1-3章概率論課后習(xí)題及答案

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第一章隨機(jī)事件及其概率

1.1-2隨機(jī)試驗(yàn)、隨機(jī)事件

1.多項(xiàng)選擇題:

⑴以下命題正確的是（）

A.(AB)(AB)A；B.若AB,則ABA；

C.若AB,則BA；D.若AB,則ABB.

⑵某學(xué)生做了三道題，以Ai表示“第i題做對(duì)了的事件〞(i1,2,3)，則該生至少做對(duì)了兩道題的事件可表示為（）

A.A；B.A1A2A2A3A3A1；1A2A3A1A2A3A1A2A3

C.A；D.A1A2A3A1A2A3A1A2A3A1A2A3.1A2A2A3A3A12.A、B、C為三個(gè)事件，說(shuō)明下述運(yùn)算關(guān)系的含義：

⑴A；⑵BC；⑶ABC；⑷ABC；⑸ABC；⑹ABC.

3.一個(gè)工人生產(chǎn)了三個(gè)零件，以Ai與i(i1,2,3)分別表示他生產(chǎn)的第i個(gè)零件為正品、次品的事件.試用Ai與i(i1,2,3)表示以下事件：⑴全是正品；⑵至少有一個(gè)零件是次品；⑶恰有一個(gè)零件是次品；⑷至少有兩個(gè)零件是次品.

1.3-4事件的概率、古典概型

1.多項(xiàng)選擇題:

⑴以下命題中,正確的是（）

A.ABABB；B.ABAB；C.ABCABC；D.AB(AB).

⑵若事件A與B相容，則有（）A.P(AB)P(A)P(B)；B.P(AB)P(A)P(B)P(AB)；C.P(AB)1P(A)P(B)；D.P(AB)1P(A)P(B).

⑶事件A與B相互對(duì)立的充要條件是（）A.P(AB)P(A)P(B)；B.P(AB)0且P(AB)1；C.AB且AB；D.AB.

2.袋中有12只球，其中紅球5只，白球4只，黑球3只.從中任取9只，求其中恰好有4只紅球，3只白球，2只黑球的概率.

3.求寢室里的六個(gè)同學(xué)中至少有兩個(gè)同學(xué)的生日恰好同在一個(gè)月的概率.

4.10把鑰匙中有三把能開啟門，今任取兩把，求能開啟門的概率.

5.將三封信隨機(jī)地放入標(biāo)號(hào)為1、2、3、4的四個(gè)空郵筒中,求以下概率：(１)恰有三個(gè)郵筒各有一封信；（２）其次個(gè)郵筒恰有兩封信；（３）恰好有一個(gè)郵筒有三封信．

6.將20個(gè)足球球隊(duì)隨機(jī)地分成兩組，每組10個(gè)隊(duì)，進(jìn)行比賽．求上一屆分別為第一、二名的兩個(gè)隊(duì)被分在同一小組的概率．

1.5條件概率

1.多項(xiàng)選擇題:

⑴已知P(B)0且A1A2,則（）成立.

A.P(A1|B)0；B.P((A1A2)|B)P(A1|B)(A2|B)；

C.P(A1A2|B)0；D.P(A1A2|B)1.

0,P(B)0且P(A|B）P(A)，則（）成立.⑵若P(A）

A.P(B|A)P(B)；B.P(A|B)P(A)；C.A,B相容；D.A,B不相容.

2.已知P(A)

3.某種燈泡能用到3000小時(shí)的概率為0.8，能用到3500小時(shí)的概率為0.7.求

一只已用到了3000小時(shí)還未壞的燈泡還可以再用500小時(shí)的概率.

4.兩個(gè)箱子中裝有同類型的零件，第一箱裝有60只，其中15只一等品；其次箱裝有40只，其中15只一等品.求在以下兩種取法下恰好取到一只一等品的概率：⑴將兩個(gè)箱子都開啟，取出所有的零件混放在一堆，從中任取一只零件；⑵從兩個(gè)箱子中任意挑出一個(gè)箱子，然后從該箱中隨機(jī)地取出一只零件.

