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福建數(shù)學(xué)網(wǎng)一站式數(shù)學(xué)資源服務(wù)千人QQ群323031380PAGEPAGE12013年福建省高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽暨2013年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽(福建省賽區(qū))預(yù)賽試卷參考答案(考試時(shí)間:2013年9月7日上午9:00-11:30,滿分160分)一、填空題(共10小題,每小題6分,滿分60分。請(qǐng)直接將答案寫在題中的橫線上)1.已知數(shù)列滿足,(),則的最小值為。【答案】【解答】由,知,,,……,,。上述個(gè)等式左右兩邊分別相加,得。∴,又時(shí),;時(shí),?!鄷r(shí),取最小值。2.對(duì)于函數(shù),,若對(duì)任意的,存在唯一的,使得,則稱函數(shù)在上的幾何平均數(shù)為。已知,,則函數(shù)在上的幾何平均數(shù)。【答案】【解答】∵當(dāng)時(shí),,∴在區(qū)間上為增函數(shù),其值域?yàn)??!喔鶕?jù)函數(shù)幾何平均數(shù)的定義知,。3.若三個(gè)非零且互不相等的實(shí)數(shù)、、滿足,則稱、、是調(diào)和的;若滿足,則稱、、是等差的。已知集合,集合是集合的三元子集,即。若集合中元素、、既是調(diào)和的,又是等差的,則稱集合為“好集”。則不同的“好集”的個(gè)數(shù)為?!敬鸢浮?006【解答】若、、既是調(diào)和的,又是等差的,則,,。即“好集”為形如()的集合。由“好集”是集合的三元子集知,,,且?!?,,且。符合條件的可取1006個(gè)值?!唷昂眉钡膫€(gè)數(shù)為1006。4.已知實(shí)數(shù),滿足,且,則的最小值為?!敬鸢浮俊窘獯稹坑芍!唷TO(shè),則,。當(dāng)且僅當(dāng),即,,時(shí)等號(hào)成立。∴的最小值為27。5.如圖,在四面體中,,是邊長(zhǎng)為3的等邊三角形。若,則四面體外接球的面積為?!敬鸢浮俊窘獯稹咳鐖D,設(shè)正的中心為,四面體外接球的球心為。則,,。取中點(diǎn)。由知,,,。于是,?!嗨拿骟w外接球半徑為2,其面積為。6.在正十邊形的10個(gè)頂點(diǎn)中,任取4個(gè)點(diǎn),則以這4個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形為梯形的概率為?!敬鸢浮俊窘獯稹吭O(shè)正十邊形為。則以為底邊的梯形有、、共3個(gè)。同理分別以、、、…、、為底邊的梯形各有3個(gè)。這樣,合計(jì)有30個(gè)梯形。以為底邊的梯形有、共2個(gè)。同理分別以、、、…、、為底邊的梯形各有2個(gè)。這樣,合計(jì)有20個(gè)梯形。以為底邊的梯形只有1個(gè)。同理分別以、、、…、、為底邊的梯形各有1個(gè)。這樣,合計(jì)有10個(gè)梯形。所以,所求的概率。7.方程在區(qū)間內(nèi)的所有實(shí)根之和為。(符號(hào)表示不超過(guò)的最大整數(shù))。【答案】12【解答】設(shè),則對(duì)任意實(shí)數(shù),。原方程化為。①若,則,()。∴()。結(jié)合知,,1,2,3,4,5,6。經(jīng)檢驗(yàn),,2,4,6符合要求。②若,則,()?!啵ǎ?。結(jié)合知,,,。經(jīng)檢驗(yàn),,,均不符合要求?!喾蠗l件的為0,2,4,6,它們的和為12。8.已知為上增函數(shù),且對(duì)任意,都有,則?!敬鸢浮?0【解答】依題意,為常數(shù)。設(shè),則,?!?,。易知方程有唯一解。∴,。9.已知集合的元素都是整數(shù),其中最小的為1,最大的為200。且除1以外,中每一個(gè)數(shù)都等于中某兩個(gè)數(shù)(可以相同)的和。則的最小值為。(符號(hào)表示集合中元素的個(gè)數(shù))【答案】10【解答】易知集合符合要求。此時(shí),。下面說(shuō)明不符合要求。假設(shè)集合,符合要求。則,,,,,,。由于,因此,,。同理,由,知,,。由,知,,。由,知,,與為整數(shù)矛盾?!嗖环弦?,。同理,也不符合要求。因此,的最小值為10。10.已知函數(shù),則函數(shù)在區(qū)間上的最大值為?!敬鸢浮俊窘獯稹咳魹橛欣頂?shù),且。設(shè)(,),由知,,。當(dāng)時(shí),不存在;當(dāng)時(shí),存在唯一的,此時(shí),。當(dāng)時(shí),設(shè),其中,且,此時(shí)?!?,∴若為有理數(shù),則時(shí),取最大值。又為無(wú)理數(shù),且時(shí),。綜合以上可知,在區(qū)間上的最大值為。二、解答題(共5小題,每小題20分,滿分100分。