數(shù)列極限定義的教學(xué)思考

數(shù)列極限定義的教學(xué)思考極限是數(shù)學(xué)分析的基礎(chǔ)，是數(shù)學(xué)分析課程中重要的概念之一，它也是研究微分學(xué)和積分學(xué)的必備工具。在數(shù)列極限的教學(xué)中，有很多學(xué)生總感到理解數(shù)列極限概念很困難，認(rèn)為s-N定義中的符號(hào)關(guān)系復(fù)雜，不易理解。本文對(duì)數(shù)列極限概念的教學(xué)過(guò)程進(jìn)行了如下設(shè)計(jì)。一、介紹極限發(fā)展歷史極限思想的萌芽可以追溯到中國(guó)戰(zhàn)國(guó)時(shí)期和古希臘時(shí)期，但極限概念首次出現(xiàn)于沃利斯的《無(wú)窮算數(shù)》中，牛頓在其《自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理》一書中明確使用了極限這個(gè)詞并作了闡述。18世紀(jì)下半葉，達(dá)郎貝爾等人認(rèn)識(shí)到把微積分建立在極限概念的基礎(chǔ)之上，微積分才是完善的，柯西最先給出了極限的描述性定義，之后，魏爾斯特拉斯給出了極限的嚴(yán)格定義。教師通過(guò)對(duì)極限發(fā)展歷史的簡(jiǎn)單介紹，能加強(qiáng)學(xué)生對(duì)極限概念的感性認(rèn)識(shí)。二、列舉極限相關(guān)的例子，為引入極限定義作鋪墊例1：古代哲學(xué)家莊周的《莊子?天下篇》引用過(guò)一句話：一尺之棰，日取其半，萬(wàn)世不竭。其含義是：一根長(zhǎng)為一尺的木棒，每天截下一半，這樣的過(guò)程可以無(wú)限制地進(jìn)行下去。分析：把每天截下部分的長(zhǎng)度列出如下（單位為尺）：第一天截下■，第二天截下■，……，第n天截下■，……，這樣就得到一個(gè)數(shù)列?。觀察易知，數(shù)列■的通項(xiàng)■隨著n的無(wú)限增大而無(wú)限地接近于0。例2：介紹劉徽創(chuàng)立的“割圓術(shù)”。我國(guó)古代杰出的數(shù)學(xué)家劉徽于魏景元四年（公元263年）創(chuàng)立的“割圓術(shù)”，他通過(guò)借助于圓的一串內(nèi)接正多邊形的周長(zhǎng)數(shù)列的穩(wěn)定變化趨勢(shì)定義了圓的周長(zhǎng)。其作法是：首先作圓的內(nèi)接正六邊形，其次平分每個(gè)邊所對(duì)的弧，作圓的內(nèi)接正十二邊形，以下用同樣的方法，繼續(xù)作圓的內(nèi)接正二十四邊形，圓的內(nèi)接正四十八邊形，等等。這樣我們就得到了一串圓的內(nèi)接正多邊形的周長(zhǎng)數(shù)列：P6,P12,P24,…，P?，…，其中P■通項(xiàng)表示第n次作出的圓的內(nèi)接正2n-L6邊形的周長(zhǎng)。觀察，我們知道圓的內(nèi)接正多邊形的邊數(shù)成倍無(wú)限增加時(shí)，這一竄圓的圓的內(nèi)接正多邊形的周長(zhǎng)數(shù)列趨向于某個(gè)常數(shù)C。于是我們可以將C定義為該圓的周長(zhǎng)。例3：觀察數(shù)列特征：■，｛（-1）n｝，■，｛3n｝。我們發(fā)現(xiàn)當(dāng)n無(wú)限增大時(shí)，■趨向于1,（-1）n則在-1，+1之間擺動(dòng)，■也趨向于1,但是3n則趨向于無(wú)窮大。