5.某市男性的色盲發(fā)病率為7%,女性的色盲發(fā)病率為0.5%.今有一人到醫(yī)院求治色盲,求此人為女性的概率.(設(shè)該市性別結(jié)構(gòu)為男:女=0.502:0.498)

6.袋中有a只黑球，b只白球，甲、乙、丙三人依次從袋中取出一只球(取后不放回)，分別求出他們各自取到白球的概率.

111

,P(B|A).P(A|B)，求P(AB)346

1.6獨(dú)立性

1.多項(xiàng)選擇題：

⑴對(duì)于事件A與B，以下命題正確的是().

A.若A、B互不相容,則、也互不相容；B.若A、B相容,則、也相容；

C.若A、B獨(dú)立，則、也獨(dú)立；D.若A、B對(duì)立，則、也對(duì)立.

⑵若事件A與B獨(dú)立，且P(A)0,P(B)0，則（）成立.

A.P(B|A)P(B)；B.P(A|B)P(A)；C.A、B相容；D.A、B不相容.

2.已知A、B、C相互獨(dú)立，證明、也相互獨(dú)立.

3.一射手對(duì)同一目標(biāo)進(jìn)行四次獨(dú)立的射擊，若至少射中一次的概率為射手每次射擊的命中率.

80

，求此81

*4.設(shè)A、B、C為相互獨(dú)立的事件，求證AB、AB、AB都與C獨(dú)立.

5.甲、乙、丙三人同時(shí)各用一發(fā)子彈對(duì)目標(biāo)進(jìn)行射擊，三人各自擊中目標(biāo)的概率分別是0.4、0.5、0.7.目標(biāo)被擊中一發(fā)而冒煙的概率為0.2，被擊中兩發(fā)而冒煙的概率為0.6，被擊中三發(fā)則必定冒煙，求目標(biāo)冒煙的概率.

6.甲、乙、丙三人搶答一道智力競(jìng)賽題，他們搶到答題權(quán)的概率分別為0.2、0.3、0.5；而他們能將題答對(duì)的概率則分別為0.9、0.4、0.4.現(xiàn)在這道題已經(jīng)答對(duì)，問(wèn)甲、乙、丙三人誰(shuí)答對(duì)的可能性最大.

7.某學(xué)校五年級(jí)有兩個(gè)班，一班50名學(xué)生，其中10名女生；二班30名學(xué)生，其中18名女生．在兩班中任選一個(gè)班，然后從中先后挑揀兩名學(xué)生，求（1）先選出的是女生的概率；（2）在已知先選出的是女生的條件下，后選出的也是女生的概率．

其次章一維隨機(jī)變量及其分布

2.1離散型隨機(jī)變量及其概率分布

1．填空題：

⑴當(dāng)c時(shí)P(Xk)c/N,(k1,,N)是隨機(jī)變量X的概率分布，當(dāng)c時(shí)P(Yk)(1c)/N,(k1,,N)是隨機(jī)變量Y的概率分布；

⑵當(dāng)a時(shí)P(Yk)a

k

k!

(k0,1,,0)是隨機(jī)變量Y的概率分布；

⑶進(jìn)行重復(fù)的獨(dú)立試驗(yàn)，并設(shè)每次試驗(yàn)成功的概率都是0.6.以X表示直到試驗(yàn)獲得成功時(shí)所需要的試驗(yàn)次數(shù)，則X的分布律為

；

⑷某射手對(duì)某一目標(biāo)進(jìn)行射擊，每次射擊的命中率都是p,射中了就中止射擊且至多只射擊10次.以X表示射擊的次數(shù)，則X的分布律為

；

⑸將一枚質(zhì)量均勻的硬幣獨(dú)立地拋擲n次，以X表示此n次拋擲中落地后正面向上的

次數(shù)，則X的分布律為.2．設(shè)在15只同類型的零件中有2只是次品，從中取3次，每次任取1只，以X表示取出的3只中次品的只數(shù).分別求出在⑴每次取出后記錄是否為次品，再放回去；⑵取后不放回，兩種情形下X的分布律.

