2023年北京高考數(shù)學(xué)試卷解析

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2023年高考數(shù)學(xué)北京卷堅(jiān)持以德為先，力量為重，全面進(jìn)展的命題理念，穩(wěn)妥推動(dòng)新高考的改革，形成了一個(gè)中心，兩個(gè)著力點(diǎn)，三個(gè)突出，四條路徑的評(píng)價(jià)體系。

即以立德樹(shù)人為中心，以數(shù)學(xué)素養(yǎng)和創(chuàng)新力量為兩個(gè)著力點(diǎn);突出對(duì)主干學(xué)問(wèn)、思想〔方法〕、問(wèn)題解決力量的考查;通過(guò)優(yōu)化試卷結(jié)構(gòu)、創(chuàng)新呈現(xiàn)方式、精選試題素材，突出學(xué)科本質(zhì)，到達(dá)落實(shí)高考育人的目的。

一個(gè)中心

立德樹(shù)人

北京卷命題堅(jiān)持以立德樹(shù)人為根本任務(wù)，構(gòu)建了引導(dǎo)同學(xué)德智體美勞全面進(jìn)展的考試內(nèi)容體系。

第7題以國(guó)家速滑館冰絲帶綠色環(huán)保場(chǎng)館為背景，設(shè)置二氧化碳所處的狀態(tài)與溫度和壓強(qiáng)的關(guān)系圖，滲透德育〔教育〕。

第18題以同學(xué)熟識(shí)的校運(yùn)動(dòng)會(huì)體育競(jìng)賽為背景，重點(diǎn)考查統(tǒng)計(jì)學(xué)中關(guān)于數(shù)據(jù)的收集、估量、預(yù)報(bào)的基本方法和原理，滲透體育教育。

兩個(gè)著力點(diǎn)

數(shù)學(xué)素養(yǎng)、創(chuàng)新力量

一、數(shù)學(xué)素養(yǎng)

北京卷通過(guò)設(shè)計(jì)現(xiàn)實(shí)性和綜合性問(wèn)題，實(shí)現(xiàn)對(duì)規(guī)律推理、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模、數(shù)據(jù)分析六大素養(yǎng)的綜合考查。

針對(duì)規(guī)律推理，北京卷設(shè)計(jì)了至少5道題進(jìn)行考查。如第15題，是以一個(gè)無(wú)窮正數(shù)數(shù)列來(lái)設(shè)置，考查數(shù)列的基本概念、討論數(shù)列的增減性、估量數(shù)列項(xiàng)的范圍、推斷數(shù)列是否為等比數(shù)列等。四個(gè)選項(xiàng)既考查合情推理，也考查演繹推理。

針對(duì)直觀想象，北京卷設(shè)計(jì)了至少4道題進(jìn)行考查。如第9題，以正三棱錐為載體、以區(qū)域面積為出口，考查空間想象力量。問(wèn)題的本質(zhì)是討論球面和平〔面相〕交所得圓的性質(zhì)。

針對(duì)數(shù)學(xué)運(yùn)算，北京卷設(shè)計(jì)了至少12道題進(jìn)行考查。第16題，借助解三角形在考查二倍角公式、余弦定理、三角形面積公式等基礎(chǔ)學(xué)問(wèn)的同時(shí)，考查同學(xué)運(yùn)算過(guò)程的嚴(yán)謹(jǐn)性以及運(yùn)算的敏捷性。

針對(duì)數(shù)學(xué)抽象，北京卷設(shè)計(jì)了至少2道題進(jìn)行考查。如第20題(Ⅲ)，考查不等式恒成立問(wèn)題，它的背景是二階導(dǎo)數(shù)大于0，即具有下凸性質(zhì)的抽象函數(shù)在肯定條件下都具有的結(jié)論。

