重慶市第一中學(xué)屆高三數(shù)學(xué)下學(xué)期第一次月考試題文含解析

PAGE19-重慶市第一中學(xué)2020屆高三數(shù)學(xué)下學(xué)期第一次月考試題文（含解析）一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.若全集，集合，則=（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先求出集合A，再按補(bǔ)集的定義求解即可.【詳解】解不等式，得，所以，故.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查補(bǔ)集的定義及求法，屬于基礎(chǔ)題.2.已知為虛數(shù)單位，則等于（）A.0 B.1 C.-1 D.【答案】C【解析】【分析】按照復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則和等比數(shù)列的前項(xiàng)和計(jì)算即可.【詳解】.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的計(jì)算，考查等比數(shù)列的前項(xiàng)和，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.3.已知橢圓分別過(guò)點(diǎn)和，則該橢圓的焦距為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由題意可得a2＝4，b2＝1，利用隱含條件求得c，則2c即為所求．【詳解】由題意可得，，所以a2＝4，b2＝1，所以，從而.故選B【點(diǎn)睛】本題考查橢圓方程求法，解題時(shí)要注意橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)的合理運(yùn)用，是基礎(chǔ)題．4.中國(guó)鐵路總公司相關(guān)負(fù)責(zé)人表示，到2018年底，全國(guó)鐵路營(yíng)業(yè)里程達(dá)到13.1萬(wàn)公里，其中高鐵營(yíng)業(yè)里程2.9萬(wàn)公里，超過(guò)世界高鐵總里程的三分之二，下圖是2014年到2018年鐵路和高鐵運(yùn)營(yíng)里程（單位：萬(wàn)公里）的折線(xiàn)圖，以下結(jié)論不正確的是（）A.每相鄰兩年相比較，2014年到2015年鐵路運(yùn)營(yíng)里程增加最顯著B(niǎo).從2014年到2018年這5年，高鐵運(yùn)營(yíng)里程與年價(jià)正相關(guān)C.2018年高鐵運(yùn)營(yíng)里程比2014年高鐵運(yùn)營(yíng)里程增長(zhǎng)80%以上D.從2014年到2018年這5年，高鐵運(yùn)營(yíng)里程數(shù)依次成等差數(shù)列【答案】D【解析】【分析】由折線(xiàn)圖逐項(xiàng)分析即可求解【詳解】選項(xiàng)，顯然正確；對(duì)于，，選項(xiàng)正確；1.6,1.9,2.2,2.5,2.9不是等差數(shù)列，故錯(cuò).故選D【點(diǎn)睛】本題考查統(tǒng)計(jì)的知識(shí)，考查數(shù)據(jù)處理能力和應(yīng)用意識(shí),是基礎(chǔ)題5.若，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由兩角差的正切求得，再利用二倍角公式求解即可【詳解】因?yàn)?，所以，解得，從?故選C【點(diǎn)睛】本題考查三角恒等變換，考查兩角差的正切及二倍角公式，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題6.等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知，，則（）A57 B.60 C.63 D.66【答案】C【解析】【分析】利用等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式及性質(zhì)求出a3，再利用等差數(shù)列通項(xiàng)公式求出a1，d，由此能求出{an}的前n項(xiàng)和公式，進(jìn)而求得．【詳解】因?yàn)椋?，又，解得，，設(shè)數(shù)列的公差為，所以，解得，所以，從而.故選C.【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式的求法，是基礎(chǔ)題，注意等差數(shù)列性質(zhì)的合理運(yùn)用．7.已知一個(gè)圓柱的軸截面是面積為36的正方形，則這個(gè)圓柱的側(cè)面積為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由軸截面求得圓柱的高和底面圓半徑，再計(jì)算圓柱的側(cè)面積．【詳解】設(shè)底面圓的半徑為，則高為，由，得，∴.故選A.【點(diǎn)睛】本題考查了圓柱的軸截面與側(cè)面積的應(yīng)用問(wèn)題，是基礎(chǔ)題．8.若變量，滿(mǎn)足約束條件，則的最大值是（）A. B. C.-2 D.【答案】B【解析】【分析】作出不等式組對(duì)應(yīng)平面區(qū)域，利用z的幾何意義即可得到結(jié)論．【詳解】畫(huà)出不等式組表示的可行域，表示通過(guò)可行域內(nèi)的點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)的直線(xiàn)的斜率，又解得C，由圖可知：點(diǎn)C與坐標(biāo)原點(diǎn)的連線(xiàn)斜率最大，即.