3．一只袋子中裝有大小、質(zhì)量一致的6只球,其中3只球上各標(biāo)有1個(gè)點(diǎn),2只球上各標(biāo)有2個(gè)點(diǎn),1只球上標(biāo)有3個(gè)點(diǎn).從袋子中任取3只球，以X表示取出的3只球上點(diǎn)數(shù)的和.⑴求X的分布律；⑵求概率P(4X6),P(4X6),P(4X6),P(4X6).

4．某廠有7個(gè)參謀，假定每個(gè)參謀貢獻(xiàn)正確看法的可能性都是0.6.現(xiàn)在為某件事的可行與否個(gè)別地征求每個(gè)參謀的看法，并按多數(shù)參謀的看法作決策.求作出正確決策的概率.

5．袋子中裝有5只白球，3只黑球，從中任取1只，假使是黑球就不放回去，并從其它地方取來(lái)一只白球放入袋中，再?gòu)拇腥?只球.如此繼續(xù)下去，直到取到白球?yàn)橹?求直到取到白球?yàn)橹箷r(shí)所需的取球次數(shù)X的分布律.

2.2連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率分布

1．多項(xiàng)選擇題：以下函數(shù)中能成為某隨機(jī)變量的概率密度的是()

cosx,cosx0x0x,A.f(x)；2；B.f(x)2

0,其它其它0,cosx,xex,0x1xC.f(x).22；D.f(x)0,0,其它其它

2．設(shè)隨機(jī)變量X的概率分布律如右,求X的分

布函數(shù)及P(X2),P(0X3),P(2X3).

3．設(shè)一只袋中裝有依次標(biāo)有數(shù)字-1、2、2、2、3、3的六只球，此后袋中任取一只球，并以X表示取得的球上所標(biāo)有的數(shù)字.求X的分布律與分布函數(shù).

4．設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X⑴系數(shù)A；⑵X的分布函數(shù)；⑶P(0.1X

x

5．設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X的分布函數(shù)如右，試求：⑴系數(shù)k；⑵X的概率密度；⑶P(|X|0.5).

6．設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為F(x)ABarctanx(xR)，試求：⑴系數(shù)A與B；⑵X的概率密度；⑶X在區(qū)間(a,b)內(nèi)取值的概率.

2.3

1．設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布律如右，求UX1,V2X2,W2X21的分布律

ex,x0

,求隨機(jī)變量YeX的概率密度.2．設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為f(x)

0,x0

3．設(shè)隨機(jī)變量X在區(qū)間(0,)上聽從均勻分布，求：⑴隨機(jī)變量Y2lnX的概率密度；⑵隨機(jī)變量ZsinX的分布函數(shù)與概率密度.

4．設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X的概率密度為f(x)

x2/2

e(xR),求Y|X|的密度.*5．設(shè)F1(x)與F2(x)分別為兩個(gè)隨機(jī)變量的分布函數(shù)，證明：當(dāng)a0,b0且

ab1時(shí)，(x)aF1(x)bF2(x)可以作為某個(gè)隨機(jī)變量的分布函數(shù).

2.4一維隨機(jī)變量的數(shù)字特征

1．一批零件中有9件合格品與3件次品，往機(jī)器上安裝時(shí)任取一件，若取到次品就棄置一邊.求在取到合格品之前已取到的次品數(shù)的期望、方差與均方差.

2．設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為f(x)0.5e

3．設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為f(x)

|x|

,x,求EX,DX.

2(1x),0x1

,求EX與DX.

其它0,

4．某路公汽起點(diǎn)站每5分鐘發(fā)出一輛車，每個(gè)乘客到達(dá)起點(diǎn)站的時(shí)刻在發(fā)車間隔的5分

鐘內(nèi)均勻分布.求每個(gè)乘客候車時(shí)間的期望(假定汽車到站時(shí)，所有候車的乘客都能上車).

