平面與平面平行【高效備課精研+知識精講提升】 高一下學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）必修第二冊

問題1

如何判斷直線與平面平行?（1）定義法；（2）直線與平面平行的判定定理.1.直線與平面平行的判定定理圖形語言：符號語言：abα簡述為：線線平行線面平行2.直線與平面平行的性質(zhì)定理文字語言：一條直線與一個平面平行，如果過該直線的平面與此平面相交，那么該直線與交線平行．簡述為：線面平行線線平行圖形語言：符號語言：

α

bβa文字語言：

如果平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，那么該直線與此平面平行.α∩β=ba//αb?βa//b問題2

平面與平面有幾種位置關(guān)系？分別是什么？定義：如果兩個平面沒有公共點就稱這兩個平面平行問題3

平面與平面平行的定義？問題4

如何判定平面與平面平行？由于平面的無限延展，很難去判斷平面與平面是否有公共點，因此很難直接利用定義判斷．那么平面與平面平行的判定，是否有更簡便的方法？①兩個平面平行—沒有公共點②兩個平面相交——有一條公共直線αβα//βαβlα∩β=lαl平面與平面平行學(xué)習(xí)目標(biāo)1.理解并掌握平面與平面平行的判定定理.2.理解并掌握平面與平面平行的性質(zhì)定理.根據(jù)平面平行的定義，可以發(fā)現(xiàn)：平面與平面平行兩個平面沒有公共點一個平面內(nèi)任意一條直線都于另一個平面沒有公共點一個平面內(nèi)的任意一條直線都平行于另一個平面線面平行面面平行若一個平面內(nèi)的任意一條直線都與另一個平面平行，那么這兩個平面一定平行.如何判定一個平面內(nèi)的任意一條直線都與另一個平面平行呢？有沒有更簡便的方法？平面內(nèi)的直線有無數(shù)多條，能否將“一個平面內(nèi)任意直線平行另一個平面”中的“任意直線”減少，得到更簡便的方法？有限無限轉(zhuǎn)化（3）根據(jù)基本事實的推論2，3，過兩條平行直線或兩條相交直線，有且只有一個平面.（1）

減少到一條可以嗎？（2）

減少到兩條可以嗎？由此可以想到，如果一個平面內(nèi)兩條平行直線與另一個平面平行或一個平面內(nèi)兩條相交直線與另一個平面平行，能否判斷這兩個平面平行？我們可以借助以下兩個實例進行觀察.如圖（1），a和b分別是矩形硬紙片的兩條對邊所在直線，它們都和桌面平行，那么硬紙片和桌面平行嗎?如圖（2），c和d分別是三角尺相鄰兩邊所在直線，它們都和桌面平行，那么三角尺和桌面平行嗎?

如果一個平面內(nèi)有兩條平行直線與另一個平面平行，這兩個平面不一定平行．如圖，在平面A′ADD′內(nèi)畫一條與AA′平行的直線EF，顯然AA′與EF都平行于平面D′DCC′，但這兩條平行直線所在平面A′ADD′與平面D′DCC′相交．我們借助長方體模型來說明．如圖，平面ABCD內(nèi)兩條相交直線AC，BD分別與平面A′B′C′D′內(nèi)兩條相交直線A′C′，B′D′平行．由直線與平面平行的判定定理可知，這兩條相交直線AC，BD都與平面A′B′C′D′平行．此時，平面ABCD平行平面A′B′C′D′．直線的條數(shù)不是關(guān)鍵，直線相交才是關(guān)鍵.如果一個平面內(nèi)有兩條相交直線與另一個平面平行，這兩個平面是平行的．

直線相交才是關(guān)鍵.兩條相交直線和兩條平行直線都可以確定一個平面．為什么兩條相交直線判定兩個平面平行，而不能利用兩條平行直線呢？你能從向量的角度解釋嗎？平面內(nèi)的兩條相交直線代表兩個不共線向量，而平面內(nèi)的任意向量都可以以它們?yōu)榛走M行線性表示，從而平面內(nèi)的兩條相交直線可以“代表”這個平面上的任意一條直線；而兩條平行直線所表示的向量是共線的，它們不能作為平面內(nèi)的任意向量的基底，用它們不能“代表”這個平面上的任意一條直線．1.平面與平面平行的判定定理文字語言：如果一個平面內(nèi)有兩條相交直線都平行于另一個平面，那么這兩個平面平行.