故選B【點(diǎn)睛】本題主要考查線(xiàn)性規(guī)劃的應(yīng)用，利用z的幾何意義，以及直線(xiàn)的斜率公式是解決本題的關(guān)鍵．9.在直三棱柱中，己知，，，則異面直線(xiàn)與所成的角為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由條件可看出，則為異面直線(xiàn)與所成的角，可證得三角形中，，解得從而得出異面直線(xiàn)與所成的角．【詳解】連接，，如圖：又，則為異面直線(xiàn)與所成的角.因?yàn)榍胰庵鶠橹比庵?，∴∴面，∴，又，，∴，∴，解?故選C【點(diǎn)睛】考查直三棱柱的定義，線(xiàn)面垂直的性質(zhì)，考查了異面直線(xiàn)所成角的概念及求法，考查了邏輯推理能力，屬于基礎(chǔ)題．10.已知函數(shù)有唯一零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)（）A. B.2 C. D.【答案】D【解析】【分析】通過(guò)轉(zhuǎn)化可知問(wèn)題等價(jià)于函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象只有一個(gè)交點(diǎn)求的值，分，，三種情況，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性分析可得結(jié)論.【詳解】函數(shù)有唯一零點(diǎn)，等價(jià)于函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象只有一個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)有兩個(gè)零點(diǎn)，不滿(mǎn)足題意；當(dāng)時(shí)，由于在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)的圖象最低點(diǎn)為，函數(shù)的圖象最低點(diǎn)為，由于，故兩個(gè)函數(shù)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，不滿(mǎn)足題意；當(dāng)時(shí)，由于在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以函數(shù)的圖象最低點(diǎn)為，函數(shù)的圖象最低點(diǎn)為，若兩函數(shù)只有一個(gè)交點(diǎn)，則，即.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)的取值范圍，考查了轉(zhuǎn)化與劃歸的思想，考查邏輯思維能力和計(jì)算能力，屬于中檔題.11.已知拋物線(xiàn)：的焦點(diǎn)為，且到準(zhǔn)線(xiàn)的距離為2，直線(xiàn)與拋物線(xiàn)交于兩點(diǎn)（點(diǎn)在軸上方），與準(zhǔn)線(xiàn)交于點(diǎn)，若，則（）.A. B. C. D.【答案】C【解析】設(shè)，易知.由題意知，則拋物線(xiàn).因?yàn)?，所以，又，得（?fù)值舍去），，聯(lián)立，得，故，所以，故，過(guò)點(diǎn)作垂直于準(zhǔn)線(xiàn)，垂足為，過(guò)點(diǎn)作垂直于準(zhǔn)線(xiàn)，垂足為，易知，故，故選C．12.設(shè)奇函數(shù)的定義域?yàn)?，且的圖象是連續(xù)不間斷，，有，若，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】構(gòu)造函數(shù)，可知該函數(shù)為奇函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)可判斷出函數(shù)在區(qū)間上為減函數(shù)，進(jìn)而得出該函數(shù)在定義域上為減函數(shù)，將所求不等式變形為，利用函數(shù)的單調(diào)性可解出所求不等式.【詳解】令，定義域?yàn)?，因?yàn)楹瘮?shù)為奇函數(shù)，，則函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，，因?yàn)?，有，?dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞減.則函數(shù)是上的奇函數(shù)并且單調(diào)遞減，又等價(jià)于，即，，又，因此，.故選：D.【點(diǎn)睛】本題主要考查利用構(gòu)造函數(shù)求解函數(shù)不等式，根據(jù)導(dǎo)數(shù)不等式的結(jié)構(gòu)構(gòu)造新函數(shù)是解答的關(guān)鍵，考查分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，屬于中等題.二、填空題：本大題共4小題，每小題5分.13.已知，則______.【答案】8【解析】【分析】根據(jù)分段函數(shù)的定義直接求解即可.【詳解】.故答案為：8.【點(diǎn)睛】本題考查分段函數(shù)求值問(wèn)題，屬于基礎(chǔ)題,14.西周初數(shù)學(xué)家商高在公元前1000年發(fā)現(xiàn)勾股定理的一個(gè)特例，勾三，股四，弦五.此發(fā)現(xiàn)早于畢達(dá)哥拉斯定理五百到六百年，我們把可以構(gòu)成一個(gè)直角三角形三邊的一組正整數(shù)成為勾股數(shù).