此外，數(shù)學(xué)建模和數(shù)據(jù)分析也分別設(shè)置了不同的問(wèn)題進(jìn)行考查。

二、創(chuàng)新力量

北京卷設(shè)置創(chuàng)新和思維深刻的問(wèn)題，考查同學(xué)的創(chuàng)新力量。如第20題(Ⅲ)和第21題，題目設(shè)計(jì)創(chuàng)新，考查同學(xué)多角度、深層次去理解數(shù)學(xué)本質(zhì)。

如第20題(Ⅲ)二元函數(shù)不等式的證明這一創(chuàng)新的設(shè)問(wèn)打破常規(guī)，需要同學(xué)固定一個(gè)變量，把動(dòng)態(tài)的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為靜態(tài)，把二元的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一元的問(wèn)題去處理?？疾橥瑢W(xué)將多元與一元，動(dòng)態(tài)與靜態(tài)，變量與常量，高等與初等，等進(jìn)行辯證思維的力量。

第21題屬于綜合題，綜合了新定義、集合論、歸納法、排解法、演繹證明等思想和方法，考查同學(xué)創(chuàng)新力量。

三個(gè)突出

主干學(xué)問(wèn)、思想方法、問(wèn)題解決力量

一、突出對(duì)主干學(xué)問(wèn)的考查

2023年是北京實(shí)行新教材的第一年，北京卷基于數(shù)學(xué)課標(biāo)，回來(lái)教材，突出對(duì)主干學(xué)問(wèn)的考查，重點(diǎn)關(guān)注同學(xué)應(yīng)知應(yīng)會(huì)的內(nèi)容，淡化機(jī)械記憶。重點(diǎn)考查了函數(shù)導(dǎo)數(shù)與不等式、三角函數(shù)與解三角形、平面解析幾何、立體幾何、統(tǒng)計(jì)概率、數(shù)列、其他(集合、復(fù)數(shù)、二項(xiàng)式定理、充要條件、向量)這些主干學(xué)問(wèn)，充分表達(dá)了對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)問(wèn)考查的基礎(chǔ)性和全面性。

同時(shí)，北京卷關(guān)注同學(xué)的不同進(jìn)展水平，通過(guò)設(shè)置具有豐富梯度的問(wèn)題，到達(dá)對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)問(wèn)的綜合考查。如第17題，第20題和21題，均設(shè)置多問(wèn)，表達(dá)出層次性和綜合性。這不僅為不同力量的同學(xué)搭建了臺(tái)階，而且也充分表達(dá)了數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中不同的人在數(shù)學(xué)上得到不同的進(jìn)展的要求。

二、突出對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的考查

北京卷從數(shù)學(xué)學(xué)科整體意義和思想價(jià)值的高度立意，有效檢測(cè)同學(xué)對(duì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)學(xué)問(wèn)和基本思想方法的把握。如第19題(Ⅱ)考查數(shù)形結(jié)合思想，第11和第14題考查了函數(shù)與方程思想，第10題表達(dá)的是化歸與轉(zhuǎn)化思想，第18題考查了概率統(tǒng)計(jì)的思想，第21題(Ⅲ)考查了分類商量思想。

三、突出對(duì)問(wèn)題解決力量的考查

北京卷突出對(duì)數(shù)學(xué)應(yīng)用和跨學(xué)科的考查，如第7題選取綠色冬奧會(huì)為情境創(chuàng)設(shè)數(shù)學(xué)問(wèn)題。問(wèn)題呈現(xiàn)了二氧化碳的三相圖，該圖可以使同學(xué)了解跨學(xué)科的學(xué)問(wèn)。通過(guò)設(shè)置此問(wèn)題，引導(dǎo)同學(xué)熟悉到現(xiàn)實(shí)生活中的環(huán)保問(wèn)題，樹(shù)立有責(zé)任的公民意識(shí)。

第18題以體育〔鉛球〕競(jìng)賽為背景，考查統(tǒng)計(jì)學(xué)中預(yù)報(bào)方法與步驟的全過(guò)程。在體育競(jìng)賽，特殊是國(guó)際競(jìng)賽中，預(yù)報(bào)競(jìng)賽結(jié)果是體育競(jìng)賽中一個(gè)重要的討論方向和熱門話題，通過(guò)解決此問(wèn)題，使同學(xué)體會(huì)到概率統(tǒng)計(jì)學(xué)問(wèn)與現(xiàn)實(shí)生活的緊密聯(lián)系。