要求寫出解題過(guò)程)11.將各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列排成如下所示的三角形數(shù)陣(第行有個(gè)數(shù),同一行中,下標(biāo)小的數(shù)排在左邊)。表示數(shù)陣中,第行、第1列的數(shù)。已知數(shù)列為等比數(shù)列,且從第3行開(kāi)始,各行均構(gòu)成公差為的等差數(shù)列(第3行的3個(gè)數(shù)構(gòu)成公差為的等差數(shù)列;第4行的4個(gè)數(shù)構(gòu)成公差為的等差數(shù)列,……),,,。(1)求數(shù)陣中第行、第列的數(shù)(用、表示)。(2)求的值;(3)2013是否在該數(shù)陣中?并說(shuō)明理由?!窘獯稹浚?)設(shè)的公比為。依題意,為數(shù)陣中第5行、第2列的數(shù);為數(shù)陣中第6行、第3列的數(shù)?!啵?,,?!?分∴,,。∴?!?0分(2)由,,知,為數(shù)陣中第63行,第60列的數(shù)?!唷!?5分(3)假設(shè)2013為數(shù)陣中第行、第列的數(shù)?!叩谛兄校钚〉臄?shù)為,最大的數(shù)為,∴……………①。由于時(shí),,因此不符合①;由于時(shí),,因此不符合①;∴上述不等式①無(wú)正整數(shù)解。∴2013不在該數(shù)陣中?!?0分12.已知、為拋物線:上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)在第一象限,點(diǎn)在第四象限。、分別過(guò)點(diǎn)、且與拋物線相切,為、的交點(diǎn)。(1)若直線過(guò)拋物線的焦點(diǎn),求證:動(dòng)點(diǎn)在一條定直線上,并求此直線方程;(2)設(shè)、為直線、與直線的交點(diǎn),求面積的最小值。【解答】(1)設(shè),()。易知斜率存在,設(shè)為,則方程為。由得,……………①由直線與拋物線相切,知。于是,,方程為。同理,方程為。聯(lián)立、方程可得點(diǎn)坐標(biāo)為……5分∵,方程為,過(guò)拋物線的焦點(diǎn)。∴,?!?,點(diǎn)在定直線上?!?0分或解:設(shè),,則方程為,方程為?!?分設(shè),則,。∴點(diǎn),坐標(biāo)滿足方程?!嘀本€方程為。由直線過(guò)點(diǎn),知?!唷|c(diǎn)在定直線上。……10分(2)由(1)知,、的坐標(biāo)分別為、?!??!唷!?5分設(shè)(),,由知,,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立。∴。設(shè),則。∴時(shí),;時(shí),。在區(qū)間上為減函數(shù);在區(qū)間上為增函數(shù)?!鄷r(shí),取最小值。∴當(dāng),,即,時(shí),面積取最小值?!?0分13.如圖,在中,,它的內(nèi)切圓分別與邊、、相切于點(diǎn)、、,連接,與內(nèi)切圓相交于另一點(diǎn),連接、、、、。(1)求證:;(2)若,求證:?!窘獯稹浚?)由條件知,,又?!?,?!?分同理,由,知,,。∵,∴。∴?!?0分(2)∵,∴?!唷!唷?5分結(jié)合(1)可知,。又,∴,?!?、、、四點(diǎn)共圓。又,∴,?!?0分14.已知。(1)求在區(qū)間上的最小值;(2)利用函數(shù)的性質(zhì),求證:(,且);(3)求證:(,且)。【解答】(1)∵?!鄷r(shí),,即在區(qū)間上為增函數(shù)?!嘣趨^(qū)間上的最小值為。……………5分(2)由(1)知,對(duì)任意的實(shí)數(shù),恒成立?!鄬?duì)任意的正整數(shù),,即恒成立?!?0分∴,,……,。∴?!??!?,且時(shí),?!?5分(3)由柯西不等式知,。結(jié)合(2)的結(jié)論可知,當(dāng),且時(shí),。………………20分15.已知集合。,,,…,為集合中構(gòu)成等差數(shù)列的個(gè)元素。求的最大值?!窘獯稹浚?)顯然1,2,3,4,5,6這6個(gè)數(shù)在集合中,且構(gòu)成等差數(shù)列?!?分(2)下面證明集合中任意7個(gè)不同的數(shù)都不能構(gòu)成等差數(shù)列。用反證法。設(shè),,,…,為集合中構(gòu)成等差數(shù)列的7個(gè)不同的元素,其公差為,。由集合中元素的特性知,集合中任意一個(gè)元素都不是7的倍數(shù)?!嘤沙閷显碇?,,,,…,這7個(gè)數(shù)中,存在2個(gè)數(shù),它們被7除的余數(shù)相同,其差能被7整除。設(shè)(,)能被7整除。則?!??!?0分設(shè)(為正整數(shù)),設(shè)(,,為不超過(guò)6的正整數(shù))。則,其中,3,…,7。∵,,∴,即公差只能為,,…,?!?/p>
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