機(jī)原則抽取樣本，也有非隨機(jī)抽樣?？傮w隨機(jī)樣本非隨機(jī)樣本與總體分布特征相同與總體分布特征不同第5頁/共68頁抽樣的基本概念總體，要研究的調(diào)查對象的全體。個(gè)體，組成總體的每個(gè)元素。樣本：從總體中隨機(jī)抽取的部分個(gè)體。樣本容量：樣本中所含的個(gè)體數(shù)量。第6頁/共68頁樣本和總體（sample&population）視頻教學(xué)第7頁/共68頁應(yīng)該隨機(jī)嗎？隨機(jī)選擇并非永遠(yuǎn)都是好主意，有時(shí)候我們無法對所有的人一視同仁，因?yàn)橛械娜嘶蛟S更有資格。

1.

籃球比賽有400個(gè)座位，但有700個(gè)學(xué)生想要票，是否應(yīng)該在學(xué)生中隨機(jī)選取400人？

2.

等著換肝臟的病人，人數(shù)遠(yuǎn)超能用于移植的肝臟數(shù)目。在選擇移植給誰時(shí)，應(yīng)該完全用隨機(jī)方式嗎？

3.

越戰(zhàn)期間，用抽簽的隨機(jī)方式，決定年輕男子誰上戰(zhàn)場，這是最好的方式嗎？第8頁/共68頁觀測研究和實(shí)驗(yàn)的區(qū)別觀測研究，在只觀測不干擾的情形下搜集信息。實(shí)驗(yàn)：會對個(gè)體做某件事情，然后觀察個(gè)體如何反應(yīng)。例：經(jīng)常運(yùn)動是否可以降低心臟病發(fā)作的風(fēng)險(xiǎn)？

（觀測研究和實(shí)驗(yàn)有什么不同，各自的優(yōu)點(diǎn)）第9頁/共68頁觀測研究和實(shí)驗(yàn)的區(qū)別方法1：一位研究者找到2000名40歲以上的男士，他們都經(jīng)常運(yùn)動，也未曾發(fā)過心臟病，他為每個(gè)人“配”了一名各方面條件接近，但沒有固定運(yùn)動習(xí)慣的人，然后觀察運(yùn)動組和非運(yùn)動組長達(dá)5年時(shí)間。方法2：另一位研究者找了4000名40歲以上的男士，他們都沒有發(fā)作過心臟病，也愿意參加這項(xiàng)研究。他安排其中的2000人參加了一項(xiàng)有監(jiān)督的定時(shí)運(yùn)動計(jì)劃，另外2000人依照原來的習(xí)慣不變，觀察5年時(shí)間。（對于規(guī)律運(yùn)動是否降低心臟病風(fēng)險(xiǎn)的問題，實(shí)驗(yàn)可以提供更多有用的信息）第10頁/共68頁兩種有偏的抽樣方法方便抽樣，在總體中選擇最容易取得的個(gè)體。例如，從每箱桔子中拿上面的幾個(gè)檢查，但它們可能無法代表整箱桔子的情況。自發(fā)性回應(yīng)樣本：是經(jīng)由對某一訴求的回應(yīng)而自然形成的，會導(dǎo)致高度偏差。

第11頁/共68頁兩種有偏的抽樣方法自發(fā)性回應(yīng)樣本：例如，專欄作家Landers問讀者：“如果可以重來一次，你還會要孩子嗎？”她接到1萬份答復(fù)，其中70%說不要。難道70%的父母都后悔了嗎？通常對某個(gè)論題有強(qiáng)烈感覺的人，尤其是負(fù)面感覺，比較會不嫌麻煩地去回應(yīng)。寫信回應(yīng)和電話回應(yīng)，一定會導(dǎo)致高度偏差。第12頁/共68頁隨機(jī)原則的實(shí)現(xiàn)抽簽法，是將總體中每個(gè)單位的編號寫在外形完全一致的簽上，將其攪拌均勻，從中任意抽選，簽上的號碼所對應(yīng)的單位就是樣本單位。隨機(jī)數(shù)表法：將總體中每個(gè)單位編上號碼，然后使用隨機(jī)數(shù)表，查出所要抽取的調(diào)查單位。計(jì)算機(jī)模擬法：是將隨機(jī)數(shù)字編制為程序存儲在計(jì)算機(jī)中，需要時(shí)將總體中各單位編上號碼，啟用隨機(jī)數(shù)字發(fā)生器輸出隨機(jī)數(shù)字。第13頁/共68頁簡單隨機(jī)抽樣大小為n的簡單隨機(jī)樣本（SRS，simple

