文科數(shù)學第2篇3講

[最新考綱]1．結(jié)合具體函數(shù)，了解函數(shù)奇偶性的含義．2．會運用函數(shù)的圖象理解和研究函數(shù)的奇偶性．3．了解函數(shù)周期性、最小正周期的含義，會判斷、應用簡單函數(shù)的周期性.第3講函數(shù)的奇偶性與周期性知識梳理1．函數(shù)的奇偶性奇偶性定義圖象特點偶函數(shù)如果對于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)任意一個x，都有_____________，那么函數(shù)f(x)是偶函數(shù)關于_____對稱奇函數(shù)如果對于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)任意一個x，都有____________，那么函數(shù)f(x)是奇函數(shù)關于_____對稱f(－x)＝f(x)y軸f(－x)＝－f(x)原點2.奇(偶)函數(shù)的性質(zhì) (1)奇函數(shù)在關于原點對稱的區(qū)間上的單調(diào)性______，偶函數(shù)在關于原點對稱的區(qū)間上的單調(diào)性_____(填“相同”、“相反”)． (2)在公共定義域內(nèi) ①兩個奇函數(shù)的和函數(shù)是________，兩個奇函數(shù)的積函數(shù)是________． ②兩個偶函數(shù)的和函數(shù)、積函數(shù)是________． ③一個奇函數(shù)，一個偶函數(shù)的積函數(shù)是________． (3)若函數(shù)f(x)是奇函數(shù)且在x＝0處有定義，則f(0)＝____.相同相反奇函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)03．周期性 (1)周期函數(shù)：對于函數(shù)y＝f(x)，如果存在一個非零常數(shù)T，使得當x取定義域內(nèi)的任何值時，都有f(x＋T)＝____，那么就稱函數(shù)y＝f(x)為周期函數(shù)，稱T為這個函數(shù)的周期． (2)最小正周期：如果在周期函數(shù)f(x)的所有周期中______________的正數(shù)，那么這個最小正數(shù)就叫做f(x)的最小正周期．f(x)存在一個最小辨析感悟1．對奇偶函數(shù)的認識及應用 (1)函數(shù)y＝x2，x∈(0，＋∞)是偶函數(shù)．() (2)偶函數(shù)圖象不一定過原點，奇函數(shù)的圖象一定過原點．(

) (3)(教材習題改編)如果函數(shù)f(x)，g(x)為定義域相同的偶函數(shù)，則F(x)＝f(x)＋g(x)是偶函數(shù)．() (4)若函數(shù)y＝f(x＋a)是偶函數(shù)，則函數(shù)y＝f(x)關于直線x＝a對稱．()××√√√×2．對函數(shù)周期性的理解 (7)函數(shù)f(x)在定義域上滿足f(x＋a)＝－f(x)，則f(x)是周期為2a(a＞0)的周期函數(shù)．() (8)(2013·湖北卷改編)x為實數(shù)，[x]表示不超過x的最大整數(shù)，則函數(shù)f(x)＝x－[x]在R上是周期函數(shù)．(

)√√[感悟·提升]1．兩個防范一是判斷函數(shù)的奇偶性之前務必先考查函數(shù)的定義域是否關于原點對稱，若不對稱，則該函數(shù)一定是非奇非偶函數(shù)，如(1)； 二是若函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，則f(0)不一定存在；若函數(shù)f(x)的定義域包含0，則必有f(0)＝0，如(2)．答案D

規(guī)律方法

判斷函數(shù)的奇偶性，其中包括兩個必備條件：(1)定義域關于原點對稱，這是函數(shù)具有奇偶性的必要不充分條件，所以首先考慮定義域；(2)判斷f(x)與f(－x)是否具有等量關系．在判斷奇偶性的運算中，可以轉(zhuǎn)化為判斷奇偶性的等價等量關系式(f(x)＋f(－x)＝0(奇函數(shù))或f(x)－f(－x)＝0(偶函數(shù)))是否成立．【訓練1】(1)已知f(x)是奇函數(shù)，g(x)是偶函數(shù)，且f(－1)＋g(1)＝2，f(1)＋g(－1)＝4，則g(1)等于 ()． A．4 B．3 C．2 D．1 (2)設f(x)為定義在R上的奇函數(shù)．當x≥0時，f(x)＝2x＋2x＋b(b為常數(shù))，則f(－1)＝ ()． A．－3 B．－1 C．1 D．3解析(1)由題意知：f(－1)＋g(1)＝－f(1)＋g(1)＝2，①f(1)＋g(－1)＝f(1)＋g(1)＝4， ②①＋②得g(1)＝3.(2)因為f(x)為定義在R上的奇函數(shù)，所以f(0)＝20＋2×0＋b＝0，解得b＝－1.所以當x≥0時，f(x)＝2x＋2x－1，所以f(－1)＝－f(1)＝－(21＋2×1－1)＝－3.答案(1)B(2)A答案(1)C(2)C

規(guī)律方法

對于求值或范圍的問題，一般先利用函數(shù)的奇偶性得出區(qū)間上的單調(diào)性，再利用其單調(diào)性脫去函數(shù)的符號“f”，轉(zhuǎn)化為解不等式(組)的問題，若f(x)為偶函數(shù)，則f(－x)＝f(x)＝f(|x|)．答案C

解析∵f(x)滿足f(x－4)＝－f(x)，∴f(x－8)＝f(x)，∴函數(shù)f(x)是以8為周期的周期函數(shù)，則f(－25)＝f(－1)，f(80)＝f(0)，f(11)＝f(3)．由f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且滿足f(x－4)＝－f(x)，得f(11)＝f(3)＝－f(－1)＝f(1)．∵f(x)在區(qū)間[0,2]上是增函數(shù)，f(x)在R上是奇函數(shù)，∴f(x)在區(qū)間[－2,2]上是增函數(shù)，∴f(－1)＜f(0)＜f(1)，即f(－25)＜f(80)＜f(11)．答案D規(guī)律方法

關于奇偶性、單調(diào)性、周期性的綜合性問題，關鍵是利用奇偶性和周期性將未知區(qū)間上的問題轉(zhuǎn)化為已知區(qū)間上的問題．【訓練3】設f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且對任意實數(shù)x，恒有f(x＋2)＝－f(x)，當x∈[0,2]時，f(x)＝2x－x2. (1)求證：f(x)是周期函數(shù)； (2)當x∈[2,4]時，求f(x)的解析式； (3)計算f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2014)． (1)證明∵f(x＋2)＝－f(x)， ∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)． ∴f(x)是周期為4的周期函數(shù)．(2)解

∵x∈[2,4]，∴－x∈[－4，－2]，∴4－x∈[0,2]，∴f(4－x)＝2(4－x)－(4－x)2＝－x2＋6x－8，又f(4－x)＝f(－x)＝－f(x)，∴－f(x)＝－x2＋6x－8，即f(x)＝x2－6x＋8，x∈[2,4]．(3)解∵f(0)＝0，f(1)＝1，f(2)＝0，f(3)＝－1.又f(x)是周期為4的周期函數(shù)，∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＝f(4)＋f(5)＋f(6)＋f(7)＝…＝f(2008)＋f(2009)＋f(2010)＋f(2011)＝0.∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2014)＝f(2012)＋f(2013)＋f(2014)＝f(0)＋f(1)＋f(2)＝1.3．奇函數(shù)的圖象關于原點對稱，偶函數(shù)的圖象關于y軸對稱，反之也成立．利用