0.25ex/4,

5．某工廠生產(chǎn)的設(shè)備的壽命X(以年計(jì))的概率密度為f(x)

0,

x0x0

，工

廠規(guī)定，出售的設(shè)備若在一年之內(nèi)損壞可以調(diào)換.若出售一臺(tái)設(shè)備可贏利100元，調(diào)換一臺(tái)設(shè)備廠方需花費(fèi)300元，試求廠方出售一臺(tái)設(shè)備凈贏利的數(shù)學(xué)期望.

*6．某工廠計(jì)劃開發(fā)一種新產(chǎn)品，預(yù)計(jì)這種產(chǎn)品出售一件將獲利

潤(rùn)的數(shù)學(xué)期望最大，應(yīng)生產(chǎn)多少件產(chǎn)品？

500元，而積壓一件

將損失2000元.而且預(yù)計(jì)到這種產(chǎn)品的銷售量Y(件)聽從指數(shù)分布E(0.0001).問(wèn)要獲得利

第三章多維隨機(jī)變量及其分布

3.1二維隨機(jī)變量

1．設(shè)隨機(jī)變量(X,Y)只取以下數(shù)組中的值：(0,0)、(1,1)、(1,)、(2,0)且相應(yīng)的概率依次為

2．一只口袋中裝有四只球，球上分別標(biāo)有數(shù)字1、2、2、3.此后袋中任取一只球，取后不放回，再?gòu)拇腥稳∫恢磺?分別以X與Y表示第一次、其次次取到的球上標(biāo)有的數(shù)字，求X與Y的聯(lián)合分布律與關(guān)于X、Y的邊緣分布律.

13

1115、、、.求隨機(jī)變量(X,Y)的分布律與關(guān)于X、Y的邊緣分布律.631212

ce2(xy),0x,0y

3．設(shè)隨機(jī)變量(X,Y)的概率密度f(wàn)(x,y)，

其它0,

試求：⑴常數(shù)c；⑵(X,Y)的分布函數(shù)F(x,y)；⑶P{XY1}.

4．設(shè)隨機(jī)變量(X,Y)的概率密度為f(x,y)

4.8y(2x),0x1,0yx

求關(guān)于，

0,其它

X、Y的邊緣概率密度.

5．設(shè)隨機(jī)變量(X,Y)在G上聽從均勻分布，其中G由x軸、y軸及直線y2x1所圍成，試求：⑴(X,Y)的概率密度f(wàn)(x,y)；⑵求關(guān)于X、Y的邊緣概率密度.

*6．設(shè)某班車起點(diǎn)站上車的人數(shù)X

聽從參數(shù)為(0)的泊松分布，每位乘客在中途

下車的概率為p(0p1),乘客中途下車與否相互獨(dú)立，并以Y表示在中途下車的人數(shù).

求：⑴在發(fā)車時(shí)有n個(gè)乘客的條件下，中途有m人下車的概率；⑵(X,Y)的分布律.

1．設(shè)隨機(jī)變量X與Y相互獨(dú)立右表給出二維隨機(jī)變量(X,Y)律及邊緣分布律中的部分?jǐn)?shù)值.試將其余數(shù)值填入表中的空白處.

2．設(shè)隨機(jī)變量(X,Y)分布律如右:⑴a、b、c時(shí)X與Y相互獨(dú)立？⑵寫出(X,Y)的分布律與邊緣分布律.

3．設(shè)隨機(jī)變量X在1、2、3、4四個(gè)整數(shù)中等可能地取值,而隨機(jī)變量Y在1~X中等可能地取一個(gè)整數(shù).求：⑴X2時(shí),Y的條件分布律；⑵Y1時(shí),X的條件分布律.

e(xy),x0,y0

4．設(shè)隨機(jī)變量(X,Y)的概率密度為f(x,y).

