2003年gct入學(xué)資格考試數(shù)學(xué)精解

因?yàn)? 所以1 1 abc。解法2由于ba

2001 200320022(20021)(20022003 2003所以ba，類似地可知cb。D。解法 由b

2001 20022 所以ba，類似地可知cbDx1 解法 考慮函數(shù)f(x) 1 ，易知f(x)在(0,)上是單調(diào)遞增函數(shù)， abcD

f(2002)

f(2003)

f設(shè)二月份的產(chǎn)值為a，則三月份的產(chǎn)值為aa101.1a，四月份的產(chǎn)值為【答案】

a0.99aa

yax2bxc的圖像性質(zhì)可知，在[0a

a必須滿足 故正確答案為C

b解法 記g(x)

f(ax)，h(x)

f(axg(x)

f(ax)

f[a(x)]yg(x)上的點(diǎn)(xg(x))x0(y軸的對(duì)稱點(diǎn)(xg(x))(xyh(xyh(xx0y軸yg(x)yD解法

f(ax)，y

f(axyf(x)xa1y1y21221y212210x1

f(1x1xy2

f(ax)1xy由于(xy)991xy1，而由(xy)1001xy1xy1，xyxy得

xy和xyx xy1和y x101y1011。A?！窘馕觥勘绢}主要考查了獨(dú)立同時(shí)發(fā)生的概率及對(duì)立的概率關(guān)系解法1連續(xù)三件檢測(cè)中至少有一件是次品的對(duì)立是“連續(xù)三件檢測(cè)中都是合格品”。根據(jù)題意可知該批產(chǎn)品的為0.9，所以連續(xù)三件檢測(cè)中都是合格品的概率為0.930.729，從而連續(xù)三件檢測(cè)中至少有一件是次品的概率為10.930.271。A。解法2設(shè)A表示“連續(xù)三件檢測(cè)中只有一件是次品”，B表示“連續(xù)三件檢測(cè)3P(A)C10.10.9233P(B)C10.120.90.0273P(C)0.13PABC)PAP(BP(C)0.2430.0270.0010.271注解法2主要考查了互斥和的概率及獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率 由于兩支球隊(duì)進(jìn)行一場(chǎng)比賽后，兩隊(duì)的比賽場(chǎng)次要各加1，所以A，B，C，D，E5支籃球隊(duì)的所有比賽場(chǎng)次之和一定是2的倍數(shù)，即為偶數(shù)。已知A，B，C，D4隊(duì)的比賽場(chǎng)次之和為432110所以E隊(duì)的比賽場(chǎng)次只能是偶數(shù)這樣就排除了選項(xiàng)A，C。又因?yàn)镈隊(duì)只賽一場(chǎng)且與A對(duì)已賽完所以E隊(duì)的比賽場(chǎng)次不能是4這樣選項(xiàng)D也被排除。B解法 本題也可以通過(guò)以下賽程表得到正確選項(xiàng)BABCDEA×B×C×D×E×B。解法3由已知條件知：A隊(duì)賽4A隊(duì)必須與其他4D隊(duì)已賽過(guò)1場(chǎng)，2CABE隊(duì)已賽2B。解法 顯然，只需求出A或B的縱坐標(biāo)即可。設(shè)A點(diǎn)的坐標(biāo)為(x,y)。由于PA為圓PAAOPAAO0(x,2y)(x,y)0x2y22y0x2y21y1D2解法 本題可以借助右圖計(jì)算，OA1，OP2 AOP60OF OA 1為y 。故正確答案為D2【答案】解法 如下圖所示，因?yàn)镚是三角形BCD的重心，所以O(shè)G1GC。根據(jù)對(duì)稱性可2AHHGGC，又DAH，DHG與DGC同高，從而DAH，DHG1的面積相等，都是HOG HOGEB由于GFCFC

FC1，所以GFC3DFC1，從而是DGC1 綜上所述，圖中空白部分的面積為2 ，從而陰影部分的面積為1 故正確答案為C解法 已知條件E、F分別為AB、BC的中點(diǎn)，則DE和DF交AC于H，G等1AC1

