1-3章概率論課后習題及答案

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第一章隨機事件及其概率

1.1-2隨機試驗、隨機事件

1.多項選擇題:

⑴以下命題正確的是（）

A.(AB)(AB)A；B.若AB,則ABA；

C.若AB,則BA；D.若AB,則ABB.

⑵某學生做了三道題，以Ai表示“第i題做對了的事件〞(i1,2,3)，則該生至少做對了兩道題的事件可表示為（）

A.A；B.A1A2A2A3A3A1；1A2A3A1A2A3A1A2A3

C.A；D.A1A2A3A1A2A3A1A2A3A1A2A3.1A2A2A3A3A12.A、B、C為三個事件，說明下述運算關系的含義：

⑴A；⑵BC；⑶ABC；⑷ABC；⑸ABC；⑹ABC.

3.一個工人生產(chǎn)了三個零件，以Ai與i(i1,2,3)分別表示他生產(chǎn)的第i個零件為正品、次品的事件.試用Ai與i(i1,2,3)表示以下事件：⑴全是正品；⑵至少有一個零件是次品；⑶恰有一個零件是次品；⑷至少有兩個零件是次品.

1.3-4事件的概率、古典概型

1.多項選擇題:

⑴以下命題中,正確的是（）

A.ABABB；B.ABAB；C.ABCABC；D.AB(AB).

⑵若事件A與B相容，則有（）A.P(AB)P(A)P(B)；B.P(AB)P(A)P(B)P(AB)；C.P(AB)1P(A)P(B)；D.P(AB)1P(A)P(B).

⑶事件A與B相互對立的充要條件是（）A.P(AB)P(A)P(B)；B.P(AB)0且P(AB)1；C.AB且AB；D.AB.

2.袋中有12只球，其中紅球5只，白球4只，黑球3只.從中任取9只，求其中恰好有4只紅球，3只白球，2只黑球的概率.

3.求寢室里的六個同學中至少有兩個同學的生日恰好同在一個月的概率.

4.10把鑰匙中有三把能開啟門，今任取兩把，求能開啟門的概率.

5.將三封信隨機地放入標號為1、2、3、4的四個空郵筒中,求以下概率：(１)恰有三個郵筒各有一封信；（２）其次個郵筒恰有兩封信；（３）恰好有一個郵筒有三封信．

6.將20個足球球隊隨機地分成兩組，每組10個隊，進行比賽．求上一屆分別為第一、二名的兩個隊被分在同一小組的概率．

1.5條件概率

1.多項選擇題:

⑴已知P(B)0且A1A2,則（）成立.

A.P(A1|B)0；B.P((A1A2)|B)P(A1|B)(A2|B)；

C.P(A1A2|B)0；D.P(A1A2|B)1.

0,P(B)0且P(A|B）P(A)，則（）成立.⑵若P(A）

A.P(B|A)P(B)；B.P(A|B)P(A)；C.A,B相容；D.A,B不相容.

2.已知P(A)

3.某種燈泡能用到3000小時的概率為0.8，能用到3500小時的概率為0.7.求

一只已用到了3000小時還未壞的燈泡還可以再用500小時的概率.

4.兩個箱子中裝有同類型的零件，第一箱裝有60只，其中15只一等品；其次箱裝有40只，其中15只一等品.求在以下兩種取法下恰好取到一只一等品的概率：⑴將兩個箱子都開啟，取出所有的零件混放在一堆，從中任取一只零件；⑵從兩個箱子中任意挑出一個箱子，然后從該箱中隨機地取出一只零件.

5.某市男性的色盲發(fā)病率為7%,女性的色盲發(fā)病率為0.5%.今有一人到醫(yī)院求治色盲,求此人為女性的概率.(設該市性別結構為男:女=0.502:0.498)

6.袋中有a只黑球，b只白球，甲、乙、丙三人依次從袋中取出一只球(取后不放回)，分別求出他們各自取到白球的概率.

111

,P(B|A).P(A|B)，求P(AB)346

1.6獨立性

1.多項選擇題：

⑴對于事件A與B，以下命題正確的是().