random

sample）：使得總體中任一組n個(gè)個(gè)體，中選的概率相同。隨機(jī)原則：用機(jī)遇選擇樣本。

1.對每個(gè)個(gè)體指定一個(gè)數(shù)字代碼；

2.用隨機(jī)數(shù)表選取。第14頁/共68頁隨機(jī)數(shù)表（部分）用Excel表生成隨機(jī)數(shù)第15頁/共68頁你玩樂透嗎？蓋洛普研究所曾抽取了一個(gè)1523人的樣本，其中有868人在過去的12月中買了樂透，對于這個(gè)樣本的比率：

如果取1000個(gè)樣本呢？第16頁/共68頁大樣本的變異性比小樣本小第17頁/共68頁估計(jì)時(shí)的兩種誤差偏差：統(tǒng)計(jì)量一直朝一個(gè)方向偏離總體的參數(shù)值；

（瞄準(zhǔn)有問題）變異性：取很多樣本時(shí)，統(tǒng)計(jì)量的值會離散到什么程度。如果變異性大，說明不同樣本的結(jié)果可能差別很大。（技術(shù)不穩(wěn)定）一個(gè)好的抽樣方法，應(yīng)該要有小偏差、小變異性。

（象神射手一樣）第18頁/共68頁兩種誤差第19頁/共68頁如何處理誤差減低偏差：利用隨機(jī)抽樣，用SRS的統(tǒng)計(jì)量來估計(jì)總體參數(shù)。降低SRS的變異性：只要樣本足夠大。第20頁/共68頁誤差界限一個(gè)隨機(jī)樣本的結(jié)果，不會剛好估計(jì)出總體的真正值。所以，用誤差界限，表達(dá)我們的估計(jì)值距離真正值有多遠(yuǎn)。95%的置信度：所有樣本中，有95%計(jì)算出的統(tǒng)計(jì)量距離真正值的確有那么近，但是另外的5%，距離真正值就超過誤差界限了。第21頁/共68頁誤差界限速算法用大小為n的隨機(jī)樣本，對應(yīng)95%置信度的誤差界限，大致為。蓋洛普調(diào)查的1523人，對應(yīng)的誤差界限為

蓋洛普當(dāng)時(shí)公布的誤差界限是3%對于100人的樣本的誤差界限是多大？第22頁/共68頁置信敘述蓋洛普對于樂透彩票購買情況所做的結(jié)論：精簡版：調(diào)查發(fā)現(xiàn)57%的美國成年人在過去12個(gè)月中曾購買彩票。我們有95%的信心，所有美國成年人購買彩票的真正比例，在這個(gè)樣本結(jié)果的正負(fù)3個(gè)百分點(diǎn)之內(nèi)。超精簡版：我們有95%的信心，所有美國成年人中，有54%-60%曾在過去12個(gè)月里買過彩票。第23頁/共68頁抽樣的誤差問題抽樣誤差：用于抽樣的隨機(jī)性所帶來的誤差，是一種固有誤差。非抽樣誤差：調(diào)查過程中發(fā)生的誤差，以及由于主觀因素破壞了隨機(jī)性原則而產(chǎn)生的系統(tǒng)性偏差，是可以避免的。第24頁/共68頁抽樣誤差167CM169CM172CM160CM162CM167CM175CM180CM165CM167CM170CM175CM178CM180CM162CM173CM155CM160CM170CM165CM平均身高=169.8CM平均身高=174.6CM總平均身高=168.6CM第25頁/共68頁隨機(jī)抽樣設(shè)計(jì)不同的抽樣方式，對抽樣結(jié)果有很大影響，根據(jù)研究目的和要求，以及具體情況選擇抽樣方式；簡單隨機(jī)抽樣、等距抽樣、類型抽樣、整群抽樣、多階段抽樣等。即便是最好的統(tǒng)計(jì)學(xué)家，也做不到最正確的抽樣方法。第26頁/共68頁分層抽樣的問題一所大學(xué)中有30000個(gè)學(xué)生，其中3000個(gè)是研究生。如果要抽取一個(gè)500名學(xué)生的SRS，每個(gè)學(xué)生被抽中的概率是相同的（1/60）。