四條路徑

試卷結(jié)構(gòu)、呈現(xiàn)方式、試題素材、數(shù)學(xué)本質(zhì)

一、優(yōu)化試卷結(jié)構(gòu)，表達(dá)出基礎(chǔ)性和選拔性

北京卷進(jìn)一步優(yōu)化試卷的結(jié)構(gòu)，首次將考查立體幾何的試題改為結(jié)構(gòu)不良問(wèn)題，以直三棱柱為背景考查線面關(guān)系。給出的兩個(gè)等價(jià)條件，讓同學(xué)從位置和度量?jī)蓚€(gè)方面進(jìn)行選擇。這種嘗試增添了試題敏捷性，為引導(dǎo)教學(xué)、防止題型固化、命題方式固化起到主動(dòng)的作用。

在試卷難度掌握上，連續(xù)保持試題的入口易、口徑寬，中低難度的試題仍保持了相當(dāng)?shù)谋壤?。同時(shí)，綜合創(chuàng)新題依舊具有較強(qiáng)的挑戰(zhàn)性，并保持了較好的區(qū)分度，如第20題第三問(wèn)，第21題有三問(wèn)。

二、改革試題呈現(xiàn)方式，表達(dá)試題的選擇性和開(kāi)放性

北京卷通過(guò)創(chuàng)新題型，設(shè)計(jì)條件或結(jié)論開(kāi)放、解題方法多樣、答案不唯一的試題等多種方式，表達(dá)試題的選擇性和開(kāi)放性。

第14題通過(guò)含參的動(dòng)區(qū)間分段函數(shù)來(lái)設(shè)計(jì)問(wèn)題，根據(jù)0與1為分界點(diǎn)分三種狀況對(duì)參數(shù)進(jìn)行商量，考查同學(xué)思維的敏捷性和多樣性。

第15題設(shè)置了一個(gè)無(wú)窮正數(shù)數(shù)列，考查數(shù)列的增減性、估量數(shù)列項(xiàng)的范圍、推斷數(shù)列是否為等比數(shù)列。解決此問(wèn)題需要同學(xué)利用放縮的思想，遞減數(shù)列的定義，數(shù)列的下界，反證的思想等去推證和證偽，考查同學(xué)對(duì)于高階學(xué)問(wèn)的理解和遷移的力量。

北京卷在命題技術(shù)和評(píng)重量表上進(jìn)行持續(xù)探究。如設(shè)計(jì)分層賦分試題。優(yōu)化了試題的區(qū)分和考查效果。

三、精選試題素材，表達(dá)數(shù)學(xué)與社會(huì)和同學(xué)生活的聯(lián)系

北京卷在試題素材的選取上真實(shí)、自然、合理。

如第7題的背景是冰絲帶國(guó)家速滑館。場(chǎng)館采納二氧化碳跨臨界直冷制冰技術(shù)，碳排放趨近于零，表達(dá)了中國(guó)對(duì)于綠色冬奧的努力;

第18題設(shè)置鉛球競(jìng)賽問(wèn)題，源于國(guó)家規(guī)定假如成果到達(dá)9.5m以上，可以獲得國(guó)家三級(jí)運(yùn)動(dòng)員證書這樣的背景，所設(shè)計(jì)的問(wèn)題符合現(xiàn)實(shí)。材料源于社會(huì)、源于真實(shí)情境，考查同學(xué)問(wèn)題解決的力量。

四、關(guān)注數(shù)學(xué)本質(zhì)，引導(dǎo)教學(xué)回來(lái)課堂

北京卷命題表達(dá)數(shù)學(xué)本質(zhì)，引導(dǎo)教學(xué)回來(lái)課堂。

一是試題內(nèi)容緊扣課標(biāo)和教材，如第16題、第17題都是解三角形和立體幾何的基礎(chǔ)性問(wèn)題，第19題、第20題是解析幾何和導(dǎo)數(shù)問(wèn)題，這四道題所考查的學(xué)問(wèn)都是高中的基礎(chǔ)學(xué)問(wèn)，所使用的方法也是通性通法。