A.若A、B互不相容,則、也互不相容；B.若A、B相容,則、也相容；

C.若A、B獨立，則、也獨立；D.若A、B對立，則、也對立.

⑵若事件A與B獨立，且P(A)0,P(B)0，則（）成立.

A.P(B|A)P(B)；B.P(A|B)P(A)；C.A、B相容；D.A、B不相容.

2.已知A、B、C相互獨立，證明、也相互獨立.

3.一射手對同一目標進行四次獨立的射擊，若至少射中一次的概率為射手每次射擊的命中率.

80

，求此81

*4.設A、B、C為相互獨立的事件，求證AB、AB、AB都與C獨立.

5.甲、乙、丙三人同時各用一發(fā)子彈對目標進行射擊，三人各自擊中目標的概率分別是0.4、0.5、0.7.目標被擊中一發(fā)而冒煙的概率為0.2，被擊中兩發(fā)而冒煙的概率為0.6，被擊中三發(fā)則必定冒煙，求目標冒煙的概率.

6.甲、乙、丙三人搶答一道智力競賽題，他們搶到答題權的概率分別為0.2、0.3、0.5；而他們能將題答對的概率則分別為0.9、0.4、0.4.現(xiàn)在這道題已經(jīng)答對，問甲、乙、丙三人誰答對的可能性最大.

7.某學校五年級有兩個班，一班50名學生，其中10名女生；二班30名學生，其中18名女生．在兩班中任選一個班，然后從中先后挑揀兩名學生，求（1）先選出的是女生的概率；（2）在已知先選出的是女生的條件下，后選出的也是女生的概率．

其次章一維隨機變量及其分布

2.1離散型隨機變量及其概率分布

1．填空題：

⑴當c時P(Xk)c/N,(k1,,N)是隨機變量X的概率分布，當c時P(Yk)(1c)/N,(k1,,N)是隨機變量Y的概率分布；

⑵當a時P(Yk)a

k

k!

(k0,1,,0)是隨機變量Y的概率分布；

⑶進行重復的獨立試驗，并設每次試驗成功的概率都是0.6.以X表示直到試驗獲得成功時所需要的試驗次數(shù)，則X的分布律為

；

⑷某射手對某一目標進行射擊，每次射擊的命中率都是p,射中了就中止射擊且至多只射擊10次.以X表示射擊的次數(shù)，則X的分布律為

；

⑸將一枚質量均勻的硬幣獨立地拋擲n次，以X表示此n次拋擲中落地后正面向上的

次數(shù)，則X的分布律為.2．設在15只同類型的零件中有2只是次品，從中取3次，每次任取1只，以X表示取出的3只中次品的只數(shù).分別求出在⑴每次取出后記錄是否為次品，再放回去；⑵取后不放回，兩種情形下X的分布律.

3．一只袋子中裝有大小、質量一致的6只球,其中3只球上各標有1個點,2只球上各標有2個點,1只球上標有3個點.從袋子中任取3只球，以X表示取出的3只球上點數(shù)的和.⑴求X的分布律；⑵求概率P(4X6),P(4X6),P(4X6),P(4X6).

4．某廠有7個參謀，假定每個參謀貢獻正確看法的可能性都是0.6.現(xiàn)在為某件事的可行與否個別地征求每個參謀的看法，并按多數(shù)參謀的看法作決策.求作出正確決策的概率.

5．袋子中裝有5只白球，3只黑球，從中任取1只，假使是黑球就不放回去，并從其它地方取來一只白球放入袋中，再從袋中取1只球.如此繼續(xù)下去，直到取到白球為止.求直到取到白球為止時所需的取球次數(shù)X的分布律.

2.2連續(xù)型隨機變量及其概率分布

1．多項選擇題：以下函數(shù)中能成為某隨機變量的概率密度的是()

cosx,cosx0x0x,A.f(x)；2；B.f(x)2

0,其它其它0,cosx,xex,0x1xC.f(x).22；D.f(x)0,0,其它其它

2．設隨機變量X的概率分布律如右,求X的分

布函數(shù)及P(X2),P(0X3),P(2X3).