其它0,

⑴求fY|X(y|x)

；

⑵求fX|Y(x|y)；⑶說(shuō)明X與Y的獨(dú)立性.

*5．箱子中裝有

12只開關(guān)(其中2只是次品)，從中取兩次，每次取一只，并定義隨

0,若第一次取出的是正品；0,若其次次取出的是正品，試在放回機(jī)變量如下：XY

1,若其次次取出的是次品1,若第一次取出的是次品

抽樣與不放回抽樣的兩種試驗(yàn)中，求關(guān)于X與Y的條件分布律，并說(shuō)明X與Y的獨(dú)立性.

c

*6．設(shè)隨機(jī)變量(X,Y)的概率密度為f(x,y)

與條件概率密度f(wàn)Y|X(y|x),fX|Y(x|y).

,|y|x,1x0

求參數(shù)c，

其它0,

3.31.設(shè)(X,Y)的分布律如右,求⑴P{X2|Y2},P{Y3|X0}

⑵Vmax(X,Y)的分布律；

⑶Umin(X,Y)的分布律；⑷WXY的分布律.

2．設(shè)X與Y是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，它們分別聽從參數(shù)為1、2的泊松分布.證明

ZXY聽從參數(shù)為12的泊松分布.

3．設(shè)隨機(jī)變量X與Y相互獨(dú)立,且都聽從參數(shù)為p0.25的兩點(diǎn)分布，記隨機(jī)變量Z為

1,XY為奇數(shù)求X與Z的聯(lián)合分布律與EZ.Z，

0,XY非為奇數(shù)

4．設(shè)隨機(jī)變量X與Y相互獨(dú)立，其概率密度分別為

x

12e,

fX(x)2

0,

y

13

x0e,

,fY(y)3x00,

y0y0

,求隨機(jī)變量UXY的概率密度.

xex,x0

5．某種商品一周的需求量X是一個(gè)隨機(jī)變量，其概率密度為f(x).

0,x0

設(shè)各周的需求量是相互獨(dú)立的，試求：⑴兩周；⑵三周的需求量的概率密度.

6．設(shè)某種型號(hào)的電子管的壽命(以小時(shí)記)近似地聽從E分布.隨機(jī)地選取4只，將其串聯(lián)在一條線路中，求此段線路的壽命超過(guò)180小時(shí)的概率。

7．設(shè)隨機(jī)變量(X,Y)~U(G),且G{(x,y)|1x3,1y3},求隨機(jī)變量

Z|XY|的概率密度.

8．設(shè)隨機(jī)變量X與Y相互獨(dú)立，且都在[1,1]上聽從均勻分布，求二次方程

t2XtY0有實(shí)根的概率.

3.4多元隨機(jī)變量的數(shù)字特征

1．單項(xiàng)選擇題：

⑴設(shè)X與Y的相關(guān)系數(shù)為0，則()

A.X與Y相互獨(dú)立;B.X與Y不一定相關(guān);C.X與Y必不相關(guān);D.X與Y必相關(guān).

⑵設(shè)X與Y的期望與方差都存在,且D(XY)DXDY,則以下不正確的是()

A.D(XY)DXDY;B.EXYEXEY;C.X與Y不相關(guān);D.X與Y相互獨(dú)立.

2．填空題：

⑴設(shè)隨機(jī)變量(X,Y)的概率密度為f(X,Y)

xy/96,0x4,1y5

，

其它0,

則EX，EY，EXY，E(2X3Y).⑵設(shè)隨機(jī)變量X與Y相互獨(dú)立，且X~P(2),Y~E(0.25),

則E(2X3X2)，D(2X3X2).

3．n把看似完全一致的鑰匙，只有一把能開保險(xiǎn)柜的門鎖，用它們?nèi)ピ囬_保險(xiǎn)柜.假

設(shè)取到每把鑰匙的可能性是等同的，且每把鑰匙只試開一次，求試開次數(shù)X的數(shù)學(xué)期望與方差.求在以下兩種方法下求試開次數(shù)X的數(shù)學(xué)期望與方差：

⑴先寫出X的分布律；*⑵不寫出X的分布律。

4．設(shè)(X,Y)在區(qū)域G上聽從均勻分布，其中G由x軸、y軸及直線xy1圍成.⑴求EX,E(3X2Y),E(XY)；⑵判斷隨機(jī)變量X與Y的獨(dú)立性.

