2022年中考數(shù)學(xué)真題分類練習(xí)之最值問(wèn)題

2022年中考數(shù)學(xué)真題分類練習(xí)：最值問(wèn)題一、選擇題1.（2022廣東）點(diǎn)，，，在反比例函數(shù)圖象上，則，，，中最小的是（）A. B. C. D.2.（2022賀州）已知二次函數(shù)y=2x2?4x?1在0≤x≤a時(shí)，y取得的最大值為15，則a的值為（）A.1 B.2 C.3 D.43.（2022安徽）已知點(diǎn)O是邊長(zhǎng)為6的等邊△ABC的中心，點(diǎn)P在△ABC外，△ABC，△PAB，△PBC，△PCA的面積分別記為，，，．若，則線段OP長(zhǎng)的最小值是（）A. B. C. D.4.（2022梧州）如圖，已知拋物線的對(duì)稱軸是，直線軸，且交拋物線于點(diǎn)，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A. B.若實(shí)數(shù)，則C. D.當(dāng)時(shí)，5.（2022北京）下面的三個(gè)問(wèn)題中都有兩個(gè)變量：①汽車從A地勻速行駛到B地，汽車的剩余路程y與行駛時(shí)間x；②將水箱中的水勻速放出，直至放完，水箱中的剩余水量y與放水時(shí)間x；③用長(zhǎng)度一定的繩子圍成一個(gè)矩形，矩形的面積y與一邊長(zhǎng)x，其中，變量y與變量x之間的函數(shù)關(guān)系可以利用如圖所示的圖象表示的是（）A.①② B.①③ C.②③ D.①②③6.（2022貴港）如圖，在邊長(zhǎng)為1的菱形中，，動(dòng)點(diǎn)E在邊上（與點(diǎn)A、B均不重合），點(diǎn)F在對(duì)角線上，與相交于點(diǎn)G，連接，若，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A. B. C. D.最小值為二、填空題7.（2022甘肅武威）如圖，以一定的速度將小球沿與地面成一定角度的方向擊出時(shí)，小球的飛行路線是一條拋物線．若不考慮空氣阻力，小球的飛行高度（單位：m）與飛行時(shí)間（單位：s）之間具有函數(shù)關(guān)系：，則當(dāng)小球飛行高度達(dá)到最高時(shí)，飛行時(shí)間_________s．8.（2022賀州）如圖，在矩形ABCD中，，E，F(xiàn)分別是AD，AB的中點(diǎn)，的平分線交AB于點(diǎn)G，點(diǎn)P是線段DG上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則的周長(zhǎng)最小值為__________．三、解答題9.（2022北京）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)在拋物線上，設(shè)拋物線的對(duì)稱軸為（1）當(dāng)時(shí)，求拋物線與y軸交點(diǎn)的坐標(biāo)及的值；（2）點(diǎn)在拋物線上，若求的取值范圍及的取值范圍．10.（2022廣東）如圖，拋物線（b，c是常數(shù)）的頂點(diǎn)為C，與x軸交于A，B兩點(diǎn)，，，點(diǎn)P為線段上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)P作交于點(diǎn)Q．

（1）求該拋物線的解析式；（2）求面積的最大值，并求此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)．11.（2022福建）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線經(jīng)過(guò)A（4，0），B（1，4）兩點(diǎn)．P是拋物線上一點(diǎn)，且在直線AB的上方．（1）求拋物線的解析式；（2）若△OAB面積是△PAB面積的2倍，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）如圖，OP交AB于點(diǎn)C，交AB于點(diǎn)D．記△CDP，△CPB，△CBO的面積分別為，，．判斷是否存在最大值．若存在，求出最大值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．12.（2022海南）如圖1，矩形中，，點(diǎn)P在邊上，且不與點(diǎn)B、C重合，直線與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E．