現(xiàn)從，，，，，，，，，這幾組勾股數(shù)中隨機(jī)抽取1組，則被抽出的這組勾股數(shù)剛好構(gòu)成等差數(shù)列的概率為_(kāi)_____.【答案】【解析】【分析】利用古典概型定義直接求解即可.【詳解】從這10組勾股數(shù)隨機(jī)抽取1組，共10種抽取方法，其中能構(gòu)成等差數(shù)列的有：，，，，共4種，故所求概率為：.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查古典概型概率公式及應(yīng)用，考查了數(shù)學(xué)文化的背景，考查理解能力，屬于基礎(chǔ)題,15.在平面直角坐標(biāo)系中，動(dòng)點(diǎn)在橢圓上運(yùn)動(dòng)，則點(diǎn)到直線(xiàn)的距離的最大值為_(kāi)_____.【答案】【解析】【分析】設(shè)與直線(xiàn)平行的直線(xiàn)方程為：，與橢圓方程聯(lián)立消元，令，可得的值，求出兩條平行線(xiàn)間的距離，即可得解.【詳解】設(shè)與直線(xiàn)平行的直線(xiàn)方程為：，與橢圓方程聯(lián)立消去得：，令，即：，解之得：，所以?xún)蓷l平行線(xiàn)間的距離為：或，所以點(diǎn)到直線(xiàn)的距離的最大值為.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查直線(xiàn)與橢圓的位置關(guān)系，解題的關(guān)鍵是求出與直線(xiàn)平行，且與橢圓相切的直線(xiàn)方程，屬于?？碱}.16.已知三棱錐的每個(gè)頂點(diǎn)都在球O的表面上，，，，頂點(diǎn)D在平面上的投影E為BC的中點(diǎn)，且，則球O的體積為_(kāi)_____.【答案】【解析】【分析】先畫(huà)出圖形，求出外接球的半徑，然后計(jì)算體積即可.【詳解】如圖，在中，，，，所以，，設(shè)球O的半徑為，則，解之得：，所以球O的體積為：.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查三棱錐的外接球問(wèn)題，考查數(shù)形結(jié)合思想，考查計(jì)算能力，屬于?？碱}.三、解答題：本大題共6個(gè)大題，共70分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.17.已知等差數(shù)列的公差為，等差數(shù)列的公差為，設(shè)，分別是數(shù)列，的前項(xiàng)和，且，，.（1）求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，證明：.【答案】（1），；（2）見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及求和公式列的方程組求解則可求，進(jìn)而得（2）利用分組求和即可證明【詳解】（1）因?yàn)閿?shù)列，是等差數(shù)列，且，，所以.整理得，解得，所以，即，，即.綜上，，.（2）由（1）得，所以，即.【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列通項(xiàng)公式及求和公式，裂項(xiàng)相消求和，考查推理計(jì)算能力，是中檔題18.如圖，在矩形中，，，點(diǎn)是邊上的一點(diǎn)，且，點(diǎn)是的中點(diǎn)，將沿著折起，使點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)處，且有.（1）證明：面；（2）求三棱錐的體積.【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）.【解析】【分析】（1）取的中點(diǎn)，分別連接和，由已知易得，先證，再證，可得平面，進(jìn)而可得，又，不平行，即可證面；（2）因?yàn)?，利用等體積法計(jì)算即可得解.【詳解】（1）如圖，取的中點(diǎn)，連接，，在矩形中，，，且，，，又點(diǎn)是的中點(diǎn)，，，點(diǎn)是線(xiàn)段的中點(diǎn)，，又因?yàn)槠叫杏?，，又平面，又平面，，又與不平行，面；（2）由（1）知，，三棱錐的體積.【點(diǎn)睛】本題考查線(xiàn)面垂直的判定，考查等體積法的應(yīng)用，考查空間想象能力和運(yùn)算能力，考查轉(zhuǎn)化思想，屬于高考?？碱}型.19.某大型商場(chǎng)的空調(diào)在1月到5月的銷(xiāo)售量與月份相關(guān)，得到的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表：月份12345銷(xiāo)量（百臺(tái)）0.60.81.21.61.8（1）經(jīng)分析發(fā)現(xiàn)1月到5月的銷(xiāo)售量可用線(xiàn)性回歸模型擬合該商場(chǎng)空調(diào)的月銷(xiāo)量（百件）與月份之間的相關(guān)關(guān)系.請(qǐng)用最小二乘法求關(guān)于的線(xiàn)性回歸方程，并預(yù)測(cè)6月份該商場(chǎng)空調(diào)的銷(xiāo)售量；（2）若該商場(chǎng)的營(yíng)銷(xiāo)部對(duì)空調(diào)進(jìn)行新一輪促銷(xiāo)，對(duì)7月到12月有購(gòu)買(mǎi)空調(diào)意愿的顧客進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查.