通過(guò)對(duì)以上三個(gè)例題的分析，讓學(xué)生對(duì)數(shù)列極限有個(gè)初步認(rèn)識(shí)。三、數(shù)列極限定義定義：設(shè)｛an｝為數(shù)列，a為常數(shù)。若對(duì)任給的正數(shù)￡，總存在正整數(shù)N，使得當(dāng)nN時(shí)有|an-a|<￡，則稱數(shù)列｛an｝收斂于a，a稱為數(shù)列｛an｝的極限，并記作?an=a。若數(shù)列數(shù)列｛an｝沒(méi)有極限，則稱｛an｝不收斂，或稱｛an｝為發(fā)散數(shù)列。></￡，則稱數(shù)列｛an｝收斂于a，a稱為數(shù)列｛an｝的極限，并記作?an=a。若數(shù)列數(shù)列｛an｝沒(méi)有極限，則稱｛an｝不收斂，或稱｛an｝為發(fā)散數(shù)列。>為了更好地理解極限的定義，我們給出以下注意事項(xiàng)。注：1.8的雙重性。首先s具有絕對(duì)的任意性，這樣就保證了數(shù)列｛an｝無(wú)限趨向與a。另外一方面，s具有相對(duì)的固定性，一旦取定8,我們就可以估算an與a的接近程度。s的雙重性使得數(shù)列極限的s-N定義，既能從近似轉(zhuǎn)化為精確，又能從精確轉(zhuǎn)化為近似，它是掌握極限定義的關(guān)鍵。.N的存在性。在極限定義中，重在N的存在性，且N的存在性是與s相關(guān)的。定義中并沒(méi)有要求N的唯一性，也就是說(shuō)一旦s任意給定后，我們只要能夠找到滿足條件的N即可。.極限的幾何意義。在平面坐標(biāo)系中，數(shù)列｛an｝對(duì)應(yīng)于數(shù)軸上的一竄點(diǎn)，對(duì)于任意的￡,存在正整數(shù)N,使得當(dāng)nN時(shí)，所有點(diǎn)an均在開區(qū)間（a-s，a+C內(nèi)。故至多N個(gè)點(diǎn)an在這區(qū)間外。.收斂與發(fā)散的數(shù)學(xué)符號(hào)敘述。數(shù)列｛an｝收斂？圳？堝aRR，？全s0，？堝NRN?，？全nN，有|an-a|<s。></s。>數(shù)列｛an｝發(fā)散？圳？全aRR，？堝s?0，？坌NENB，？堝n?N，有|an--a|2s。四、例題講解例1：證明??二1。證明：？全s0,要使不等式--1=■<￡成立，只需n>■-2。于是取N=--2，從而？全s0，？堝N=--2RN+，使得？全nN，有--1<s，即??=1。></s，即??=1。></s成立，只需n>例2：證明■■二?。證明：限定n7,從而n3-30,要使不等式■-■二■■■<￡></￡>成立，只需n■。取N=max?，7。于是？全s0,？堝N=max?，7RN+，使得？全nN，有■-■<￡，即■■=?。></￡，即■■二?。>通過(guò)上面兩個(gè)例題的詳細(xì)講解，出求數(shù)列極限的一般步驟，并強(qiáng)調(diào)證明數(shù)列極限過(guò)程重在尋找合適的，我們可以采取“限定”和“放大”的方法來(lái)尋找N。然后再講解幾個(gè)求數(shù)列極限的證明題，照的證明步驟，一步一步證明，以此加深學(xué)生對(duì)的理解。最后在學(xué)生對(duì)證明數(shù)列極限方法有了一定的熟練后，再舉兩個(gè)證明數(shù)列發(fā)散的題目。通過(guò)嚴(yán)格的分析證明，結(jié)出證明數(shù)列發(fā)散的一般步驟，對(duì)比證明數(shù)列收斂的步驟，找出他們各自的證明難點(diǎn)，從而加深對(duì)數(shù)列極限的理解。