3．設一只袋中裝有依次標有數(shù)字-1、2、2、2、3、3的六只球，此后袋中任取一只球，并以X表示取得的球上所標有的數(shù)字.求X的分布律與分布函數(shù).

4．設連續(xù)型隨機變量X⑴系數(shù)A；⑵X的分布函數(shù)；⑶P(0.1X

x

5．設連續(xù)型隨機變量X的分布函數(shù)如右，試求：⑴系數(shù)k；⑵X的概率密度；⑶P(|X|0.5).

6．設連續(xù)型隨機變量X的分布函數(shù)為F(x)ABarctanx(xR)，試求：⑴系數(shù)A與B；⑵X的概率密度；⑶X在區(qū)間(a,b)內取值的概率.

2.3

1．設離散型隨機變量X的分布律如右，求UX1,V2X2,W2X21的分布律

ex,x0

,求隨機變量YeX的概率密度.2．設隨機變量X的概率密度為f(x)

0,x0

3．設隨機變量X在區(qū)間(0,)上聽從均勻分布，求：⑴隨機變量Y2lnX的概率密度；⑵隨機變量ZsinX的分布函數(shù)與概率密度.

4．設連續(xù)型隨機變量X的概率密度為f(x)

x2/2

e(xR),求Y|X|的密度.*5．設F1(x)與F2(x)分別為兩個隨機變量的分布函數(shù)，證明：當a0,b0且

ab1時，(x)aF1(x)bF2(x)可以作為某個隨機變量的分布函數(shù).

2.4一維隨機變量的數(shù)字特征

1．一批零件中有9件合格品與3件次品，往機器上安裝時任取一件，若取到次品就棄置一邊.求在取到合格品之前已取到的次品數(shù)的期望、方差與均方差.

2．設隨機變量X的概率密度為f(x)0.5e

3．設隨機變量X的概率密度為f(x)

|x|

,x,求EX,DX.

2(1x),0x1

,求EX與DX.

其它0,

4．某路公汽起點站每5分鐘發(fā)出一輛車，每個乘客到達起點站的時刻在發(fā)車間隔的5分

鐘內均勻分布.求每個乘客候車時間的期望(假定汽車到站時，所有候車的乘客都能上車).

0.25ex/4,

5．某工廠生產(chǎn)的設備的壽命X(以年計)的概率密度為f(x)

0,

x0x0

，工

廠規(guī)定，出售的設備若在一年之內損壞可以調換.若出售一臺設備可贏利100元，調換一臺設備廠方需花費300元，試求廠方出售一臺設備凈贏利的數(shù)學期望.

*6．某工廠計劃開發(fā)一種新產(chǎn)品，預計這種產(chǎn)品出售一件將獲利

潤的數(shù)學期望最大，應生產(chǎn)多少件產(chǎn)品？

500元，而積壓一件

將損失2000元.而且預計到這種產(chǎn)品的銷售量Y(件)聽從指數(shù)分布E(0.0001).問要獲得利

第三章多維隨機變量及其分布

3.1二維隨機變量

1．設隨機變量(X,Y)只取以下數(shù)組中的值：(0,0)、(1,1)、(1,)、(2,0)且相應的概率依次為

2．一只口袋中裝有四只球，球上分別標有數(shù)字1、2、2、3.此后袋中任取一只球，取后不放回，再從袋中任取一只球.分別以X與Y表示第一次、其次次取到的球上標有的數(shù)字，求X與Y的聯(lián)合分布律與關于X、Y的邊緣分布律.

13

1115、、、.求隨機變量(X,Y)的分布律與關于X、Y的邊緣分布律.631212

ce2(xy),0x,0y

3．設隨機變量(X,Y)的概率密度f(x,y)，

其它0,

試求：⑴常數(shù)c；⑵(X,Y)的分布函數(shù)F(x,y)；⑶P{XY1}.

4．設隨機變量(X,Y)的概率密度為f(x,y)

4.8y(2x),0x1,0yx

求關于，

0,其它

X、Y的邊緣概率密度.

5．設隨機變量(X,Y)在G上聽從均勻分布，其中G由x軸、y軸及直線y2x1所圍成，試求：⑴(X,Y)的概率密度f(x,y)；⑵求關于X、Y的邊緣概率密度.

