2013年福建省高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽暨2013年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽（福建省賽區(qū)）預(yù)賽試卷參考答案

福建數(shù)學(xué)網(wǎng)一站式數(shù)學(xué)資源服務(wù)千人QQ群323031380PAGEPAGE12013年福建省高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽暨2013年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽（福建省賽區(qū)）預(yù)賽試卷參考答案（考試時(shí)間：2013年9月7日上午9：00－11：30，滿分160分）一、填空題（共10小題，每小題6分，滿分60分。請(qǐng)直接將答案寫在題中的橫線上）1．已知數(shù)列滿足，（），則的最小值為。【答案】【解答】由，知，，，……，，。上述個(gè)等式左右兩邊分別相加，得。∴，又時(shí)，；時(shí)，?！鄷r(shí)，取最小值。2．對(duì)于函數(shù)，，若對(duì)任意的，存在唯一的，使得，則稱函數(shù)在上的幾何平均數(shù)為。已知，，則函數(shù)在上的幾何平均數(shù)?！敬鸢浮俊窘獯稹俊弋?dāng)時(shí)，，∴在區(qū)間上為增函數(shù)，其值域?yàn)?。∴根?jù)函數(shù)幾何平均數(shù)的定義知，。3．若三個(gè)非零且互不相等的實(shí)數(shù)、、滿足，則稱、、是調(diào)和的；若滿足，則稱、、是等差的。已知集合，集合是集合的三元子集，即。若集合中元素、、既是調(diào)和的，又是等差的，則稱集合為“好集”。則不同的“好集”的個(gè)數(shù)為?！敬鸢浮?006【解答】若、、既是調(diào)和的，又是等差的，則，，。即“好集”為形如（）的集合。由“好集”是集合的三元子集知，，，且?！啵?，且。符合條件的可取1006個(gè)值。∴“好集”的個(gè)數(shù)為1006。4．已知實(shí)數(shù)，滿足，且，則的最小值為。【答案】【解答】由知，?！?。設(shè)，則，。當(dāng)且僅當(dāng)，即，，時(shí)等號(hào)成立?！嗟淖钚≈禐?7。5．如圖，在四面體中，，是邊長(zhǎng)為3的等邊三角形。若，則四面體外接球的面積為?！敬鸢浮俊窘獯稹咳鐖D，設(shè)正的中心為，四面體外接球的球心為。則，，。取中點(diǎn)。由知，，，。于是，?！嗨拿骟w外接球半徑為2，其面積為。6．在正十邊形的10個(gè)頂點(diǎn)中，任取4個(gè)點(diǎn)，則以這4個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形為梯形的概率為。【答案】【解答】設(shè)正十邊形為。則以為底邊的梯形有、、共3個(gè)。同理分別以、、、…、、為底邊的梯形各有3個(gè)。這樣，合計(jì)有30個(gè)梯形。以為底邊的梯形有、共2個(gè)。同理分別以、、、…、、為底邊的梯形各有2個(gè)。這樣，合計(jì)有20個(gè)梯形。以為底邊的梯形只有1個(gè)。同理分別以、、、…、、為底邊的梯形各有1個(gè)。這樣，合計(jì)有10個(gè)梯形。所以，所求的概率。7．方程在區(qū)間內(nèi)的所有實(shí)根之和為。（符號(hào)表示不超過(guò)的最大整數(shù)）。【答案】12【解答】設(shè)，則對(duì)任意實(shí)數(shù)，。原方程化為。①若，則，（）。∴（）。結(jié)合知，，1，2，3，4，5，6。經(jīng)檢驗(yàn)，，2，4，6符合要求。②若，則，（）?！啵ǎ＝Y(jié)合知，，，。經(jīng)檢驗(yàn)，，，均不符合要求?！喾蠗l件的為0，2，4，6，它們的和為12。8．已知為上增函數(shù)，且對(duì)任意，都有，則。【答案】10【解答】依題意，為常數(shù)。設(shè)，則，。∴，。易知方程有唯一解?！?，。9．已知集合的元素都是整數(shù)，其中最小的為1，最大的為200。且除1以外，中每一個(gè)數(shù)都等于中某兩個(gè)數(shù)（可以相同）的和。則的最小值為。（符號(hào)表示集合中元素的個(gè)數(shù)）【答案】10【解答】易知集合符合要求。此時(shí)，。下面說(shuō)明不符合要求。假設(shè)集合，符合要求。則，，，，，，。由于，因此，，。同理，由，知，，。由，知，，。由，知，，與為整數(shù)矛盾?！嗖环弦螅?。同理，也不符合要求。因此，的最小值為10。10．已知函數(shù)，則函數(shù)在區(qū)間上的最大值為?！敬鸢浮俊窘獯稹咳魹橛欣頂?shù)，且。設(shè)（，），由知，，。當(dāng)時(shí)，不存在；當(dāng)時(shí)，存在唯一的，此時(shí)，。當(dāng)時(shí)，設(shè)，其中，且，此時(shí)。∵，∴若為有理數(shù)，則時(shí)，取最大值。