如果預(yù)期在SRS中有10%研究生，只有50人，樣本不夠大，無法精確估計(jì)研究生的意見。

所以，用包含200研究生，300大學(xué)生的分層樣本比較好。那么，如何來選取這個(gè)分層的SRS？第27頁/共68頁抽樣分布在討論抽樣分布之前，需要回顧以下一些與概率分布有關(guān)的概念：隨機(jī)變量、離散型隨機(jī)變量及其概率分布、連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率分布。概率密度函數(shù)。第28頁/共68頁隨機(jī)變量（RandomVariable）隨機(jī)變量是表征一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)結(jié)果的變量，其數(shù)值由一次試驗(yàn)結(jié)果所決定，但是在試驗(yàn)之前是不確定的。隨機(jī)變量的所有可能取值就是所有基本事件對應(yīng)的值。通常用英文大寫字母或希臘字母表示。離散型、非離散型、連續(xù)型。第29頁/共68頁隨機(jī)變量（RandomVariable）離散型隨機(jī)變量：投擲骰子；非離散型隨機(jī)變量：某路口24小時(shí)內(nèi)經(jīng)過的車輛；連續(xù)型隨機(jī)變量：燈泡壽命。第30頁/共68頁離散型隨機(jī)變量離散型隨機(jī)變量的取值域由有限個(gè)或可數(shù)多個(gè)數(shù)值或符號組成。其概率是指離散型隨機(jī)變量(X)取一個(gè)具體數(shù)值(x)的概率，即P(X=x)。離散型隨機(jī)變量的概率分布是指離散型隨機(jī)變量取遍每一個(gè)實(shí)驗(yàn)結(jié)果x的概率的分布情況，常用列表表示，如下表。第31頁/共68頁離散型隨機(jī)變量X的取值x123456X的概率

P(X=x)1/61/61/61/61/61/6第32頁/共68頁連續(xù)型隨機(jī)變量連續(xù)型隨機(jī)變量的取值域?yàn)橐粋€(gè)連續(xù)區(qū)間。只有在（連續(xù)的）區(qū)間上取值時(shí)，其概率才可能為正值，連續(xù)型隨機(jī)變量在任何一點(diǎn)上的概率都為零。第33頁/共68頁概率密度函數(shù)連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)

f(x)概率密度函數(shù)的含義：曲線

f(x)下任何一個(gè)區(qū)間的面積，等于隨機(jī)變量

X

在該區(qū)間取值的概率。第34頁/共68頁最常見的連續(xù)型隨機(jī)變量的概率分布正態(tài)分布（P40）。若隨機(jī)變量x

的概率密度函數(shù)記為

第35頁/共68頁最常見的連續(xù)型隨機(jī)變量的概率分布標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布:標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布Z分?jǐn)?shù)第36頁/共68頁標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的計(jì)算

第37頁/共68頁例:設(shè)隨機(jī)變量XN(0,1)，求下列概率：(1)P(X<0)；(2)P(X2.77)；

(3)P(X>1)；(4)P(-1.80<X<2.45)．

(1)

查正態(tài)分布數(shù)值表,當(dāng)x=0時(shí),對應(yīng)的(x)=0.5(2)

查正態(tài)分布數(shù)值表，當(dāng)x=2.77時(shí)，對應(yīng)的(x)=0.9972，

所以P(X<0)=0.5所以P(X2.77)=0.9972(3)

因?yàn)镻(X>1)=1-P(X1)=1-(1)查正態(tài)分布數(shù)值表，(1)=0.8413所以

P(X>1)=1-(1)=0.1587第38頁/共68頁例:設(shè)隨機(jī)變量XN(0,1)，求下列概率：(1)P(X<0)；(2)P(X2.77)；

(3)P(X>1)；(4)P(-1.80<X<2.45)．(4)

因?yàn)镻(-1.80<X<2.45)=(2.45)-(-1.80)=(2.45)-[1-(1.80)]

查正態(tài)分布數(shù)值表,(2.45)=0.9929,(1.80)=0.9641，

所以

P(-1.80<X<2.45)=0.9929-[1-0.9641]=0.9570．第39頁/共68頁正態(tài)分布的計(jì)算

－

例題某廠生產(chǎn)的某種節(jié)能燈管使用壽命服從正態(tài)分布，對某批次產(chǎn)品的測試結(jié)果，平均使用壽命為1050小時(shí)，標(biāo)準(zhǔn)差為200小時(shí)。求：