*6．設某班車起點站上車的人數(shù)X

聽從參數(shù)為(0)的泊松分布，每位乘客在中途

下車的概率為p(0p1),乘客中途下車與否相互獨立，并以Y表示在中途下車的人數(shù).

求：⑴在發(fā)車時有n個乘客的條件下，中途有m人下車的概率；⑵(X,Y)的分布律.

1．設隨機變量X與Y相互獨立右表給出二維隨機變量(X,Y)律及邊緣分布律中的部分數(shù)值.試將其余數(shù)值填入表中的空白處.

2．設隨機變量(X,Y)分布律如右:⑴a、b、c時X與Y相互獨立？⑵寫出(X,Y)的分布律與邊緣分布律.

3．設隨機變量X在1、2、3、4四個整數(shù)中等可能地取值,而隨機變量Y在1~X中等可能地取一個整數(shù).求：⑴X2時,Y的條件分布律；⑵Y1時,X的條件分布律.

e(xy),x0,y0

4．設隨機變量(X,Y)的概率密度為f(x,y).

其它0,

⑴求fY|X(y|x)

；

⑵求fX|Y(x|y)；⑶說明X與Y的獨立性.

*5．箱子中裝有

12只開關(其中2只是次品)，從中取兩次，每次取一只，并定義隨

0,若第一次取出的是正品；0,若其次次取出的是正品，試在放回機變量如下：XY

1,若其次次取出的是次品1,若第一次取出的是次品

抽樣與不放回抽樣的兩種試驗中，求關于X與Y的條件分布律，并說明X與Y的獨立性.

c

*6．設隨機變量(X,Y)的概率密度為f(x,y)

與條件概率密度fY|X(y|x),fX|Y(x|y).

,|y|x,1x0

求參數(shù)c，

其它0,

3.31.設(X,Y)的分布律如右,求⑴P{X2|Y2},P{Y3|X0}

⑵Vmax(X,Y)的分布律；

⑶Umin(X,Y)的分布律；⑷WXY的分布律.

2．設X與Y是相互獨立的隨機變量，它們分別聽從參數(shù)為1、2的泊松分布.證明

ZXY聽從參數(shù)為12的泊松分布.

3．設隨機變量X與Y相互獨立,且都聽從參數(shù)為p0.25的兩點分布，記隨機變量Z為

1,XY為奇數(shù)求X與Z的聯(lián)合分布律與EZ.Z，

0,XY非為奇數(shù)

4．設隨機變量X與Y相互獨立，其概率密度分別為

x

12e,

fX(x)2

0,

y

13

x0e,

,fY(y)3x00,

y0y0

,求隨機變量UXY的概率密度.

xex,x0

5．某種商品一周的需求量X是一個隨機變量，其概率密度為f(x).

0,x0

設各周的需求量是相互獨立的，試求：⑴兩周；⑵三周的需求量的概率密度.

6．設某種型號的電子管的壽命(以小時記)近似地聽從E分布.隨機地選取4只，將其串聯(lián)在一條線路中，求此段線路的壽命超過180小時的概率。

7．設隨機變量(X,Y)~U(G),且G{(x,y)|1x3,1y3},求隨機變量

Z|XY|的概率密度.

8．設隨機變量X與Y相互獨立，且都在[1,1]上聽從均勻分布，求二次方程

t2XtY0有實根的概率.

3.4多元隨機變量的數(shù)字特征

1．單項選擇題：

⑴設X與Y的相關系數(shù)為0，則()

A.X與Y相互獨立;B.X與Y不一定相關;C.X與Y必不相關;D.X與Y必相關.

⑵設X與Y的期望與方差都存在,且D(XY)DXDY,則以下不正確的是()

A.D(XY)DXDY;B.EXYEXEY;C.X與Y不相關;D.X與Y相互獨立.

2．填空題：

⑴設隨機變量(X,Y)的概率密度為f(X,Y)

xy/96,0x4,1y5

，

其它0,

則EX，EY，EXY，E(2X3Y).⑵設隨機變量X與Y相互獨立，且X~P(2),Y~E(0.25),

則E(2X3X2)，D(2X3X2).