假設(shè)該地?cái)M購(gòu)買(mǎi)空調(diào)的消費(fèi)群體十分龐大，經(jīng)過(guò)營(yíng)銷(xiāo)部調(diào)研機(jī)構(gòu)對(duì)其中的500名顧客進(jìn)行了一個(gè)抽樣調(diào)查，得到如下一份頻數(shù)表：有購(gòu)買(mǎi)意愿對(duì)應(yīng)的月份789101112頻數(shù)60801201308030現(xiàn)采用分層抽樣的方法從購(gòu)買(mǎi)意愿的月份在7月與12月的這90名顧客中隨機(jī)抽取6名，再?gòu)倪@6人中隨機(jī)抽取3人進(jìn)行跟蹤調(diào)查，求抽出的3人中恰好有2人是購(gòu)買(mǎi)意愿的月份是12月的概率.參考公式與數(shù)據(jù)：線(xiàn)性回歸方程，其中，.【答案】（1）；2.16（百臺(tái)）；（2）【解析】【分析】（1）由題意計(jì)算平均數(shù)與回歸系數(shù)，寫(xiě)出線(xiàn)性回歸方程，再利用回歸方程計(jì)算對(duì)應(yīng)的函數(shù)值；（2）利用分層抽樣法求得抽取的對(duì)應(yīng)人數(shù)，用列舉法求得基本事件數(shù)，再計(jì)算所求的概率值．【詳解】（1）因?yàn)椋?，則，于是關(guān)于的回歸直線(xiàn)方程為.當(dāng)時(shí)，（百臺(tái)）.（2）現(xiàn)采用分層抽樣的方法從購(gòu)買(mǎi)意愿的月份在7月與12月的這90名顧客中隨機(jī)抽取6名，則購(gòu)買(mǎi)意愿為7月份的抽4人記為，，，，購(gòu)買(mǎi)意愿為12月份的抽2人記為，，從這6人中隨機(jī)抽取3人的所有情況為、、、、、、、、、、、、、、、、、、、，共20種，恰好有2人是購(gòu)買(mǎi)意愿的月份是12月的有、、、，共4種，故所求概率為.【點(diǎn)睛】本題考查了線(xiàn)性回歸方程與列舉法求古典概型的概率問(wèn)題，是中檔題．20.已知拋物線(xiàn)，直線(xiàn)是它的一條切線(xiàn).（1）求的值；（2）若，過(guò)點(diǎn)作動(dòng)直線(xiàn)交拋物線(xiàn)于，兩點(diǎn)，直線(xiàn)與直線(xiàn)的斜率之和為常數(shù)，求實(shí)數(shù)的值.【答案】（1）；（2）【解析】分析】（1）聯(lián)立拋物線(xiàn)與直線(xiàn)的方程，利用解得p即可.（2）設(shè)，，將表示成關(guān)于的表達(dá)式，設(shè)出過(guò)點(diǎn)的動(dòng)直線(xiàn)的方程，代入拋物線(xiàn)方程，結(jié)合韋達(dá)定理化簡(jiǎn)得到，滿(mǎn)足時(shí)符合題意，解之即可.【詳解】（1）由，得，代入，得，因?yàn)閽佄锞€(xiàn)與直線(xiàn)相切，所以，解得.（2）設(shè)，，則.設(shè)過(guò)點(diǎn)的動(dòng)直線(xiàn)的方程為，代入，得，所以，，，所以.若變化，為常數(shù)，則需滿(mǎn)足，解得.【點(diǎn)睛】本題考查拋物線(xiàn)與直線(xiàn)的位置關(guān)系的應(yīng)用，考查了斜率公式，考查了韋達(dá)定理的應(yīng)用，考查了運(yùn)算能力，屬于較難題．21.設(shè)函數(shù).（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若函數(shù)恰有兩個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍.【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）【解析】【分析】（1），討論a，求得單調(diào)性即可（2）利用（1）的分類(lèi)討論，研究函數(shù)最值，確定零點(diǎn)個(gè)數(shù)即可求解【詳解】（1）因?yàn)椋涠x域?yàn)?，所?①當(dāng)時(shí)，令，得；令，得，此時(shí)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.②當(dāng)時(shí)，令，得或；令，得，此時(shí)在，上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.③當(dāng)時(shí)，，此時(shí)在上單調(diào)遞減.④當(dāng)時(shí)，令，得或；令，得，此時(shí)在，上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.（2）由（1）可知：①當(dāng)時(shí)，.易證，所以.因?yàn)椋?所以恰有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，只需，解得.②當(dāng)時(shí)，，不符合題意.③當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，不符合題意.④當(dāng)時(shí)，由于在，上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且，又，由于，，所以，函數(shù)最多只有1個(gè)零點(diǎn)，與題意不符.綜上可知，，即的取值范圍為.【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與最值，函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題，考查推理求解能力及分類(lèi)討論思想，是難題請(qǐng)考生在22、