（1）當(dāng)點(diǎn)P是的中點(diǎn)時(shí)，求證：；（2）將沿直線折疊得到，點(diǎn)落在矩形的內(nèi)部，延長(zhǎng)交直線于點(diǎn)F．①證明，并求出在（1）條件下的值；②連接，求周長(zhǎng)的最小值；③如圖2，交于點(diǎn)H，點(diǎn)G是的中點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，請(qǐng)判斷與的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．13.（2022貴港）如圖，已知拋物線經(jīng)過(guò)和兩點(diǎn)，直線與x軸相交于點(diǎn)C，P是直線上方的拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，軸交于點(diǎn)D．（1）求該拋物線的表達(dá)式；（2）若軸交于點(diǎn)E，求的最大值；（3）若以A，P，D為頂點(diǎn)的三角形與相似，請(qǐng)直接寫出所有滿足條件的點(diǎn)P，點(diǎn)D的坐標(biāo)．14.（2022甘肅武威）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)在軸上，且，，分別是線段，上的動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)，不與點(diǎn)，，重合）．（1）求此拋物線的表達(dá)式；（2）連接并延長(zhǎng)交拋物線于點(diǎn)，當(dāng)軸，且時(shí)，求的長(zhǎng)；（3）連接．①如圖2，將沿軸翻折得到，當(dāng)點(diǎn)在拋物線上時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；②如圖3，連接，當(dāng)時(shí)，求的最小值．15.（2022北京）單板滑雪大跳臺(tái)是北京冬奧會(huì)比賽項(xiàng)目之一，舉辦場(chǎng)地為首鋼滑雪大跳臺(tái)，運(yùn)動(dòng)員起跳后的飛行路線可以看作是拋物線的一部分，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，從起跳到著陸的過(guò)程中，運(yùn)動(dòng)員的豎直高度（單位：m）與水平距離（單位：m）近似滿足函數(shù)關(guān)系．某運(yùn)動(dòng)員進(jìn)行了兩次訓(xùn)練．（1）第一次訓(xùn)練時(shí)，該運(yùn)動(dòng)員的水平距離與豎直高度的幾組數(shù)據(jù)如下：水平距離x/m02581114豎直高度y/m20.0021.4022.7523.2022.7521.40根據(jù)上述數(shù)據(jù)，直接寫出該運(yùn)動(dòng)員豎直高度的最大值，并求出滿足的函數(shù)關(guān)系（2）第二次訓(xùn)練時(shí)，該運(yùn)動(dòng)員的豎直高度y與水平距離x近似滿足函數(shù)關(guān)系記該運(yùn)動(dòng)員第一次訓(xùn)練的著陸點(diǎn)的水平距離為d1，第二次訓(xùn)練的著陸點(diǎn)的水平距離為，則______（填“>”“=”或“<”）．16.（2022北京）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)對(duì)于點(diǎn)給出如下定義：將點(diǎn)向右或向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上或向下平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為，稱點(diǎn)為點(diǎn)的“對(duì)應(yīng)點(diǎn)”．（1）如圖，點(diǎn)點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上，若點(diǎn)點(diǎn)為點(diǎn)的“對(duì)應(yīng)點(diǎn)”．①在圖中畫出點(diǎn)；②連接交線段于點(diǎn)求證：（2）的半徑為1，是上一點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，且，若為外一點(diǎn)，點(diǎn)為點(diǎn)的“對(duì)應(yīng)點(diǎn)”，連接當(dāng)點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)時(shí)直接寫出長(zhǎng)的最大值與最小值的差（用含的式子表示）17.（2022梧州）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線分別與x，y軸交于點(diǎn)A，B，拋物線恰好經(jīng)過(guò)這兩點(diǎn)．（1）求此拋物線的解析式；（2）若點(diǎn)C的坐標(biāo)是，將繞著點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)E．①寫出點(diǎn)E的坐標(biāo)，并判斷點(diǎn)E是否在此拋物線上；②若點(diǎn)P是y軸上的任一點(diǎn)，求取最小值時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)．18.（2022海南）如圖1，拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，并交x軸于另一點(diǎn)B，點(diǎn)在第一象限的拋物線上，交直線于點(diǎn)D．（1）求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式；（2）當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為時(shí)，求四邊形的面積；（3）點(diǎn)Q在拋物線上，當(dāng)?shù)闹底畲笄沂侵苯侨切螘r(shí)，求點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)；19.