3．n把看似完全一致的鑰匙，只有一把能開保險柜的門鎖，用它們去試開保險柜.假

設取到每把鑰匙的可能性是等同的，且每把鑰匙只試開一次，求試開次數(shù)X的數(shù)學期望與方差.求在以下兩種方法下求試開次數(shù)X的數(shù)學期望與方差：

⑴先寫出X的分布律；*⑵不寫出X的分布律。

4．設(X,Y)在區(qū)域G上聽從均勻分布，其中G由x軸、y軸及直線xy1圍成.⑴求EX,E(3X2Y),E(XY)；⑵判斷隨機變量X與Y的獨立性.

12y2,

5．設隨機變量(X,Y)的概率密度為f(x,y)

0,

求EX,EY,cov(X,Y),XY.

0yx1

，

其它

6．設連續(xù)型隨機變量X的概率密度f(x)為偶函數(shù)，且EX,求cov(X,|X|)并說明X與|X|的相關性.

2

*7．設隨機變量(X,Y)的概率密度為f(x,y)k,|y|x0x1時;f(x,y)0,

其它時。⑴求k,fX(x),fY(y),fX|Y(x|y),fY|X(y|x),EX,DX,EY,DY,cov(X,Y),XY;⑵說明X與Y的相關性與獨立性;⑶若ZXY,求FZ(z),fZ(z)。

參考答案

1-1、2

1.⑴A,B,C,D；⑵B,D.

2.⑴A發(fā)生；⑵B與C都不發(fā)生；⑶A發(fā)生且B與C都不發(fā)生；⑷A,B,C都不發(fā)生；

⑸A,B,C中至少有一個發(fā)生；⑹A,B,C中至少有一個不發(fā)生.

3.⑴A1A2A3；⑵123；⑶1A2A3A12A3A1A23；⑷122313.1-3、4

1.⑴A、D；⑵B；⑶C.2.3/11.3.0.777.4.8/15.5.⑴3/8；（2）9/64；（3）1/16．6.9/19.1-5

1.⑴A,B,C；⑵A,B,C.2.0.75.3.0.875.4.⑴0.3；⑵0.3125.5.0.067.6.都為b/(ab).

1-6

1.⑴C,D；⑵A,B,C.3.2/3.5.0.458.6.丙.7.（1）0.4；（2）0.4856．2-1

1.(1)1,0;(2)e

;(3)P(Xk)0.4k10.6(k1,2,);

(4)P(Xk)p(1p)k1(k1,2,,9),P(X10)(1p)9;

k

(5)P(Xk)Cn(0.5)n(k0,1,,n).

k2.(1)P(Xk)C3(2/15)k(13/15)3k(k0,1,2,3)

(2)P(X0)22/35,P(X1)12/35,P(X2)1/35.

P(4X6)0.6,P(4X6)0.6,

P(4X6)0.3,P(4X

6)0.9.

P(X3)21/256,P(X4)3/256.2-2

0,x0

1/16,0x1P(X2)0.751.A,D.2.P(0X3)0.6875.

F(x)1/4,1x2,

3/4,2x3P(2X3)0.75

x31,

0,x1

1/6,1x2F(x).2/3,2x3

x31,

0,x0

4.(1)3;(2)F(x)x3,0x1;(3)0.342.

1,x1

1,0x1;(3)0.5.5.(1)1;(2)f(x)

0,其它

6.(1)A0.5,B1/;(2)f(x)

1;(3)1/(arctanbarctana).

2

(1x)

ey/2/2,y

(2ln,)1/y2,y12.f(y).3.⑴fY(y)

其它y10,0,

0,z00z1⑵F(z)(2arcsinz)/,0z1,f(z).

ZZ

z0z10,1,z1

4.y0時,fY(y)2ey

2

/2

y0時,fY(y)0.

5.提醒：從證明(x)滿足分布函數(shù)的性質入手證明

.

2-4

1.0.3,0.319,0.5649.2.0,2.3.1/3,1/18.4.2.5.5.33.64.6.2231.

03.c4,F(x,y),0.594.

其它0,

2.4x2(2x),0x12.4y(34yy2),0y1

4.