1.使用壽命在500小時(shí)以下的燈管占多大比例？

2.使用壽命在850~1450小時(shí)的燈管所占比例？

3.以均值為中心，95%的燈管使用壽命的范圍？第40頁/共68頁第41頁/共68頁第42頁/共68頁68.27%95.45%99.73%

視頻：經(jīng)驗(yàn)法則，經(jīng)驗(yàn)法則的另一個(gè)例題第43頁/共68頁正態(tài)分布的練習(xí)（Z分?jǐn)?shù)）（1）把兩個(gè)人的分?jǐn)?shù)表示成Z分?jǐn)?shù)，可以看出兩位女士在

各自的年齡組中居于什么位置。（2）相對于自己的年齡組，莎拉和母親誰的IQ高？

相對于測量值，莎拉和母親誰的IQ高？

第44頁/共68頁關(guān)于智商的問題斯坦福-比奈（Stanford-Binet）智力量表：1986年公布第四次修訂版。量表共包含15個(gè)分測驗(yàn)，可以評定4個(gè)認(rèn)知領(lǐng)域，即言語推理、抽象/視覺推理、數(shù)量推理和短時(shí)記憶。網(wǎng)頁鏈接韋氏（Wechsler）智力量表：醫(yī)院使用。門薩智力測試：適用于高智商和高學(xué)歷人群。

百度百科鏈接第45頁/共68頁什么是抽樣分布？如果要估計(jì)總體的均值

；是用樣本平均值

，還是用中位數(shù)m？還是擲骰子，總體均值

第一次，2,2,6，m=2，

第二次，3,4,6，m=4，可見，不能僅僅根據(jù)一個(gè)樣本去比較是

和

m樣本統(tǒng)計(jì)量本身是隨機(jī)變量，抽樣分布就是由樣本n個(gè)觀察值計(jì)算的統(tǒng)計(jì)量的概率分布。第46頁/共68頁樣本均值的抽樣分布

一個(gè)總體1，2，3，4.重復(fù)抽樣方法，先抽一個(gè)，放回，再抽一個(gè)。樣本均值

的抽樣分布第47頁/共68頁樣本均值的抽樣分布

有放回（withreplacement）抽樣

12341{1,1} 1{2,1} 1.5{3,1} 2{4,1} 2.52{1,2} 1.5{2,2} 2{3,2} 2.5{4,2}33{1,3} 2{2,3} 2.5{3,3}3{4,3}3.54{1,4} 2.5{2,4} 3{3,4} 3.5{4,4} 4第48頁/共68頁樣本均值的抽樣分布

的取值

的個(gè)數(shù)概率1.011/161.522/162.033/162.544/163.033/163.522/164.011/16第49頁/共68頁第50頁/共68頁第51頁/共68頁第52頁/共68頁中心極限定理中心極限定理：不論該總體服從何種分布，只要當(dāng)樣本容量足夠大（

），樣本均值的分布都近似服從正態(tài)分布。第53頁/共68頁程序模擬

視頻：程序模擬n的不斷增加第54頁/共68頁樣本均值的抽樣分布與總體的關(guān)系總體分布正態(tài)分布非正態(tài)分布大樣本小樣本正態(tài)分布大樣本小樣本正態(tài)分布t分布第55頁/共68頁的抽樣分布例題1某汽車電池的制造商聲稱其最好的電池壽命的均值是54個(gè)月，標(biāo)準(zhǔn)差為6個(gè)月。某消費(fèi)組織決定購買50個(gè)該品種電池作為樣本來檢驗(yàn)電池壽命，

1.假設(shè)該制造商所言為真實(shí)的，請描述這50個(gè)電池樣本的平均壽命的抽樣分布；

2.假設(shè)該制造商所言是真實(shí)的，則消費(fèi)組織的樣本壽命小于或等于52個(gè)月的概率是多少？第56頁/共68頁抽樣分布例題11.運(yùn)用中心極限定理推斷：對于50個(gè)電池的樣本來說，平均壽命的分布近似正態(tài)分布。因此，這個(gè)抽樣分布的均值與抽樣總體的均值是相同的，抽樣分布的標(biāo)準(zhǔn)差由公式計(jì)算，得

個(gè)月；

個(gè)月

第57頁/共68頁抽樣分布例題12.假設(shè)制造商所言是真實(shí)的，則對于50個(gè)電池的樣本來說，消費(fèi)組織觀察到電池的平均壽命小于或者等于52個(gè)月的概率

，等于下圖的陰影面積，計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布

z值求這個(gè)面積：第58頁/共68頁抽樣分布例題