（2022安徽）如圖1，隧道截面由拋物線的一部分AED和矩形ABCD構(gòu)成，矩形的一邊BC為12米，另一邊AB為2米．以BC所在的直線為x軸，線段BC的垂直平分線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系xOy，規(guī)定一個(gè)單位長(zhǎng)度代表1米．E（0，8）是拋物線的頂點(diǎn)．（1）求此拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；（2）在隧道截面內(nèi)（含邊界）修建“”型或“”型柵欄，如圖2、圖3中粗線段所示，點(diǎn)，在x軸上，MN與矩形的一邊平行且相等．柵欄總長(zhǎng)l為圖中粗線段，，，MN長(zhǎng)度之和．請(qǐng)解決以下問(wèn)題：（?。┬藿ㄒ粋€(gè)“”型柵欄，如圖2，點(diǎn)，在拋物線AED上．設(shè)點(diǎn)橫坐標(biāo)為，求柵欄總長(zhǎng)l與m之間的函數(shù)表達(dá)式和l的最大值；（ⅱ）現(xiàn)修建一個(gè)總長(zhǎng)為18的柵欄，有如圖3所示的修建“”型或“”型柵型兩種設(shè)計(jì)方案，請(qǐng)你從中選擇一種，求出該方案下矩形面積的最大值，及取最大值時(shí)點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍（在右側(cè)）．20.（2022北部灣）已知，點(diǎn)A，B分別在射線上運(yùn)動(dòng)，．（1）如圖①，若，取AB中點(diǎn)D，點(diǎn)A，B運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)D也隨之運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)A，B，D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為，連接．判斷OD與有什么數(shù)量關(guān)系?證明你的結(jié)論：（2）如圖②，若，以AB為斜邊在其右側(cè)作等腰直角三角形ABC，求點(diǎn)O與點(diǎn)C的最大距離：（3）如圖③，若，當(dāng)點(diǎn)A，B運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，的面積最大?請(qǐng)說(shuō)明理由，并求出面積的最大值．

2022年中考數(shù)學(xué)真題分類練習(xí)：最值問(wèn)題參考答案一、選擇題1.（2022廣東）點(diǎn)，，，在反比例函數(shù)圖象上，則，，，中最小的是（）A. B. C. D.【答案】解：由反比例函數(shù)解析式可知：，∴在每個(gè)象限內(nèi)，y隨x的增大而減小，∵點(diǎn)，，，在反比例函數(shù)圖象上，∴，故選D．2.（2022賀州）已知二次函數(shù)y=2x2?4x?1在0≤x≤a時(shí)，y取得的最大值為15，則a的值為（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】解：∵二次函數(shù)y=2x2-4x-1=2（x-1）2-3，∴拋物線的對(duì)稱軸為x=1，頂點(diǎn)（1，-3），∵1>0，開口向上，∴在對(duì)稱軸x=1的右側(cè)，y隨x的增大而增大，∵當(dāng)0≤x≤a時(shí)，即在對(duì)稱軸右側(cè)，y取得最大值為15，∴當(dāng)x=a時(shí)，y=15，∴2（a-1）2-3=15，解得：a=4或a=-2（舍去），故a的值為4．故選：D．3.（2022安徽）已知點(diǎn)O是邊長(zhǎng)為6的等邊△ABC的中心，點(diǎn)P在△ABC外，△ABC，△PAB，△PBC，△PCA的面積分別記為，，，．若，則線段OP長(zhǎng)的最小值是（）A. B. C. D.【答案】解：如圖，，，∴=====，∴，設(shè)△ABC中AB邊上的高為，△PAB中AB邊上的高為，則，，∴，∴，∵△ABC是等邊三角形，∴，，∴點(diǎn)P在平行于AB，且到AB的距離等于的直線上，∴當(dāng)點(diǎn)P在CO的延長(zhǎng)線上時(shí)，OP取得最小值，過(guò)O作OE⊥BC于E，∴，∵O是等邊△ABC的中心，OE⊥BC∴∠OCE=30°，CE=∴OC=2OE∵，∴，解得OE=，∴OC=，∴OP=CP-OC=．故選B．4.（2022梧州）如圖，已知拋物線的對(duì)稱軸是，直線軸，且交拋物線于點(diǎn)，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A. B.若實(shí)數(shù)，則C. D.