12y2,

5．設(shè)隨機(jī)變量(X,Y)的概率密度為f(x,y)

0,

求EX,EY,cov(X,Y),XY.

0yx1

，

其它

6．設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X的概率密度f(wàn)(x)為偶函數(shù)，且EX,求cov(X,|X|)并說(shuō)明X與|X|的相關(guān)性.

2

*7．設(shè)隨機(jī)變量(X,Y)的概率密度為f(x,y)k,|y|x0x1時(shí);f(x,y)0,

其它時(shí)。⑴求k,fX(x),fY(y),fX|Y(x|y),fY|X(y|x),EX,DX,EY,DY,cov(X,Y),XY;⑵說(shuō)明X與Y的相關(guān)性與獨(dú)立性;⑶若ZXY,求FZ(z),fZ(z)。

參考答案

1-1、2

1.⑴A,B,C,D；⑵B,D.

2.⑴A發(fā)生；⑵B與C都不發(fā)生；⑶A發(fā)生且B與C都不發(fā)生；⑷A,B,C都不發(fā)生；

⑸A,B,C中至少有一個(gè)發(fā)生；⑹A,B,C中至少有一個(gè)不發(fā)生.

3.⑴A1A2A3；⑵123；⑶1A2A3A12A3A1A23；⑷122313.1-3、4

1.⑴A、D；⑵B；⑶C.2.3/11.3.0.777.4.8/15.5.⑴3/8；（2）9/64；（3）1/16．6.9/19.1-5

1.⑴A,B,C；⑵A,B,C.2.0.75.3.0.875.4.⑴0.3；⑵0.3125.5.0.067.6.都為b/(ab).

1-6

1.⑴C,D；⑵A,B,C.3.2/3.5.0.458.6.丙.7.（1）0.4；（2）0.4856．2-1

1.(1)1,0;(2)e

;(3)P(Xk)0.4k10.6(k1,2,);

(4)P(Xk)p(1p)k1(k1,2,,9),P(X10)(1p)9;

k

(5)P(Xk)Cn(0.5)n(k0,1,,n).

k2.(1)P(Xk)C3(2/15)k(13/15)3k(k0,1,2,3)

(2)P(X0)22/35,P(X1)12/35,P(X2)1/35.

P(4X6)0.6,P(4X6)0.6,

P(4X6)0.3,P(4X

6)0.9.

P(X3)21/256,P(X4)3/256.2-2

0,x0

1/16,0x1P(X2)0.751.A,D.2.P(0X3)0.6875.

F(x)1/4,1x2,

3/4,2x3P(2X3)0.75

x31,

0,x1

1/6,1x2F(x).2/3,2x3

x31,

0,x0

4.(1)3;(2)F(x)x3,0x1;(3)0.342.

1,x1

1,0x1;(3)0.5.5.(1)1;(2)f(x)

0,其它

6.(1)A0.5,B1/;(2)f(x)

1;(3)1/(arctanbarctana).

2

(1x)

ey/2/2,y

(2ln,)1/y2,y12.f(y).3.⑴fY(y)

其它y10,0,

0,z00z1⑵F(z)(2arcsinz)/,0z1,f(z).

ZZ

z0z10,1,z1

4.y0時(shí),fY(y)2ey

2

/2

y0時(shí),fY(y)0.

5.提醒：從證明(x)滿足分布函數(shù)的性質(zhì)入手證明

.

2-4

1.0.3,0.319,0.5649.2.0,2.3.1/3,1/18.4.2.5.5.33.64.6.2231.

03.c4,F(x,y),0.594.

其它0,

2.4x2(2x),0x12.4y(34yy2),0y1

4.