第二節(jié) 中心極限定理

第二節(jié)中心極限定理第1頁，共26頁，2023年，2月20日，星期一一、中心極限定理的意義在實際問題中許多隨機變量是由相互獨立隨機因素的綜合（或和）影響所形成的.例如，炮彈射擊的落點與目標的偏差，就受著許多隨機因素（如瞄準，空氣阻力，炮彈或炮身結構等）綜合影響的.每個隨機因素對彈著點（隨機變量和）所起的作用都是很小的.那么彈著點服從怎樣分布？第2頁，共26頁，2023年，2月20日，星期一一、中心極限定理的意義

如果一個隨機變量是由大量相互獨立的隨機因素的綜合影響所造成，而每一個別因素對這種綜合影響所起的作用不大，則這種隨機變量一般都服從或近似服從正態(tài)分布.自從高斯指出測量誤差服從正態(tài)分布之后，人們發(fā)現(xiàn)，正態(tài)分布在自然界中極為常見.高斯第3頁，共26頁，2023年，2月20日，星期一一、中心極限定理的意義現(xiàn)在我們就來研究獨立隨機變量之和所特有的規(guī)律性問題.當n無限增大時，這個和的極限分布是什么呢？在什么條件下極限分布會是正態(tài)的呢？第4頁，共26頁，2023年，2月20日，星期一一、中心極限定理的意義第5頁，共26頁，2023年，2月20日，星期一一、中心極限定理的意義在概率論中，習慣于把和的分布收斂于正態(tài)分布這一類定理都叫做中心極限定理.第6頁，共26頁，2023年，2月20日，星期一二、李雅普諾夫中心極限定理1.李雅普諾夫(Lyapunov)定理第7頁，共26頁，2023年，2月20日，星期一注意：二、李雅普諾夫中心極限定理第8頁，共26頁，2023年，2月20日，星期一二、李雅普諾夫中心極限定理對于李雅普諾夫定理中的隨機變量序列，將其約束條件改為獨立同分布，即林德貝爾格—勒維中心極限定理第9頁，共26頁，2023年，2月20日，星期一三、勒維中心極限定理2.林德貝爾格－勒維（Lindeberg-Levy）定理第10頁，共26頁，2023年，2月20日，星期一三、勒維中心極限定理第11頁，共26頁，2023年，2月20日，星期一三、勒維中心極限定理第12頁，共26頁，2023年，2月20日，星期一例1

對敵人的防御地段進行100次轟炸，每次轟炸命中目標的炸彈數(shù)目是隨機變量，其期望為2，方差為1.69.求在100次轟炸中有180顆至220顆炸彈命中目標的概率.解：設Xi-第i次轟炸命中目標的炸彈數(shù)，i=1,2,…,100三、勒維中心極限定理則100次轟炸命中目標的炸彈總數(shù)為依題意，第13頁，共26頁，2023年，2月20日，星期一例1

對敵人的防御地段進行100次轟炸，每次轟炸命中目標的炸彈數(shù)目是隨機變量，其期望為2，方差為1.69.求在100次轟炸中有180顆至220顆炸彈命中目標的概率.由中心極限定理,三、勒維中心極限定理于是，第14頁，共26頁，2023年，2月20日，星期一三、勒維中心極限定理例2計算機在進行數(shù)學計算時，遵從四舍五入原則.為簡單計，現(xiàn)從小數(shù)點后第一位進行舍入運算，設誤差.若一項計算中進行了100次數(shù)字運算，求平均誤差落入上的概率.解：設Xi-第i次運算中產(chǎn)生的誤差，i=1,2,…,100則諸Xi獨立，服從，100次運算的平均誤差為第15頁，共26頁，2023年，2月20日，星期一于是，依題意，由中心極限定理,三、勒維中心極限定理第16頁，共26頁，2023年，2月20日，星期一對于勒維中心極限定理中的隨機變量序列，將其約束條件改為獨立同0-1分布，即三、勒維中心極限定理拉普拉斯中心極限定理第17頁，共26頁，2023年，2月20日，星期一四、拉普拉斯中心極限定理3.棣莫佛－拉普拉斯（DeMoivre-Laplace）定理第18頁，共26頁，2023年，2月20日，星期一定理表明:二項分布的極限分布是正態(tài)分布

四、拉普拉斯中心極限定理在n重貝努利試驗中，描述A事件發(fā)生次數(shù)的隨機變量服從二項分布.當試驗次數(shù)較多時，根據(jù)中心極限定理，可利用正態(tài)分布近似計算二項分布，即第19頁，共26頁，2023年，2月20日，星期一四、拉普拉斯中心極限定理例3100臺車床獨立工作，每臺實際工作時間占全部工作時間的80%.求任一時刻有70至86臺車床工作的概率.解：則依題意，第20頁，共26頁，2023年，2月20日，星期一四、拉普拉斯中心極限定理例3100臺車床獨立工作，每臺實際工作時間占全部工作時間的80%.求任一時刻有70至86臺車床工作的概率.由中心極限定理,于是，第21頁，共26頁，2023年，2月20日，星期一五、課程小結1.標準化因子第22頁，共26頁，2023年，2月20日，星期一五、課程小結中心極限定理其實是描述的隨機變量序列和，經(jīng)標準化后，當序列容量無限大時的極限分布.2.中心極限定理的內(nèi)容第23頁，共26頁，2023年，2月20日，星期一五、課程小結第24頁，共26頁，2023年，2月20日，星期一六、課堂練習

根據(jù)以往經(jīng)驗，某種電器元件的壽命服從均值為100小時的指數(shù)分布.現(xiàn)隨機地取16只，設它們的壽命是相互獨立的.求這16只元件的壽命的總和大于1920小時的概率.第25頁，共26頁，2023年，2月20日，星期一由題給條件知，諸Xi獨立，16只元件的壽命的總和為且E(Xi)=100,D(Xi)=10000依題意，所求為P(Y>1920).設第i只元件的壽命為Xi,i=1,2,…,16解：E(Y