又為無(wú)理數(shù)，且時(shí)，。綜合以上可知，在區(qū)間上的最大值為。二、解答題（共5小題，每小題20分，滿分100分。要求寫出解題過(guò)程）11．將各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列排成如下所示的三角形數(shù)陣（第行有個(gè)數(shù)，同一行中，下標(biāo)小的數(shù)排在左邊）。表示數(shù)陣中，第行、第1列的數(shù)。已知數(shù)列為等比數(shù)列，且從第3行開始，各行均構(gòu)成公差為的等差數(shù)列（第3行的3個(gè)數(shù)構(gòu)成公差為的等差數(shù)列；第4行的4個(gè)數(shù)構(gòu)成公差為的等差數(shù)列，……），，，。（1）求數(shù)陣中第行、第列的數(shù)（用、表示）。（2）求的值；（3）2013是否在該數(shù)陣中？并說(shuō)明理由。……………【解答】（1）設(shè)的公比為。依題意，為數(shù)陣中第5行、第2列的數(shù)；為數(shù)陣中第6行、第3列的數(shù)?！?，，，?！?分∴，，。∴。…10分（2）由，，知，為數(shù)陣中第63行，第60列的數(shù)?！唷！?5分（3）假設(shè)2013為數(shù)陣中第行、第列的數(shù)。∵第行中，最小的數(shù)為，最大的數(shù)為，∴……………①。由于時(shí)，，因此不符合①；由于時(shí)，，因此不符合①；∴上述不等式①無(wú)正整數(shù)解?！?013不在該數(shù)陣中?！?0分12．已知、為拋物線：上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)在第一象限，點(diǎn)在第四象限。、分別過(guò)點(diǎn)、且與拋物線相切，為、的交點(diǎn)。（1）若直線過(guò)拋物線的焦點(diǎn)，求證：動(dòng)點(diǎn)在一條定直線上，并求此直線方程；（2）設(shè)、為直線、與直線的交點(diǎn)，求面積的最小值?！窘獯稹浚?）設(shè)，（）。易知斜率存在，設(shè)為，則方程為。由得，……………①由直線與拋物線相切，知。于是，，方程為。同理，方程為。聯(lián)立、方程可得點(diǎn)坐標(biāo)為……5分∵，方程為，過(guò)拋物線的焦點(diǎn)。∴，?！啵c(diǎn)在定直線上。……10分或解：設(shè)，，則方程為，方程為?！?分設(shè)，則，?！帱c(diǎn)，坐標(biāo)滿足方程?！嘀本€方程為。由直線過(guò)點(diǎn)，知?！?。點(diǎn)在定直線上?！?0分（2）由（1）知，、的坐標(biāo)分別為、?！唷！??！?5分設(shè)（），，由知，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立?！?。設(shè)，則。∴時(shí)，；時(shí)，。在區(qū)間上為減函數(shù)；在區(qū)間上為增函數(shù)?！鄷r(shí)，取最小值。∴當(dāng)，，即，時(shí)，面積取最小值。…20分13．如圖，在中，，它的內(nèi)切圓分別與邊、、相切于點(diǎn)、、，連接，與內(nèi)切圓相交于另一點(diǎn)，連接、、、、。（1）求證：；（2）若，求證：。【解答】（1）由條件知，，又。∴，?！?分同理，由，知，，。∵，∴?！??！?0分（2）∵，∴。∴。∴…15分結(jié)合（1）可知，。又，∴，?！?、、、四點(diǎn)共圓。又，∴，?！?0分14．已知。（1）求在區(qū)間上的最小值；（2）利用函數(shù)的性質(zhì)，求證：（，且）；（3）求證：（，且）?！窘獯稹浚?）∵?！鄷r(shí)，，即在區(qū)間上為增函數(shù)?！嘣趨^(qū)間上的最小值為?！?分（2）由（1）知，對(duì)任意的實(shí)數(shù)，恒成立?！鄬?duì)任意的正整數(shù)，，即恒成立。………………10分∴，，……，?！唷！唷！啵視r(shí)，。……………15分（3）由柯西不等式知，。結(jié)合（2）的結(jié)論可知，當(dāng)，且時(shí)，?！?0分15．已知集合。，，，…，為集合中構(gòu)成等差數(shù)列的個(gè)元素。求的最大值。【解答】（1）顯然1，2，3，4，5，6這6個(gè)數(shù)在集合中，且構(gòu)成等差數(shù)列。…5分（2）下面證明集合中任意7個(gè)不同的數(shù)都不能構(gòu)成等差數(shù)列。用反證法。設(shè)，，，…，為集合中構(gòu)成等差數(shù)列的7個(gè)不同的元素，其公差為，。由集合中元素的特性知，集合中任意一個(gè)元素都不是7的倍數(shù)?！嘤沙閷显碇?，，，…，這7個(gè)數(shù)中，存在2個(gè)數(shù)，它們被7除的余數(shù)相同，其差能被7整除。設(shè)（，）能被7整除。則。∴?！?0分設(shè)（為正整數(shù)），設(shè)（，，為不超過(guò)6的正整數(shù)）。則，其中，3，…，7?！?，，∴，即公差只能為，，…，。…………