當(dāng)時(shí)，【答案】解：∵拋物線的對(duì)稱軸是，∴，∴，∵拋物線開口向上，∴，∴，∴，故A說(shuō)法正確，不符合題意；∵拋物線開口向下，拋物線對(duì)稱軸為直線x=-1，∴當(dāng)x=-1時(shí)，，∴當(dāng)實(shí)數(shù)，則，∴當(dāng)實(shí)數(shù)時(shí)，，故B說(shuō)法正確，不符合題意；∵當(dāng)時(shí)，，∴a+2a-2＜0，即3a-2＜0，故C說(shuō)法錯(cuò)誤，符合題意；∵，∴直線l與拋物線的兩個(gè)交點(diǎn)分別在y軸的兩側(cè)，∴，故D說(shuō)法正確，不符合題意；故選C．5.（2022北京）下面的三個(gè)問(wèn)題中都有兩個(gè)變量：①汽車從A地勻速行駛到B地，汽車的剩余路程y與行駛時(shí)間x；②將水箱中的水勻速放出，直至放完，水箱中的剩余水量y與放水時(shí)間x；③用長(zhǎng)度一定的繩子圍成一個(gè)矩形，矩形的面積y與一邊長(zhǎng)x，其中，變量y與變量x之間的函數(shù)關(guān)系可以利用如圖所示的圖象表示的是（）A.①② B.①③ C.②③ D.①②③【答案】解：①汽車從A地勻速行駛到B地，汽車的剩余路程y隨行駛時(shí)間x的增大而減小，故①可以利用該圖象表示；②將水箱中的水勻速放出，直至放完，水箱中的剩余水量y隨放水時(shí)間x的增大而減小，故②可以利用該圖象表示；③設(shè)繩子的長(zhǎng)為L(zhǎng)，一邊長(zhǎng)x，則另一邊長(zhǎng)為，則矩形的面積為：，故③不可以利用該圖象表示；故可以利用該圖象表示的有：①②，故選：A．6.（2022貴港）如圖，在邊長(zhǎng)為1的菱形中，，動(dòng)點(diǎn)E在邊上（與點(diǎn)A、B均不重合），點(diǎn)F在對(duì)角線上，與相交于點(diǎn)G，連接，若，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A. B. C. D.最小值為【答案】解：∵四邊形ABCD是菱形，，∴AB=AD=BC=CD，∠BAC=∠DAC=∠BAD==，∴△BAF≌△DAF≌CBE，△ABC是等邊三角形，∴DF=CE，故A項(xiàng)答案正確，∠ABF=∠BCE，∵∠ABC=∠ABF+∠CBF=60゜，∴∠GCB+∠GBC=60゜，∴∠BGC=180゜-60゜=180゜-（∠GCB+∠GBC）=120゜，故B項(xiàng)答案正確，∵∠ABF=∠BCE，∠BEG=∠CEB，∴△BEG∽△CEB，∴，∴，∵，∴，故C項(xiàng)答案正確，∵，BC=1，點(diǎn)G在以線段BC為弦的弧BC上，∴當(dāng)點(diǎn)G在等邊△ABC的內(nèi)心處時(shí)，AG取最小值，如下圖，∵△ABC是等邊三角形，BC=1，∴，AF=AC=，∠GAF=30゜，∴AG=2GF，AG2=GF2+AF2，∴解得AG=，故D項(xiàng)錯(cuò)誤，故應(yīng)選：D二、填空題7.（2022甘肅武威）如圖，以一定的速度將小球沿與地面成一定角度的方向擊出時(shí)，小球的飛行路線是一條拋物線．若不考慮空氣阻力，小球的飛行高度（單位：m）與飛行時(shí)間（單位：s）之間具有函數(shù)關(guān)系：，則當(dāng)小球飛行高度達(dá)到最高時(shí)，飛行時(shí)間_________s．【答案】解：∵h(yuǎn)=-5t2+20t=-5（t-2）2+20，且-5＜0，∴當(dāng)t=2時(shí)，h取最大值20，故答案為：2．8.（2022賀州）如圖，在矩形ABCD中，，E，F(xiàn)分別是AD，AB的中點(diǎn)，的平分線交AB于點(diǎn)G，點(diǎn)P是線段DG上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則的周長(zhǎng)最小值為__________．【答案】解：如圖，在CD上取點(diǎn)H，使DH=DE，連接EH，PH，過(guò)點(diǎn)F作FK⊥CD于點(diǎn)K，在矩形ABCD中，∠A=∠ADC=90°，AD=BC=6，CD=AB=8，∴△DEH為等腰直角三角形，∵DG平分∠ADC，∴DG垂直平分EH，∴PE=PH，∴的周長(zhǎng)等于PE+PF+EF=PH+PF+EF≥FH+EF，∴當(dāng)點(diǎn)F、P、H三點(diǎn)共線時(shí)，的周長(zhǎng)最小，最小值為FH+EF，∵E，F(xiàn)分別是AD，AB的中點(diǎn)，∴AE=DE=DH=3，AF=4，∴EF=5，∵FK⊥CD，∴∠DKF=∠A=∠ADC=90°，∴四邊形ADKF為矩形，∴DK=AF=4，F(xiàn)K=AD=6，∴HK=1，∴，∴FH+EF=，即的周長(zhǎng)最小為．故答案為：三、解答題9.（2022北京）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)在拋物線上，設(shè)拋物線的對(duì)稱軸為（1）當(dāng)時(shí)，求拋物線與y軸交點(diǎn)的坐標(biāo)及的值；（2）點(diǎn)在拋物線上，若求的取值范圍及的取值范圍．