符號語言：圖形語言：bPa①在平面內(nèi)，即定理中必需的條件缺一不可②相交，即③平行，即.線不在多，重在相交空間問題空間問題

線面平行面面平行線線平行證明兩平面平行思路：關(guān)鍵是在其中一個平面內(nèi)找出兩條相交直線分別平行于另一個平面.在實際生活中，工人師傅將水平儀在桌面上交叉放置兩次，如果水平儀的氣泡兩次都在中央，就能判斷桌面是水平的，你能說明這么做的道理嗎？m與a,b相交相矛盾假設(shè)α，β相交于m定理證明推論1:平行于同一個平面的兩個平面平行。推論2:垂直于同一條直線的兩個平面平行。空間問題空間問題（1）已知平面α，β和直線m，n，若m?α，n?β，m∥β，n∥α，則α∥β.（2）若一個平面α內(nèi)兩條不平行的直線都平行于另一平面β，則α∥β.（3）平行于同一條直線的兩個平面平行.（4）平行于同一個平面的兩個平面平行.（5）一條直線與兩個平行平面中的一個相交，則必與另一個相交.定理理解××√判斷下列命題是否正確，并說明理由．√√例4

如圖，已知正方體ABCD-A1B1C1D1．求證：平面AB1D1//平面BC1D．

線線平行線面平行面面平行ABCDA1B1C1D1

定理應(yīng)用：平面與平面平行的證明D1A，D1B1?平面AD1B1，1.面面平行,通常可以轉(zhuǎn)化為線面平行來處理.2、證明的書寫三個條件“內(nèi)”、“交”、“平行”，缺一不可。線線平行線面平行面面平行基本思路:反思~領(lǐng)悟：解答問題時一定要尋求好判定定理所需要的條件，特別是相交的條件，即與已知平面平行的兩條直線必須相交，才能確定面面平行.證明問題時，使結(jié)論成立的條件一定要敘述完整.

如圖，在三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F(xiàn)，G，H分別是AB，AC，A1B1，A1C1的中點.求證：(1)B，C，H，G四點共面；例1∵GH是△A1B1C1的中位線，∴GH∥B1C1.又B1C1∥BC，∴GH∥BC，∴B，C，H，G四點共面.(2)平面EFA1∥平面BCHG.∵E，F(xiàn)分別為AB，AC的中點，∴EF∥BC.∵EF?平面BCHG，BC?平面BCHG，∴EF∥平面BCHG.∵A1G∥EB且A1G＝EB，∴四邊形A1EBG是平行四邊形，∴A1E∥GB.∵A1E?平面BCHG，GB?平面BCHG，∴A1E∥平面BCHG.∵A1E∩EF＝E，A1E，EF?平面EFA1，∴平面EFA1∥平面BCHG.

如圖，在四棱錐P－ABCD中，E，F(xiàn)，G分別是PC，PD，BC的中點，DC∥AB，求證：平面PAB∥平面EFG.跟蹤訓(xùn)練1∵E，G分別是PC，BC的中點，∴EG∥PB，又∵EG?平面PAB，PB?平面PAB，∴EG∥平面PAB，∵E，F(xiàn)分別是PC，PD的中點，∴EF∥CD，又∵AB∥CD，∴EF∥AB，∵EF?平面PAB，AB?平面PAB，∴EF∥平面PAB，又EF∩EG＝E，EF，EG?平面EFG，∴平面PAB∥平面EFG.下面我們研究平面與平面平行的性質(zhì),也就是以平面與平面平行為條件，探究可以推出哪些結(jié)論.類比直線與平面平行的研究，已知兩個平面平行，我們可以得到哪些結(jié)論？（1）其中一個平面內(nèi)的直線與另一個平面具有什么樣的的位置關(guān)系？一個平面內(nèi)的直線必平行于另一個平面（無公共點）①兩個平面平行，則其中一個平面內(nèi)的直線必平行于另一個平面

.a簡述為：面面平行線面平行2.平面與平面平行的性質(zhì)空間問題空間問題（2）分別位于兩個平行平面內(nèi)的直線，具有什么樣的位置關(guān)系？abc平行或異面追問：分別位于兩個平行平面內(nèi)的兩條直線什么時候平行呢？γabαβ于是可以猜想：兩個平行平面同時和第三個平面都相交，所得的兩條交線平行.下面我們來證明這個猜想.大膽猜想小心求證證明:abαβγ上述結(jié)論是兩平行平面的一個性質(zhì).②面面平行的性質(zhì)定理2.平面與平面平行的性質(zhì)文字語言：兩個平面平行，如果另一個平面與這兩個平面相交，那么兩條交線平行．

符號語言：圖形語言：簡述為：面面平行線線平行作用：判定直線與直線平行的依據(jù).空間問題平面問題如果直線不在兩個平行平面內(nèi)，或者第三個平面不與這兩個平面相交，以兩個平面平行為條件，你還能得出那些結(jié)論？例5