二是試題關(guān)注數(shù)學(xué)本質(zhì)。如第10題以平面幾何切入，討論向量的數(shù)量積問(wèn)題，同學(xué)可以用多種方式解決(建立直角坐標(biāo)系，轉(zhuǎn)化為直線和圓的位置關(guān)系問(wèn)題求解;所求向量數(shù)量積最大的問(wèn)題;三角函數(shù)的值域問(wèn)題)，考查同學(xué)對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解。第20題和第21題分別考查導(dǎo)數(shù)和數(shù)列的本質(zhì)，使同學(xué)從深層次去感悟數(shù)學(xué)的思想和方法。

總之，2023年高考數(shù)學(xué)連續(xù)保持入口易、口徑寬，深化緩、出口難的特點(diǎn)，堅(jiān)持立德樹(shù)人、服務(wù)選才、引導(dǎo)教學(xué)的命題指導(dǎo)原則，形成了一個(gè)中心，兩個(gè)著力點(diǎn)，三個(gè)突出，四條路徑的評(píng)價(jià)體系，導(dǎo)向中學(xué)對(duì)四具備人才的培育，即具備自覺(jué)的數(shù)量觀念的人、具備嚴(yán)密推理規(guī)律的人、具備高度抽象概括的人、具備一絲不茍、精益求精作風(fēng)的人。

引導(dǎo)教學(xué)在六個(gè)方面下功夫，即在主干學(xué)問(wèn)的把握上下功夫、在數(shù)學(xué)學(xué)科本質(zhì)的理解上下功夫、在數(shù)學(xué)思想方法的領(lǐng)悟上下功夫、在數(shù)學(xué)應(yīng)用探究上下功夫、在〔創(chuàng)新思維〕形成上下功夫、在數(shù)學(xué)素養(yǎng)的養(yǎng)成上下功夫。助力同學(xué)德智體美勞全面進(jìn)展。

數(shù)學(xué)試卷試題分析

穩(wěn)四基為本以素養(yǎng)為魂

2023年高考北京數(shù)學(xué)試卷整體上符合國(guó)家課程標(biāo)準(zhǔn)要求，結(jié)合北京市高中數(shù)學(xué)教學(xué)的實(shí)際狀況及學(xué)情特點(diǎn)，學(xué)問(wèn)內(nèi)容掩蓋全面，突出主干;情境問(wèn)題設(shè)計(jì)多樣，指向數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

相比于去年，在試卷結(jié)構(gòu)上保持全都，依舊是單項(xiàng)選擇題、填空題和解答題，每一部分題型的難度預(yù)設(shè)基本符合從易到難的分布;

在考查內(nèi)容上基本保持全都，強(qiáng)調(diào)基礎(chǔ)性、綜合性。在試題的表述形式上，簡(jiǎn)潔、規(guī)范，圖文精確并互相匹配，呈現(xiàn)方式及作答方式堅(jiān)持多樣化，連續(xù)了北京數(shù)學(xué)試卷大氣、平和的特點(diǎn)。

命題的總體穩(wěn)定有利于考生穩(wěn)定心態(tài)，正常發(fā)揮，考出自己的數(shù)學(xué)真實(shí)水平。

一、創(chuàng)新問(wèn)題情境，堅(jiān)持素養(yǎng)導(dǎo)向

相比于去年，在試題的情境和設(shè)問(wèn)上，適度改變，強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)素養(yǎng)的進(jìn)展。

如：第(16)題依舊是解三角形問(wèn)題，但是結(jié)構(gòu)良好，對(duì)正弦定理和余弦定理的考查回來(lái)基礎(chǔ)，突出考查數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng);