【答案】（1）（0，2）；2（2）的取值范圍為，的取值范圍為【解析】【分析】（1）當(dāng)x=0時(shí)，y=2，可得拋物線與y軸交點(diǎn)坐標(biāo)；再根據(jù)題意可得點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱軸為對(duì)稱，可得t的值，即可求解；（2）拋物線與y軸交點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)為（2t，c），根據(jù)拋物線的圖象和性質(zhì)可得當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而減小，當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而增大，然后分兩種情況討論：當(dāng)點(diǎn)，點(diǎn)，（2t，c）均在對(duì)稱軸的右側(cè)時(shí)；當(dāng)點(diǎn)在對(duì)稱軸的左側(cè)，點(diǎn)，（2t，c）均在對(duì)稱軸的右側(cè)時(shí)，即可求解．（1）解：當(dāng)時(shí)，，∴當(dāng)x=0時(shí)，y=2，∴拋物線與y軸交點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，2）；∵，∴點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱軸為對(duì)稱，∴；（2）解：當(dāng)x=0時(shí)，y=c，∴拋物線與y軸交點(diǎn)坐標(biāo)為（0，c），∴拋物線與y軸交點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)為（2t，c），∵，∴當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而減小，當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而增大，當(dāng)點(diǎn)，點(diǎn)，（2t，c）均在對(duì)稱軸的右側(cè)時(shí)，，∵1＜3，∴2t＞3，即（不合題意，舍去），當(dāng)點(diǎn)在對(duì)稱軸左側(cè)，點(diǎn)，（2t，c）均在對(duì)稱軸的右側(cè)時(shí)，點(diǎn)在對(duì)稱軸的右側(cè)，，此時(shí)點(diǎn)到對(duì)稱軸距離大于點(diǎn)到對(duì)稱軸的距離，∴，解得：，∵1＜3，∴2t＞3，即，∴，∵，，對(duì)稱軸為，∴，∴，解得：，∴的取值范圍為，的取值范圍為．10.（2022廣東）如圖，拋物線（b，c是常數(shù)）的頂點(diǎn)為C，與x軸交于A，B兩點(diǎn)，，，點(diǎn)P為線段上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)P作交于點(diǎn)Q．

（1）求該拋物線的解析式；（2）求面積的最大值，并求此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)．【答案】（1）解：∵點(diǎn)A（1，0），AB=4，∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（-3，0），將點(diǎn)A（1，0），B（-3，0）代入函數(shù)解析式中得：，解得：b=2，c=-3，∴拋物線的解析式為；（2）解：由（1）得拋物線的解析式為，頂點(diǎn)式為：，則C點(diǎn)坐標(biāo)為：（-1，-4），由B（-3，0），C（-1，-4）可求直線BC的解析式為：y=-2x-6，由A（1，0），C（-1，-4）可求直線AC的解析式為：y=2x-2，∵PQ∥BC，設(shè)直線PQ的解析式為：y=-2x+n，與x軸交點(diǎn)P，由解得：，∵P在線段AB上，∴，∴n的取值范圍為-6＜n＜2，則∴當(dāng)n=-2時(shí)，即P（-1，0）時(shí)，最大，最大值為2．11.（2022福建）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線經(jīng)過(guò)A（4，0），B（1，4）兩點(diǎn)．P是拋物線上一點(diǎn)，且在直線AB的上方．（1）求拋物線的解析式；（2）若△OAB面積是△PAB面積的2倍，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）如圖，OP交AB于點(diǎn)C，交AB于點(diǎn)D．記△CDP，△CPB，△CBO的面積分別為，，．判斷是否存在最大值．若存在，求出最大值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】（1）解：（1）將A（4，0），B（1，4）代入，得，解得．所以拋物線的解析式為．（2）設(shè)直線AB的解析式為，將A（4，0），B（1，4）代入，得，解得．所以直線AB的解析式為．過(guò)點(diǎn)P作PM⊥x軸，垂足為M，PM交AB于點(diǎn)N．過(guò)點(diǎn)B作BE⊥PM，垂足為E．所以．因?yàn)锳（4，0），B（1，4），所以．因?yàn)椤鱋AB的面積是△PAB面積的2倍，所以，．設(shè)，則．所以，即，解得，．所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為或（3，4）．（3）記△CDP，△CPB，△CBO的面積分別為，，．則如圖，過(guò)點(diǎn)分別作軸的垂線，垂足分別，交于點(diǎn)，過(guò)作的平行線，交于點(diǎn)，，設(shè)直線AB的解析式為．設(shè)，則整理得時(shí)，取得最大值，最大值為12.（2022海南）如圖1，矩形中，，點(diǎn)P在邊上，且不與點(diǎn)B、C重合，直線與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E．