SDGC

1111(2 2

陰影33=故正確答案為C【答案】如下圖所示，過(guò)直線l作平面與平面相交，則交線平行。當(dāng)所作平面與平面d內(nèi)與直線l平行且距離為2d的直線應(yīng)有2條。故正確答案為C。RlπR212

πRl

πR2πRl54解得l4R2πRπ Bx2 x2 解法 根據(jù)題意，點(diǎn)(x0,

)x2y21的內(nèi)部，所以

1。由于圓x2 x2y21的圓心(0,0xxyx2 徑1，從而直線與圓不相交。故正確答案為A。解法2

dx1y0，則點(diǎn)(xy)

x2y21xxyy1

(, x

，此直線與圓

x2y21沒(méi)有交點(diǎn)（yyxxf(x)xt2t1)dt1t41 1x41x3f(x)x3x2x2x1 f(xx2x10x0，x1x0f(xx0不是極值點(diǎn)；x1兩側(cè)f(x)x1是極值點(diǎn)?！敬鸢浮拷夥?/p>

limf(x0)df(x0)limf(x)

f'(x0)x

f(xf(x)0 故正確答案為C

解法 f(x)x，則滿足題設(shè)條件且f(x0xf(x)1，故df(x0xf(x0df(x0)0。故正確答案為C【答案】【解析】本題主要考查定積分的概念和積分中值定理（或微分中值定理）解法 設(shè)甲的速度是v1(t)，乙的速度是v2(t)，到達(dá)終點(diǎn)時(shí)所用時(shí)間為T， 0v1(tdt0v2(tdt T0[v1(t)v2(t)]dt[v1()v2()]T0,[0,TT因T0，所以v1()v2()0，即v1()v2()。故正確答案為Ct解法 設(shè)甲的速度是v1(t)，乙的速度是v2(t)，則他們?cè)跁r(shí)間t內(nèi)所跑的距離分別ttt0v1(x)dx，0v2(x)ttt

。又設(shè)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)所用時(shí)間為T，且 )0v1(x)0v2(x)dx

g(0)0，g(T)0[0,Tg()v1v20，即v1()v2(。故正確答案為C解法 根據(jù)生活，很容易排除A，B，D，故正確答案為C解法 設(shè)f(x)x2(xsinxcosx)，f(x)是偶函數(shù)，只需考慮[0,)的情形 π f(0)1，f() 1)0，由零點(diǎn)存在定理，f(x)在(0 )內(nèi)至少存在一個(gè)零點(diǎn) 2 又f(x)x(2cosx)0,x(0,f(x在[0內(nèi)僅有1f(x在(內(nèi)僅有兩個(gè)零點(diǎn)。B。解法 就本題而言，由f(0)1，f()及f(x)x(2cosx)(0B

，x解法 令

x2，

xsinxcosx

sin(x

arctanx

112 要考查定積分的性質(zhì)與解法 令txπ，則cosxcos(πt)sint，dtdx πππIsin(cosx)dIsin(cosx)dx2sin[cos(t

π)]dt2sin)]dt2sin(sint)π f(t)sin(sint在[π,πI0D 解法 設(shè)xπt， I0sin(cosx)dxπsin[cos(πt)]dt0sin(cost)dt0sin(cosx 移項(xiàng)，得20sin(cosx)dx0，即0sin(cosx)dx0D在 x4

x

在 x3xx

2x2x3A解法 因AB是33矩陣，r(AB)min{r(A),r(B)}解法 AB是33矩陣，BA是22矩陣，所以不選A

0 AB

2012(2)2(1)2 解法

AB 20 0rAB)2，所以

0 1

0 5BA

1，BA

18BTAT 6D

1 A為四階矩陣故A的元素為矩陣A的所有三階子式由r(A)0知A的元素都為0，故A的任意一個(gè)三階子式為0，由矩陣秩的定義知r(A)3。 rA)解法 根據(jù)秩的定義，可知r(A)

r(A)n0r(A)n0

rA0，故rA)422，所以成立的只有1或2AAx0只有零解的充分必要條件和向量組的線性無(wú)Ax0rA)nmnArA)m