第(17)題依舊是立體幾何問(wèn)題，證明線面平行以及求線面角的設(shè)問(wèn)也很熟識(shí)，但是其次問(wèn)的結(jié)構(gòu)不良，需要在給出的兩個(gè)條件中選出一個(gè)作為已知，以確定側(cè)面的樣子，考查同學(xué)思維的嚴(yán)謹(jǐn)性;

第(9)題以正三棱錐為載體，以集合語(yǔ)言描述題目的條件，涉及的計(jì)算并不冗雜，突出考查直觀想象素養(yǎng)。

二.注意基礎(chǔ)學(xué)問(wèn)，考查數(shù)學(xué)本質(zhì)

試題重視考查數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)學(xué)問(wèn)和基本方法，重點(diǎn)考查主干學(xué)問(wèn)與核心概念。

如選擇題的前5道題和填空題前3道題，涉及內(nèi)容都是基礎(chǔ)學(xué)問(wèn)和基本方法，考查了集合、復(fù)數(shù)、直線與圓、函數(shù)概念、三角函數(shù)性質(zhì)、函數(shù)定義域、雙曲線的性質(zhì)等內(nèi)容。這些試題涉及的學(xué)問(wèn)點(diǎn)相對(duì)單一，試題情境和設(shè)問(wèn)比較熟識(shí)，考查的也是對(duì)基礎(chǔ)學(xué)問(wèn)的把握與理解，較為簡(jiǎn)單。

再如第(16)題的解三角形問(wèn)題、第(19)題的直線與橢圓綜合問(wèn)題等，考查的均是主干學(xué)問(wèn)與常規(guī)方法。

試題在表達(dá)學(xué)問(wèn)考查的全面性、基礎(chǔ)性和綜合性的同時(shí)，突出考查了同學(xué)分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的力量，重點(diǎn)關(guān)注數(shù)學(xué)本質(zhì)和思維品質(zhì)的考查。

如：第(8)題二項(xiàng)式定理問(wèn)題，既可以利用學(xué)校的公式綻開(kāi)，也可以賦值利用通解通法來(lái)解決;

第(10)題的背景是一個(gè)向量問(wèn)題，考查了用代數(shù)學(xué)問(wèn)解決幾何問(wèn)題這個(gè)基本方法，表達(dá)了同學(xué)的數(shù)學(xué)思維水平;

第(20)題的利用導(dǎo)數(shù)學(xué)問(wèn)解決函數(shù)綜合問(wèn)題，充分的表達(dá)了導(dǎo)數(shù)的工具作用，對(duì)函數(shù)學(xué)問(wèn)本質(zhì)的理解有肯定要求。

三、關(guān)注數(shù)學(xué)應(yīng)用，考查實(shí)踐力量

試題關(guān)注數(shù)學(xué)學(xué)問(wèn)和方法的敏捷應(yīng)用。實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題關(guān)注同學(xué)的身邊事，表達(dá)了數(shù)學(xué)源于生活且高于生活，以及數(shù)學(xué)作為基礎(chǔ)學(xué)科的應(yīng)用價(jià)值。

如：第(7)題以北京冬奧會(huì)上國(guó)家速滑館冰絲帶使用高效環(huán)保的二氧化碳跨臨界直冷制冰技術(shù)為背景，以圖形方式給出二氧化碳所處的狀態(tài)與溫度、壓強(qiáng)的關(guān)系，考查了同學(xué)讀圖、識(shí)圖、分析圖表數(shù)據(jù)、估值等數(shù)學(xué)應(yīng)用力量;

第(18)題以同學(xué)熟識(shí)的校運(yùn)會(huì)鉛球競(jìng)賽創(chuàng)設(shè)生活實(shí)踐情境，通過(guò)討論甲乙丙三位同學(xué)以往的競(jìng)賽數(shù)據(jù)，考查同學(xué)在不同容量的樣本數(shù)據(jù)中，敏捷運(yùn)用概率統(tǒng)計(jì)學(xué)問(wèn)分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的力量，引導(dǎo)同學(xué)用數(shù)學(xué)的思索方式解決問(wèn)題、熟悉世界