（1）當(dāng)點(diǎn)P是的中點(diǎn)時(shí)，求證：；（2）將沿直線折疊得到，點(diǎn)落在矩形的內(nèi)部，延長(zhǎng)交直線于點(diǎn)F．①證明，并求出在（1）條件下的值；②連接，求周長(zhǎng)的最小值；③如圖2，交于點(diǎn)H，點(diǎn)G是的中點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，請(qǐng)判斷與的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．【答案】（1）解：如圖9-1，在矩形中，，

即，∴．∵點(diǎn)P是的中點(diǎn)，∴．∴．（2）①證明：如圖9-2，在矩形中，，

∴．由折疊可知，∴．∴．在矩形中，，∵點(diǎn)P是的中點(diǎn)，∴．由折疊可知，．設(shè)，則．∴．在中，由勾股定理得，∴，∴，即．②解：如圖9-3，由折疊可知，．

∴．由兩點(diǎn)之間線段最短可知，當(dāng)點(diǎn)恰好位于對(duì)角線上時(shí)，最小．連接，在中，，∴，∴，∴．③解：與的數(shù)量關(guān)系是．理由是：如圖9-4，由折疊可知．

過(guò)點(diǎn)作，交于點(diǎn)M，∵，∴，∴．∴，∴點(diǎn)H是中點(diǎn)．∵，即，∴．∵，∴．∴．∴．∵點(diǎn)G為中點(diǎn)，點(diǎn)H是中點(diǎn)，∴．∴．∴．∴．13.（2022貴港）如圖，已知拋物線經(jīng)過(guò)和兩點(diǎn)，直線與x軸相交于點(diǎn)C，P是直線上方的拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，軸交于點(diǎn)D．（1）求該拋物線的表達(dá)式；（2）若軸交于點(diǎn)E，求的最大值；（3）若以A，P，D為頂點(diǎn)的三角形與相似，請(qǐng)直接寫出所有滿足條件的點(diǎn)P，點(diǎn)D的坐標(biāo)．【答案】（1）解：（1）∵拋物線經(jīng)過(guò)和兩點(diǎn)，∴解得：，，∴拋物線的表達(dá)式為．（2）解：∵，∴直線表達(dá)式為，∵直線與x軸交于點(diǎn)C，∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為，∵軸，軸，∴，∴，∴，則，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，其中，則點(diǎn)D的坐標(biāo)為，∵，∴，∵，∴當(dāng)時(shí)，有最大值，且最大值為．（3）解：根據(jù)題意，在一次函數(shù)中，令，則，∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（2，0）；當(dāng)∽時(shí)，如圖此時(shí)點(diǎn)D與點(diǎn)C重合，∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（2，0）；∵軸，∴點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為2，∴點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為：，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，3）；當(dāng)∽時(shí)，如圖，則，設(shè)點(diǎn)，則點(diǎn)P為，∴，∵，∴，，∴，∴，∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為，點(diǎn)P的坐標(biāo)為；∴滿足條件的點(diǎn)P，點(diǎn)D的坐標(biāo)為或，．14.（2022甘肅武威）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)在軸上，且，，分別是線段，上的動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)，不與點(diǎn)，，重合）．（1）求此拋物線的表達(dá)式；（2）連接并延長(zhǎng)交拋物線于點(diǎn)，當(dāng)軸，且時(shí)，求的長(zhǎng)；（3）連接．①如圖2，將沿軸翻折得到，當(dāng)點(diǎn)在拋物線上時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；②如圖3，連接，當(dāng)時(shí)，求的最小值．【答案】（1）解：∵在拋物線上，∴，解得，∴，即；（2）在中，令，得，，∴，，∵，∴，∵，∴，，∴，∵軸，∴，∴，∴，∴．（3）①連接交于點(diǎn)，如圖1所示：∵與關(guān)于軸對(duì)稱，∴，，設(shè)，則，，∴，∵點(diǎn)在拋物線上，∴，解得（舍去），，∴；②在下方作且，連接，，如圖2所示：∵，∴，∴，∴當(dāng)，，三點(diǎn)共線時(shí)，最小，最小為，過(guò)作，垂足為，∵，，∴，，∵，，，，∴，即的最小值為．