求證：夾在兩個平行平面間的平行線段相等.已知：如圖,α∥β,AB∥CD,A∈α,C∈α,B∈β,D∈β,求證:AB=CD討論:解決這個問題的基本步驟是什么?第一步:結(jié)合圖形，將原題改寫成數(shù)學(xué)符號語言;第二步:分析,作出輔助線；βACBDγ第三步:書寫證明過程.性質(zhì)3：夾在兩個平行平面間的所有平行線段相等.證明:過平行線AB,CD作平面γ，與平面α和β分別相交于AC和BD.∵

α

∥

β，

∴BD

∥

AC.又AB

∥

CD,∴四邊形ABCD是平行四邊形.∴AB=CD.課本13如圖，a∥b∥g，直線a與b分別相交a

，b，g于點A，B，C和點D，E，F(xiàn)，求證:

CFg證法1:連結(jié)AF,交b

于G,再連結(jié)AD、BG、GE、CF,則A、B、C、F、G

共面，∵

b∥g,∴

BG∥CF,同理,AD∥GE,

防止錯誤地將直線a、b

看成共面.BEbAabaDG平行平面所分線段成比例課本13如圖，a∥b∥g，直線a與b分別相交a

，b，g于點A，B，C和點D，E，F(xiàn)，求證:

CFg證法2:過點A

作AH

∥b,分別交b，g于G,H,再連接AD，GE，HF，BG，CH，以下與證法1思路相同BEbAabaDGH①兩個平面平行，則其中一個平面內(nèi)的直線必平行于另一個平面

.②面面平行的性質(zhì)定理：兩個平面平行，如果另一個平面與這兩個平面相交，那么兩條交線平行．③夾在兩個平行平面間的平行線段相等.④過平面外一點有且只有一個平面與這個平面平行.⑤兩條直線被三個平行平面所截，截得的對應(yīng)線段成比例.2.平面與平面平行的性質(zhì)例2

如圖，在三棱錐P－ABC中，D，E，F(xiàn)分別是PA，PB，PC的中點，M是AB上一點，

連接MC，N是PM與DE的交點，連接NF，求證：NF∥CM.證:因為D，E分別是PA，PB的中點，所以DE∥AB.DE?平面ABC同理DF∥平面ABC平面PCM∩平面DEF＝NFDE∩DF＝DDE∥AB.AB?平面ABCDE∥平面ABCDE，DF?平面DEF平面DEF∥平面ABC.平面PCM∩平面ABC＝CMNF∥CM.線面平行的判斷定理面面平行的判斷定理面面平行的性質(zhì)定理反思~領(lǐng)悟：平行問題的綜合應(yīng)用

例3

如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，側(cè)面對角線AB1，BC1上分別有兩點E，F(xiàn)，且B1E＝C1F.求證：EF∥平面ABCD.證:過點E作EG∥AB交BB1于點G，連接GF，如圖，∴∵B1E＝C1F，B1A＝C1B，又B1C1∥BC，∴FG∥BC，G又FG?平面ABCD，BC?平面ABCD，∴FG∥平面ABCD，又EG∥AB且EG?平面ABCD，AB?平面ABCD，∴EG∥平面ABCD，∵FG∩EG＝G，F(xiàn)G，EG?平面EFG，∴平面EFG∥平面ABCD.∵EF?平面EFG，∴EF∥平面ABCD.【要證的線面平行，用到了面面平行（性質(zhì)）】反思感悟(1)證明線面平行的兩種方法：一是由線線平行推出線面平行；二是由面面平行推出線面平行.(2)線線平行、線面平行、面面平行三者之間可以相互轉(zhuǎn)化，要注意轉(zhuǎn)化思想的靈活運用.

（1）如圖，已知平面α∥平面β，P?α且P?β，過點P的直線m與α，β分別交于A，C，過點P的直線n與α，β分別交于B，D，且PA＝6，AC＝9，PD＝8，求BD的長.跟蹤訓(xùn)練3baPBDAC變式：已知平面α∥平面β，P?α且P?β，過點P的直線m與α，β分別交于A，C，過點P的直線n與α，β分別交于B，D，且PA＝6，AC＝9，PD＝8，求BD的長.（2）如圖，已知α∥β，GH，GD，HE分別交α，β于A，B，C，D，E，F(xiàn)且GA＝9，AB＝12，BH＝16，S△AEC＝72，求S△BFD.課本15.

如圖,透明塑料制成的長方體容器ABCD-A1B1C1D1內(nèi)灌進一些水,固定容器底面一邊BC于地面上,再將容器傾斜,隨著傾斜度的不同,有下面五個命題:(1)有水的部分始終呈棱柱形;(2)沒有水的部分始終呈棱柱形;