15.（2022北京）單板滑雪大跳臺(tái)是北京冬奧會(huì)比賽項(xiàng)目之一，舉辦場(chǎng)地為首鋼滑雪大跳臺(tái)，運(yùn)動(dòng)員起跳后的飛行路線可以看作是拋物線的一部分，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，從起跳到著陸的過(guò)程中，運(yùn)動(dòng)員的豎直高度（單位：m）與水平距離（單位：m）近似滿足函數(shù)關(guān)系．某運(yùn)動(dòng)員進(jìn)行了兩次訓(xùn)練．（1）第一次訓(xùn)練時(shí)，該運(yùn)動(dòng)員的水平距離與豎直高度的幾組數(shù)據(jù)如下：水平距離x/m02581114豎直高度y/m20.0021.4022.7523.2022.7521.40根據(jù)上述數(shù)據(jù)，直接寫出該運(yùn)動(dòng)員豎直高度的最大值，并求出滿足的函數(shù)關(guān)系（2）第二次訓(xùn)練時(shí)，該運(yùn)動(dòng)員的豎直高度y與水平距離x近似滿足函數(shù)關(guān)系記該運(yùn)動(dòng)員第一次訓(xùn)練的著陸點(diǎn)的水平距離為d1，第二次訓(xùn)練的著陸點(diǎn)的水平距離為，則______（填“>”“=”或“<”）．【答案】（1）解：根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)可知，拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為：，∴，，即該運(yùn)動(dòng)員豎直高度的最大值為23.20m，根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)可知，當(dāng)時(shí)，，代入得：，解得：，∴函數(shù)關(guān)系關(guān)系式為：．（2）設(shè)著陸點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，則第一次訓(xùn)練時(shí)，，解得：或，∴根據(jù)圖象可知，第一次訓(xùn)練時(shí)著陸點(diǎn)水平距離，第二次訓(xùn)練時(shí)，，解得：或，∴根據(jù)圖象可知，第二次訓(xùn)練時(shí)著陸點(diǎn)的水平距離，∵，∴，∴．故答案為：．16.（2022北京）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)對(duì)于點(diǎn)給出如下定義：將點(diǎn)向右或向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上或向下平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為，稱點(diǎn)為點(diǎn)的“對(duì)應(yīng)點(diǎn)”．（1）如圖，點(diǎn)點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上，若點(diǎn)點(diǎn)為點(diǎn)的“對(duì)應(yīng)點(diǎn)”．①在圖中畫出點(diǎn)；②連接交線段于點(diǎn)求證：（2）的半徑為1，是上一點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，且，若為外一點(diǎn)，點(diǎn)為點(diǎn)的“對(duì)應(yīng)點(diǎn)”，連接當(dāng)點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)時(shí)直接寫出長(zhǎng)的最大值與最小值的差（用含的式子表示）【答案】（1）解：①點(diǎn)Q如下圖所示．∵點(diǎn)，∴點(diǎn)向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，得到點(diǎn)，∴，∵點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為，，∴點(diǎn)的橫坐標(biāo)為：，縱坐標(biāo)為：，∴點(diǎn)，在坐標(biāo)系內(nèi)找出該點(diǎn)即可；②證明：如圖延長(zhǎng)ON至點(diǎn)，連接AQ，∵，∴，在與中，，∴，∴，∵，，，∴，，，∴，∴，∴；（2）解：如圖所示，連接PO并延長(zhǎng)至S，使，延長(zhǎng)SQ至T，使，∵，點(diǎn)向右或向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上或向下平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到點(diǎn)，∴，∵點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為，∴，又∵，∴OM∥ST，∴NM為的中位線，∴，，∵，∴，∴，在中，，結(jié)合題意，，，∴，即長(zhǎng)的最大值與最小值的差為．17.（2022梧州）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線分別與x，y軸交于點(diǎn)A，B，拋物線恰好經(jīng)過(guò)這兩點(diǎn)．（1）求此拋物線的解析式；（2）若點(diǎn)C的坐標(biāo)是，將繞著點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)E．①寫出點(diǎn)E的坐標(biāo)，并判斷點(diǎn)E是否在此拋物線上；②若點(diǎn)P是y軸上的任一點(diǎn)，求取最小值時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)．【答案】（1）解：當(dāng)x=0時(shí)，y=-4，當(dāng)y=0時(shí)，，∴x=-3，∴A（-3，0），B（0，-4），把A、B代入拋物線，得，∴，∴拋物線解析式為；（2）①∵A（-3，0），C（0，6），∴AO=3，CO=6，由旋轉(zhuǎn)知：EF=AO=3，CF=CO=6，∠FCO=90°∴E到x軸的距離為6-3=3，∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（6，3），當(dāng)x=3時(shí)，，∴點(diǎn)E在拋物線上；②過(guò)點(diǎn)P作PQ⊥AB于Q，又∠AOB=90°，∴∠AOB=∠PQB，在Rt△ABO中，AO=3，BO=4，∴由勾股定理得：AB=5，∵∠AOB=∠PQB，∠ABO=∠PBQ，∴△ABO∽△PBQ，∴，∴，∴，∴，∴當(dāng)P，E，Q三點(diǎn)共線，且EP⊥AB時(shí)，取最小值，∵EP⊥AB，∴設(shè)直線EP解析式為，又E（6，0），∴，∴，∴直線EP解析式為，當(dāng)x=0時(shí)，y=，∴點(diǎn)P坐標(biāo)為（0，）．18.（2022海南）如圖1，拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，并交x軸于另一點(diǎn)B，點(diǎn)在第一象限的拋物線上，交直線于點(diǎn)D．（1）求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式；（2）當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為時(shí)，求四邊形的面積；（3）點(diǎn)Q在拋物線上，當(dāng)?shù)闹底畲笄沂侵苯侨切螘r(shí)，求點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)；【答案】（1）解：∵拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn),∴解得∴該拋物線的函數(shù)表達(dá)式為．（2）解：如圖，連接，令，∴．∴∵，∴．∴．∴．（3）解：如圖，作軸，交直線于點(diǎn)F，則．∴．∵是定值，∴當(dāng)最大時(shí)，最大．設(shè)，∵，∴．設(shè)，則．∴．∴當(dāng)時(shí)，取得最大值，此時(shí)．設(shè)點(diǎn)，若是直角三角形，則點(diǎn)Q不能與點(diǎn)P、A重合，∴，下面分三類情況討論：①若，如圖，過(guò)點(diǎn)P作軸于點(diǎn)，作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，則．∴．∴．∵，∴．∴．②若，如圖，過(guò)點(diǎn)P作直線軸于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)Q作軸于點(diǎn)，．∴．∴．∵，∴．∴．③若，如圖，過(guò)點(diǎn)Q作軸于點(diǎn)，作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，則．∴．∴．∵，∴．∴．綜上所述，當(dāng)?shù)闹底畲笄沂侵苯侨切螘r(shí)，點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)為，，，1．19.（2022安徽）如圖1，隧道截面由拋物線的一部分AED和矩形ABCD構(gòu)成，矩形的一邊BC為12米，另一邊AB為2米．以BC所在的直線為x軸，線段BC的垂直平分線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系xOy，規(guī)定一個(gè)單位長(zhǎng)度代表1米．E（0，8）是拋物線的頂點(diǎn)．（1）求此拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；（2）在隧道截面內(nèi)（含邊界）修建“”型或“”型柵欄，如圖2、圖3中粗線段所示，點(diǎn)，在x軸上，MN與矩形的一邊平行且相等．柵欄總長(zhǎng)l為圖中粗線段，，，MN長(zhǎng)度之和．請(qǐng)解決以下問(wèn)題：（ⅰ）修建一個(gè)“”型柵欄，如圖2，點(diǎn)，在拋物線AED上．設(shè)點(diǎn)橫坐標(biāo)為，求柵欄總長(zhǎng)l與m之間的函數(shù)表達(dá)式和